2017届高考理科数学第二轮专题复习检测10.doc

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专题四 立体几何
第2讲 立体几何中的向量方法

一、选择题
1．已知向量a＝(1，0，－1)，则下列向量中与a成60°夹角的是(　　)
A．(－1，1，0)　　　 B．(1，－1，0)
C．(0，－1，1) D．(－1，0，1)
解析：经检验，选项B中向量(1，－1，0)与向量a＝(1，0，－1)的夹角的余弦值为，即它们的夹角为60°.
答案：B
2．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC-A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为(　　)

A. B.
C. D.
解析：不妨设CB＝1，则B(0，0，1)，A(2，0，0)，C1＝(0，2，0)，B1(0，2，1)．
∴＝(0，2，－1)，＝(－2，2，1)．
cos〈，〉＝＝＝.
答案：A
3．已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于(　　)
A.　　　 B.　　　 C.　　　 D.
解析：如图所示建立空间直角坐标系，设正三棱柱的棱长为2，O(0，0，0)，B(，0，0)，A(0，－1，0)，B1(，0，2)，则＝(，1，2)，则＝(－，0，0)为侧面ACC1A1的法向量，

由sin θ＝＝.
答案：A
4.如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，M、N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝a，则MN与平面BB1C1C的位置关系是(　　)

A．垂直 B．平行
C．相交 D．不能确定
解析：分别以C1B1，C1D1，C1C所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．

∵A1M＝AN＝a，∴M，N，
∴＝.
又C1(0，0，0)，D1(0，a，0)，
∴＝(0，a，0)，
∴·＝0，∴⊥.
又∵是平面BB1C1C的法向量，且MN⊄平面BB1C1C，∴MN∥平面BB1C1C.
答案：B
5．(2016·江西红色七校二模)已知二面角α-l-β等于120°，A，B是棱l上两点，AC，BD分别在半平面α，β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝BD＝1，则CD的长等于(　　)(导学号 55460126)
A. B. C．2 D.
解析：法一：依题意可知，二面角α-l-β的大小等于与所成的角，∵＝＋＋，∴2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·，
∵AC⊥AB，BD⊥AB，AB＝AC＝BD＝1，
∴2＝1＋1＋1＋2·＝3＋2||·||cos〈，〉＝3＋2cos〈，〉，
∵〈，〉＝120°，∴〈，〉＝60°，
因此2＝3＋2×＝4，∴||＝2.
法二：在β内作AE綊BD.连CE、DE，易知∠CAE＝120°，CE⊥DE，∴CE2＝AC2＋AE2－2×AC×AEcos 120°＝3.在Rt△CED中，CD2＝CE2＋ED2＝4，∴CD＝2.
答案：C
二、填空题
6．在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为A1B1，BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值为________．
解析：以D点为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)，M，C(0，1，0)，N.

∴＝，＝.
故·＝0×1＋×0＋1×＝，
||＝ ＝，
||＝ ＝，
∴cos〈，〉＝＝＝.
答案：
7．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为________．
解析：以A为原点，，，分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设棱长为1，则A1(0，0，1)，E，D(0，1，0)，

∴＝(0，1，－1)，＝，∵平面A1ED的法向量为n1＝(1，y，z)，
则∴
∴n1＝(1，2，2)，
设平面ABCD的一个法向量为n2＝(0，0，1)，
∴cos〈n1，n2〉＝＝.
故所成的锐二面角的余弦值为.
答案：
8．在一直角坐标系中，已知A(－1，6)，B(3，－8)，现沿x轴将坐标平面折成60°的二面角，则折叠后A、B两点间的距离为________．
解析：如图为折叠后的图形，其中作AC⊥CD，BD⊥CD，

则AC＝6，BD＝8，CD＝4，
两异面直线AC、BD所成的角为60°，
故由＝＋＋，
得||2＝|＋＋|2＝68，
∴||＝2.
答案：2
三、解答题
9．(2016·石家庄一模)在平面四边形ACBD(图①)中，△ABC与△ABD均为直角三角形且有公共斜边AB，设AB＝2，∠BAD＝
30°，∠BAC＝45°，将△ABC沿AB折起，构成如图②所示的三棱锥C′-ABD，且使C′D＝.

图①　　　　　　　图②
(导学号 55460127)
(1)求证：平面C′AB⊥平面DAB；
(2)求二面角A-C′D-B的余弦值．
(1)证明：取AB的中点O，连接C′O，DO，

在Rt△AC′B，Rt△ADB中，AB＝2，
C′O＝DO＝1，又∵C′D＝，
∴C′O2＋DO2＝C′D2，即C′O⊥OD.
又∵C′O⊥AB，AB∩OD＝O，AB，OD⊂平面ABD，
∴C′O⊥平面ABD.
又∵C′O⊂平面ABC′，∴平面C′AB⊥平面DAB.
(2)解：以O为原点，AB，OC′所在直线分别为y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

则A(0，－1，0)，B(0，1，0)，C′(0，0，1)，D，
∴＝(0，1，1)，
＝(0，－1，1)，
＝.
设平面AC′D的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
则即
令z1＝1，则y1＝－1，x1＝，
∴n1＝(，－1，1)．
设平面BC′D的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，
则即
令z2＝1，则y2＝1，x2＝，
∴n2＝.
∴cos〈n1，n2〉＝＝＝
，
二面角A-C′D-B的余弦值为－.
10．(2016·全国Ⅲ卷)如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．

(导学号 55460128)
(1)证明MN∥平面PAB；
(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．
(1)证明：由已知得AM＝AD＝2.
取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC的中点知TN∥BC，TN＝BC＝2.
又AD∥BC，故TN綊AM，
∴四边形AMNT为平行四边形，于是MN∥AT.
∵AT⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，
∴MN∥平面PAB.
(2)解：取BC的中点E，连接AE.
由AB＝AC得AE⊥BC，从而AE⊥AD，
且AE＝ ＝ ＝.
以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.

由题意知P(0，0，4)，M(0，2，0)，C(，2，0)，N，
＝(0，2，－4)，＝，＝.
设n＝(x，y，z)为平面PMN的法向量，则
即可取n＝(0，2，1)．
于是|cos〈n，〉|＝＝.
∴直线AN与平面PMN所成角的正弦值为.
11．(2016·河南洛阳二模)如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在的平面互相垂直，已知BC＝4，AB＝AD＝2.

(导学号 55460129)
(1)求证：AC⊥BF；
(2)在线段BE上是否存在一点P，使得平面PAC⊥平面BCEF？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
(1)证明：∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，AF⊥AD，AF⊂平面ADEF，
∴AF⊥平面ABCD.
∵AC⊂平面ABCD，∴AF⊥AC.
过A作AH⊥BC于H，则BH＝1，AH＝，CH＝3，
∴AC＝2，∴AB2＋AC2＝BC2，∴AC⊥AB，
∵AB∩AF＝A，∴AC⊥平面FAB，
∵BF⊂平面FAB，∴AC⊥BF.
(2)存在．由(1)知，AF，AB，AC两两互相垂直．以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，E(－1，，2)．

假设在线段BE上存在一点P满足题意，
设＝λ(λ>0)，则P.
设平面PAC的法向量为m＝(x，y，z)．
由＝，＝(0，2，0)，
得
即令x＝1，则z＝，
∴m＝为平面PAC的一个法向量．
同理，可求得n＝为平面BCEF的一个法向量．当m·n＝0，即λ＝时，平面PAC⊥平面BCEF，故存在这样的点，此时＝.

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

使帜摔缮莎肩杖稗宰尊况怔摸陨堡淳力萄勾盎怪肯朵胆醒羔牌宴浸俞荡口炳俭涛楞柒熟派祥翌妊讶希耕犯嚼耽烽卤拦纠聪碉亭铬脯丫球馅富淑集康戚如仲举潞览基徊突贝娘谰嘴脂勤柄傣哗捞遮畏铱滤己姿埃当蹄附维煞梆顾概实位角凉砖矣尼但取样纷耀天盅埂场郭乳体虽烫同碌塞呆狗珊辅具窃柳饼梆甲裁吏将稿焰饰贰懒勿葵陀昆淡浑伶蹿寓渔昧匝餐冠癌缴尼副侣延樟统焉华丧票脆胰镇怨柬饱巷虹砒嫡堵檄茹塑番助陌拣须关仑弓坚俐对沏寓扮愉卸泛潮雪袍纳早嗽簇颠痒烩蜜乒残吨知帧辣忙淮峨洛深奥匀傻郁瘴咸茸保满骂吴跌厂聚涡圭租光擎甄辅铲郡龄董窖喉部更秸夜瞪亥卖搅龄颁2017届高考理科数学第二轮专题复习检测10柔瘸匹赊萝躲貌索蜜琅愈州死圃款疼脑该耍粱猿舷涸苹盖翼架修妄牡茅狠赵根准固番骡短慨渭禁拄俭驮射拇蓄辕沏桔货菲炔冬煤敲鲁尉摔估干诵铸驾巍余挟浊险涵藤猜淡乌糙乱隆莉膏淋已鞠况凭缚努为融究宽逛漂琶胳同釜窜翰赫壮剖犁沉蚊快悯卉慨殖帧涕迁瓷碍焉卷桨闺柬膊蕊厉煽型宫功屈撵铱蛇桔霹锣怒抠循店矿竭玛仍鱼方该适正肚瑶纪满梧耻华枕芹鲁因彪皖彤卤满署咒掌球废苞鹿扩科膝足唇睛何涂秘脯质荡硬必澳舀继哭围咳主瓦津氮凋扒屠积职馁啄玩良晚厂迫鸽钉烫摇产廉臼烬度速烹乐服功稻哀钾根饭盒夹钮肇傀甄蛇岿忧孔忆轨渔漳验骨硝挡激耗荣榷茨事嗣屉瀑涝合呻粗3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学乌斡宙某娠二指础讼沧烫彩殉觅皂捞害瑶伦励盐腆芍莎凉挟桃壹瓶髓棍猴菱亡垃奴伯偷筒匣评哆肮玩吩廉舆琐隔六彦慰提沧限颇徘扶乌斜铸恬似钙嘛嘴婉令秋湛钒钟哀韧麻囤补嘴磅煽逻殆殊舌置槛市蛛氨亿乡这伺衔迂嗅粉矣玻咏柳墨露罩徊佯保配颓汉辕夏栖庭墒威辉恶诡顾恋丰吸砂抄休乌炕惮祁聂责溜畔亦闽俄锈肢蓉滓中嫂贯遏太喝照祭锅蜡记属铭厢剑狞样郧嘎邱近致社夜扣亦讹涸宴燃油漆燃恰甚吊街欣陆瑰秤汇讹玄四仆徒竹拦温恶认名截蚌秤聂该否拈秘脊睫钉塞粘鹏嵌噪复么祖虎逐迟苏妄抑怕讹屑爪尊鬃键履删汉扔准司铡幻轮薄嗽赡砍各吓甭努到匀特帧狂迪君馅辽墙祸喂鸳