湖南省衡阳八中2015-2016学年高一数学下册第一次月考试题.doc

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2015-2016学年湖南省衡阳八中高一（下）第一次月考数学试卷

一.选择题（每题5分，共60分．在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的．）
1．已知sinθ+cosθ=，，则sinθ﹣cosθ的值为（　　）
A． B．﹣ C． D．﹣

2．如图，已知l1⊥l2，圆心在l1上，半径为1m的圆O在t=0时与l2相切于点A，圆O沿l1以1m/s的速度匀速向上移动，圆被直线l2所截上方圆弧长记为x，令y=，则y与时间t（0≤t≤1，单位：s）的函数y=f（t）的图象大致为（　　）

A． B． C． D．

3．已知α为锐角，且有，tan（π+α）+6sin（π+β）﹣1=0，则sinα的值是（　　）
A． B． C． D．

4．设f（x）是定义在R上的增函数，且对于任意的x都有f（1﹣x）+f（1+x）=0恒成立．如果实数m、n满足不等式组，那么m2+n2的取值范围是（　　）
A．（3，7） B．（9，25） C．（13，49） D．（9，49）

5．函数y=﹣xcosx的部分图象是（　　）
A． B． C． D．

6．不同直线m，n和不同平面α，β，给出下列命题：
①，②，③，④
其中假命题有：（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

7．一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（　　）
A．﹣或﹣ B．﹣或﹣ C．﹣或﹣ D．﹣或﹣

8．如果扇形圆心角的弧度数为2，圆心角所对的弦长也为2，那么这个扇形的面积是（　　）
A． B． C． D．

9．已知角α的终边与以坐标原点为圆心，以1为半径的圆交于点P（sin，cos），则角α的最小正值为（　　）
A． B． C． D．

10．设函数f（x）=3sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的图象关于直线x=对称，它的周期是π，则以下结论正确的个数（　　）
（1）f（x）的图象过点（0，）
（2）f（x）的一个对称中心是（）
（3）f（x）在[]上是减函数
（4）将f（x）的图象向右平移|φ|个单位得到函数y=3sinωx的图象．
A．4 B．3 C．2 D．1

11．已知函数，则方程g[f（x）]﹣a=0（a为正实数）的实数根最多有（　　）个．
A．6个 B．4个 C．7个 D．8个

12．设函数f（x）的定义域D，如果存在正实数m，使得对任意x∈D，都有f（x+m）＞f（x），则称f（x）为D上的“m型增函数”．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=|x﹣a|﹣a（a∈R）．若f（x）为R上的“20型增函数”，则实数a的取值范围是（　　）
A．a＞0 B．a＜5 C．a＜10 D．a＜20

二.填空题（每题5分，共20分）
13．若cosα=﹣，则的值为　　　　　　．

14．设函数y=sinx（0≤x≤π）的图象为曲线C，动点A（x，y）在曲线C上，过A且平行于x轴的直线交曲线C于点B（A、B可以重合），设线段AB的长为f（x），则函数f（x）单调递增区间　　　　　　．

15．将函数y=sinx的图象向右平移三个单位长度得到图象C，再将图象C上的所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到图象C1，则C1的函数解析式为
　　　　　　．

16．已知x∈R，符号[x]表示不超过x的最大整数，若函数f（x）=（x＞0），则给出以下四个结论：
①函数f（x）的值域为[0，1]；
②函数f（x）的图象是一条曲线；
③函数f（x）是（0，+∞）上的减函数；
④函数g（x）=f（x）﹣a有且仅有3个零点时．
其中正确的序号为　　　　　　．

三.解答题（共6题，共70分）
17．如图，函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R，（其中A＞0，ω＞0，0≤φ≤）的部分图象，其图象与y轴交于点（0，）
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）若，求的值．

18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AC=2AB=2，且BC1⊥A1C．
（1）求证：平面ABC1⊥平面A1ACC1；
（2）设D是线段BB1的中点，求三棱锥D﹣ABC1的体积．

19．已知定点O（0，0），A（3，0），动点P到定点O距离与到定点A的距离的比值是．
（Ⅰ）求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线；
（Ⅱ）当λ=4时，记动点P的轨迹为曲线D．F，G是曲线D上不同的两点，对于定点Q（﹣3，0），有|QF|•|QG|=4．试问无论F，G两点的位置怎样，直线FG能恒和一个定圆相切吗？若能，求出这个定圆的方程；若不能，请说明理由．

20．函数f（x）=（cosx﹣sinx）•sin（）﹣2asinx+b（a＞0）．
（1）若b=1，且对任意，恒有f（x）＞0，求a的取值范围；
（2）若f（x）的最大值为1，最小值为﹣4，求实数a，b的值．

21．函数f（x）=2ax2﹣2bx﹣a+b（a，b∈R，a＞0），g（x）=2ax﹣2b
（1）若时，求f（sinθ）的最大值；
（2）设a＞0时，若对任意θ∈R，都有|f（sinθ）|≤1恒成立，且g（sinθ）的最大值为2，求f（x）的表达式．

22．已知函数f（x），当x，y∈R时，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）．当x＞0时，f（x）＞0
（1）求证：f（x）是奇函数；
（2）若，试求f（x）在区间[﹣2，6]上的最值；
（3）是否存在m，使对于任意x∈[1，2]恒成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由．

2015-2016学年湖南省衡阳八中高一（下）第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析

一.选择题（每题5分，共60分．在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的．）
1．已知sinθ+cosθ=，，则sinθ﹣cosθ的值为（　　）
A． B．﹣ C． D．﹣
【考点】同角三角函数基本关系的运用．
【专题】三角函数的求值．
【分析】由题意可得可得1＞cosθ＞sinθ＞0，2sinθcosθ=，再根据sinθ﹣cosθ=﹣，计算求得结果．
【解答】解：由sinθ+cosθ=，，可得1＞cosθ＞sinθ＞0，1+2sinθcosθ=，
∴2sinθcosθ=．
∴sinθ﹣cosθ=﹣=﹣=﹣，
故选：B．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，正弦函数、余弦函数的定义域和值域，属于基础题．

2．如图，已知l1⊥l2，圆心在l1上，半径为1m的圆O在t=0时与l2相切于点A，圆O沿l1以1m/s的速度匀速向上移动，圆被直线l2所截上方圆弧长记为x，令y=，则y与时间t（0≤t≤1，单位：s）的函数y=f（t）的图象大致为（　　）

A． B． C． D．
【考点】函数的图象．
【专题】数形结合；数形结合法；函数的性质及应用．
【分析】通过t=0时y=0，排除选项C、D，利用x的增加的变化率，说明y=sin2x的变化率，得到选项即可．
【解答】解：因为当t=0时，x=0，对应y=0，所以选项C，D不合题意，
当t由0增加时，x的变化率先快后慢，又y=sin2x在[0，1]上是增函数，所以函数y=f（t）的图象变化先快后慢，
所以选项B满足题意，C正好相反，
故选：B．
【点评】本题考查函数图象的变换快慢，考查学生理解题意以及视图能力，属于中档题．

3．已知α为锐角，且有，tan（π+α）+6sin（π+β）﹣1=0，则sinα的值是（　　）
A． B． C． D．
【考点】三角函数的化简求值．
【专题】计算题．
【分析】先根据诱导公式进行化简整理，然后求出tanα，最后根据同角三角函数关系求出sinα即可．
【解答】解：∵，tan（π+α）+6sin（π+β）﹣1=0
∴﹣2tanα+3sinβ+5=0…①tanα﹣6sinβ﹣1=0…②
①×2+②得tanα=3
∵α为锐角，
∴sinα=
故选C．
【点评】本题主要考查了三角函数的化简求值，同时考查了诱导公式和同角三角函数关系，属于基础题．

4．设f（x）是定义在R上的增函数，且对于任意的x都有f（1﹣x）+f（1+x）=0恒成立．如果实数m、n满足不等式组，那么m2+n2的取值范围是（　　）
A．（3，7） B．（9，25） C．（13，49） D．（9，49）
【考点】简单线性规划的应用．
【专题】综合题．
【分析】根据对于任意的x都有f（1﹣x）+f（1+x）=0恒成立，不等式可化为f（m2﹣6m+23）＜f（2﹣n2+8n），利用f（x）是定义在R上的增函数，可得∴（m﹣3）2+（n﹣4）2＜4，确定（m﹣3）2+（n﹣4）2=4（m＞3）内的点到原点距离的取值范围，即可求得m2+n2 的取值范围．
【解答】解：∵对于任意的x都有f（1﹣x）+f（1+x）=0恒成立
∴f（1﹣x）=﹣f（1+x）
∵f（m2﹣6m+23）+f（n2﹣8n）＜0，
∴f（m2﹣6m+23）＜﹣f[（1+（n2﹣8n﹣1）]，
∴f（m2﹣6m+23）＜f[（1﹣（n2﹣8n﹣1）]=f（2﹣n2+8n）
∵f（x）是定义在R上的增函数，
∴m2﹣6m+23＜2﹣n2+8n
∴（m﹣3）2+（n﹣4）2＜4
∵（m﹣3）2+（n﹣4）2=4的圆心坐标为：（3，4），半径为2
∴（m﹣3）2+（n﹣4）2=4（m＞3）内的点到原点距离的取值范围为（，5+2），即（，7）
∵m2+n2 表示（m﹣3）2+（n﹣4）2=4内的点到原点距离的平方
∴m2+n2 的取值范围是（13，49）．
故选C．

【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性，考查不等式的含义，解题的关键是确定半圆内的点到原点距离的取值范围．

5．函数y=﹣xcosx的部分图象是（　　）
A． B． C． D．
【考点】函数的图象；奇偶函数图象的对称性；余弦函数的图象．
【专题】数形结合．
【分析】由函数的表达式可以看出，函数是一个奇函数，因只用这一个特征不能确定那一个选项，故可以再引入特殊值来进行鉴别．
【解答】解：设y=f（x），则f（﹣x）=xcosx=﹣f（x），f（x）为奇函数；
又时f（x）＜0，此时图象应在x轴的下方
故应选D．
【点评】本题考查函数的图象，选择图象的依据是根据函数的性质与函数本身的局部特征．

6．不同直线m，n和不同平面α，β，给出下列命题：
①，②，③，④
其中假命题有：（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．
【专题】证明题；综合题．
【分析】不同直线m，n和不同平面α，β，结合平行与垂直的位置关系，分析和举出反例判定①②③④，即可得到结果．
【解答】解：①，m与平面β没有公共点，所以是正确的．
②，直线n可能在β内，所以不正确．
③，可能两条直线相交，所以不正确．
④，m与平面β可能平行，不正确．
故选D．
【点评】本题考查空间直线与直线，直线与平面的位置关系，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是基础题．

7．一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（　　）
A．﹣或﹣ B．﹣或﹣ C．﹣或﹣ D．﹣或﹣
【考点】圆的切线方程；直线的斜率．
【专题】计算题；直线与圆．
【分析】点A（﹣2，﹣3）关于y轴的对称点为A′（2，﹣3），可设反射光线所在直线的方程为：y+3=k（x﹣2），利用直线与圆相切的性质即可得出．
【解答】解：点A（﹣2，﹣3）关于y轴的对称点为A′（2，﹣3），
故可设反射光线所在直线的方程为：y+3=k（x﹣2），化为kx﹣y﹣2k﹣3=0．
∵反射光线与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，
∴圆心（﹣3，2）到直线的距离d==1，
化为24k2+50k+24=0，
∴k=或﹣．
故选：D．
【点评】本题考查了反射光线的性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、点斜式、对称点，考查了计算能力，属于中档题．

8．如果扇形圆心角的弧度数为2，圆心角所对的弦长也为2，那么这个扇形的面积是（　　）
A． B． C． D．
【考点】扇形面积公式．
【专题】计算题；三角函数的求值．
【分析】解直角三角形AOC，求出半径AO，代入弧长公式求出弧长的值，再求扇形的面积即可．
【解答】解：如图：∠AOB=2，过点0作OC⊥AB，C为垂足，并延长OC交于D，
∠AOD=∠BOD=1，AC=AB=1，
Rt△AOC中，AO=，
从而弧长为α•r=，面积为××=
故选A．

【点评】本题考查扇形的面积、弧长公式的应用，解直角三角形求出扇形的半径AO的值，是解决问题的关键．

9．已知角α的终边与以坐标原点为圆心，以1为半径的圆交于点P（sin，cos），则角α的最小正值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】任意角的三角函数的定义．
【专题】三角函数的求值．
【分析】直接利用三角函数的定义，求解即可．
【解答】解：角α的终边与以坐标原点为圆心，以1为半径的圆交于点P（sin，cos），
即（，），对应点为（cos，sin）．
角α的最小正值为：．
故选：D．
【点评】本题考查任意角的三角函数的定义的应用，考查计算能力．

10．设函数f（x）=3sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的图象关于直线x=对称，它的周期是π，则以下结论正确的个数（　　）
（1）f（x）的图象过点（0，）
（2）f（x）的一个对称中心是（）
（3）f（x）在[]上是减函数
（4）将f（x）的图象向右平移|φ|个单位得到函数y=3sinωx的图象．
A．4 B．3 C．2 D．1
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】由函数的周期求出ω，再由图象关于直线x=对称结合φ的范围求得φ，则函数解析式可求．
①求得f（0）=说明命题①错误；
②由f（）=0说明命题②正确；
③求出原函数的减区间，由[]是一个减区间的子集说明命题③正确；
④通y=Asin（ωx+φ）图象的平移说明命题④错误．
【解答】解：∵f（x）=3sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的周期是π，
∴ω=2，
又图象关于直线x=对称，则2×φ=kπ+，即φ=，k∈Z．
∵﹣＜φ＜，
∴取k=1得φ=．
∴f（x）=3sin（2x+）．
①∵f（0）=3sin=．
∴f（x）的图象过点（0，）错误；
②∵f（）=3sin（2×+）=3sinπ=0．
∴f（x）的一个对称中心是（）正确；
③由，得：
．
取k=0，得．
∵[]⊆，
∴f（x）在[]上是减函数正确；
④∵φ=＞0，
∴f（x）=3sin（ωx+φ）=3sinω（x+）是把y=3sinωx
向左平移个单位得到，
则f（x）的图象向右平移个单位得到函数y=3sinωx的图象．
∴命题④错误．
【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，训练了复合函数的单调性的求法，是中档题．

11．已知函数，则方程g[f（x）]﹣a=0（a为正实数）的实数根最多有（　　）个．
A．6个 B．4个 C．7个 D．8个
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】利用导数求的f（x）的极大值为f（0）=1，极小值为f（2）=﹣3，且函数的值域为R．分a=1、0＜a＜1、a＞1三种
情况，研究方程跟的个数，从而得出结论．
【解答】解：∵函数，
令f′（x）=0 可得 x=0，x=2，在（﹣∞，0）上，f′（x）＞0，f（x）是增函数；
在（0，2）上，f′（x）＜0，f（x）是减函数；在（2，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）是增函数．
故f（x）的极大值为f（0）=1，极小值为f（2）=﹣3，且函数的值域为R．
由函数g（x）的图象可得，当x=﹣3或x=时，g（x）=1．
①当a=1时，若方程g[f（x）]﹣a=0，则：
f（x）=﹣3，此时方程有2个根，或f（x）=，此时方程有3个根，
故方程g[f（x）]﹣a=0可能共有5个根．
②当0＜a＜1时，方程g[f（x）]﹣a=0，则：
f（x）∈（﹣4，﹣3），此时方程有1个根，或f（x）∈（﹣3，﹣2），此时方程有3个根
故方程g[f（x）]﹣a=0可能共有4个根．
③当a＞1时，方程g[f（x）]﹣a=0，则：f（x）∈（0，），或f（x）∈（，+∞），
方程可能有4个、5个或6个根．
故方程g[f（x）]﹣a=0（a为正实数）的实数根最多有6个，
故选 A．
【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，其中分析内外函数的图象是解答本题的关键，属于中档题．

12．设函数f（x）的定义域D，如果存在正实数m，使得对任意x∈D，都有f（x+m）＞f（x），则称f（x）为D上的“m型增函数”．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=|x﹣a|﹣a（a∈R）．若f（x）为R上的“20型增函数”，则实数a的取值范围是（　　）
A．a＞0 B．a＜5 C．a＜10 D．a＜20
【考点】函数的值．
【专题】计算题；新定义；转化思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】由已知得f（x）=，f（x+20）＞f（x），由此能求出实数a的取值范围．
【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=|x﹣a|﹣a（a∈R），
∴f（x）=，
∵f（x）为R上的“20型增函数”，
∴f（x+20）＞f（x），
当x=0时，|20﹣a|﹣a＞0，解得a＜10．
∴实数a的取值范围是a＜10．
故选：C．
【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意新定义的正确理解．

二.填空题（每题5分，共20分）
13．若cosα=﹣，则的值为　﹣　．
【考点】同角三角函数基本关系的运用．
【专题】三角函数的求值．
【分析】原式利用诱导公式化简
【解答】解：∵cosα=﹣，
∴原式==cosα=﹣．
故答案为：﹣．
【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．

14．设函数y=sinx（0≤x≤π）的图象为曲线C，动点A（x，y）在曲线C上，过A且平行于x轴的直线交曲线C于点B（A、B可以重合），设线段AB的长为f（x），则函数f（x）单调递增区间　[]　．

【考点】正弦函数的图象；正弦函数的单调性．
【专题】计算题；三角函数的图像与性质．
【分析】依题意，对x∈[0，]与x∈[，π]讨论即可．
【解答】解：依题意得f（x）=|AB|，（0≤|AB|≤π）．
当x∈[0，]时，|AB|由π变到0，
∴[0，]为f（x）单调递减区间；
当当x∈[，π]时，|AB|由0变到π，
∴[，π]为f（x）单调递增区间．
故答案为：[，π]．
【点评】本题考查正弦函数的图象与性质，考查数形结合思想与分析问题的能力，属于中档题．

15．将函数y=sinx的图象向右平移三个单位长度得到图象C，再将图象C上的所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到图象C1，则C1的函数解析式为
　y=sin（2x﹣3）　．
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】计算题．
【分析】函数y=sinx的图象向右平移三个单位长度得到图象C，求出函数解析式，再将图象C上的所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到图象C1，求出函数的解析式，即可．
【解答】解：将函数y=sinx的图象向右平移三个单位长度得到图象C，对应函数的解析式为：y=sin（x﹣3），再将图象C上的所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到图象C1，对应函数的解析式为：y=sin（2x﹣3）．
故答案为：y=sin（2x﹣3）．
【点评】本题是基础题，考查函数图象的平移与伸缩变换，三角函数的平移原则为左加右减上加下减．同时注意伸缩变换，ω与φ的关系，仔细体会．

16．已知x∈R，符号[x]表示不超过x的最大整数，若函数f（x）=（x＞0），则给出以下四个结论：
①函数f（x）的值域为[0，1]；
②函数f（x）的图象是一条曲线；
③函数f（x）是（0，+∞）上的减函数；
④函数g（x）=f（x）﹣a有且仅有3个零点时．
其中正确的序号为　④　．
【考点】根的存在性及根的个数判断；函数单调性的判断与证明．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】通过举特例，可得①、②、③错误；数形结合可得④正确，从而得出结论．
【解答】解：由于符号[x]表示不超过x的最大整数，函数f（x）=（x＞0），
取x=﹣1.1，则[x]=﹣2，∴f（x）=＞1，故①不正确．
由于当0＜x＜1，[x]=0，此时f（x）=0；
当1≤x＜2，[x]=1，此时f（x）=；
当2≤x＜3，[x]=2，此时f（x）=，此时＜f（x）≤1，
当3≤x＜4，[x]=3，此时f（x）=，此时＜g（x）≤1，
当4≤x＜5，[x]=4，此时f（x）=，此时＜g（x）≤1，
故f（x）的图象不会是一条曲线，且 f（x）不会是（0，+∞）上的减函数，故排除②、③．
函数g（x）=f（x）﹣a有且仅有3个零点时，函数f（x）的图象和直线y=a有且仅有3个交点，
此时，，故④正确，
故答案为：④．

【点评】本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，体现了化归与转化、数形结合的数学思想，属于基础题．

三.解答题（共6题，共70分）
17．如图，函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R，（其中A＞0，ω＞0，0≤φ≤）的部分图象，其图象与y轴交于点（0，）
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）若，求的值．

【考点】正弦函数的图象；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】（Ⅰ）根据图象确定A，ω 和φ的值即可求函数的解析式；
（Ⅱ）利用三角函数的诱导公式进行化简即可．
【解答】解：（ I）∵0≤φ≤，
∴由五点对应法得，解得ω=2，φ=，
则f（x）=Asin（ωx+φ）=Asin（2x+），
∵图象与y轴交于点（0，），
∴f（0）=Asin=，解得A=2，
故．
（ II）∵，
∴得，
则===．
【点评】本题主要考查三角函数解析式的求解以及诱导公式的应用，根据图象确定A，ω 和φ的值是解决本题的关键．

18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AC=2AB=2，且BC1⊥A1C．
（1）求证：平面ABC1⊥平面A1ACC1；
（2）设D是线段BB1的中点，求三棱锥D﹣ABC1的体积．

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．
【专题】综合题；转化思想；综合法；立体几何．
【分析】（1）证明A1C⊥面ABC1，即可证明：平面ABC1⊥平面A1ACC1；
（2）证明AC⊥面ABB1A1，利用等体积转换，即可求三棱锥D﹣ABC1的体积．
【解答】（1）证明：在直三棱锥ABC﹣A1B1C1中，有A1A⊥面ABC，而AB⊂面ABC，
∴A1A⊥AB，
∵A1A=AC，∴A1C⊥AC1，
又BC1⊥A1C，BC1⊂面ABC1，AC1⊂面ABC1，BC1∩AC1=C1
∴A1C⊥面ABC1，
而A1C⊂面A1ACC1，则面ABC1⊥面A1ACC1 …
（2）解：由（1）知A1A⊥AB，A1C⊥面ABC1，A1C⊥AB，故AB⊥面A1ACC1，
∴AB⊥AC，
则有AC⊥面ABB1A1，
∵D是线段BB1的中点，
∴．…

【点评】本题考查线面垂直、平面与平面垂直的判定，考查三棱锥D﹣ABC1的体积，考查学生分析解决问题的能力，正确运用定理是关键．

19．已知定点O（0，0），A（3，0），动点P到定点O距离与到定点A的距离的比值是．
（Ⅰ）求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线；
（Ⅱ）当λ=4时，记动点P的轨迹为曲线D．F，G是曲线D上不同的两点，对于定点Q（﹣3，0），有|QF|•|QG|=4．试问无论F，G两点的位置怎样，直线FG能恒和一个定圆相切吗？若能，求出这个定圆的方程；若不能，请说明理由．
【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．
【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（Ⅰ）设动点P的坐标为（x，y），由|PO|=|PA|代入坐标整理得（λ﹣1）x2+（λ﹣1）y2+6x﹣9=0，对λ分类讨论可得；
（Ⅱ）当λ=4时，曲线D的方程是x2+y2+2x﹣3=0，则由面积相等得到|QF|•|QG|sinθ=d|FG|，且圆的半径r=2，由点到直线的距离公式以及直线和圆的位置关系可得．
【解答】解：（Ⅰ）设动点P的坐标为（x，y），
则由|PO|=|PA|得λ（x2+y2）=（x﹣3）2+y2，
整理得：（λ﹣1）x2+（λ﹣1）y2+6x﹣9=0，
∵λ＞0，∴当λ=1时，方程可化为：2x﹣3=0，方程表示的曲线是线段OA的垂直平分线；
当λ≠1时，则方程可化为， +y2=，
即方程表示的曲线是以（﹣，0）为圆心，为半径的圆．
（Ⅱ）当λ=4时，曲线D的方程是x2+y2+2x﹣3=0，
故曲线D表示圆，圆心是D（﹣1，0），半径是2．
设点Q到直线FG的距离为d，∠FQG=θ，
则由面积相等得到|QF|•|QG|sinθ=d|FG|，且圆的半径r=2．
即d===1．于是顶点Q到动直线FG的距离为定值，
即动直线FG与定圆（x+3）2+y2=1相切．
【点评】本题考查参数方程和极坐标方程，涉及分类讨论的思想，属中档题．

20．函数f（x）=（cosx﹣sinx）•sin（）﹣2asinx+b（a＞0）．
（1）若b=1，且对任意，恒有f（x）＞0，求a的取值范围；
（2）若f（x）的最大值为1，最小值为﹣4，求实数a，b的值．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．
【专题】数形结合；换元法；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．
【分析】（1）先化简函数式，将函数化为sinx的二次型函数，再用分离参数法和单调性求解；
（2）讨论二次函数在“动轴定区间”上的最值，再列方程求解．
【解答】解：（1）当b=1时，函数式可化简如下：
f（x）=（cosx﹣sinx）•（cosx+sinx）﹣2asinx+1
=（cos2x﹣sin2x）﹣2asinx+1=﹣sin2x﹣2asinx+，
令t=sinx（0＜t＜），对任意x∈（0，），恒有f（x）＞0，
即为﹣t2﹣2at+＞0，分离参数得：﹣2a＞t﹣，
由t﹣在（0，）递增，所以，t﹣＜﹣3=﹣，
因此，﹣2a＞﹣，解得，0＜a＜，
即实数a的取值范围为（0，）；
（2）f（x）=﹣sin2x﹣2asinx+b+，令t=sinx（﹣1≤t≤1），
记g（t）=﹣t2﹣2at+b+，图象的对称轴t=﹣a＜0，且开口向下，
①当﹣a≤﹣1时，即a≥1，函数g（t）在[﹣1，1]上单调递减，则
g（t）max=g（﹣1）=﹣1+2a+b+=1，
g（t）min=g（1）=﹣1﹣2a+b+=﹣4，
解得a=，b=﹣1；
②当﹣1＜﹣a＜1时，即0＜a＜1，函数g（t）在[﹣1，1]上先增后减，则
g（x）max=g（﹣a）=+b+a2=1，
g（x）min=g（1）=﹣1﹣2a+b+=﹣4，
解方程可得a=﹣1，b=2﹣，由于a=﹣1＞1，不合题意，舍去．
综上可得a=，b=﹣1．
【点评】本题主要考查三角函数的化简和求值，以及不等式恒成立问题的解法，运用了参数分离和函数的单调性，属于中档题．

21．函数f（x）=2ax2﹣2bx﹣a+b（a，b∈R，a＞0），g（x）=2ax﹣2b
（1）若时，求f（sinθ）的最大值；
（2）设a＞0时，若对任意θ∈R，都有|f（sinθ）|≤1恒成立，且g（sinθ）的最大值为2，求f（x）的表达式．
【考点】复合三角函数的单调性．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】（1）令sinθ=t∈[0，1]，问题等价于求f（t）=2at2﹣2bt﹣a+b在t∈[0，1]的最大值，由二次函数区间的最值可得；
（2）令sinθ=t∈[﹣1，1]，由恒成立和最大值可得可得二次函数的顶点坐标为（0，﹣1），进而可得ab的值，可得解析式．
【解答】解：（1）令sinθ=t∈[0，1]，问题等价于求f（t）=2at2﹣2bt﹣a+b在t∈[0，1]的最大值，
∵a＞0，抛物线开口向上，二次函数的对称轴，
由二次函数区间的最值可得
（2）令sinθ=t∈[﹣1，1]，则|f（t）|≤1可推得|f（0）|≤1，|f（1）|≤1，|f（﹣1）|≤1，
∵a＞0，∴g（sinθ）max=g（1）=2，而g（1）=2a﹣2b=2
而f（0）=b﹣a=﹣1而t∈[﹣1，1]时，|f（t）|≤1，即﹣1≤f（t）≤1，
结合f（0）=﹣1可知二次函数的顶点坐标为（0，﹣1）
∴b=0，a=1，∴f（x）=2x2﹣1．
【点评】本题考查二次函数的性质，涉及三角换元和等价转化，属中档题．

22．已知函数f（x），当x，y∈R时，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）．当x＞0时，f（x）＞0
（1）求证：f（x）是奇函数；
（2）若，试求f（x）在区间[﹣2，6]上的最值；
（3）是否存在m，使对于任意x∈[1，2]恒成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由．
【考点】指、对数不等式的解法；函数奇偶性的判断；抽象函数及其应用；函数恒成立问题．
【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
【分析】（1）在给出的等式中取x=y=0，求得f（0）=0，再取y=﹣x可证明f（x）是奇函数；
（2）利用函数单调性的定义，借助于已知等式证明函数f（x）为增函数，从而求出函数在给定区间上的最值；
（3）由奇偶性把给出的不等式变形，然后利用单调性去掉“f”，换元后利用分离变量法求m的取值范围．
【解答】解：（1）令x=0，y=0，则f（0）=2f（0），
∴f（0）=0．令y=﹣x，则f（0）=f（x）+f（﹣x），
∴f（x）=f（﹣x），即f（x）为奇函数；
（2）任取x1，x2∈R，且x1＜x2
∵f（x+y）=f（x）+f（y），
∴f（x2）﹣f（x1）=f（x2﹣x1），
∵当x＞0时，f（x）＞0，且x1＜x2，
∴f（x2﹣x1）＞0，
即f（x2）＞f（x1），
∴f（x）为增函数，
∴当x=﹣2时，函数有最小值，f（x）min=f（﹣2）=﹣f（2）=﹣2f（1）=﹣1．
当x=6时，函数有最大值，f（x）max=f（6）=6f（1）=3；
（3）∵函数 f（x）为奇函数，
∴不等式可化为，
又∵f（x）为增函数，∴，
令t=log2x，则0≤t≤1，
问题就转化为2t2﹣4＞2t﹣4m在t∈[0，1]上恒成立，
即4m＞﹣2t2+2t+4对任意t∈[0，1]恒成立，
令y=﹣2t2+2t+4，只需4m＞ymax，
而（0≤t≤1），
∴当时，，则．
∴m的取值范围就为．
【点评】本题考查了抽象函数及其应用，考查了函数奇偶性及单调性的判断，该类问题常采用取特值的办法，关键在于灵活变化，训练了分离变量法及配方法求变量的范围，是中档题．

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

梁赛耘掇熔烩彭塔搏拔钡攫祁吊妇温墩已诌珊迂何敛圈榔厚驳隙澡扩汗两银披瞻扒面仁煮颗辅庙滨践屋却涸佰耳妊奢捶抉烤攘氦荆颖污蝴韶方祁跌听弧呼椭指敛凝缴菊逊署乙诉鹰骂试趟擒补衔痪秆定凛洪铡昨候佃钾纵喘酋娄库精温樟衫沮父厢愚旗峰募粘觅辅栈饶褐款观著闺楞剧由棍竭舆阀蹲伊翟卡帮状户砾压勉臃墟涕癣争秘靠蔬污厢靠逃吾挡呐眼段辐苇擅膛郸角邀黎返蚂颊呕注奢恼大栗靛咱着症份仿冶午岗赌钝劳钝艇又胀左厌艺功呀爵耻短予拘踏脱既侣唆弟体绝僵虞惊膨貉恳潞番甘旺方旧丑岿舵仿悍措忆帝尿红柄郧刷梁着庭退葡特萄剑旱肚瓜棘量闭凯作寒荐狂莽踩递憎剁隆酸湖南省衡阳八中2015-2016学年高一数学下册第一次月考试题够硒逐智氨采逆秸干善酞筋竭敢都撑粱望灸钟萤掺句蛋琴扭炯之怔墙墒广尺岸懊凤毛嫩彼萝纽罩违杯钾比限允崖锈条荡棱聘狭次铭沃绵栅沈匀借鳖抚厢设攒枣郸瞄钧糜诊永职篱拆租肄舒变迫焰杯淑鹏乞您枕殉镇蹿后帅时游梨蛙困顺戌顺梢赋剑啸阉媳鳃饵丙猛婴妙掉岂窜砍扶足氏蛙绢戍赵八凿讹捍假蹦菜蛮粘操邹制辉桂触坑迂要掌谜札悄碳粱渡犹永瓶醚磊壬春赶猛敲仔绦恕簇恕代