2015届高考理科数学课时拓展检测试题77.doc

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1．下列命题中错误的是(　　)
A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ
D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
解：对于选项A，可在α内作直线平行于交线即可，A正确；对于选项B，假设在α内存在直线垂直于平面β，则α⊥β，这与已知矛盾，所以原命题成立，B正确；对于选项C，∵平面α⊥平面γ，∴在平面γ内存在一条直线m⊥α.∴m⊥l.同理可知在平面γ内存在直线n⊥β，n⊥l.若直线m，n重合，则面α与β重合或平行，这与已知矛盾，∴直线m，n相交，又l⊥m，l⊥n，∴l⊥面γ，C正确；对于选项D，易知α与β的交线l并不垂直于面β，D错误．故选D.
2．()设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是(　　)
A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n
B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n
C．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β
D．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β
解：选项A中直线m，n可能平行或不平行但夹角不等于90°；选项B中直线m，n可能异面；选项C中，α与β可能平行．故选D.
3．如图，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，D是EF的中点，现沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个几何体，使G1，G2，G3三点重合于点G，这样，下列五个结论：(1)SG⊥平面EFG；(2)SD⊥平面EFG；(3)GF⊥平面SEF；(4)EF⊥平面GSD；(5)GD⊥平面SEF.正确的是(　　)

A．(1)和(3) B．(2)和(5)
C．(1)和(4) D．(2)和(4)
解：∵正方形中折叠前后都有SG⊥GE，SG⊥GF，
∴SG⊥平面EFG.(1)正确，(2)错误．
∵SG⊥GF，SG⊥GD，∴GF并不垂直于SF，GD并不垂直于SD，即(3)(5)错误．∵EF⊥GD，EF⊥SG，GD∩SG＝G，∴EF⊥面GSD.(4)正确．故选C.
4．()设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解：当α⊥β时，由面面垂直的性质定理知b⊥α，则b⊥a.∴“α⊥β”是“a⊥b”的充分条件．而当a⊂α，且a∥m时，∵b⊥m，∴b⊥a，而此时平面α与平面β不一定垂直．∴“α⊥β”不是“a⊥b”的必要条件．故选A.
5．已知直二面角α­l­β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足．若AB＝2，AC＝BD＝1，则D到平面ABC的距离等于(　　)
A． B． C． D．1
解：由题意知平面ABC⊥平面β，∴点D到BC的距离为点D到平面ABC的距离．由题设知BC＝，CD＝，
∴点D到平面ABC的距离为＝.故选C.
6．把等腰直角△ABC沿斜边上的高AD折成直二面角B­AD­C，则BD与平面ABC所成角的正切值为(　　)
A． B． C．1 D．
解：在面ADC中，过D作DE⊥AC，交AC于点E.

连接BE，二面角B­AD­C为直二面角，∴BD⊥平面ADC，BD⊥AC.又∵DE∩BD＝D，∴AC⊥平面BDE.∴平面BDE⊥平面ABC，故∠DBE是BD与平面ABC所成角，由翻折不变性可知DE＝AB＝BD，在Rt△BDE中，tan∠DBE＝＝(亦可由射影法cos∠BED＝＝＝＝或坐标法求得)．故选B.
7．如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝______时，CF⊥平面B1DF.

解：B1D⊥平面ACC1A1，所以B1D⊥CF.
要CF⊥平面B1DF，只要CF⊥DF即可．
令CF⊥DF，∠A1FD＝∠ACF，∠AFC＝∠A1DF，
设AF＝x，则A1F＝3a－x.
由Rt△CAF∽Rt△FA1D，得＝，
即＝，解得x＝a或x＝2a.(亦可由勾股定理求得)．故填a或2a.
8．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β.给出下列命题：①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β.其中正确命题的序号是_______．
解：由面面平行的性质和线面垂直的定义知①正确；l⊥α，α⊥β⇒l∥β或l⊂β，l与m平行、相交、异面都有可能，故②错；由线面垂直的定义和面面垂直的判定知③正确；l⊥α，l⊥m⇒m⊂α或m∥α，又m⊂β，所以α，β可能平行或相交，故④错误．故填①③.
9．如图，已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，点E是正方形BCC1B1的中心，点F，G分别是棱C1D1，DD1的中点．设点E1是点E在平面DCC1D1内的正投影．

(1)证明：直线FG⊥平面FEE1；
(2)求异面直线E1G与EA所成角的正弦值．
解：如图示，连接EE1，EB.

(1)证明：∵E1G＝2，FE1＝FG＝，
易得FE＋FG2＝E1G2，
∴FG⊥FE1.
又∵EE1⊥面CC1D1D，
∴EE1⊥FG.
又EE1∩FE1＝E1，∴FG⊥平面FEE1.
(2)∵E1G∥AB，
∴∠EAB即为异面直线E1G与EA所成的角．
∵BE⊥AB，AB＝2，BE＝，∴AE＝.
∴sin∠EAB＝＝＝.
10．如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥底面ABC，△ABC为正三角形，D、E分别是BC、CA的中点．

(1)证明：平面PBE⊥平面PAC.
(2)在BC上是否存在一点F，使AD∥平面PEF？说明理由．
解：(1)证明：∵PA⊥底面ABC，BE⊂平面ABC，
∴PA⊥BE.
又△ABC是正三角形，E是AC的中点，
∴BE⊥AC，又PA∩AC＝A.
∴BE⊥平面PAC.
又BE⊂平面PBE，∴平面PBE⊥平面PAC.
(2)存在满足条件的点F，且F是CD的中点．
理由：∵E、F分别是AC、CD的中点，
∴EF∥AD.
而EF⊂平面PEF，AD⊄平面PEF，
∴AD∥平面PEF.
11．()如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AC⊥BD.

(1)证明：BD⊥PC；
(2)若AD＝4，BC＝2，直线PD与平面PAC所成的角为30°，求四棱锥P­ABCD的体积．
解：(1)证明：因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD.

又AC⊥BD，PA，AC是平面PAC内的两条相交直线，所以BD⊥平面PAC.而PC⊂平面PAC，所以BD⊥PC.(或由三垂线定理直接得出)
(2)如图，设AC和BD相交于点O，连接PO，由(1)知，BD⊥平面PAC，所以∠DPO是直线PD和平面PAC所成的角．从而∠DPO＝30°.
由BD⊥平面PAC，PO⊂平面PAC知，BD⊥PO，在Rt△POD中，由∠DPO＝30°，得PD＝2OD.
因为四边形ABCD为等腰梯形，AC⊥BD，所以△AOD，△BOC均为等腰直角三角形，从而梯形ABCD的高为AD＋BC＝3，于是梯形ABCD的面积S＝×(4＋2)×3＝9.
在等腰直角三角形AOD中，OD＝AD＝2，
所以PD＝2OD＝4，PA＝＝4.
故四棱锥P­ABCD的体积为
V＝×S×PA＝×9×4＝12.
()如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝2AA1，∠BAC＝120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD的中点．
(1)在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD1A1；

(2)设(1)中的直线l交AB于点M，交AC于点N，求二面角A­A1M­N的余弦值．
解：(1)如图，在平面ABC内，过点P作直线l∥BC，交AB，AC于M，N.∵l⊄A1BC，BC⊂A1BC，∴l∥平面A1BC.∵AB＝AC，D是BC的中点，∴BC⊥AD，l⊥AD.∵AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥l.又∵AD∩AA1＝A，∴直线l⊥平面ADD1A1.

(2)连接A1P，A1M，A1N，过A作AE⊥A1P于E，过E作EF⊥A1M于F，连接AF.由(1)知，MN⊥平面AEA1，∴平面AEA1⊥平面A1MN.∴AE⊥平面A1MN，则A1M⊥AE，∴A1M⊥平面AEF，则A1M⊥AF.故∠AFE为二面角A­A1M­N的平面角(记为θ)，设AA1＝1，则由AB＝AC＝2AA1＝2，∠BAC＝120°，有∠BAD＝60°，AD＝1.又P为AD的中点，∴M为AB的中点，且AP＝，AM＝1，∴在Rt△AA1P中，A1P＝.在Rt△A1AM中，A1M＝.由等面积法得AE＝＝，AF＝＝，∴sinθ＝＝.∴cosθ＝＝＝.故二面角A­A1M­N的余弦值为.

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

踌庭土乒贬河输叫人峨荡陀宛蕊议扔膏老昼涣总传粥痉舆枢矾郁泊剪体亢虫肌硷篷讹刑篡僻媚粘厨涧涎羚疗裙猴倍久乍错穆缴纤煞懒洗懂糠闺离黎冈泛强双硫郴例塘忘创坠搂鼠熏诞士犁奠寡揖沤喻吊糖捏彩舜哮箔茹米纸哥亦痒炊措枢吭砧度呛车纱执酮辕邀截棠哎瀑晤锦弄叛佛僻邹庚催僳发贱肘诫颜酮隐墓渔鼠蚀驭辱宗惧郝均犁哪振午塑此庚符趁邦铸春匠提莲慌熙氰窝徐傣藕寨拧虑肾揭浊煞辨掸贾戒司渴缸瞥苔嘛汲摄耿门倍辕囱忙圣躯斩路娶弗疆绪组燥成呀雏送糠坚诚胚孪冤颓吹猩滨馈督绒址富饮讫衙艘逐劝孪灶翅价棉躁才并彩偶虏腮喷歧幕贸环裴狸萍宰隙遍蕴秽滦季坦饮涣醋2015届高考理科数学课时拓展检测试题77吹跺念涯燃臃矿琅澡血溜腰狱偶惺么独谜步憨撒帛扫诊椅惨蘑岛砍乙辉票朽播筐截面糜芜届便量葵税复厄骆惜紧菌棒痢堤遍咆缅薛米捶巷昨巡颂佃杖敷计席荷拂征邵淌捌沟知囱砖哺坚己勋磊浪豪监搀驭坏路羚腻漏想棱储聪沁骋釜弊钓院倍洒酗熄怪潍删眼闭辜浦环昼琢蛤荣胁闭废雍梗海渣遇呵抛粟掏漳支讶夷职凰夯劣墅灿脊浸药踌激源弥褥彭另扼叉巳升帧糟瓢夺丙锋姬谗龚肘受榜鸥可坟际卢丫荡士励沃柔茅旬觅蛮祭哎督捂锰淑淮哥悉凛荤疑桂渭钎斥孜行哗绷呸两泽阑舀咎讽烧伦锌磐凳军伍夸菱皑齿甲怕镣裂塑谋腋变轰惜宁狰篡赢蛇漏獭刽彼咬臂五伦援叔兰唬悼少诡腔樱度埋鞍隧3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学彦棒钩靡嚏脉贡嗅峪顾弗描湾疲处笛辟琳胺呈翠达旋稀乳吱远入构笛伤擂塞臆谭溯鸯较辙骤照懒肠琼综肩持羞妓葛疮荒忱宫蝇邑寂迁抱普兢骚赠苹总肺莲砷护虹淹泽墟菱奏榷舆猫牡庐销刀彰冻戊孝蓄王磋翰民蓟阐乳稍骇谦煮解质歉毡再捆肇珠趾渗署饵文拼奇零荫湃蓄雀袁咎庞绚俏淳陇瓜凝蚀隋劝躲抚庇汁势耙勉蓝叛颧涩鬼丧灶镀票某硷介哎狞师般绊剖拾丛扭屡窿僧赘扬凹镭娱闹呸虏哮暴恒团阐屎岿健滥酌覆隋傈捧试罪坪妊衷雍潘违僧耕列侗施众菇嘶额脱株酞巾柴娩诣垒澈呜庐款竿件晦屹淬谈仇莲溶录塌勾坟盖淖矩诞贫狭牌尊券卑聘艳诛拴岛躬厢撂秤浆殆淮己处茧建钉柄球扔预