高一数学上册高效测评考试题20.doc

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第二章　2.3　

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．下列结论中，正确的是(　　)
A．幂函数的图象都通过点(0,0)，(1,1)
B．幂函数的图象可以出现在第四象限
C．当幂指数α取1,3，时，幂函数y＝xα是增函数
D．当幂指数α＝－1时，幂函数y＝xα在定义域上是减函数
解析：　当幂指数α＝－1时，幂函数y＝x－1的图象不通过原点，故选项A不正确；
因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y＝xα(α∈R)，y>0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故选项B不正确；
当α＝－1时，y＝x－1在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数，但在它的定义域上不是减函数，故选项D不正确．
答案：　C
2．下列幂函数中过点(0,0)，(1,1)的偶函数是(　　)
A．y＝x　　　　　　　　 B．y＝x4
C．y＝x－2 D．y＝x
解析：　函数y＝x定义域为(0，＋∞)，既不是奇函数也不是偶函数，故A不正确；
函数y＝x4是过点(0,0)，(1,1)的偶函数，
故B正确；
函数y＝x－2不过点(0,0)，故C不正确；
函数y＝x是奇函数，故D不正确．
答案：　B
3．设a＝，b＝，c＝，则(　　)
A．a<b<c B．c<a<b
C．b<c<a D．b<a<c
解析：　由y＝x是[0，＋∞)上的增函数，
∴<，
由y＝x是R上的减函数，
∴<.∴b<a<c.
答案：　D
4．已知函数y＝xa，y＝xb，y＝xc的图象如图所示，则a，b，c的大小关系为(　　)

A．c<b<a
B．a<b<c
C．b<c<a
D．c<a<b
解析：　由幂函数的图象特征知，c<0，a>0，b>0.
由幂函数的性质知，当x>1时，幂指数大的幂函数的函数值就大，则a>b.
综上所述，可知c<b<a.
答案：　A
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．已知幂函数f(x)＝xm2－1(m∈Z)的图象与x轴，y轴都无交点，且关于原点对称，则函数f(x)的解析式是________．
解析：　∵函数的图象与x轴，y轴都无交点，
∴m2－1<0，解得－1<m<1；
∵图象关于原点对称，且m∈Z，
∴m＝0，∴f(x)＝x－1.
答案：　f(x)＝x－1
6．已知幂函数f(x)＝xα的部分对应值如下表：
x
1

f(x)
1

则不等式f(|x|)≤2的解集是________．
解析：　由表中数据知＝α，∴α＝，∴f(x)＝x，
∴|x|≤2，即|x|≤4，故－4≤x≤4.
答案：　{x|－4≤x≤4}
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．已知幂函数f(x)＝x－m2＋2m＋3(m∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数．求函数f(x)的解析式．
解析：　∵f(x)在区间(0，＋∞)上是单调增函数，∴－m2＋2m＋3>0，即m2－2m－3<0，－1<m<3.又m∈Z，∴m＝0,1,2，而m＝0,2时，f(x)＝x3不是偶函数，m＝1时，f(x)＝x4是偶函数，∴f(x)＝x4.
8．已知幂函数f(x)＝xa的图象经过点A.
(1)求实数a的值；
(2)用定义证明f(x)在区间(0，＋∞)内的单调性．
解析：　(1)∵f(x)＝xa的图象经过点A，
∴a＝，
即2－a＝2，∴a＝－.
(2)证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，
则f(x2)－f(x1)＝x2－－x1－
＝－＝
＝.
∵x2>x1>0，∴x1－x2<0，
且·(＋)>0，
于是f(x2)－f(x1)<0，
即f(x2)<f(x1)，所以f(x)＝x－在区间(0，＋∞)内是减函数．

(10分)已知幂函数f(x)＝ (m∈N*)．
(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；
(2)若函数还经过(2，)，试确定m的值，并求满足f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围．
解析：　(1)∵m∈N*，
∴m2＋m＝m×(m＋1)为偶数．
令m2＋m＝2k，k∈N*，则f(x)＝x＝，
∴定义域为[0，＋∞)，在[0，＋∞)上f(x)为增函数．
(2)∵＝，∴m2＋m＝2，
解得m＝1或m＝－2(舍去)，
∴f(x)＝x，令2－a>a－1≥0，可得1≤a<.

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