基于概率穿越可视图的时间序列网络多重分形研究与应用.pdf

云南师范大学学报(自然科学版),2 0 2 4,4 4(1):2 3-2 9 h t t p s:/q k g j.y n n u.e d u.c nJ o u r n a l o fY u n n a nN o r m a lU n i v e r s i t y(N a t u r a lS c i e n c e sE d i t i o n)D O I:1 0.7 6 9 9/j.y n n u.n s-2 0 2 4-0 0 6基于概率穿越可视图的时间序列网络多重分形研究与应用*刘胜久*(重庆工程职业技术学院 大数据与物联网学院,重庆4 0 2 2 6 0)摘要:对有限穿越可视图进行改进,提出了概率穿越可视图.首先,将间接可视的节点之间的关联处理为穿越距离的函数,而且节点之间的关联随穿越距离的增加而减小,从而将无权图形式的时间序列网络推广到带权图;其次,采用复杂网络中的网络维数计算方法处理所得到的时间序列网络的分形维数,从而对其自相似特性进行分析;最后,通过划分不同的时间粒度得到多个不同的时间序列网络,对应有多个不同的分形维数,进而分析了所得到的时间序列网络的多重分形特性.在与经典的可视图法、水平可视图法及有限穿越可视图法的对比中论证了所提出的概率穿越可视图的优势.关键词:时间序列;复杂网络;概率穿越可视图;网络维数;多重分形中图分类号:O 1 5 7.5 文献标志码:A 文章编号:1 0 0 7-9 7 9 3(2 0 2 4)0 1-0 0 2 3-0 7 时间序列在现实生活中广泛存在,直接对其进行分析较为困难,可以将时间序列转换为复杂网络进行分析.常见的将时间序列转换为复杂网络的方法有相邻法1、概率法2和可视图法3等.可视图法由于操作简便,而且适用于所有类型的时间序列而广受关注.对可视图法的研究使得水平可视图法4和有限穿越可视图法5先后提出,并得到广泛应用6-8.本文对有限穿越可视图进行改进,提出了概率穿越可视图.通过将时间序列中不能直接可视的节点对处理为一定概率的间接可视,从而构建出带权图形式的概率穿越可视图,并用复杂网络的网络维数分析计算所得到时间序列网络的分形维数.在不同时间粒度下可以生成多个不同形式的时间序列网络,并得到多个不同的分形维数,从而可以分析时间序列网络的多重分形特性.在与经典可视图法、水平可视图法及有限穿越可视图法的对比中,验证了所提出的概率穿越可视图法的优势.1 预备知识1.1 图论与复杂网络节点数及边数是度量图及复杂网络最基本的参数.此外,度量图及复杂网络的其他参数还包括平均度、平均路径长度、网络直径、网络密度、聚集系数9、WS聚集系数和网络维数1 0等.无权图G的网络维数ND(G)=l o g 2E G()l o gV G().(1)带权图G的网络维数ND(G)=l o g 2eiE G()w ei()l o gvjv G()w vj();(2)上式中,w(ei)表示边ei的权重,w(vj)表示节点vj的权重.显然,当w(ei)=1且w(vj)=1时,式(2)即退化为式(1),这进一步论证了无权图是带权图的特例.对于图来说,其网络维数即是其分形*收稿日期:2 0 2 3-1 1-0 5基金项目:重庆市教育委员会科学技术研究资助项目(K J QN 2 0 2 1 0 3 4 0 4,K J QN 2 0 2 3 0 3 4 1 9,K J QN 2 0 2 3 0 3 4 2 8);重庆市教育委员会职业教育教学改革研究资助项目(G Z 2 2 2 0 2 9);重庆工程职业技术学院校级科研资助项目(K J A 2 0 2 3 1 3).作者简介:刘胜久(1 9 8 8-),男,湖北随州人,博士,讲师,主要从事复杂网络理论及其应用方面研究.通信作者:刘胜久.E-m a i l:l i u s h e n g j i u 2 0 0 81 6 3.c o m.维数,可以通过图的网络维数分析其分形特性.1.2 分形与多重分形描述分形物体最重要的参数是分形维数.分形维数的计算有很多种方法,如H a u s d o r f f维数、信息维数和盒维数等,应用较广的是H a u s d o r f f维数.高维物体分形维数的计算较为复杂,可以通过间接的方法得到.主要方法是先将其降到低维,再计算所得到的低维物体的分形维数,然后根据余维相加定律还原得到原始高维物体的分形维数1 1.在对分形图形的研究中人们发现,采用一个点状的分形维数并不能全面刻画物体的各项特性,而是需要通过多个线状,甚至面状的多个分形维数进行描述,这就是多重分形1 2.最简单的多重分形是双分形1 3.1.3 时间序列网络时间序列在互联网、金融和生物医学等领域中广泛存在.将时间序列转化为复杂网络,可以从复杂网络的视角,借助复杂网络的理论、方法、工具与技术对时间序列进行分析.目前主要有三种方法:经典可视图法3、水平可视图法4及有限穿越可视图法5.经典可视图法首先将时间序列(xi,yi)处理为直方图,并将直方图的顶点视为网络的节点,除位于直方图首尾的两个节点之外,每个节点与左右的两个节点相连,直方图中任意两个不相邻的节点(xi,yi)、(xj,yj)相连当且仅当(xi,yi)与(xj,yj)满足xk,xixkyi-yjxj-xi.(3)水平可视图法是对经典可视图法的改进,具体方法是在经典可视图中,先将相邻的节点相连,直方图中任意两个不相邻的节点(xi,yi)、(xj,yj)相连当且仅当(xi,yi)与(xj,yj)满足xk,xixkyk,yjyk.(4)有限穿越可视图法也是对经典可视图法的改进,具体是在经典可视图中,不仅允许两个节点之间的直接可视,也允许两个节点之间的间接可视,通过定义穿越距离N,即设定不满足式(4)的节点个数,可以得到间接可视的节点对.2 概率穿越可视图研究2.1 概率穿越可视图构建提出的概率穿越可视图不设定穿越距离N,即允许存在无限大的穿越距离,只是两个节点之间穿越距离越大则两个节点之间的关联越低.定义任意两个节点(xi,yi)与(xj,yj)之间的关联wi j为二者之间穿越距离Ni j的函数,wi j的计算公式为:wi j=12Ni j=2-Ni j.(5)很显然,当时间序列中两个节点(xi,yi)与(xj,yj)可以直接可视时,Ni j=0,此时二者的关联最强,为wi j=20=1;当时间序列中首尾的两个节点需要穿越其他所有的节点时,Ni j=n-2,此时二者的关联最弱,为wi j=22-n;在一般情况下,当Ni j0时,任意两个节点之间的穿越距离每增加1,则两个节点之间的关联减半,即在两个节点之间不能直接可视时,二者可以以一定的概率间接可视.2.2 概率穿越可视图性质相对于有限穿越可视图,概率穿越可视图可以认为是无限穿越可视图,具有如下特性:(1)连通性:由于概率穿越可视图允许任意两个节点之间以一定的概率相连,所得到的时间序列网络中任意两个节点之间必然两两相连,得到的时间序列网络必定是连通图;(2)无向性:概率穿越可视图将任意两个节点之间的可视处理为彼此相互可视,生成的时间序列网络为无向图,即将原始时间序列逆序排列后生成的时间序列网络与原始网络等价;(3)唯一性:在直方图中,改变横纵坐标轴的标度,生成的时间序列网络始终不变,即得到的时间序列网络是同构的.2.3 概率穿越可视图复杂度在时间复杂度方面,概率穿越可视图需要处42云南师范大学学报(自然科学版)第4 4卷 理所有节点对之间的关联,生成的时间序列网络为带权图形式的完全图,对于含有n个节点的时间序列来说,时间复杂度为O(n2),与经典可视图的时间复杂度相当.在空间复杂度方面,概率穿越可视图得到的时间序列网络需要存储所有的节点对及节点对的关联,也即连接两个节点的无向边的权重,对于含有n个 节 点 的 时 间 序 列 来 说,空 间 复 杂 度 为O(n2).3 几种可视图之间的关系定理1 对单调线性时间序列及单调亚线性时间序列而言,经典可视图得到的时间序列网络分形维数最小.证明 在单调线性时间序列及单调亚线性时间序列中,经典可视图只与相邻的节点相连,此时得到的时间序列网络中边最少,对应的分形维数最小.定理1得证.根据定理1,可以得到推论1.推论1 对于含有n个节点的单调线性时间序列而言,经典可视图得到的时间序列网络分形维数F DC=l o g 2n-1()l o gn.(6)证明 在含有n个节点的单调线性时间序列中,经典可视图得到的时间序列网络为含有(n-1)条边的线图,根据式(1)计算得到的分形维数即为式(6).推论1得证.定理2 对单调超线性时间序列而言,经典可视图得到的时间序列网络分形维数最大.证明 在单调超线性时间序列中,经典可视图中所有的节点之间两两相连,此时得到的时间序列网络中边最多,对应的分形维数最大.定理2得证.根据定理2,可以得到推论2.推论2 对于含有n个节点的单调超线性时间序列而言,经典可视图得到的时间序列网络分形维数F DC=l o gnn-1()l o gn.(7)证明 在含有n个节点的单调超线性时间序列中,经典可视图得到的时间序列网络为含有12nn-1()条边的完全图,根据式(1)计算得到的分形维数即为式(7).推论2得证.定理3 对单调时间序列而言,水平可视图得到的时间序列网络分形维数最小.证明 在单调时间序列中,无论是单调线性时间序列,还是单调超线性时间序列与单调亚线性时间序列,水平可视图只与相邻的节点相连,此时得到的时间序列网络中边最少,对应的分形维数最小.定理3得证.根据定理3,可以得到推论3.推论3 对于含有n个节点的单调时间序列而言,水平可视图得到的时间序列网络分形维数F DH=l o g 2n-1()l o gn.(8)证明 在含有n个节点的单调时间序列中,水平可视图得到的时间序列网络为含有(n-1)条边的线图,根据式(1)计算得到的分形维数即为式(8).推论3得证.根据推论1和推论3,可以得到引理1.引理1 对于含有n个节点的单调线性时间序列及单调亚线性时间序列而言,经典可视图与水平可视图得到的时间序列网络分形维数相等.证明 结合推论1及推论3,引理1显然成立.引理1得证.定理4 在有限穿越可视图中,穿越距离越大则得到的时间序列网络分形维数越大.证明 在有限穿越可视图中,穿越距离越大意味着节点之间允许的连边越多,即网络越稠密,根据式(1)计算得到的分形维数自然越大.定理4得证.在有限穿越可视图中,由于过大的穿越距离会削弱相邻节点之间的关联,一般情况下,穿越距离取N=1,2,3即可.显然,当N=0时,有限穿越可视图即是经典可视图.根据定理4,可以得到推论4.52 第1期 刘胜久,等:基于概率穿越可视图的时间序列网络多重分形研究与应用推论4 对于含有n个节点的时间序列而言,当穿越距离Nn-2时,有限穿越可视图得到的时间序列网络分形维数F DL P=l o gnn-1()l o gn.(9)证明 由于有限穿越可视图中存在最长穿越距离的节点对为首尾的两个节点,在含有n个节点的时间序列中,可能存在的最大穿越距离即为N=n-2,当穿越距离Nn-2时,有限穿越可视图得到的时间序列网络中所有的节点均直接相连,即 得 到 的 时 间 序 列 网 络 为 含 有12nn-1()条边的完全图,根据式(1)计算得到的分形维数即为式(9).推论4得证.定理5 对单调超线性时间序列而言,概率穿越可视图得到的时间序列网络分形维数最大.证明 在单调超线性时间序列中,概率穿越可视图得到的时间序列网络中所有的边不穿越任何节点,即穿越距离为0,此时概率穿越可视图退化为经典可视图,得到的时间序列网络为完全图,所有边的权重为1,权重和最大,对应的分形维数最大.定理5得证.根据定理5,可以得到推论5.推论5 对于含有n个节点的单调超线性时间序列而言,概率穿越可视图得到的时间序列网络分形维数F DP P=l o gnn-1()l o gn.(1 0)证明 在含有n个节点的单调超线性时间序列中,概率穿越可视图得到的时间序列网络为含有12nn-1()条边的完全图,根据式(2)计算得到的分形维数即为式(1 0).推论5得证.由于概率穿越可视图是有限穿越可视图的改进,根据定理5及推论5,可以得到推论6.推论6 对于含有n个节点的单调超线性时间序列而言,有限穿越可视图得到的时间序列网络分形维数F DL P=l o gnn-1()l o gn.(1 1)证明 在含有n个节点的单调超线性时间序列中,有限穿越可视图得到的时间序列网络中所有的边不穿越任何节点,即穿越距离为0,也即得到的时间序列网络为含有12nn-1()条边的完全图,根据式(1)计算得到的分形维数即为式(1 1).推论6得证.定理6 对单调线性时间序列及单调亚线性时间序列而言,概率穿越可视图得到的时间序列网络分形维数最小.证明 在单调线性时间序列及单调亚线性时间序列中,概率穿越可视图得到的时间序列网络中所有的边都穿越尽可能多的节点,即穿越距离尽可能地大,此时时间序列网络所有边的权重尽可能地小,权重和最小,对应的分形维数最小.定理6得证.根据定理6,可以得到推论7.推论7 对于含有n个节点的单调线性时间序列及单调亚线性时间序列而言,概率穿越可视图得到的时间序列网络分形维数F DP P=l o gn-2i=021-in-1-i()l o gn.(1 2)证明 在含有n个节点的单调线性时间序列及单调亚线性时间序列中,概率穿越可视图得到的时间序列网络节点对之间权重为2-i的节点有n-1-i个,根据式(2)计算得到的分形维数 F DP P=l o g 2n-2i=02-in-1-i()l o gn=l o gn-2i=021-in-1-i()l o gn.(1 3)推论7得证.证毕.根据推论2、推论5和推论7,可以得到引理2.引理2 对于含有n个节点的单调超线性时间序列而言,经典可视图、有限穿越可视图、概率穿越可视图是等价的,而且得到的时间序列网络分形维数相等.62云南师范大学学报(自然科学版)第4 4卷 证明 结合推论2、推论5和推论7,引理2显然成立.引理2得证.根据上述分析,可以得到经典可视图、水平可视图、有限穿越可视图和概率穿越可视图生成的时间序列网络对应的分形维数之间的关系为F DHF DCF DL P,F DHF DCF DP P.(1 4)4 概率穿越可视图应用火箭的发射次数和发射频率等与一个国家的经济和科技水平息息相关,选择长征系列运载火箭所有的发射记录数据作为时间序列数据,尝试对长征系列运载火箭的发射时间序列进行分析.4.1 时间序列网络的预处理截至2 0 2 2年1 2月3 1日,长征系列运载火箭共发射4 5 8次.分别按照年、半年、季度、月四个不同的时间粒度进行统计,共有5 3年、1 0 6个半年、2 1 2个季度、6 3 6个月,得到统计直方图.4.2 时间序列网络的构建得到统计直方图后,可以构建出时间序列网络.分别采用经典可视图、水平可视图、有限穿越可视图及概率穿越可视图构建出不同的时间序列网络.这些时间序列网络的节点数即对应时间粒度的年/半年/季度/月的总数.对于经典可视化、水平可视图、有限穿越可视图来说,由于得到的时间序列网络为无权图,只统计其边数即可,对于概率穿越可视图来说,由于得到的时间序列网络为带权图,需要统计其边权重和.对于有限穿越可视图,分别统计其穿越距离为1、2、3的三种情形.得到的不同粒度时间序列网络的边数或边权重和如表1所示.表1 不同粒度时间序列网络的边数或边权重和T a b l e1 E d g en u m b e ro re d g ew e i g h to f t i m es e r i e sn e t w o r k sw i t hd i f f e r e n tg r a n u l a r i t y可视图类别时间粒度年半年季度月经典可视图2 7 04 0 76 9 31 8 2 3水平可视图7 51 6 13 0 67 9 2有限穿越可视图(N=1)4 8 78 2 31 4 4 23 7 0 5有限穿越可视图(N=2)6 5 21 2 1 62 2 7 35 5 0 8有限穿越可视图(N=3)8 1 61 6 4 03 0 2 07 3 1 9概率穿越可视图4 5 1.0 6 0 7 4 48 0 5.4 5 5 9 3 61 4 6 4.3 8 2 8 8 63 6 8 6.9 7 2 5 9 84.3 时间序列网络的多重分形对得到的不同粒度时间序列网络的节点数及边数或边权重和应用式(1)及式(2)可以得到对应时间序列网络的分形维数,如表2所示.表2 不同粒度时间序列网络的分形维数T a b l e2 M u l t i-f r a c t a l d i m e n s i o no f t i m es e r i e sn e t w o r k sw i t hd i f f e r e n tg r a n u l a r i t y可视图类别时间粒度年半年季度月经典可视图1.5 8 4 6 6 21.4 3 7 1 2 81.3 5 0 5 2 01.2 7 0 5 0 9水平可视图1.2 6 2 0 3 21.2 3 8 2 6 01.1 9 7 9 1 41.1 4 1 3 6 0有限穿越可视图(N=1)1.7 3 3 2 2 61.5 8 8 1 2 11.4 8 7 3 1 51.3 8 0 3 7 4有限穿越可视图(N=2)1.8 0 6 7 1 61.6 7 1 8 2 81.5 7 2 2 7 11.4 4 1 8 0 0有限穿越可视图(N=3)1.8 6 3 2 2 91.7 3 5 9 7 21.6 2 5 3 1 91.4 8 5 8 3 8概率穿越可视图1.7 1 3 9 1 71.5 8 3 5 0 01.4 9 0 1 9 11.3 7 9 6 1 8 对得到的多个不同的分形维数进行线性回归分析,得到的回归方程及拟合优度如表3所示.72 第1期 刘胜久,等:基于概率穿越可视图的时间序列网络多重分形研究与应用表3 不同粒度时间序列网络的多重分形维数回归方程及拟合优度T a b l e3 R e g r e s s i o ne q u a t i o no fm u l t i-f r a c t a ld i m e n s i o na n dg o o d n e s so f f i to ft i m es e r i e sn e t w o r k sw i t hd i f f e r e n tg r a n u l a r i t y可视图类别回归方程拟合优度经典可视图y=0.0 2 8x+1.2 5 70.9 9 0水平可视图y=0.0 1 0 x+1.1 5 50.8 2 8有限穿越可视图(N=1)y=0.0 3 1x+1.3 7 70.9 7 1有限穿越可视图(N=2)y=0.0 3 1x+1.4 5 10.9 4 6有限穿越可视图(N=3)y=0.0 3 2x+1.5 0 00.9 3 1概率穿越可视图y=0.0 2 9x+1.3 8 30.9 5 9 通过表2及表3可以发现,时间粒度越粗对应的分形维数越小.水平穿越可视图的分形维数最小,所得到回归方程的斜率也最小,而且拟合优度最低;有限穿越可视图随着穿越距离的增加拟合优度呈现出逐步下降的趋势,主要原因在于穿越距离的增加会削弱相邻节点之间的关联,取拟合优度效果最好时对应N=1时的数据进行对比;经典可视图的拟合优度最高,但容易陷于过拟合.提出的概率穿越可视图与经典可视图、水平可视图、有限穿越可视图之间得到的时间序列网络对应的分形维数满足式(1 4),而且通过概率穿越可视图得到的多重分形维数回归方程斜率同样介于经典可视图与有限穿越可视图之间,拟合效果较好.经典可视图得到的多重分形维数回归方程斜率结果偏低,而有限穿越可视图得到的结果偏高,概率穿越可视图得到的结果适中.总体上讲,采用概率穿越可视图既避免了经典可视图容易陷于过拟合的缺陷,又避免了有限穿越可视图结果偏高的缺陷,得到的分析结果更为合适,同时拟合效果较好.5 结语针对经典可视图法及各种改进方法的缺陷与不足,提出了概率穿越可视图,不仅可以处理直接可视,也可以处理间接可视.通过将间接可视的节点之间的关联处理为随穿越距离的增加而降低可以将无权图形式的时间序列网络推广到带权图,并采用网络维数计算得到的时间序列网络的分形维数,不同时间粒度下生成的时间序列网络分形维数各不相同,从而可以分析时间序列的多重分形特性.与经典可视图、水平可视图及有限穿越可视图的对比验证了概率穿越可视图的优势.参考文献:1 Z HA N GJ,S MA L L M.C o m p l e xn e t w o r kf r o mp s e u d op e r i o d i c t i m e s e r i e s:t o p o l o g yv e r s u s d y n a m i c sJ.P h y s-i c a lR e v i e wL e t t e r,2 0 0 9,9 6:2 3 8 7 0 1.2 S H I R A Z IA H,J A F A R IGR,D A V OU D IJ,e t c.M a p-p i n gs t o c h a s t i cp r o c e s s e so n t oc o m p l e xn e t w o r k sJ.J o u r n a lo fS t a t i s t i c a lM e c h a n i c s:T h e o r ya n dE x p e r i-m e n t,2 0 0 9,7:P 0 7 0 4 6.3 L A C A S AL,L UQ U EB,B A L L E S T E R O SF,e t c.F r o mt i m es e r i e st oc o m p l e xn e t w o r k s:t h ev i s i b i l i t yg r a p hJ.P r o c e e d i n g so f t h eN a t i o n a lA c a d e m yo fS c i e n c e s,2 0 0 8,1 3:4 9 7 2-4 9 7 5.4 L U Q U EB,L A C A S AL,B A L L E S T E R O SF,e t c.H o r i-z o n t a 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n sM.B o c aR a t o n,F L,U S A:C h a p m a n&H a l l/C R C,2 0 0 1.1 3赵静湉,陈彦光,李双成.京津冀城市用地形态的双分形特征及其演化J.地理科学进展,2 0 1 9,3 8(1):7 7-8 7.R e s e a r c ha n dA p p l i c a t i o no nM u l t i-f r a c t a l so fC o m p l e xN e t w o r kf o rT i m eS e r i e sB a s e do nP r o b a b i l i t yP e n e t r a b l eV i s i b i l i t yG r a p hL I US h e n g j i u*(B i gD a t aa n dI n t e r n e to fT h i n g sS c h o o l,C h o n g q i n gV o c a t i o n a l I n s t i t u t eo fE n g i n e e r i n g,C h o n g q i n g4 0 2 2 6 0,C h i n a)A b s t r a c t:I nt h i sp a p e r,t h ep r o b a b i l i t yp e n e t r a b l ev i s i b i l i t yg r a p hi sp r o p o s e db yi m p r o v i n gl i m i t e dp e n e t r a b l ev i s i b i l i t yg r a p h.F i r s t l y,b yt r e a t i n gt h ea s s o c i a t i o no f i n d i r e c t l yv i s i b l en o d ep a i r sa sa f u n c-t i o no f p e n e t r a b l ed i s t a n c ew i t h t h e a s s o c i a t i o no f n o d ep a i r sd e c r e a s i n gw i t h t h e i n c r e a s i n go f p e n e t r a-b l ed i s t a n c e,t h e f o r mo f c o m p l e xn e t w o r k f o r t i m e s e r i e s e x t e n d e d f r o mu n w e i g h t e dg r a p h t ow e i g h t e dg r a p h.S e c o n d l y,t h es e l f-s i m i l a r i t yc h a r a c t e r i s t i c so fc o m p l e xn e t w o r kf o rt i m es e r i e sc a nb ea n a l y z e dw i t ht h ef r a c t a ld i m e n s i o nb yu s i n gn e t w o r kd i m e n s i o nc a l c u l a t i o nm e t h o df o rc o m p l e xn e t w o r ko nc o m p l e xn e t w o r kf o r t i m e s e r i e so b t a i n e d.F i n a l l y,v a r i o u s c o m p l e xn e t w o r k s f o r t i m e s e r i e s a p p e n d i n gw i t hv a r i o u s f r a c t a l d i m e n s i o n sw i l lb eo b t a i n e db yd i v i d i n gt i m es e r i e sw i t hd i f f e r e n t t i m eg r a n u l a r i-t y,t h u s t h em u l t i-f r a c t a l c h a r a c t e r i s t i c so f c o m p l e xn e t w o r kf o r t i m es e r i e so b t a i n e dc a nb ea n a l y z e d.T h e f e a s i b i l i t ya n de f f e c t i v e n e s so fp r o p o s e dp r o b a b i l i t yp e n e t r a b l ev i s i b i l i t yg r a p hi sc o n f i r m e dc o m-p a r e dw i t ht h ec l a s s i c a lv i s i b i l i t yg r a p h,h o r i z o n t a lv i s i b i l i t yg r a p ha n dl i m i t e dp e n e t r a b l ev i s i b i l i t yg r a p h.K e y w o r d s:T i m es e r i e s;C o m p l e xn e t w o r k;P r o b a b i l i t yp e n e t r a b l ev i s i b i l i t yg r a p h;N e t w o r kd i m e n s i o n;M u l t i-f r a c t a l s92 第1期 刘胜久,等:基于概率穿越可视图的时间序列网络多重分形研究与应用