高三数学锥曲线方程复习题5.doc

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第八章 第五讲

时间：60分钟　满分：100分
一、选择题(8×5＝40分)
1．已知M(－2,0)、N(2,0)，|PM|－|PN|＝4，则动点P的轨迹是 (　　)
A．双曲线　　　　　　　 B．双曲线左边一支
C．一条射线 D．双曲线右边一支
答案：C
2．已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆的一个动点，如果M是线段F1P的中点，则动点M的轨迹是 (　　)
A．圆 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．抛物线
答案：B
解析：本题考查椭圆的第一定义．
如下图所示，由题知|PF1|＋|PF2|＝2a，(设椭圆方程：＋＝1，其中a>b>0). 连结MO，由三角形的中位线可得：|F1M|＋|MO|＝a(a>|F1O|)，则动点M的轨迹为以F1、O为焦点的椭圆，故选B.

3.经过抛物线y2＝2px焦点的弦的中点的轨迹是 (　　)
A．抛物线 B．椭圆 C．双曲线 D．直线
答案：A
解析：设抛物线的焦点是F(，0)．
弦AB的中点为M(x，y)．
将A(x1，y1)、B(x2，y2)代入抛物线方程并作差得(y1＋y2)(y1－y2)＝2p(x1－x2)，
∴kAB＝＝＝＝.
又kMF＝，由kAB＝kMF，得＝
⇒y2＝p(x－)，
它是抛物线y2＝px沿向量(，0)平移所得．
4．(2009·石家庄市高中毕业班复习教学质量检测)设线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动，且|AB|＝5，＝＋，则点M的轨迹方程为 (　　)
A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1
答案：A
解析：设M(x，y)，A(m,0)，B(0，n)，由＝＋，得(x，y)＝(m,0)＋(0，n)，所以m＝，n＝y，又|AB|＝5，所以m2＋n2＝25，(x)2＋(y)2＝25，即＋＝1.
5．已知A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以C为一个焦点作过A、B的椭圆，椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是 (　　)
A．y2－＝1(y≤－1) B．y2－＝1
C．y2－＝－1 D．x2－＝1
答案：A
解析：由题意|AC|＝13，|BC|＝15，|AB|＝14，又|AF|＋|AC|＝|BF|＋|BC|，
∴|AF|－|BF|＝|BC|－|AC|＝2，
故F点的轨迹是以A、B为焦点，实轴长为2的双曲线下支，又c＝7，a＝1，b2＝48
所以轨迹方程为y2－＝1(y≤－1)．
6．已知定点A(－2,0)，B(2,0)，动点P与A、B连线的斜率之积满足kAP·kBP＝m，当m＜－1时，△ABP的形状是 (　　)
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．不能确定
答案：B

解析：如图，kAP1·kBP1＝－1，此时△ABP1为直角三角形，kAP2·kBP2＜－1，此时△ABP为锐角三角形．故选B.
7．设A1、A2是椭圆＋＝1长轴的两个端点，P1、P2是垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程为 (　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案：C
解析：设交点P(x，y)，A1(－3,0)、A2(3,0)、P1(x0，y0)、P2(x0，－y0)，
因为A1、P1、P共线，所以＝，
因为A2、P2、P共线，所以＝.
解得x0＝，y0＝，
代入＋＝1，
化简得－＝1.
8．已知圆的方程为x2＋y2＝4，若抛物线过点A(0，－1)，B(0,1)，且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点F的轨迹方程是 (　　)
A.＋＝1(y≠0) B.＋＝1(y≠0)
C.＋＝1(x≠0) D.＋＝1(x≠0)
答案：C
解析：如图，l为圆的切线，切点为M，l也是抛物线的准线，过切点M与圆心O的直线为抛物线的对称轴，焦点F(x，y)在对称轴上，AC⊥l，BD⊥l，则|AC|＋|BD|＝2|OM|＝4，
|FA|＋|FB|＝|AC|＋|BD|＝4.
即F的轨迹是以A、B为焦点的椭圆(不含y轴上的点)，其方程为＋＝1(x≠0)，故选C.
二、填空题(4×5＝20分)
9．(2009·浙江杭州学军中学月考)设P是以F1、F2为焦点的双曲线－＝1上的动点，则ΔF1PF2的重心的轨迹方程是________．
答案：－y2＝1(y≠0)
解析：设重心为(x，y)，设P(x′，y′)，
F1(－4,0)、F2(4,0)，
则⇒
代入双曲线方程得－y2＝1(y≠0)．
10．平面上有三个点A(－2，y)，B(0，)，C(x，y)，若⊥，则动点C的轨迹方程为______________．
答案：y2＝8x
解析：∵＝(2，－)，＝(x，)．
∴·＝2x－＝0，
即：y2＝8x.
11．已知⊙O的方程是x2＋y2－2＝0，⊙O′的方程是x2＋y2－8x＋10＝0，由动点P向⊙O和⊙O′所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是________．
答案：x＝
解析：设P(x，y)，由已知O(0,0)，r＝，O′(4,0)，r′＝，
∴|PO|2－r2＝|PO′|2－r′2，
即x2＋y2－2＝(x－4)2＋y2－6.
解得x＝.
12．过原点的双曲线以F(4,0)为一个焦点，且实轴长为2，则此双曲线的中心的轨迹方程为________．
答案：(x－2)2＋y2＝1或(x－2)2＋y2＝9
解析：设双曲线中心为(x，y)，另一焦点坐标为(2x－4,2y)
由于双曲线过原点，因此有：
|－4|＝2，∴＝3或＝1
所以轨迹方程为：(x－2)2＋y2＝9或(x－2)2＋y2＝1.

三、解答题(4×10＝40分)
13．如图，设点A和B为抛物线y2＝4px(p>0)上除原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.
解析：解法一：设M(x，y)
∵A，B两点在抛物线上，则A(，y1)，B(，y2)．
由OA⊥OB⇒kOA·kOB＝－1⇒y1·y2＝－16p2.
由OM⊥AB⇒kOM·kAB＝－1⇒·＝－1⇒y1＋y2＝－.
又∵动点M在直线AB上，直线AB方程：y－y1＝(x－)，
故M(x，y)适合方程：
y＝(x－)＋y1＝－＋
＝＋＝＝
整理得(x－2p)2＋y2＝4p2(x≠0)，
点M的轨迹是以C(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆(去掉原点)．
解法二：设M(x，y)，A(，y1)，B(，y2)．
∵kOA·kOB＝－1，∴y1·y2＝－16p2，
又∵直线AB的方程为y－y1＝(x－)，
令y＝0有·x＝－y1，
∴·x＝，
∴x＝＝＝4p，
故直线AB恒过定点Q(4p,0)，根据kOM·kMQ＝－1，有·＝－1，
整理得(x－2p)2＋y2＝4p2(x≠0)．
解法三：∵点A、B在抛物线y2＝4px上，
设A(，yA)，B(，yB)，M(x，y)，则＝(，yA)，＝(，yB)，
∵⊥，
∴·＝0＝(，yA)·(，yB)，
∴＋yA·yB＝0，
∵yA·yB≠0，∴yA·yB＝－16p2，①
又∵⊥，
∴·＝0＝(x，y)·(－，yB－yA)，
∴·x＋(yB－yA)·y＝0，依题意，yA≠yB，∴yB－yA≠0，
∴·x＋y＝0，即yB＋yA＝－，②
∵与共线，而＝(x－，y－yA)，＝(－x，yB－y)，
∴(x－)·(yB－y)－(－x)·(y－yA)＝0，
∴x＋－＝0，③
将①②式代入③，化简得x2＋y2－4px＝0，
∴(x－2p)2＋y2＝4p2(x≠0)，故M的轨迹是以(2p,0)为圆心，2p为半径的圆，去掉(0,0)．
分析：解法一通过整理过程，寻找机会将y1y2和y1＋y2整体代入消参；解法二关键得出直线AB恒过定点(4P,0)，再运用kOM·kMQ＝－1；解法三利用向量知识求解．
14．在△ABC中，已知B(－3,0)，C(3,0)，AD⊥BC于D，△ABC的垂心H分有向线段所成的比为.
(1)求点H的轨迹方程；
(2)设P(－1,0)，Q(1,0)，那么、、能成等差数列吗？为什么？
解析：(1)设H(x，y)，则A(x，y)
故·＝－1.化简，
得所求的轨迹方程为＋＝1(y≠0)
(2)因c＝1，故P、Q分别为椭圆的左、右焦点，且e＝.于是，|HP|＝3＋x，
|HQ|＝3－x.
假设、、能成等差数列，
则＋＝，
解之，得x2＝27.
从而，＝1－＜0，矛盾．
故假设不成立，于是、、不能成等差数列．
15．如图，已知圆A：(x＋2)2＋y2＝1与点A(－2,0)，B(2,0)，分别求出满足下列条件的动点P的轨迹方程．
(1)ΔPAB的周长为10；
(2)圆P过点B(2,0)且与圆A外切(P为动圆圆心)；
(3)圆P与圆A外切且与直线x＝2相切(P为动圆圆心)．
解析：(1)根据题意，
知|PA|＋|PB|＋|AB|＝10.
即|PA|＋|PB|＝6＞4＝|AB|，
故P点的轨迹是椭圆，
且2a＝6,2c＝4，
即a＝3，c＝2，b＝.
因此其方程为＋＝1(y≠0)．
(2)设圆P的半径为r，则|PA|＝r＋1，|PB|＝r，
因此|PA|－|PB|＝1.由双曲线的定义知，P点的轨迹为双曲线的右支，且2a＝1,2c＝4，即a＝，c＝2，b＝.
因此其方程为4x2－y2＝1(x≥)．
(3)依题意，知动点P到定点A的距离等于到定直线x＝2的距离，故其轨迹为抛物线，且开口向左，p＝4.
因此其方程为y2＝－8x.
反思归纳：(1)本题为利用圆锥曲线定义求动点轨迹方程问题．若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义，如圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可以直接根据定义求出动点的轨迹方程．
(2)圆锥曲线的定义提示了其本质特征，而圆锥曲线的方程随坐标系的不同而不同，因而掌握定义是根本．
16．如图，已知点F(1,0)，直线l：x＝－1，P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且·＝·.

(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点M，已知＝λ1，＝λ2，求λ1＋λ2的值．
命题意图：本小题主要考查直线、抛物线、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法，考查运用能力和综合解题能力．
解析：解法一：(1)设点P(x，y)，则Q(－1，y)，由·＝·，得(x＋1,0)·(2，－y)＝(x－1，y)·(－2，y)，
化简得C：y2＝4x.
(2)设直线AB的方程为：x＝my＋1(m≠0)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，又M(－1，－)．
联立方程组消去x得y2－4my－4＝0，
Δ＝(－4m)2＋12＞0，
由＝λ1，＝λ2，得：
y1＋＝－λ1y1，y2＋＝－λ2y2，整理得：
λ1＝－1－，λ2＝－1－，
∴λ1＋λ2＝－2－(＋)＝－2－·＝－2－·＝0.
解法二：(1)由·＝·得：·(＋)＝0，

∴(－)·(＋)＝0，∴2－2＝0，
∴||＝||.
所以点P的轨迹C是抛物线，由题意，轨迹C的方程为y2＝4x.
(2)由已知＝λ1，＝λ2，得λ1·λ2＜0，
则＝－，①
过点A、B分别作准线l的垂线，垂足分别为A1、B1，
则有＝＝，②
由①②得：－＝，即λ1＋λ2＝0.

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