2016届高考物理考点总复习检测7.doc

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第五章　机　械　能

考纲下载
考向前瞻
(1)功和功率(Ⅱ)
(2)动能 动能定理(Ⅱ)
(3)重力势能(Ⅱ)
(4)弹性势能(Ⅰ)
(5)机械能守恒定律及其应用(Ⅱ)
(6)验证机械能守恒定律(实验、探究)(Ⅱ)
(7)能量守恒(Ⅰ)
　　(1)功和功率、动能定理、机械能守恒定律、能量守恒定律仍将是本章命题的热点。
(2)将本章内容与牛顿运动定律、圆周运动、电磁学知识相结合，并与生产、生活实际和现代科技相联系进行命题的趋势较强。

第1节功和功率

[必备知识]
1．物理意义
功是能量转化的量度。
2．做功的两个必要因素
力和物体在力的方向上发生的位移。
3．公式
W＝Flcos α，适用于恒力做功，其中α为F、l方向间的夹角，l为物体发生的位移。
4．力对物体做功的情况
夹角
功的正负
从动力学角度看
从能量角度看
α＜90°
力对物体做正功
力是物体运动的动力
物体的能量增加
α＞90°
力对物体做负功，或者说物体克服这个力做了功
力是物体运动的阻力
物体的能量减少
α＝90°
力对物体不做功
力既不是物体运动的动力，也不是物体运动的阻力，只改变物体运动的方向
物体的能量不会因此而变化

[典题例析]
生活中有人常说在车厢内推车是没用的，如图5－1－1，在水平地面上运动的汽车车厢内一人用力推车，当车在倒车时刹车的过程中(　　)

图5－1－1
A．人对车做正功　 　B．人对车做负功
C．人对车不做功 D．车对人的作用力方向水平向右
[解析]　选A　人对车厢的推力方向向右，所以人对车厢的推力做正功，故A正确，B、C错误；在减速向右运动的车厢中，人的加速度向左，根据牛顿第二定律得出人受到的合力向左，而人在竖直方向受力平衡，所以车厢对人的作用力向左上方，故D错误。

判断正、负功的方法
(1)恒力做功的判断：若物体做直线运动，则依据力与位移的夹角来判断。
(2)曲线运动中功的判断：若物体做曲线运动，则依据F与v的方向夹角来判断。当0°≤α<90°时，力对物体做正功；当90°<α≤180°时，力对物体做负功；当α＝90°时，力对物体不做功。
(3)依据能量变化来判断：根据功是能量转化的量度，若有能量转化，则必有力对物体做功。此法常用于判断两个相联系的物体之间的相互作用力做功的判断。
[针对训练]
1. (多选)如图5－1－2所示，质量为m的物体置于倾角为θ的斜面上，物体与斜面间的动摩擦因数为μ，在外力作用下，斜面以加速度a沿水平方向向左做匀加速运动，运动中物体m与斜面体相对静止。则关于斜面对m的支持力和摩擦力的下列说法中正确的是(　　)

图5－1－2
A．支持力一定做正功　　　　 　B．摩擦力一定做正功
C．摩擦力可能不做功 D．摩擦力可能做负功
解析：选ACD　由功的计算公式W＝Flcos α可知，支持力方向垂直斜面向上，与位移方向的夹角小于90°，支持力一定做正功，故A正确；摩擦力是否存在需要讨论：当加速度较小时，摩擦力Ff沿斜面向上，即a＜gtan θ，摩擦力沿斜面向上，做负功；当加速度较大时，摩擦力Ff沿斜面向下，即a＞gtan θ，摩擦力沿斜面向下，做正功；当a＝gtan θ时，摩擦力不存在，不做功，故C、D正确，B错误。
2. (2014·镇江模拟)如图5－1－3所示，自动卸货车静止在水平地面上，在液压机的作用下，车厢与水平方向的夹角缓慢增大，这个过程中车厢内货物始终相对车厢静止，下列说法正确的是(　　)

图5－1－3
A．货物受到的静摩擦力减小
B．地面对货车有水平向右的摩擦力
C．货物受到的支持力对货物做正功
D．货物受到的摩擦力对货物做负功
解析：选C　货物处于平衡状态，则有：mgsin θ＝f，N＝mgcos θ，θ增大时，f增大，N减小，故A错误；对汽车受力分析可知只受重力与支持力，故B错误；货物受到的支持力方向始终与其运动方向相同，因此做正功，C正确；而摩擦力方向始终与其运动方向垂直，故不做功，D错误。

[必备知识]
功是过程量，反映力对物体的作用在空间上的累积效果，对应一段位移(或一个过程)，所以求功时一定要明确是哪个力在哪一段位移(或哪一个过程)内所做的功。下面分情况讲述几种类型功的计算方法。
1．恒力做的功
直接用W＝Flcos α计算。
2．合外力做的功
方法一：先求合外力F合，再用W合＝F合lcos α求功。
方法二：先求各个力做的功W1、W2、W3、……，再应用W合＝W1＋W2＋W3＋……求合外力做的功。
3．变力做的功
(1)应用动能定理求解。
(2)应用W＝Pt求解，此法适用于变力的功率P不变。
(3)将变力做功转化为恒力做功，此法适用于力的大小不变，方向与运动方向相同或相反，或力的方向不变，大小随位移均匀变化的情况。
[典题例析]
如图5－1－4所示，一质量为m＝2.0 kg的物体从半径为R＝5.0 m的圆弧的A端，在拉力作用下沿圆弧缓慢运动到B端(圆弧AB在竖直平面内)。拉力F大小不变始终为15 N，方向始终与物体在该点的切线成37°角。圆弧所对应的圆心角为60°，BO边为竖直方向。(g取10 m/s2)求这一过程中：

图5－1－4
(1)拉力F做的功；
(2)重力G做的功；
(3)圆弧面对物体的支持力FN做的功；
(4)圆弧面对物体的摩擦力Ff做的功。
[解析]　(1)将圆弧分成很多小段l1，l2，…，ln，拉力在每小段上做的功为W1，W2，…，Wn，因拉力F大小不变，方向始终与物体在该点的切线成37°角，所以：
W1＝Fl1cos 37°，W2＝Fl2cos 37°，…，Wn＝Flncos 37°，
所以WF＝W1＋W2＋…＋Wn＝Fcos 37°(l1＋l2＋…＋ln)＝Fcos 37°·R＝20π J＝62.8 J。
(2)重力G做的功WG＝－mgR(1－cos 60°)＝－50 J。
(3)物体受的支持力FN始终与物体的运动方向垂直，所以WFN＝0。
(4)因物体在拉力F作用下缓慢移动，动能不变，由动能定理知：WF＋WG＋WFf＝0。
所以WFf＝－WF－WG＝(－62.8＋50) J＝－12.8 J。
[答案]　(1)62.8 J　(2)－50 J　(3)0　(4)－12.8 J

用“化变为恒”法求解变力做功
(1)将过程进行分段，直到每段均为恒力。
(2)当力的方向不变，大小随位移做线性变化时，可先求出力相对位移的平均值＝，再由W＝l计算。
(3)根据功能关系把求变力做功转化为求恒力做功。
[针对训练]
1.如图5－1－5所示，某人用大小不变的力F拉着放在光滑水平面上的物体，开始时与物体相连接的绳与水平面间的夹角是α，当拉力F作用一段时间后，绳与水平面间的夹角为β。已知图中的高度是h，求绳的拉力FT对物体所做的功。假定绳的质量、滑轮质量及绳与滑轮间的摩擦不计。

图5－1－5
解析：本题中，显然F与FT的大小相等，且FT在对物体做功的过程中，大小不变，但方向时刻在改变，因此本题是个变力做功的问题。但在题设条件下，人的拉力F对绳的端点(也即对滑轮机械)做的功就等于绳的拉力FT(即滑轮机械)对物体做的功。而F的大小和方向都不变，因此只要计算恒力F对绳做的功就能解决问题。
设绳的拉力FT对物体做的功为WT，由题图可知，在绳与水平面的夹角由α变到β的过程中，拉力F作用的绳端的位移的大小为Δl＝l1－l2＝h(1/sin α－1/sin β)
由W＝Fl可知
WT＝WF＝FΔl＝Fh(1/sin α－1/sin β)。
答案：Fh(1/sin α－1/sin β)
2．把长为l的铁钉钉入木板中，每打击一次给予的能量为E0，已知钉子在木板中遇到的阻力与钉子进入木板的深度成正比，比例系数为k。问此钉子全部进入木板需要打击几次？
解析：在把钉子打入木板的过程中，钉子把得到的能量用来克服阻力做功，而阻力与钉子进入木板的深度成正比，先求出阻力的平均值，便可求得阻力做的功。
钉子在整个过程中受到的平均阻力为：F＝＝
钉子克服阻力做的功为：
WF＝Fl＝kl2
设全过程共打击n次，则给予钉子的总能量：
E总＝nE0＝kl2，所以n＝。
答案：

[必备知识]
1．物理意义
描述力对物体做功的快慢。
2．公式
(1)P＝(P为时间t内的平均功率)。
(2)P＝Fvcos_α(α为F与v的夹角)。
3．额定功率
机械能够长时间工作的最大功率。
4．实际功率
机械实际工作时的功率，不能长时间大于额定功率。
5．P＝Fv中三个物理量间的关系及公式的应用
定值
各物理量间的关系
应用
P一定
F与v成反比
汽车上坡时，要增大牵引力，应换挡减小速度
v一定
F与P成正比
汽车上坡时，要使速度不变，应加大油门，增大输出功率，获得较大的牵引力
F一定
v与P成正比
汽车在高速路上，加大油门增大输出功率，可以提高速度

[典题例析]
(2012·江苏高考)如图5－1－6所示，细线的一端固定于O点，另一端系一小球。在水平拉力作用下，小球以恒定速率在竖直平面内由A点运动到B点。在此过程中拉力的瞬时功率变化情况是(　　)

图5－1－6
A．逐渐增大
B．逐渐减小
C．先增大，后减小
D．先减小，后增大
[思维流程]
―→―→―→　　　
―→
[解析]　选A　设细线与竖直方向的夹角为θ，小球质量为m，速率为v。由小球做匀速圆周运动，切向合力为零可得，mgsin θ＝Fcos θ，由P＝Fvcos θ可得拉力F的瞬时功率表达式为P＝Fvcos θ＝mgvsin θ，可见功率P随θ的增大逐渐增大，A正确。

功率的计算方法
1．平均功率的计算
(1)利用＝。
(2)利用＝F·cos α，其中为物体运动的平均速度。
2．瞬时功率的计算
(1)利用公式P＝F·vcos α，其中v为t时刻的瞬时速度。
(2)利用公式P＝F·vF，其中vF为物体的速度v在力F方向上的分速度。
(3)利用公式P＝Fv·v，其中Fv为物体受的外力F在速度v方向上的分力。
[针对训练]
1．(多选)一质量为1 kg的质点静止于光滑水平面上，从t＝0时起，第1秒内受到2 N的水平外力作用，第2秒内受到同方向的1 N的外力作用。下列判断正确的是(　　)
A．0～2秒内外力的平均功率是 W
B．第2秒内外力所做的功是 J
C．第2秒末外力的瞬时功率最大
D．第1秒内与第2秒内质点动能增加量的比值是
解析：选AD　第1 s内物体位移x1＝at2＝ t2＝1 m，外力做功W1＝Fx1＝2 J，v1＝at＝×1 m/s＝2 m/s，第2 s内位移x2＝v1t＋at2＝2×1 m＋××12 m＝2.5 m，外力做功W2＝Fx2＝1×2.5 J＝2.5 J，B错误；2 s内外力的平均功率P＝＝ W＝ W，A正确；由瞬时功率P＝Fv可知，第1 s末瞬时功率P1＝F1v1＝2×2 W＝4 W，第2 s末的速度v2＝v1＋at＝(2＋1×1) m/s＝3 m/s，瞬时功率P2＝F2v2＝1×3 W＝3 W，C错误；由动能定理可知，动能的增加量等于合外力做的功，其比值为＝，D正确。
2．(2014·扬州调研)一个成人以正常的速度骑自行车，受到的阻力为总重力的0.02倍，则成人骑自行车行驶时的功率最接近于(　　)
A．1 W　　　　　　　　　 　B．10 W
C．100 W D．1 000 W
解析：选C　设人和车的总质量为100 kg，匀速行驶时的速率为5 m/s，匀速行驶时的牵引力与阻力大小相等F＝0.02mg＝20 N，则人骑自行车行驶时的功率为P＝Fv＝100 W，故C正确。

[必备知识]
1．两种启动方式的比较
两种方式
以恒定功率启动
以恒定加速度启动
P ­t图和
v ­t图

OA
段
过程
分析
v↑⇒F＝↓⇒a＝↓
a＝不变⇒F不变P＝Fv↑直到P额＝Fv1
运动
性质
加速度减小的加速直线运动
匀加速直线运动，维持时间t0＝
AB
段
过程
分析
F＝F阻⇒a＝0⇒F阻＝
v↑⇒F＝↓⇒a＝↓
运动
性质
以vm匀速直线运动
加速度减小的加速运动
BC段
无
F＝F阻⇒a＝0⇒
以vm＝匀速运动

2．三个重要关系式
(1)机车以恒定功率运行时，牵引力做的功W＝Pt。由动能定理：Pt－F阻x＝ΔEk。此式经常用于求解机车以恒定功率启动过程的位移大小。
(2)机车以恒定加速度启动的运动过程中，匀加速过程结束时，功率达到最大，但速度没有达到最大，即v＝<vm＝。
(3)无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即vm＝＝(式中Fmin为最小牵引力，其值等于阻力F阻)。
[典题例析]
(2012·福建高考)如图5－1－7，用跨过光滑定滑轮的缆绳将海面上一艘失去动力的小船沿直线拖向岸边。已知拖动缆绳的电动机功率恒为P，小船的质量为m，小船受到的阻力大小恒为f，经过A点时的速度大小为v0，小船从A点沿直线加速运动到B点经历时间为t1，A、B两点间距离为d，缆绳质量忽略不计。求：

图5－1－7
(1)小船从A点运动到B点的全过程克服阻力做的功Wf；
(2)小船经过B点时的速度大小v1；
(3)小船经过B点时的加速度大小a。
[审题指导]
第一步：抓关键点
关键点
获取信息
电动机功率恒为P
缆绳对小船的牵引力的大小和方向均变化，小船由A到B的运动不是匀加速直线运动
小船受到的阻力大小恒为f
小船克服阻力做的功Wf可用公式W＝Flcos α计算

第二步：找突破口
要求小船经过B点时速度大小v1→应利用动能定理由A点到B点列方程求解→要求小船在B点的加速度大小a→可先由P＝Fv表示缆绳的牵引力→由牛顿第二定律列方程求解。
[解析]　(1)小船从A点运动到B点克服阻力做功
Wf＝fd。①
(2)小船从A点运动到B点，电动机牵引缆绳对小船做功
W＝Pt1②
由动能定理有
W－Wf＝mv－mv③
由①②③式解得v1＝ 。④
(3)设小船经过B点时绳的拉力大小为F，绳与水平方向夹角为θ，电动机牵引缆绳的速度大小为v，则
P＝Fv⑤
v＝v1cos θ⑥
由牛顿第二定律有
Fcos θ－f＝ma⑦
由④⑤⑥⑦式解得　a＝－。
[答案]　(1)fd
(2)
(3)－

机车启动问题的三点注意事项
(1)机车启动的方式不同，机车运动的规律就不同，因此机车启动时，其功率、速度、加速度、牵引力等物理量的变化规律也不相同，分析图像时应注意坐标轴的意义及图像变化所描述的规律。
(2)恒定功率下的加速一定不是匀加速，这种加速过程发动机做的功可用W＝Pt计算，不能用W＝Fl计算(因为F为变力)。
(3)以恒定牵引力加速时的功率一定不恒定，这种加速过程发动机做的功常用W＝Fl计算，不能用W＝Pt计算(因为功率P是变化的)。
[针对训练]
1. (2014·西工大附中模拟)当前我国“高铁”事业发展迅猛。假设一辆高速列车在机车牵引力和恒定阻力作用下，在水平轨道上由静止开始启动，其v ­t图像如图5－1－8所示，已知在0～t1时间内为过原点的倾斜直线，t1时刻达到额定功率P，此后保持功率P不变，在t3时刻达到最大速度v3，以后匀速运动。下述判断正确的是(　　)

图5－1－8
A．从0至t3时间内，列车一直匀加速直线运动
B．t2时刻的加速度大于t1时刻的加速度
C．在t3时刻以后，机车的牵引力为零
D．该列车所受的恒定阻力大小为
解析：选D　0～t1时间内，列车匀加速，t1～t3时间内，加速度变小，故A、B错；t3以后列车匀速运动，牵引力等于阻力，故C错；匀速运动时Ff＝F牵＝，故D正确。
2．(多选)一起重机的钢绳由静止开始匀加速提起质量为m的重物，当重物的速度为v1时，起重机的功率达到最大值P，以后起重机保持该功率不变，继续提升重物，直到以最大速度v2匀速上升为止，则整个过程中，下列说法正确的是(　　)
A．钢绳的最大拉力为
B．钢绳的最大拉力为
C．重物的最大速度为v2＝
D．重物做匀加速直线运动的时间为
解析：选ACD　匀加速运动过程的拉力为最大拉力，F1＝，A正确，B错误；达到最大速度v2时，拉力F2＝mg，所以v2＝＝，C正确；重物做匀加速运动的加速度a＝＝＝－g，匀加速运动时间t1＝＝，D正确。

[课时跟踪检测]

一、单项选择题
1．运动员在110米栏比赛中，主要有起跑加速、途中匀速跨栏和加速冲刺三个阶段，运动员的脚与地面间不会发生相对滑动，以下说法正确的是(　　)
A．加速阶段地面对运动员的摩擦力做正功
B．匀速阶段地面对运动员的摩擦力做负功
C．由于运动员的脚与地面间不发生相对滑动，所以不论加速还是匀速，地面对运动员的摩擦力始终不对运动员做功
D．无论加速还是匀速阶段，地面对运动员的摩擦力始终做负功
解析：选C　因运动员的脚与地面间不发生相对滑动，故地面对运动员的静摩擦力对运动员不做功，A、B、D均错误，C正确。
2.如图1所示，木板可绕固定水平轴O转动。木板从水平位置OA缓慢转到OB位置，木板上的物块始终相对于木板静止。在这一过程中，物块的重力势能增加了2 J。用FN表示物块受到的支持力，用Ff表示物块受到的摩擦力。在此过程中，以下判断正确的是(　　)

图1
A．FN和Ff对物块都不做功
B．FN对物块做功为2 J，Ff对物块不做功
C．FN对物块不做功，Ff对物块做功为2 J
D．FN和Ff对物块所做功的代数和为0
解析：选B　由做功的条件可知：只要有力，并且物块沿力的方向有位移，那么该力就对物块做功。由受力分析知，支持力FN做正功，但摩擦力Ff方向始终和速度方向垂直，所以摩擦力不做功。由动能定理知W－mgh＝0，故支持力FN做功为mgh。
3．(2014·淮安模拟)某机械在每次匀速吊起货物时所能提供的功率P与所吊货物质量m的关系如图2所示。现用该机械将30个货箱吊上离地12 m高的平台，每个货箱的质量为5 kg(忽略机械从平台返回地面和装箱的时间，g取10 m/s2)，所需最短时间约为(　　)

图2
A．360 s　　　　　　　　　 　B．720 s
C．1 440 s D．2 400 s
解析：选B　根据图像可知当质量为15 kg时，功率最大，则n＝＝3个，以最大功率提升箱子时，时间最短，则搬运三个货箱时，根据Pt＝3mgh，得t＝＝72 s，则要把货箱全部搬上平台做功的最少时间为t总＝10t＝720 s。
4．(2014·山东师大附中质检)质量为m的汽车，启动后沿平直路面行驶，如果发动机的功率恒为P，且行驶过程中受到的摩擦阻力大小一定，汽车速度能够达到的最大值为v，那么当汽车的车速为时，汽车的瞬时加速度的大小为(　　)
A.　　　　　　　 　B.
C. D.
解析：选B　当汽车匀速行驶时，有f＝F＝，根据P＝F′，得F′＝，由牛顿第二定律得a＝＝＝，故B正确，A、C、D错误。
5．(2014·怀化模拟)放在粗糙水平面上的物体受到水平拉力的作用，在0～6 s内其速度与时间图像和该拉力的功率与时间图像分别如图3所示，下列说法正确的是(　　)

图3
A．0～6 s内物体位移大小为36 m
B．0～6 s内拉力做的功为30 J
C．合外力在0～6 s内做的功与0～2 s内做的功相等
D．滑动摩擦力大小为5 N
解析：选C　由P＝Fv，对应v ­t图像和P ­t图像可得30＝F·6,10＝Ff·6，解得：F＝5 N，Ff＝ N，D错误；0～6 s内物体的位移大小为(4＋6)×6× m＝30 m，A错误；0～6 s内拉力做功W＝F·x1＋Ff·x2＝5×6×2× J＋×6×4 J＝70 J，B错误；由动能定理可知，C正确。
6. (2014·徐州模拟)一辆汽车在平直的公路上以某一初速度运动，运动过程中保持恒定的牵引功率，其加速度a和速度的倒数图像如图4所示。若已知汽车的质量，则根据图像所给的信息，不能求出的物理量是(　　)

图4
A．汽车的功率
B．汽车行驶的最大速度
C．汽车所受到的阻力
D．汽车运动到最大速度所需的时间
解析：选D　由F－Ff＝ma，P＝Fv可得：a＝·－，对应图线可知，＝k＝40，可求出汽车的功率P，由a＝0时，＝0.05可得：vm＝20 m/s，再由vm＝，可求出汽车受到的阻力Ff，但无法求出汽车运动到最大速度的时间。
二、多项选择题
7. (2014·宁波期末)如图5所示，木块B上表面是水平的，当木块A置于B上，并与B保持相对静止，一起沿固定的光滑斜面由静止开始下滑，在下滑过程中(　　)

图5
A．A所受的合外力对A不做功
B．B对A的弹力做正功
C．B对A的摩擦力做正功
D．A对B不做功
解析：选CD　AB一起沿固定的光滑斜面由静止开始下滑，加速度为gsin θ。由于A速度增大，由动能定理，A所受的合外力对A做功，B对A的摩擦力做正功，B对A的弹力做负功，选项A、B错误C正确。A对B不做功，选项D正确。
8. (2014·淮安模拟)有一半径r＝ m的圆柱体绕竖直轴OO′以角速度ω＝8π rad/s匀速转动，今用水平力F把质量m＝1.2 kg的物体A压在圆柱体的侧面，由于受挡板上竖直光滑槽的作用，物体A在水平方向上不能随圆柱体转动，而以v0＝1.8 m/s的速率匀速下滑，如图6所示。已知物体A与圆柱体间的动摩擦因数μ＝0.25，g取10 m/s2。下列说法中正确的有(　　)

图6
A．圆柱体对A的摩擦力大小为20 N
B．水平力F大小为48 N
C．圆柱体转动一周过程中克服摩擦力做功为9.6 J
D．圆柱体转动一周过程中，物体A克服摩擦力做功为5.4 J
解析：选ACD　在水平方向圆柱体有垂直纸面向里的速度，A相对圆柱体有垂直纸面向外的速度为v′，则v′＝ωr＝8π×＝2.4 m/s；在竖直方向有向下的速度 v0＝1.8 m/s，合速度的大小为v＝3 m/s。设合速度与竖直方向的夹角为θ，则有：cos θ＝＝0.6，所以A所受的滑动摩擦力方向与竖直方向的夹角也为θ，即53°。A做匀速运动，竖直方向受力平衡，则有：Ffcos θ＝mg，得 Ff＝20 N，另Ff＝μFN，FN＝F，所以有：F＝80 N，故A正确，B错误；圆柱体转动一周过程中克服摩擦力做功为：W＝Ff(2πr)sin 53°＝9.6 J，故C正确；圆柱体转动一周过程中，物体A克服摩擦力做功为：W＝Ff(v0×)cos 53°＝5.4 J，故D正确。
9．(2014·淄博模拟)质量为1 500 kg的汽车在平直的公路上运动，v ­t图像如图7所示。由此可求(　　)

图7
A．前25 s内汽车的位移
B．前10 s内汽车所受的牵引力
C．前10 s内汽车的平均速度
D．15～25 s内合外力对汽车所做的功
解析：选ACD　汽车在前25 s内的位移为v ­t图像与t轴所围面积，x总＝450 m，前10 s内汽车的平均速度＝ m/s＝10 m/s，汽车在15～25 s内做匀加速直线运动，W合＝mv－mv＝3.75×105 J，而由F－Ff＝ma，因Ff未知，故无法求前10 s内汽车的牵引力，故本题应选A、C、D。
10．(2014·江苏省锡山高级中学检测)一滑块在水平地面上沿直线滑行，t＝0时其速度为2.0 m/s。从此刻开始在滑块运动方向上再施加一水平拉力F，力F和滑块的速度v随时间t的变化规律分别如图8甲和乙所示。设在第1 s内、第2 s内、第3 s内力F对滑块做功的平均功率分别为P1、P2、P3，则(　　)

图8
A．P1>P2>P3
B．P1<P2<P3
C．0～2 s内力F对滑块做功为4 J
D．0～2 s内摩擦力对滑块做功为4 J
解析：选BC　第1 s内力F对滑块做功的平均功率分别为P1＝F1·v1＝1×1 W＝1 W；第2 s内力F对滑块做功的平均功率分别为P2＝F2·v2＝3×1 W＝3 W；第3 s内力F对滑块做功的平均功率分别为P3＝F3·v3＝2×2 W＝4 W；所以，P1<P2<P3，选项A错误B正确；0～2 s内力F对滑块做功为W＝F1·x1＋F2·x2＝1×1 J＋3×1 J＝4 J，选项C正确；滑块所受摩擦力f＝2 N,0～2 s内滑块位移x＝2 m，摩擦力对滑块做功为fxcos 180°＝－4 J，选项D错误。
三、非选择题
11. (2014·日照模拟)如图9所示，建筑工人通过滑轮装置将一质量是100 kg的料车沿30°角的斜面由底端匀速地拉到顶端，斜面长L是4 m，若不计滑轮的质量和各处的摩擦力，g取10 N/kg，求这一过程中：

图9
(1)人拉绳子的力做的功；
(2)物体的重力做的功；
(3)物体受到的各力对物体做的总功。
解析：(1)工人拉绳子的力：F＝mgsin θ
工人将料车拉到斜面顶端时，拉绳子的长度：l＝2L，根据公式W＝Flcos α，得
W1＝mgsin θ·2L＝2 000 J。
(2)重力做功：
W2＝－mgh＝－mgLsin θ＝－2 000 J。
(3)由于料车在斜面上匀速运动，则料车所受的合力为0，故W合＝0
答案：(1)2 000 J　(2)－2 000 J　(3)0
12．(2013·上海模拟)如图10甲所示，在水平路段AB上有一质量为2×103 kg的汽车，正以10 m/s的速度向右匀速运动，汽车前方的水平路段BC较粗糙，汽车通过整个ABC路段的v ­t图像如图乙所示(在t＝15 s处水平虚线与曲线相切)，运动过程中汽车发动机的输出功率保持20 kW不变，假设汽车在两个路段上受到的阻力(含地面摩擦力和空气阻力等)各自有恒定的大小。

图10
(1)求汽车在AB路段上运动时所受的阻力Ff1。
(2)求汽车刚好到达B点时的加速度a。
(3)求BC路段的长度。
解析：(1)汽车在AB路段时，有F1＝Ff1，P＝F1v1，Ff1＝P/v1，
联立解得：Ff1＝ N＝2 000 N。
(2)t＝15 s时汽车处于平衡态，有F2＝Ff2，P＝F2v2，Ff2＝P/v2，
联立解得：Ff2＝ N＝4 000 N。
t＝5 s时汽车开始减速运动，有F1－Ff2＝ma，
解得a＝－1 m/s2。
(3)Pt－Ff2x＝mv－mv
解得x＝68.75 m。
答案：(1)2 000 N　(2)－1 m/s2　(3)68.75 m

第2节动能定理

[必备知识]
1．内容
力在一个过程中对物体所做的功，等于物体在这个过程中动能的变化。
2．表达式
W＝Ek2－Ek1。
3．物理意义
合力的功是物体动能变化的量度。
4．适用条件
(1)动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动。
(2)既适用于恒力做功，也适用于变力做功。
(3)力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以不同时作用。
5．公式理解
(1)动能定理公式中等号表明了合外力做功与物体动能的变化具有等量代换关系。合外力的功是引起物体动能变化的原因。
(2)动能定理中涉及的物理量有F、l、m、v、W、Ek等，在处理含有上述物理量的问题时，优先考虑使用动能定理。
[典题例析]
(2014·北京朝阳期中)如图5－2－1所示，MPQ为竖直面内一固定轨道，MP是半径为R的光滑圆弧轨道，它与水平轨道PQ相切于P，Q端固定一竖直挡板，PQ长为s。一小物块在M端由静止开始沿轨道下滑，与挡板发生一次碰撞后停在距Q点为l的地方，与挡板碰撞过程中无机械能损失，重力加速度为g。求：

图5－2－1
(1)物块滑至圆弧轨道P点时对轨道压力的大小；
(2)物块与PQ段动摩擦因数μ的可能值。
[思路点拨]
(1)物块与挡板发生碰撞，碰撞前后物块的速度有什么关系？
提示：由于碰撞过程中无机械能损失，所以碰撞前后物块的速度大小相等、方向相反。
(2)物块与挡板碰撞一次后停在距挡板为l的地方。其在水平轨道PQ段滑过的路程有几种可能？大小分别为多少？
提示：第一种情况：物块与挡板碰后，向左运动一段距离，停在距Q为l的地方。路程大小为s＋l。
第二种情况：物块与挡板碰后，向左运动冲上光滑圆弧轨道后，返回水平轨道，停在距Q为l的地方。路程大小为3s－l。
[解析]　(1)设物块滑至P点时的速度为v，根据动能定理有
mgR＝mv2
所以v＝
设物块到达P点时，轨道对它的支持力大小为N，根据牛顿第二定律有
N－mg＝m
所以N＝3mg
根据牛顿第三定律，物块对轨道压力的大小N′＝N＝3mg。
(2)第一种情况：物块与Q处的竖直挡板相撞后，向左运动一段距离，停在距Q为l的地方。设该点为O1，物块从M运动到O1的过程，根据动能定理有
mgR－μmg(s＋l)＝0－0
所以μ＝。
第二种情况：物块与Q处的竖直挡板相撞后，向左运动冲上圆弧轨道后，返回水平轨道，停在距Q为l的地方。设该点为O2，物块从M运动到O2的过程，根据动能定理有mgR－μmg(2s＋s－l)＝0－0
所以μ＝。
[答案]　(1) 3mg　(2)或

应用动能定理解题的基本步骤及注意事项
(1)解题步骤：

(2)注意事项：
①动能定理的研究对象可以是单一物体，或者是可以看作单一物体的物体系统。
②动能定理是求解物体的位移或速率的简捷公式。当题目中涉及位移和速度而不涉及时间时可优先考虑动能定理；处理曲线运动中的速率问题时也要优先考虑动能定理。
③应用动能定理时，必须明确各力做功的正、负。当一个力做负功时，可设物体克服该力做功为W，将该力做功表达为－W，也可以直接用字母W表示该力做功，使其字母本身含有负号。
[针对训练]
1. (多选)如图5－2－2所示，电梯质量为M，在它的水平地板上放置一质量为m的物体。电梯在钢索的拉力作用下竖直向上加速运动，当电梯的速度由v1增加到v2时，上升高度为H，则在这个过程中，下列说法或表达式正确的是(　　)

图5－2－2
A．对物体，动能定理的表达式为WFN＝mv，其中WFN为支持力的功
B．对物体，动能定理的表达式为W合＝0，其中W合为合力的功
C．对物体，动能定理的表达式为WFN－mgH＝mv－mv
D．对电梯，其所受合力做功为Mv－Mv
解析：选CD　在电梯上升的过程中，对物体做功的有重力mg、支持力FN，这两个力的总功才等于物体动能的增量ΔEk＝mv－mv，故A、B均错误，C正确；对电梯，无论有几个力对它做功，由动能定理可知，其合力的功一定等于其动能的增量，故D正确。
2．如图5－2－3所示，BC是竖直面内的四分之一圆弧形光滑轨道，下端C与水平直轨道相切。一个小物块从B点正上方R处的A点处由静止释放，从B点刚好进入圆弧形光滑轨道下滑，已知圆弧形轨道半径为R＝0.2 m，小物块的质量为m＝0.1 kg，小物块与水平面间的动摩擦因数μ＝0.5，取g＝10 m/s2。小物块在水平面上滑动的最大距离是(　　)

图5－2－3
A．0.1 m　　　　　　　　 　B．0.2 m
C．0.6 m D．0.8 m
解析：选D　设小物块在水平面上滑动的最大距离为x，由动能定理得：mg·2R－μmgx＝0，x＝＝0.8 m，选项D正确。

[必备知识]
用动能定理求解变力功的步骤
(1)分析物体受力情况，确定哪些力是恒力，哪些力是变力。
(2)找出其中恒力的功及变力的功。
(3)运用动能定理求解。
[典题例析]
(2012·江苏高考)某缓冲装置的理想模型如图5－2－4所示，劲度系数足够大的轻质弹簧与轻杆相连，轻杆可在固定的槽内移动，与槽间的滑动摩擦力恒为f。轻杆向右移动不超过l时，装置可安全工作。一质量为m的小车若以速度v0撞击弹簧，将导致轻杆向右移动。轻杆与槽间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，且不计小车与地面的摩擦。

图5－2－4
(1)若弹簧的劲度系数为k，求轻杆开始移动时，弹簧的压缩量x；
(2)求为使装置安全工作，允许该小车撞击的最大速度vm；
(3)讨论在装置安全工作时，该小车弹回速度v′和撞击速度v的关系。
[思路点拨]
(1)轻杆开始移动的临界条件→弹簧弹力kx大于或等于轻杆与槽间的最大静摩擦力f→弹簧的压缩量x。
(2)小车以v0撞击弹簧→动能定理→小车对弹簧所做的功W。
(3)装置安全工作→轻杆向右运动的最大位移为l→动能定理→小车最大速度vm。
(4)轻杆不动，小车撞击到弹回→动能定理→反弹速度与撞击速度大小相等。
(5)轻杆被撞动，小车撞击到弹回→动能定理→反弹速度。
[解析]　(1)轻杆开始移动时，弹簧的弹力F＝kx①
且F＝f②
解得x＝。③
(2)设轻杆移动前小车对弹簧所做的功为W，则小车从撞击到停止的过程中
由动能定理得－f·－W＝0－mv④
同理，小车以vm撞击弹簧时－fl－W＝0－mv⑤
解得vm＝ 。⑥
(3)设轻杆恰好移动时，小车撞击速度为v1
mv＝W⑦
由④⑦解得v1＝
当v< 时，v′＝v
当 ≤v≤ 时，v′＝ 。
[答案]　(1)　(2) 　(3)见解析

求变力做功时的四个要点
(1)所求的变力的功不一定为总功，故所求的变力的功不一定等于ΔEk。
(2)合外力对物体所做的功对应物体动能的变化，而不是对应物体的动能。
(3)若有多个力做功时，必须明确各力做功的正负。
(4)利用动能定理可求物体的速度、受力、位移及变力的功。
[针对训练]
1．(2014·咸阳一模)假设某足球运动