2017届高考数学第一轮考点复习题组训练2.doc

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第六章 数列
一．基础题组
1.【2005天津，理13】在数列中，，且则__________。
【答案】2600
【解析】当为奇数时，；当为偶数时，
因此，数列的奇数各项都是1，偶数项成公差为2的等差数列

本题答案填写：2600
2.【2006天津，理7】已知数列、都是公差为1的等差数列，其首项分别为、，且，．设（），则数列的前10项和等于（　　）
A．55　　　　 B．70　　　　　C．85　　　　　D．100
【答案】C
3.【2006天津，理16】设函数，点表示坐标原点，点，若向量，是与的夹角，（其中），设，则= ．
【答案】1
【解析】设函数，点表示坐标原点，点，若向量=，是与的夹角，（其中），设，则=1．
4.【2007天津，理8】设等差数列的公差不为0.若是与的等比中项，则 ( )
A.2 B.4 C.6 D.8
【答案】B
【解析】
是与的等比中项可得(*)，由为等差数列可得及代入(*)式可得.故选B
5.【2007天津，理13】设等差数列的公差是2，前项的和为则.
【答案】3
【解析】
根据题意知代入极限式得
6.【2008天津，理15】已知数列中，，则 .
【答案】

7.【2009天津，理6】设a＞0,b＞0.若是3a与3b的等比中项,则的最小值为（ ）
A.8 B.4 C.1 D.
【答案】B
【解析】是3a与3b的等比中项3a·3b＝33a+b＝3a+b＝1,∵a＞0,b＞0,∴.∴.
8.【2010天津，理6】已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列的前5项和为(　　)
A.或5 B.或5 C. D.
【答案】C　

法二：∵S6＝S3＋a4＋a5＋a6＝S3＋S3·q3，
∴9S3＝S3＋S3·q3得q3＝8，解得q＝2.
∴{}是首项为1，公比为的等比数列．
∴其前5项和为
9.【2011天津，理4】已知为等差数列，其公差为-2，且是与的等比中项，
为的前项和，，则的值为
A．-110 　　 B．-90 　　 C．90 　 D．110
【答案】D.
【解析】∵，∴，解之得，
∴.
10.【2014天津，理11】设是首项为，公差为的等差数列，为其前项和．若成等比数列，则的值为__________．
【答案】．
【解析】
试题分析：依题意得，∴，解得．
考点：1．等差数列、等比数列的通项公式；2．等比数列的前项和公式．

二．能力题组
1.【2005天津，理18】已知：。
（Ⅰ）当a = b时，求数列{}的前n项和；
（Ⅱ）求。
【答案】（Ⅰ）若， ,若，则
（Ⅱ）当时，，,当时，
【解析】解：（I）当时，，它的前项和
①
①两边同时乘以，得
②
① ②，得：

若，则：
得：
若，则

2.【2006天津，理21】已知数列满足，并且
（为非零参数，）．
（1）若成等比数列，求参数的值；
（2）当时，证明；
当时，证明.
【答案】 （1）（2）（I）详见解析，（II）详见解析
【解析】（I）解：由已知，且

若、、成等比数列，则

（III）证明：当时，由（II）可知
又由（II）则
从而 因此

3.【2012天津，理18】已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，{bn}是等比数列，且a1＝b1＝2，a4＋b4＝27，S4－b4＝10．
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；
(2)记Tn＝anb1＋an－1b2＋…＋a1bn，n∈N*，证明Tn＋12＝－2an＋10bn(n∈N*)．
【答案】(1) an＝3n－1，bn＝2n， (2) 详见解析
【解析】解：(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q．由a1＝b1＝2，得a4＝2＋3d，b4＝2q3，S4＝8＋6d．
由条件，得方程组解得
所以an＝3n－1，bn＝2n，n∈N*．
(2)证明：(方法一)
由(1)得
Tn＝2an＋22an－1＋23an－2＋…＋2na1，①
2Tn＝22an＋23an－1＋…＋2na2＋2n＋1a1．②
由②－①，得
Tn＝－2(3n－1)＋3×22＋3×23＋…＋3×2n＋2n＋2
＝＋2n＋2－6n＋2＝10×2n－6n－10．
而－2an＋10bn－12＝－2(3n－1)＋10×2n－12＝10×2n－6n－10，故Tn＋12＝－2an＋10bn，n∈N*．
(方法二：数学归纳法)
①当n＝1时，T1＋12＝a1b1＋12＝16，－2a1＋10b1＝16，故等式成立；

4.【2013天津，理19】已知首项为的等比数列{an}不是递减数列，其前n项和为Sn(n∈N*)，且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设Tn＝(n∈N*)，求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）最大项的值为，最小项的值为.
【解析】解：(1)设等比数列{an}的公比为q，
因为S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列，
所以S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5，
即4a5＝a3，于是.
又{an}不是递减数列且，所以.
故等比数列{an}的通项公式为.
(2)由(1)得
当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，所以1＜Sn≤S1＝，
故.
当n为偶数时，Sn随n的增大而增大，所以＝S2≤Sn＜1，
故.
综上，对于n∈N*，总有.
所以数列{Tn}最大项的值为，最小项的值为.
5.【2014天津，理19】已知和均为给定的大于1的自然数．设集合，集合．
（Ⅰ）当，时，用列举法表示集合；
（Ⅱ）设，，，其中证明：若，则．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见试题分析．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）当时，采用列举法可得集合；（Ⅱ）先由已知写出及的表达式：，，再作差可得，放缩法化为最后利用等比数列前项和公式求和，判断出差式的符号，证得结果．

考点：1．集合的含义与表示；2．等比数列的前项和公式；3．不等式的证明．
6. 【2015高考天津，理18】（本小题满分13分）已知数列满足，且
成等差数列.
(I)求的值和的通项公式；
(II)设，求数列的前项和.
【答案】(I) ; (II) .
【解析】(I) 由已知，有，即，
所以，又因为，故，由，得，
当时，，
当时，，
所以的通项公式为

【考点定位】等差数列定义、等比数列及前项和公式、错位相减法求和.

三．拔高题组
1.【2007天津，理21】在数列中N其中.
(I)求数列的通项公式；
(II)求数列的前项和；
(III)证明存在N使得对任意N均成立.
【答案】
(I)(II) 当 时，当 时，(III)证明(略)
【解析】
(I)解法一：，
，
.
由此可猜想出数列的通项公式为 .
以下用数学归纳法证明.
(1)当时等式成立.
(2)假设当时等式成立，即

那么，

这就是说，当时等式也成立.根据(1)和(2)可知，等式对任何N都成立.
(II)解：设 ①
②
当时，①式减去②式，得

这时数列的前项和

当 时，这时数列的前项和

2.【2008天津，理22】在数列与中，，数列的前项和满足
,为与的等比中项，.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求数列与的通项公式；
（Ⅲ）设. 证明：.
【答案】（I）．（II），，（Ⅲ）详见解析
当时，，等式成立．当时用数学归纳法证明如下：
（1当时，，等式成立．
（2）假设时等式成立，即，．
由题设，　　

①的两边分别减去②的两边，整理得，从而
．
这就是说，当时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式对任何的成立．
综上所述，等式对任何的都成立
再用数学归纳法证明，．
（1）当时，，等式成立．
（2）假设当时等式成立，即，那么
．
这就是说，当时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式对任何的都成立．
解法二：由题设　　

①的两边分别减去②的两边，整理得，．所以
　　　　　　　　，
　　　　　　　　，
　　　　　　　　……
　　　　　　　　，．
将以上各式左右两端分别相乘，得，
由（Ⅰ）并化简得，．
止式对也成立．
由题设有，所以，即，．
令，则，即．由得，．所以，即，．
解法：由题设有，，所以
，
　　　　　　　　，
　　　　　　　　……
　　　　　　　　，．
将以上各式左右两端分别相乘，得，化简得
，．
由（Ⅰ），上式对也成立．所以，．
上式对时也成立．
以下同解法二，可得，．

当，时，
当，时，
．
当，时，
．
所以．
从而时，有
总之，当时有，即．
3.【2009天津，理22】已知等差数列{an}的公差为d(d≠0),等比数列{bn}的公比为q(q＞1).设Sn＝a1b1+a2b2+…+anbn,Tn＝a1b1－a2b2+…+(－1)n－1anbn,n∈N*.
(1)若a1＝b1＝1,d＝2,q＝3,求S3的值;
(2)若b1＝1,证明,n∈N*;
(3)若正整数n满足2≤n≤q,设k1,k2,…,kn和l1,l2,…,ln是1,2,…,n的两个不同的排列,
,,证明c1≠c2.
分析:本小题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的通项公式与前n项和公式等基础知识,考查运算能力、推理论证能力及综合分析和解决问题的能力.
【答案】（Ⅰ）55.；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）详见解析
【解析】(1)解:由题设,可得an＝2n－1,bn＝3n－1,n∈N*.
所以,S3＝a1b1+a2b2+a3b3＝1×1+3×3+5×9＝55.
(2)证明:由题设,可得bn＝qn－1,则
S2n＝a1+a2q+a3q2+a4q3+…+a2nq2n－1,①
T2n＝a1－a2q+a3q2－a4q3+…－a2nq2n－1.②
①式减去②式,得
S2n－T2n＝2(a2q+a4q3+…+a2nq2n－1).
①式加上②式,得
S2n+T2n＝2(a1+a3q2+…+a2n－1q2n－2).③
③式两边同乘q,得
q(S2n+T2n)＝2(a1q+a3q3+…+a2n－1q2n－1).
所以,
(1－q)S2n－(1+q)T2n＝(S2n－T2n)－q(S2n+T2n)
＝2d(q+q3+…+q2n－1)
,n∈N*.
(3)证明:
＝(k1－l1)db1+(k2－l2)db1q+…+(kn－ln)db1qn－1.
因为d≠0,b1≠0,所以
.
①若kn≠ln,取i＝n.
②若kn＝ln,取i满足ki≠li,且kj＝lj,i+1≤j≤n.
由①,②及题设知,1＜i≤n,且
.

(ⅱ)当ki＞li时,同理可得≤－1,因此c1≠c2.
综上,c1≠c2.
4.【2010天津，理22】在数列{an}中，a1＝0，且对任意k∈N*，a2k－1，a2k，a2k＋1成等差数列，其公差为dk.
(1)若dk＝2k，证明a2k，a2k＋1，a2k＋2成等比数列(k∈N*)；
(2)若对任意k∈N*，a2k，a2k＋1，a2k＋2成等比数列，其公比为qk.
①若q1≠1，证明{}是等差数列；
②若a2＝2，证明＜2n－≤2(n≥2)．
【答案】(1)详见解析， (2) ①详见解析，②详见解析
【解析】证明：(1)由题设，可得a2k＋1－a2k－1＝4k，k∈N*.
所以a2k＋1－a1＝(a2k＋1－a2k－1)＋(a2k－1－a2k－3)＋…＋(a3－a1)
＝4k＋4(k－1)＋…＋4×1＝2k(k＋1)．
由a1＝0，得a2k＋1＝2k(k＋1)．
从而a2k＝a2k＋1－2k＝2k2，a2k＋2＝2(k＋1)2.
于是.
所以.
所以dk＝2k时，对任意k∈N*，a2k，a2k＋1，a2k＋2成等比数列．
(2)法一：①由a2k－1，a2k，a2k＋1成等差数列，及a2k，a2k＋1，a2k＋2成等比数列，得2a2k＝a2k－1＋a2k＋1，2＝＋qk.
当q1≠1时，可知qk≠1，k∈N*.
从而＋1，
即 (k≥2)，
所以{}是等差数列，公差为1.
②由a1＝0，a2＝2，可得a3＝4，从而q1＝＝2，＝1.由①有＝1＋k－1＝k，得qk＝，k∈N*.
所以＝.
从而＝，k∈N*.
因此a2k＝··…··a2＝…··2＝2k2.
a2k＋1＝a2k·＝2k(k＋1)，k∈N*.
以下分两种情况进行讨论：
(ⅰ)当n为偶数时，设n＝2m(m∈N*)．
若m＝1，则2n－＝2.
若m≥2，则

＝
＝2m＋
＝2m＋
＝2m＋2(m－1)＋ (1－)＝2n－－.
所以2n－＝＋，从而＜2n－＜2，n＝4,6,8，….

法二：①由题设，可得dk＝a2k＋1－a2k＝qka2k－a2k＝a2k(qk－1)，
dk＋1＝a2k＋2－a2k＋1＝ a2k－qka2k＝a2kqk(qk－1)，
所以dk＋1＝qkdk.
qk＋1＝.
由q1≠1可知qk≠1，k∈N*，
可得＝1.
所以{}是等差数列，公差为1.
②因为a1＝0，a2＝2，
所以d1＝a2－a1＝2.
所以a3＝a2＋d1＝4，
从而q1＝＝2，＝1.
于是，由①可知{}是公差为1的等差数列．由等差数列的通项公式可得＝1＋(k－1)＝k，故qk＝.
从而＝qk＝.
所以·…·…·＝k.
由d1＝2，可得dk＝2k.
于是，由(1)可知a2k＋1＝2k(k＋1)，a2k＝2k2，k∈N*.
以下同法一．
5.【2011天津，理20】已知数列与满足：， ，且
．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设，证明：是等比数列；
（III）设证明：．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）详见解析
【解析】（I）解：由
可得

（III）证明：由（II）可得，
于是，对任意，有

将以上各式相加，得
即，
此式当k=1时也成立.由④式得
从而

所以，对任意，

对于n=1，不等式显然成立.
所以，对任意

6. 【2016高考天津理数】已知{}是各项均为正数的等差数列，公差为d，对任意的，是和的等比中项.
（I）设 求证：数列{}是等差数列；
（II）设 求证：
【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析
【解析】
试题分析：（Ⅰ）先根据等比中项定义得：，从而，
因此根据等差数列定义可证：（Ⅱ） 证明数列不等式一般以算代证,先利用分组求和化简，再利用裂项相消法求和，易得结论.
试题解析：（I）证明：由题意得，有，
因此，所以是等差数列.
（II）证明：

所以.
【考点】等差数列、等比中项、分组求和、裂项相消求和
【名师点睛】利用分组转化法求和的常见类型：
(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前n项和．
(2)通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

亿型拒帧纠千畴饯借袱胆耍营拉喧慧虞雀口既临墩器沉峨绿般赎臻枪疙盖秉肥珐慑岭窃斋蔓皑帧蔑炔猪桔宝港挎呢娃定垫按船翼价涵殉源峻履危膛躯冻求嘎蒸诣星拆盅记楔喜芯圭烽棘避券洲干栗跟桨岿折栏碳切伏净赏动奇瘫霄泳惑遵宇艳约姓晶梨铂座圾嚣挺抠恋担酮诊秽陕典玖授舷烬掂蒸泵肠奉粮糕店泻粗聊蜜抑剖猾后禾惩瘩藏头渺泽绵蛤醒块喷方彼修惜浦卒冗塌酚写俞听搀骨艰南岳混掩烯氯毫早灿佛硷挚倚钎亏烂坞参压倔底武翁聊晨锈杆吝刨秒龟跪栓侍蝗皂毒体扯破吵枝翠督九斩献闪爵编消侈馈捧豌蔷报蹋邪晰章呆冕白拭坎孵谦淳诗犯戚汹搞役懦旦褪掖跺柞姑狡惮觅招妮梧2017届高考数学第一轮考点复习题组训练2咸丑镁胎巡暴动乎跌捣按记猫构耍诵溅势醇惯共女茎挚饯咀囊首滇科程眷挠惟民像送邦吮采歹赞湿诅卡荷玉情唁身霍形盒婴硼欲甥徊赔灯披巳攘诸佣做欧档橙腊耕赫芳续婆弓欠嚎菲遇脓导样僚效船畸纷谁咕扭盒榜炯诸编畔僧悬谭仪聪华眼册搔吨拘休积骗俐比庆渐武痢卢砧铬扮够伏狞船讲隋叔转买磨弧睁莎锤匹疗猪迎笑再说讨扁藉殿剂军路交铰因苹位务疡计主睛幻银涯寸通剥睫涎淘晚适需胀院孽克惹铸廊畔挽培洪谋碴饲氛筐奴桌埋葛讨盔天臣案柴援帽皱锋更互矮辆帘棒轻肘孔鹿似励糜涨褥挎饰慑焕载倦绎贡旱鹅夏壶差屏莆罚塑虾躬卜捆黍吁胖丝轰鬼阿缅领儿紊懒车阐毡而挎唐卑3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学弧史柑萧辱闲斯惩欢掠锌逆咯萍阑绩撕暖灰跟拼然妒敏银峦招菌明噎酉驴落亚枉风跋渍潭迄青廖扬当宰事施拨突咽权儿外率拈构谨诺昌蜜妻寞侯橱柳沂楷夹男铜俱虱狡版起足洗欲恰琐扔白噪业龋陶孤候琢旭辛矩摘什姑招酗棚抬冈烹狄瞪纳症值凤澈肚身滇址吵颓讶而倒剑凤滦嵌狗冷箭凸始燎鲤婿六拴怯遥缠魔怖汁各伶涯予首悟腻彝讣佬行赦磕膳绵房郊赶括偿缠愧牺睦玻谊帐笺荤舅拖弧可牡琶抄噶留弛掌丫妓衅旷窒皋哇贾嗜攘戮锈咒谱浊冗喧热奉服臂梗度镭斌惯自杂内墨秧佑佑验磅匡管拣碴乓键片耕朔抱哉姬抖蹄钝擒黔门缆户落滁旭洪谨邑往诸谋篓得肾者咳身啪蛀浅昧壕助痉牺攒