2016届高考数学第二轮知识点强化练习题9.doc

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第1讲　函数图象与性质及函数与方程
高考定位　1.高考仍会以分段函数、二次函数、指数函数、对数函数为载体，考查函数的定义域、函数的最值与值域、函数的奇偶性、函数的单调性，或者综合考查函数的相关性质.2.对函数图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题.3.以基本初等函数为依托，考查函数与方程的关系、函数零点存在性定理、数形结合思想，这是高考考查函数的零点与方程的根的基本方式.

真 题 感 悟
1.(2015·安徽卷)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是(　　)
A.y＝cos x B.y＝sin x
C.y＝ln x D.y＝x2＋1
解析　由于y＝sin x是奇函数；y＝ln x是非奇非偶函数；y＝x2＋1是偶函数但没有零点；只有y＝cos x是偶函数又有零点.
答案　A
2.(2015·全国Ⅱ卷)设函数f(x)＝则f(－2)＋f(log212)＝(　　)
A.3 B.6 C.9 D.12
解析　因为－2＜1，log212＞log28＝3＞1，所以f(－2)＝1＋log2[2－(－2)]＝1＋log24＝3，f(log212)＝2log212－1＝2log212×2－1＝12×＝6，故f(－2)＋f(log212)＝3＋6＝9，故选C.
答案　C

3.(2015·北京卷)如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是(　　)
A.{x|－1＜x≤0}
B.{x|－1≤x≤1}
C.{x|－1＜x≤1}
D.{x|－1＜x≤2}
解析　如图，由图知：f(x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－1<x≤1}.
答案　C
4.(2015·山东卷)已知函数f(x)＝ax＋b(a＞0，a≠1) 的定义域和值域都是[－1，0]，则a＋b＝________.
解析　当a＞1时，f(x)＝ax＋b在定义域上为增函数，
∴方程组无解；
当0＜a＜1时，f(x)＝ax＋b在定义域上为减函数，
∴解得∴a＋b＝－.
答案　－
考 点 整 合
1.函数的性质
(1)单调性：证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、变形、判断符号和下结论.可以用来比较大小，求函数最值，解不等式，证明方程根的唯一性；
(2)奇偶性：①若f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(－x)；②若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则f(0)＝0；③奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性；
(3)周期性：①若y＝f(x)对x∈R，f(x＋a)＝f(x－a)或f(x－2a)＝f(x)(a＞0)恒成立，则y＝f(x)是周期为2a的周期函数；②若y＝f(x)是偶函数，其图象又关于直线
x＝a对称，则f(x)是周期为2|a|的周期函数；③若y＝f(x)是奇函数，其图象又关于直线x＝a对称，则f(x)是周期为4|a|的周期函数；④若f(x＋a)＝－f(x)
，则y＝f(x)是周期为2|a|的周期函数.
2.函数的图象
对于函数的图象要会作图、识图和用图，作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换.
3.函数的零点与方程的根
(1)函数的零点与方程根的关系
函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标.
(2)零点存在性定理
注意以下两点：
①满足条件的零点可能不唯一；
②不满足条件时，也可能有零点.

热点一　函数性质的应用
[微题型1]　单一考查函数的奇偶性、单调性、对称性
【例1－1】 (1)(2015·全国Ⅰ卷)若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝________.
(2)(2015·济南三模)已知实数x，y满足ax＜ay(0＜a＜1)，则下列关系式恒成立的是(　　)
A.＞ B.ln(x2＋1)＞ln(y2＋1)
C.sin x＞sin y D.x3＞y3
(3)设f(x)＝(a∈R)的图象关于直线x＝1对称，则a的值为(　　)
A.－1 B.1 C.2 D.3
解析　(1)f(x)为偶函数，则ln(x＋)为奇函数，
所以ln(x＋)＋ln(－x＋)＝0，
即ln(a＋x2－x2)＝0，∴a＝1.
(2)∵ax＜ay，0＜a＜1，∴x＞y，∴x3＞y3.
(3)由函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，得f(0)＝f(2)，
即2＝－2a＋6，解得a＝2.故选C.
答案　(1)1　(2)D　(3)C
探究提高　第(3)小题将对称问题转化为点的对称，从而很容易地解决问题，本题也可借助于图象的斜率解决.
[微题型2]　综合考查函数的奇偶性、单调性、周期性
【例1－2】 (1)(2015·湖南卷)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是(　　)
A.奇函数，且在(0，1)上是增函数
B. 奇函数，且在(0，1)上是减函数
C. 偶函数，且在(0，1)上是增函数
D.偶函数，且在(0，1)上是减函数
(2)(2015·长沙模拟)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)＞0，则x的取值范围是________.
解析　(1)易知函数定义域为(－1，1)，f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故函数f(x)为奇函数，又f(x)＝ln＝ln，由复合函数单调性判断方法知，f(x)在(0，1)上是增函数，故选A.
(2)∵f(x)是偶函数，∴图象关于y轴对称.
又f(2)＝0，且f(x)在[0，＋∞)单调递减，
则f(x)的大致图象如图所示，
由f(x－1)＞0，得－2＜x－1＜2，即－1＜x＜3.
答案　(1)A　(2)(－1，3)
探究提高　函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题.
【训练1】 (2015·天津卷)已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A.a＜b＜c B.a＜c＜b
C.c＜a＜b D.c＜b＜a
解析　因为函数f(x)＝2|x－m|－1为偶函数可知，m＝0，
所以f(x)＝2|x|－1，当x＞0时，f(x)为增函数，
log0.53＝－log23，∴log25＞|log0.53|＞0，
∴b＝f(log25)＞a＝f(log0.53)＞c＝f(2m)，故选C.
答案　C
热点二　函数图象与性质的融合问题
[微题型1]　函数图象的识别
【例2－1】 (1)(2015·安徽卷)函数f(x)＝的图象如图所示，则下列结论成立的是(　　)
A.a>0，b>0，c<0
B.a<0，b>0，c>0
C.a<0，b>0，c<0
D.a<0，b<0，c<0
(2)(2014·江西卷)在同一直角坐标系中，函数y＝ax2－x＋与y＝a2x3－2ax2＋x＋a(a∈R)的图象不可能的是(　　)

解析　(1)函数定义域为{x|x≠－c}，结合图象知－c＞0，∴c＜0；令x＝0，得f(0)＝，又由图象知f(0)＞0，∴b＞0；令f(x)＝0，得x＝－，结合图象知－＞0，∴a＜0.故选C.
(2)当a＝0时，两个函数的解析式分别为y＝－x，y＝x，故选项D中的图象是可能的.当a≠0时，二次函数y＝ax2－x＋的对称轴方程为x＝，三次函数y＝a2x3－2ax2＋x＋a(a∈R)的导数为y′＝3a2x2－4ax＋1＝(3ax－1)(ax－1)，令y′＝0，得其极值点为x1＝，x2＝.由于＜＜(a＞0)，或者＞＞(a＜0)，即三次函数的极值点在二次函数的对称轴两侧，选项A、C中的图象有可能，选项B中的图象不可能.
答案　(1)C　(2)B
探究提高　识图时，可从图象与x轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系.在探究两个函数的图象位置关系时，要善于根据函数解析式中字母的变化研究函数性质的变化，从而确定两个函数图象的可能位置关系.
[微题型2]　函数图象的应用
【例2－2】 (1)已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2＞x1＞1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0恒成立，设a＝f ，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A.c＞a＞b B.c＞b＞a
C.a＞c＞b D.b＞a＞c
(2)(2015·全国Ⅰ卷)设函数f(x)＝ex(2x－1)－ax＋a，其中a<1，若存在唯一的整数x0使得f(x0)<0，则a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
解析　(1)由于函数f(x)的图象向左平移1个单位后得到的图象关于y轴对称，故函数y＝f(x)的图象本身关于直线x＝1对称，所以a＝f ＝f ，当x2＞x1＞1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0恒成立，等价于函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减，所以b＞a＞c.选D.
(2)设g(x)＝ex(2x－1)，y＝ax－a，由题知存在唯一的整数x0，
使得g(x0)在直线y＝ax－a的下方，
因为g′(x)＝ex(2x＋1)，所以当x<－时，g′(x)<0，当x>－时，g′(x)>0，
所以当x＝－时，[g(x)]min＝－2e－，
当x＝0时，g(0)＝－1，当x＝1时，g(1)＝e>0，直线y＝a(x－1)恒过(1，0)，
则满足题意的唯一整数x0＝0，
故－a>g(0)＝－1，
且g(－1)＝－3e－1≥－a－a，解得≤a<1，故选D.

答案　(1)D　(2)D
探究提高　(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.
(2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.
【训练2】 (2015·成都诊断)已知f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，规定：当|f(x)|≥g(x)时，h(x)＝|f(x)|；当|f(x)|＜g(x)时，h(x)＝－g(x)，则h(x)(　　)
A.有最小值－1，最大值1
B.有最大值1，无最小值
C.有最小值－1，无最大值
D.有最大值－1，无最小值
解析　由题意得，利用平移变化的知识画出函数|f(x)|，g(x)的图象如图，而h(x)＝
故h(x)有最小值－1，无最大值.
答案　C
热点三　以函数零点为背景的函数问题
[微题型1]　函数零点个数的求解
【例3－1】 函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，1)内的零点个数是(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
解析　法一　函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，1)内的零点个数即函数y1＝2x－2与y2＝－x3的图象在区间(0，1)内的交点个数.作图，可知在(0，＋∞)内最多有一个交点，故排除C，D项；当x＝0时，y1＝－1＜y2＝0，当x＝1时，y1＝0＞y2＝－1，因此在区间(0，1)内一定会有一个交点，所以A项错误.选B.
法二　因为f(0)＝1＋0－2＝－1，f(1)＝2＋13－2＝1，所以f(0)·f(1)＜0.又函数f(x)在(0，1)内单调递增，所以f(x)在(0，1)内的零点个数是1.
答案　B
探究提高　在解决函数与方程问题中的函数的零点问题时，要学会掌握转化与化归思想的运用.如本题直接根据已知函数求函数的零点个数难度很大，也不是初等数学能轻易解决的，所以遇到此类问题的第一反应就是转化已知函数为熟悉的函数，再利用数形结合求解.
[微题型2]　由函数零点(或方程根)的情况求参数
【例3－2】 (2015·天津卷)已知函数f(x)＝函数g(x)＝b－f(2－x)，其中b∈R，若函数y＝f(x)－g(x)恰有4个零点，则b的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
解析　记h(x)＝－f(2－x)在同一坐标系中作出f(x)与h(x)的图象如图，直线AB：y＝x－4，当直线l∥AB且与f(x)的图象相切时，由
解得b′＝－，－－(－4)＝，同理，y轴左侧也有相同的情况.
所以曲线h(x)向上平移个单位后，y轴左右各有2个交点，所得图象与f(x)的图象有四个公共点，平移2个单位时，两图象有无数个公共点，因此，当＜b＜2时，f(x)与g(x)的图象有四个不同的交点，即y＝f(x)－g(x)恰有4个零点.选D.
答案　D
探究提高　利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法
(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.
(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.
(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.
【训练3】 (2015·南阳模拟)已知函数f(x)＝－m|x|有三个零点，则实数m的取值范围为________.
解析　函数f(x)有三个零点等价于方程＝m|x|有且仅有三个实根.
∵＝m|x|⇔＝|x|(x＋2)，作函数y＝|x|(x＋2)的图象，如图所示，由图象可知m应满足0＜＜1，故m＞1.
答案　(1，＋∞)

1.解决函数问题忽视函数的定义域或求错函数的定义域，如求函数f(x)＝的定义域时，只考虑x＞0，忽视ln x≠0的限制.
2.函数定义域不同，两个函数不同；对应关系不同，两个函数不同；定义域和值域相同，也不一定是相同的函数.
3.如果一个奇函数f(x)在原点处有意义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.
4.奇函数在两个对称的区间上有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上有相反的单调性.
5.函数的图象和解析式是函数关系的主要表现形式，它们的实质是相同的，在解题时经常要互相转化.在解决函数问题时，尤其是较为繁琐的(如分类讨论求参数的取值范围等)问题时，要注意充分发挥图象的直观作用.
6.不能准确把握基本初等函数的形式、定义和性质.如讨论指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的单调性时，不讨论底数的取值；忽视ax＞0的隐含条件；幂函数的性质记忆不准确等.
7.判断函数零点个数的方法有：(1)直接求零点；(2)零点存在性定理；(3)数形结合法.
8.对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个函数图象，然后数形结合，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.

一、选择题
1.(2015·广东卷)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是(　　)
A.y＝x＋ex B.y＝x＋
C.y＝2x＋ D.y＝
解析　令f(x)＝x＋ex，则f(1)＝1＋e，f(－1)＝－1＋e－1，即f(－1)≠f(1)，f(－1)≠－f(1)，所以y＝x＋ex既不是奇函数也不是偶函数，而B，C，D依次是奇函数、偶函数、偶函数，故选A.
答案　A
2.函数f(x)＝log2x－的零点所在的区间为(　　)
A. B. C.(1，2) D.(2，3)
解析　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数.
f ＝log2－＝－1－2＝－3＜0，f(1)＝log21－＝0－1＜0，
f(2)＝log22－＝1－＝＞0，f(3)＝log23－＞1－＝＞0，即f(1)·f(2)＜0，
∴函数f(x)＝log2x－的零点在区间(1，2)内.
答案　C
3.(2014·山东卷)已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是(　　)
A. B.
C.(1，2) D.(2，＋∞)
解析　由f(x)＝g(x)，∴|x－2|＋1＝kx，即|x－2|＝kx－1，所以原题等价于函数y＝|x－2|与y＝kx－1的图象有2个不同交点.如图：∴y＝kx－1在直线y＝x－1与y＝x－1之间，∴＜k＜1，故选B.
答案　B
4.(2015·山东卷)设函数f(x)＝则满足f(f(a))＝2f(a)的a取值范围是(　　)
A. B.[0，1]
C. D.[1，＋∞)
解析　当a＝2时，f(a)＝f(2)＝22＝4＞1，f(f(a))＝2f(a)，∴a＝2满足题意，排除A，B选项；当a＝时，f(a)＝f ＝3×－1＝1，f(f(a))＝2f(a)，∴a＝满足题意，排除D选项，故答案为C.
答案　C
5.(2015·全国Ⅱ卷)如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象大致为(　　)

解析　当点P沿着边BC运动，即0≤x≤时，在Rt△POB中，|PB|＝|OB|tan∠POB＝tan x，在Rt△PAB中，|PA|＝＝，则f(x)＝|PA|＋|PB|＝＋tan x，它不是关于x的一次函数，图象不是线段，故排除A和C；
当点P与点C重合，即x＝时，由上得f ＝＋tan＝＋1，又当点P与边CD的中点重合，即x＝时，△PAO与△PBO是全等的腰长为1的等腰直角三角形，故f ＝|PA|＋|PB|＝＋＝2，知f ＜f ，故又可排除D.综上，选B.
答案　B
二、填空题
6.(2015·福建卷)若函数f(x)＝(a＞0，且a≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a的取值范围是________.
解析　由题意f(x)的图象如图，则∴1＜a≤2.
答案　(1，2]
7.(2015·洛阳模拟)若函数f(x)＝有两个不同的零点，则实数a的取值范围是________.
解析　当x＞0时，由f(x)＝ln x＝0，得x＝1.
因为函数f(x)有两个不同的零点，则当x≤0时，
函数f(x)＝2x－a有一个零点，令f(x)＝0得a＝2x，
因为0＜2x≤20＝1，所以0＜a≤1，
所以实数a的取值范围是0＜a≤1.
答案　(0，1]
8.已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，对x∈R都有f(x＋4)＝f(x)＋f(2)成立.当x1，x2∈[0，2]，且x1≠x2时，都有＜0，给出下列命题：
①f(2)＝0；
②直线x＝－4是函数y＝f(x)图象的一条对称轴；
③函数y＝f(x)在[－4，4]上有四个零点；
④f(2 014)＝0.
其中所有正确命题的序号为________.
解析　令x＝－2，得f(－2＋4)＝f(－2)＋f(2)，解得f(－2)＝0，因为函数f(x)为偶函数，所以f(2)＝0，①正确；因为f(－4＋x)＝f(－4＋x＋4)＝f(x)，f(－4－x)＝
f(－4－x＋4)＝f(－x)＝f(x)，所以f(－4＋x)＝f(－4－x)，即x＝－4是函数f(x)的一条对称轴，②正确；当x1，x2∈[0，2]，且x1≠x2时，都有＜0，说明函数f(x)在[0，2]上是单调递减函数，又f(2)＝0，因此函数f(x)在[0，2]上只有一个零点，由偶函数知函数f(x)在[－2，0]上也只有一个零点，由f(x＋4)＝f(x)，知函数的周期为4，所以函数f(x)在(2，4]与[－4，－2)上也单调，因此，函数在
[－4，4]上只有2个零点，③错；对于④，因为函数的周期为4，即有f(2)＝f(6)＝f(10)＝…＝f(2 014)＝0，④正确.
答案　①②④
三、解答题
9.定义在[－1，1]上的奇函数f(x)，已知当x∈[－1，0]时，f(x)＝－(a∈R).
(1)写出f(x)在[0，1]上的解析式；
(2)求f(x)在[0，1]上的最大值.
解　(1)∵f(x)是定义在[－1，1]上的奇函数，
∴f(0)＝0，∴a＝1，
∴当x∈[－1，0]时，f(x)＝－.
设x∈[0，1]，则－x∈[－1，0]，
∴f(－x)＝－＝4x－2x，
∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝2x－4x.
∴f(x)在[0，1]上的解析式为f(x)＝2x－4x.
(2)f(x)＝2x－4x，x∈[0，1]，
令t＝2x，t∈[1，2]，g(t)＝t－t2＝－＋，
∴g(t)在[1，2]上是减函数，
∴g(t)max＝g(1)＝0，即x＝0，f(x)max＝0.
10.(2015·太原模拟)已知函数f(x)＝ax2－2ax＋2＋b(a≠0)在区间[2，3]上有最大值5，最小值2.
(1)求a，b的值；
(2)若b＜1，g(x)＝f(x)－2mx在[2，4]上单调，求m的取值范围.
解　(1)f(x)＝a(x－1)2＋2＋b－a.
①当a＞0时，f(x)在[2，3]上为增函数，
故
②当a＜0时，f(x)在[2，3]上为减函数，
故
故或
(2)∵b＜1，∴a＝1，b＝0，即f(x)＝x2－2x＋2，
g(x)＝x2－2x＋2－2mx＝x2－(2＋2m)x＋2.
若g(x)在[2，4]上单调，则≤2或≥4，
∴2m≤2或2m≥6，即m≤1或m≥log26.
故m的取值范围是(－∞，1]∪[log26，＋∞).
11.已知函数f(x)＝－x2＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋(x＞0).
(1)若g(x)＝m有实根，求m的取值范围；
(2)确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根.
解　(1)∵x＞0，∴g(x)＝x＋≥2＝2e，
等号成立的条件是x＝e.
故g(x)的值域是[2e，＋∞)，因而只需m≥2e，

则g(x)＝m就有实根.故m∈[2e，＋∞).
(2)若g(x)－f(x)＝0有两个相异的实根，即g(x)＝f(x)中函数g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，
作出g(x)＝x＋(x＞0)的大致图象.
∵f(x)＝－x2＋2ex＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2.
其对称轴为x＝e，开口向下，最大值为m－1＋e2.
故当m－1＋e2＞2e，即m＞－e2＋2e＋1时，
g(x)与f(x)有两个交点，即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根.
∴m的取值范围是(－e2＋2e＋1，＋∞).
第2讲　不等式及线性规划
高考定位　不等式的性质、求解、证明及应用是每年高考必考的内容，对不等式的考查一般以选择题、填空题为主.(1)主要考查不等式的求解、利用基本不等式求最值及线性规划求最值；(2)不等式相关的知识可以渗透到高考的各个知识领域，往往作为解题工具与数列、函数、向量相结合，在知识的交汇处命题，难度中档；在解答题中，特别是在解析几何中求最值、范围或在解决导数问题时经常利用不等式进行求解，但难度偏高.

真 题 感 悟
1.(2015·重庆卷)“x＞1”是“log (x＋2)＜0”的(　　)
A.充要条件 B.充分而不必要条件
C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
解析　由x＞1x＋2＞3 log (x＋2)＜0，log (x＋2)＜0x＋2＞1x＞－1，故“x＞1”是“log(x＋2)＜0”成立的充分不必要条件.因此选B.
答案　B
2.(2015·北京卷)若x，y满足则z＝x＋2y的最大值为(　　)
A.0 B.1 C. D.2
解析　可行域如图所示.目标函数化为y＝－x＋ z，
当直线y＝－x＋ z过点A(0，1)时，z取得最大值2.
答案　D
3.(2015·陕西卷)设f(x)＝ln x，0＜a＜b，若p＝f ()，q＝f ，r＝(f(a)＋f(b))，则下列关系式中正确的是(　　)
A.q＝r＜p B.q＝r＞p
C.p＝r＜q D.p＝r＞q
解析　∵0＜a＜b，∴＞，
又∵f(x)＝ln x在(0，＋∞)上为增函数，
故f＞f()，即q＞p.
又r＝(f(a)＋f(b))＝(ln a＋ln b)
＝ln a＋ln b＝ln(ab)＝f()＝p.
故p＝r＜q.选C.
答案　C
4.(2015·全国Ⅰ卷)若x，y满足约束条件则的最大
值为________.
解析　约束条件的可行域如图，由＝，则最大值为3.
答案　3
考 点 整 合
1.解含有参数的一元二次不等式，要注意对参数的取值进行讨论：①对二次项系数与0的大小进行讨论；②在转化为标准形式的一元二次不等式后，对判别式与0的大小进行讨论；③当判别式大于0，但两根的大小不确定时，对两根的大小进行讨论.
2.利用基本不等式求最值
已知x，y∈R＋，则(1)若x＋y＝S(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值
；(2)若xy＝P(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2(x＋y≥2＝2).
3.平面区域的确定方法是“直线定界、特殊点定域”，二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的半平面的交集.线性目标函数z＝ax＋by中的z不是直线ax＋by＝z在y轴上的截距，把目标函数化为y＝－x＋，可知是直线ax＋by＝z在y轴上的截距，要根据b的符号确定目标函数在什么情况下取得最大值、什么情况下取得最小值.
4.不等式的证明
不等式的证明要注意和不等式的性质结合起来，常用的方法有：比较法、作差法、作商法(要注意讨论分母)、分析法、综合法、数学归纳法、反证法，还要结合放缩和换元的技巧.其中，比较法是应用最为广泛的证明方法，在导数、解含参不等式、数列等知识点都有渗透.

热点一　利用基本不等式求最值
[微题型1]　基本不等式的简单应用
【例1－1】 (2015·武汉模拟)已知两个正数x，y满足x＋4y＋5＝xy，则xy取最小值时，x，y的值分别为(　　)
A.5，5 B.10， C.10，5 D.10，10
解析　∵x＞0，y＞0，∴x＋4y＋5＝xy≥2＋5，
即xy－4－5≥0，可求xy≥25.
当且仅当x＝4y时取等号，即x＝10，y＝.
答案　B
探究提高　在使用基本不等式求最值时一定要检验等号能否取到，有时也需进行常值代换.
[微题型2]　带有约束条件的基本不等式问题
【例1－2】 (2015·四川卷)如果函数f(x)＝(m－2)x2＋(n－8)x＋1(m≥0，n≥0)在区间上单调递减，那么mn的最大值为(　　)
A.16 B.18 C.25 D.
解析　令f′(x)＝(m－2)x＋n－8＝0，∴x＝－，
当m＞2时，对称轴x0＝－，
由题意，－≥2，∴2m＋n≤12，
∵≤≤6，
∴mn≤18，由2m＋n＝12且2m＝n知m＝3，n＝6，
当m＜2时，抛物线开口向下，
由题意－≤，即2n＋m≤18，
∵≤≤9，∴mn≤，
由2n＋m＝18且2n＝m，
得m＝9(舍去)，∴mn最大值为18，选B.
答案　B
探究提高　在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
【训练1】 (1)(2015·广州模拟)若正实数x，y满足x＋y＋1＝xy，则x＋2y的最小值是(　　)
A.3 B.5 C.7 D.8
(2)已知关于x的不等式2x＋≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为(　　)
A.1 B. C.2 D.
解析　(1)由x＋y＋1＝xy，得y＝，
又y＞0，x＞0，∴x＞1.
∴x＋2y＝x＋2×＝x＋2×
＝x＋2＋＝3＋(x－1)＋≥3＋4＝7，
当且仅当x＝3时取“＝”.
(2)∵x∈(a，＋∞)，∴x－a＞0，
∴2x＋＝2(x－a)＋＋2a≥2·＋2a＝4＋2a，
由题意可知4＋2a≥7，得a≥，
则实数a的最小值为，故选B.
答案　(1)C　(2)B
热点二　含参不等式恒成立问题
[微题型1]　运用分离变量解决恒成立问题
【例2－1】 关于x的不等式x＋－1－a2＋2a＞0对x∈(0，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围为________.
解析　设f(x)＝x＋，因为x＞0，所以f(x)＝x＋≥2＝4.又关于x的不等式x＋－1－a2＋2a＞0对x∈(0，＋∞)恒成立，所以a2－2a＋1＜4，解得－1＜a＜3，所以实数a的取值范围为(－1，3).
答案　(－1，3)
探究提高　一是转化关，即通过分离参数法，先转化为f(a)≥g(x)(或f(a)≤g(x))对∀x∈D恒成立，再转化为f(a)≥g(x)max(或f(a)≤g(x)min)；
二是求最值关，即求函数g(x)在区间D上的最大值(或最小值)问题.
[微题型2]　构造函数(主辅元转换)解决恒成立问题
【例2－2】 已知f(t)＝log2t，t∈[，8]，对于f(t)值域内的所有实数m，不等式
x2＋mx＋4＞2m＋4x恒成立，求x的取值范围.
解　易知f(t)∈，由题意，令g(m)＝(x－2)m＋x2－4x＋4＝(x－2)m＋(x－2)2＞0对∀m∈恒成立.
所以只需即可，
即x＞2或x＜－1.
故x的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞).
探究提高　主、辅元互换可以实现对问题的有效转化，由繁到简，应用这种方法的过程中关键还是把握恒成立的本质，巧用转化思想，灵活处理，从而顺利解决问题.
【训练2】 (1)(2015·合肥模拟)已知a＞0，b＞0，若不等式－－≤0恒成立，则m的最大值为(　　)
A.4 B.16 C.9 D.3
(2)若不等式x2－ax＋1≥0对于一切a∈[－2，2]恒成立，则x的取值范围是________.
解析　(1)因为a＞0，b＞0，所以由－－≤0恒成立得m≤(3a＋b)＝10＋＋恒成立.
因为＋≥2＝6，
当且仅当a＝b时等号成立，所以10＋＋≥16，
所以m≤16，即m的最大值为16，故选B.
(2)因为a∈[－2，2]，可把原式看作关于a的函数，
即g(a)＝－xa＋x2＋1≥0，
由题意可知解之得x∈R.
答案　(1)B　(2)R
热点三　简单的线性规划问题
[微题型1]　已知约束条件，求目标函数最值
【例3－1】 设x，y满足约束条件则z＝2x－y的最大值为(　　)
A.10 B.8 C.3 D.2
解析　画出可行域如图所示，由z＝2x－y，得y＝2x－z，欲求z的最大值，可将直线y＝2x向下平移，当经过区域内的点，且满足在y轴上的截距－z最小时，即得z的最大值，如图，可知当过点A时z最大，
由得
即A(5，2)，则zmax＝2×5－2＝8.
答案　B
探究提高　线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.
[微题型2]　已知最值求参数问题
【例3－2】 (2015·山东卷)已知x，y满足约束条件若z＝ax＋y的最大值为4，则a＝(　　)
A.3 B.2 C.－2 D.－3
解析　不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示.易知A(2，0)，由得B(1，1).
由z＝ax＋y，得y＝－ax＋z.
∴当a＝－2或a＝－3时，z＝ax＋y在O(0，0)处取得最大值，最大值为zmax＝0，不满足题意，排除C，D选项；当a＝2或3时，z＝ax＋y在A(2，0)处取得最大值，∴2a＝4，∴a＝2，排除A，故选B.
答案　B
探究提高　对于线性规划中的参数问题，需注意：
(1)当最值是已知时，目标函数中的参数往往与直线斜率有关，解题时应充分利用斜率这一特征加以转化.
(2)当目标函数与最值都是已知，且约束条件中含有参数时，因为平面区域是变动的，所以要抓住目标函数及最值已知这一突破口，先确定最优解，然后变动参数范围，使得这样的最优解在该区域内即可.
[微题型3]　非线性规划问题
【例3－3】 已知动点P(x，y)在过点且与圆M：(x－1)2＋(y＋2)2＝5相切的两条直线和x－y＋1＝0所围成的区域内，则z＝|x＋2y－3|的最小值为(　　)
A. B.1 C. D.5
解析　由题意知，圆M：(x－1)2＋(y＋2)2＝5的圆心坐标为(1，－2).
过点的直线方程可设为y＝k－2，即kx－y＋k－2＝0.
因为直线kx－y＋k－2＝0和圆M相切，所以＝，解得k＝±2，所以两条切线方程分别为l1：2x－y＋1＝0，l2：2x＋y＋5＝0.由直线l1，l2和x－y＋1＝0所围成的区域如图所示.
z＝|x＋2y－3|＝的几何意义为可行域内的点到直线x＋2y－3＝0的距离的倍.由图知，可行域内
的点B到直线x＋2y－3＝0的距离最小，则zmin＝|0＋
2×1－3|＝1，故选B.
答案　B
探究提高　线性规划求最值问题要明确目标函数的几何意义：(1)目标函数为一次函数，几何意义可等价为横、纵截距，平移直线即可求出最值；(2)目标函数为二次函数