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力学课数学准备（一）-矢量、微积分部分秋季 王景赟第1页附录A 矢量概述矢量概念自然界中有一类量现有大小大小、又有方向方向，这类量称为矢量矢量（向量）。标量：只有数值大小量。例子：标量标量：距离，速率，质量，密度，体积，温度，电阻，功，能量，热量，功率，势能，电势能等矢量矢量：位移，速度，加速度，力，动量，力矩，电磁场强度等等第2页表示方法：，a（黑体），（a，b，c）矢量没有固定空间位置矢量模：，,a单位矢量单位矢量：大小为一矢量：大小为一矢量 /大小大小方向方向第3页l力合成：矢量加法力合成：矢量加法/减法减法矢量加法矢量加法(几何方法几何方法)矢量分解与合成矢量分解与合成(分析方法分析方法)第4页矢量运算矢量加法矢量：a,ba+b=rabr平行四边形法则arb三角形法则br矢量相加必须是同一类量相加矢量相加必须是同一类量相加第5页 已知两矢量：、，求 扩展：多边形法则III第6页交换律 a+b=b+a 结合律(a+b)+c=a+(b+c)第7页第8页矢量负值：等值反向b负值：-b减法：a-b=a+(-b)矢量减法第9页第10页矢量分解与合成l在在给给定定坐坐标标系系中中，矢矢量量能能够够分分解为解为l在在不不一一样样坐坐标标系系中中，一一个个矢矢量量能够有许多组分量。能够有许多组分量。l确确定定了了坐坐标标系系，一一个个矢矢量量分分量量才能唯一地确定。才能唯一地确定。l空间直角坐标系右手系右手系第11页矢量线性运算坐标式假设两个矢量假设两个矢量a=axi+ayj+azk=(ax,ay,az)b=bxi+byj+bzk=(bx,by,bz)则，则，a+b=(ax+bx)i+(ay+by)j+(az+bz)k =(ax+bx,ay+by,az+bz)a-b=(ax-bx,ay-by,az-bz)矢量代数运算解析分析第12页解：以东为解：以东为x轴，北为轴，北为y轴建立直角坐标系则轴建立直角坐标系则v1=80i v2=120j v=v1+v2=80i+120j求其模，得到速率大小求其模，得到速率大小为为144km/s利用正切求夹角利用正切求夹角tgg g=120/80=1.5g g=56xyg第13页矢量模、方向角及其在轴上投影矢量模：矢量数值大小|a|=方向角、方向余弦与矢量在坐标轴上投影矢量a=axi+ayj+azk=(ax,ay,az)方向角a，b，g方向余弦cos a=ax/|a|，cos b=ay/|a|，cos g=ax/|a|且它们满足 cos 2a+cos 2b+cos 2g=1第14页例子已知两点坐标A（2,2,）和B（1,3,0），求矢量 模、方向余弦和方位角解：=（1-2,3-2,0-）=（-1,1,-）cos a=-1/2，cos b=1/2，cos g=-/2 a=2p/3，b=p/3，g=3p/4 第15页矢量三种乘法：数乘、点乘和叉乘矢量乘以标量（数乘数乘）：标量k与矢量 乘积定义为一个新矢量，它大小等于 大小k倍。假如k是正，则新矢量与 方向相同；假如k是负，则方向相反。设有矢量a与实数l，要求l与a乘积是一个矢量，记为la，该矢量模为|la|=|l|a|能够证实数乘矢量满足以下运算律:结合律：l(ma)=(lm)a分配律：(l+m)a=la+ma例子例子:第16页不一样类矢量乘法运算不一样类矢量乘法运算产生新物理量产生新物理量两个矢量 和 标积（点乘）写作 ，定义为：其中A为矢量 大小，B为矢量 大小，为两矢量间夹角。譬如：fs=w第17页第18页例：例：1）分配率）分配率2）ab=axbx+ayby+azbz 因为 ab=(axi+ayj+azk)(bxi+byj+bzk)=axbxii+aybyjj+azbzkk=axbx+ayby+azbz3）第19页第20页矢量向量积定义：设矢量c是由两个矢量a和b按以下要求确定：|c|=|a|b|sin，是a与b之间夹角c方向垂直于a与b决定平面，c指向按右手规则确定，即右手四指以不超出p角度，从a转向b时，拇指指向就是c指向。则称矢量c是a与b向量向量积积（叉乘，叉积，外积），记为c=ababc|ab|例子：例子：fr=La第21页 例：两个矢量位于x-y平面内；矢量A A大小为1.5并与x轴成30角；矢量B B大小为2.0并与x轴成100角，求A AB B。|A B|AB sinq (1.5 2.0)sin 70 2.8 方向与A、B成右手坐标系第22页向量积向量积ab模|ab|等于矢量a，b为邻边平行四边形面积推导：1）aa=0 2）两个非零矢量ab=0a|b 3）对于单位矢量 ，有：4)依据右手定则：向量积运算性质(1)ab=-ba (2)(2)分配率分配率 (a+b)c=ac+bc(3)(3)结合律结合律 l(ab)=(la)b=a(lb)不交换！不交换！第23页行列式第24页矢量与物理定律假定有假定有 a,b和和c 三个矢量，在某一坐标系三个矢量，在某一坐标系xyz中，中，分别含有分量分别含有分量。再假定这三个矢量相关系。再假定这三个矢量相关系即即 现在构想有另一坐标系现在构想有另一坐标系 xyz，经过坐标系移动和转动后，矢量间关系保持不变。经过坐标系移动和转动后，矢量间关系保持不变。矢量语言是表述物理定律一个理想语言。矢量语言是表述物理定律一个理想语言。第25页微积分介绍微积分介绍第26页微分一元函数：y=f(x)自变量x增量x函数增量y=y(x+x)-y(x)Oly=Ax2函数增量含有高阶无穷小，高阶无穷小，其它函数类似。第27页l自变量增量x0时，称为自变量微分自变量微分,改记成dxl对应函数增量y称为函数微分函数微分,记成dyldy和和dx关系：关系：dy=y(x+dx)-y(x)微商微商(导数导数)定义定义l思索：思索：在微商过程中，忽略了高阶无穷小贡献。在微商过程中，忽略了高阶无穷小贡献。思索：思索：第28页计算函数y=Ax2微商第29页 例子：变速直线运动速度例子：变速直线运动速度设描述质点运动位置函数为则 到 平均速度为而在 时刻瞬时速度为自由落体运动第30页例子：求非均匀棒密度（一点线密度 均匀棒密度单位长质量 非均匀：建立坐标系0给出质量函数 取棒一段 到 这段质量 这段上平均密度 越小，就越靠近于 点线密度 因而 第31页物体运动速度与曲线切线斜率都归结为同一个数学结构：函数增量与自变量增量之比极限函数增量与自变量增量之比极限微商几何意义微商几何意义第32页 切切 线线:割线极限位置割线极限位置切线位置切线位置第33页第34页第35页第36页第37页第38页第39页第40页第41页第42页割线极限位置割线极限位置切线位置切线位置第43页为曲线上点在处法线方程为处切线（假如存在）斜率。由此：曲线切线方程为切线方程与法线方程切线方程与法线方程第44页函数和、差、积、商求导法则函数和、差、积、商求导法则第45页微商运算法则证实证实函数和微商是它们微商和。函数和微商是它们微商和。第46页乘法法则乘法法则高阶无穷小贡献高阶无穷小贡献第47页计算函数y=x3微商乘法法则乘法法则n整数整数上式对上式对n一切数值都成立。一切数值都成立。第48页复合函数求导法则第49页链锁链锁法则法则l函数微商，而该函数本身又是另一个函数函数思索：思索：假设y=3x2且x=6t，dy/dt是什么？在x0之前，普通分数乘积第50页常见微商常数f(C)=0幂函数f(x)=xn如y=x2,y=2x第51页三角函数导数(sinx)=cosx(cosx)=-sinx例子求在点微商。时，函数有改变量它们之比为所以当给自变量以改变量第52页指数函数导数当当a=e时，时，(ex)=ex对数函数导数第53页l函数中没有突变，它们是平滑。数学家称这些函数为连续连续。l假设了函数确有微商，这是指它们是可微可微。l假如对函数f(x)微商f(x)在求微商，得到一个新函数，称为函数f(x)二阶微商(导数)。速度，加速度速度，加速度第54页55微分逆运算-积分l已知某函数微商，求原来函数过程叫做逆逆微微分分。逆微分也被称为积分积分。有时使用有时使用“原函数原函数”来替换来替换逆微商逆微商。思索：思索：原函数原函数为何会有一个常数为何会有一个常数C。假如两个函数假如两个函数g(t)和和f(t)含有相同微商含有相同微商,g(t)和和f(t)，则它们，则它们差差g(t)-f(t)为常量，所以为常量，所以g(t)-f(t)=C,其中其中C是常数。因而是常数。因而g(t)=f(t)+C。换句话说，假如。换句话说，假如f(t)是是f(t)一个逆微商，则一个逆微商，则全部逆微商是全部逆微商是f(t)+C,其中其中C是任意常数。是任意常数。第55页一质点作自由落体运动，其加速度为g(取垂垂直直向向下下为为正正)，则其速度公式为假如要确定常数C，需要知道一个约束条件，比如：t=0时刻初速度v0。C=v0t=0时刻位移z0。假如t=0时刻初速度v0=0和位移z0=0初始条件或边界条件初始条件或边界条件第56页积分与求面积l一质点作自由落体运动，其加速度为g(取垂直向下垂直向下为为正正)加速度一个原函数是速率，因而在这里面积函数等于物体从静止下落速率：v(t)=v0-gt。(t=0时刻初速度为v0)第57页l一质点作自由落体运动，v=gt(垂垂直直向向下下为为正正和和t=0时时刻刻初初速速度度v0=0)将t作为变数，面积函数0.5gt2是t函数。面面积积函函数数是是从从0开开始始曲曲线线一一个个原原函函数数。面积为0.5gt2，等于在时刻t所下落距离。第58页l莱布尼茨引入符号把这个面积表示为莱布尼茨引入符号把这个面积表示为积积分分号号下下面面函函数数f(x)叫叫做做被被积积函函数数，而而从从a到到t间间隔隔叫叫做做积积分区间分区间，伴伴随称为，伴伴随称为积分限积分限数字数字a和和t。l假假如如你你想想要要求求出出曲曲线线y=f(x)下下从从x=a到到x=t区区域域面面积积，首首先先求求出出给给定定函函数数一一个个原原函函数数，即即其其微微商商是是f(x)任任一一函函数数P(x)。然后所需面积就是。然后所需面积就是P(t)减去减去P(a)。第59页l符号符号 表示把全部这些窄矩形面积加在一起过程。表示把全部这些窄矩形面积加在一起过程。第60页61l微积分第一基本定理微积分第一基本定理将微商和积分联络起来积分 对于上限微商等于被积函数在t处值。l微积分第微积分第二二基本定理基本定理假如P(x)是f(x)任意一个原函数引入符号引入符号第61页l莱布尼茨引入积分一个特殊符号 ，积分号上没有附着任何积分限，用这种形式去表示f(x)任意积分。l符号 往往被叫做不定积分l符号 往往被叫做定积分第62页偏微分与全微分l针对多变量函数，举例：z=f(x,y)l假设y不变，仅讨论z=f(x,y)随x改变，定义函数z在(x,y)处对x偏偏导导数数。l假设x不变，仅讨论z=f(x,y)随y改变，定义函数z在(x,y)处对y偏偏导导数数。第63页z=f(x+x,y+y)-f(x,y)是函数z=f(x,y)在点(x,y)处全增量，能够表示为其中O(r)是由x和y产生高阶小量。在x0和y 0时第64页
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