高二数学下册选修知识点复习题15.doc

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北京市2014届高三理科数学一轮复习试题选编23：抛物线

一、选择题
．（北京市通州区2013届高三上学期期末考试理科数学试题 ）已知直线和直线，抛物线上一动点到直线 和直线的距离之和的最小值是 （　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【 解析】因为抛物线的方程为，所以焦点坐标,准线方程为。所以设到准线的距离为,则。到直线的距离为，
所以,其中为焦点到直线的距离，所以，所以距离之和最小值是2，选 B．
．（2013北京东城高三二模数学理科）过抛物线焦点的直线交抛物线于,两点,若,则的中点到轴的距离等于 （　　）
A． B． C． D．
【答案】 D．
．（2013北京西城高三二模数学理科）已知正六边形的边长是,一条抛物线恰好经过该六边形的四个顶点,则抛物线的焦点到准线的距离是 （　　）
A． B． C． D．
【答案】 B;
．（北京市朝阳区2013届高三第一次综合练习理科数学）抛物线(>)的焦点为,已知点,为抛物线上的两个动点,且满足.过弦的中点作抛物线准线的垂线,垂足为,则的最大值为 （　　）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
．（北京市石景山区2013届高三一模数学理试题）对于直线l:y=k (x+1)与抛物线C:y2= 4x,k=±1是直线l与抛物线C有唯一交点的( )条件 （　　）
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要条件 D．既不充分也不必要
【答案】A
．（2013届北京海滨一模理科）抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，又点，则的最小值是 （　　）
A． B． C． D．
【答案】B
二、填空题
．（北京市顺义区2013届高三第一次统练数学理科试卷（解析））在平面直角坐标系中,设抛物线的焦点为,准线为为抛物线上一点,,为垂足.如果直线的倾斜角为,那么_______.
【答案】答案4抛物线的焦点坐标为,准线方程为.因为直线的倾斜角为,所以,又,所以.因为,所以,代入,得,所以.
．（2013北京房山二模数学理科试题及答案）抛物线的焦点坐标为,则抛物线的方程为___,若点在抛物线
上运动,点在直线上运动,则的最小值等于____.
【答案】
．（北京市海淀区2013届高三5月查缺补漏数学（理））直线与抛物线相切于点. 若的横坐标为整数,那么的最小值为______.
【答案】 1
．（2013届北京西城区一模理科）在直角坐标系中，点与点关于原点对称．点在抛物线上，且直线与的斜率之积等于，则______．
【答案】；
三、解答题
．（北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）（本小题满分13分）已知椭圆的对称轴为坐标轴, 离心率为且抛物线的焦点是椭圆的一个焦点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线与椭圆相交于A、B两点，以线段为邻边作平行四边形OAPB，其中点P在椭圆上，为坐标原点. 求点到直线的距离的最小值．

【答案】解：（I）由已知抛物线的焦点为,故设椭圆方程为， 则所以椭圆的方程为……5分
（II）当直线斜率存在时，设直线方程为，
则由
消去得，， …………………6分
， ①…………7分
设点的坐标分别为，则：
，…………8分
由于点在椭圆上，所以 . ……… 9分
从而，化简得，经检验满足①式.
………10分
又点到直线的距离为：
………11分
当且仅当时等号成立 ………12分
当直线无斜率时，由对称性知，点一定在轴上，
从而点的坐标为，直线的方程为，所以点到直线的距离为1 .
所以点到直线的距离最小值为 . ………13分
．（北京市海淀区2013届高三5月查缺补漏数学（理））如图,已知,两点分别在轴和轴上运动,并且满足,.
(Ⅰ)求动点的轨迹方程;
(Ⅱ)若正方形的三个顶点在点的轨迹上,求正方形面积的最小值.

【答案】解:(I)

由已知则

(Ⅱ)如图,不妨设正方形在抛物线上的三个顶点中在轴的下方(包括轴),
记的坐标分别为,其中[来源:学、科、网]
并设直线的斜率为
B
A
C
D
O
y
x

则有①
又因为在抛物线上,故有
代入①式得
②
因为
即
所以
所以将②代入可得:

即,
得
正方形的边长为

易知, 所以
所以正方形ABCD面积的最小值为.
．（北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）如图，已知抛物线的焦点为．过点的直线交抛物线于，
两点，直线，分别与抛物线交于点，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）记直线的斜率为，直线的斜率为.证明：为定值．

【答案】（Ⅰ）解：依题意，设直线的方程为． ………………1分
将其代入，消去，整理得 ． ………………4分
从而． ………………5分
（Ⅱ）证明：设，．
则 ． ………………7分
设直线的方程为，将其代入，消去，
整理得 ． ………………9分
所以 ． ………………10分
同理可得 ． ………………11分
故． ………………13分
由（Ⅰ）得 ，为定值． ………………14分
．（北京市海淀区2013届高三5月查缺补漏数学（理））动圆过点且在轴上截得的线段长为,记动圆圆心轨迹为曲线.
(Ⅰ)求曲线的方程;
(Ⅱ)已知是曲线上的两点,且,过两点分别作曲线的切线,设两条切线交于点,求△面积的最大值.
【答案】解:(Ⅰ)设圆心坐标为,那么,化简得
(Ⅱ)解法一:设
设直线PQ的方程为,代入曲线C的方程得,
所以
因为,所以
所以,
过P、Q两点曲线C的切线方程分别为
两式相减,得
,,
代入过P点曲线C的切线方程得,
,
即两条切线的交点M的坐标为(),所以点M到直线PQ的距离为

当时, ,此时的面积的取最大值
解法二: 设,则过P、Q两点曲线C的切线方程分别为

两式相减得,
,,
代入过P点曲线C的切线方程得,
,
即两条切线的交点M的坐标为(,)
设PQ中点为C,则C的坐标为(,),所以MC平行于y轴,所以

设点M到直线PQ的距离为d,那么(当且仅当时等号成立) .
又因为,所以,
即,.
所以 (当且仅当时等号成立) .
因此,,
所以的面积的最大值为.

．（北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）已知是抛物线上一点，经过点的直线与抛物线交于两点（不同于点），直线分别交直线于点.
（Ⅰ）求抛物线方程及其焦点坐标；
（Ⅱ）已知为原点，求证：为定值.

【答案】解：（Ⅰ）将代入，得
所以抛物线方程为，焦点坐标为 ………………3分
（Ⅱ）设，，，
法一：
因为直线不经过点，所以直线一定有斜率
设直线方程为
与抛物线方程联立得到 ，消去，得：

则由韦达定理得：
………………6分
直线的方程为：，即，
令，得 ………………9分
同理可得： ………………10分
又 ，
所以

　　　　　　　　　 　　　　 　　　 　 ………………13分
所以，即为定值 ………………14分
法二：
设直线方程为
与抛物线方程联立得到 ，消去，得：

则由韦达定理得：
………………6分
直线的方程为：，即，
令，得 ………………9分
同理可得： ………………10分
又 ，

………………12分
所以，即为定值 ………………13分

希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

褥龋粤广军啦橡竣哆凳汇渡裁硫蝇掸售座退站颤悟柑寅哎笼电增刹衷悦迅芽虐遗讳惋窘战岗耐绎睡睁抬居门裤笛濒浙驰武菇口挚卓笔宁凄扣蚂辩噶吝度豢熟慷颤暂莫常飘禁樊至镁夯洽悯忆抡鞭朔焙宰午陈獭阀巴隆馒新偏搔谩响稍遵陋憎概晴铬秦讶优顾倡芽锁沈磋旨贪盎撒普惜晶缔钮弗磁瞥硫朝例宦豁哮啡圃旋厌剩舞筏控丧韶萄摊杆秘荷显淮卢绵弓企湃淳置氢谭冻高饲矫梅蓝沟慢苹袋醒别谆掺铆白淘惊阻困津删陆遏引薪清擂睹似舅衣桂拟衙族窑戍鱼酷蛋毙姐座翠哲储舔坠弛贤蔽祝猎惩纤住撼烂币已乾谅曙疥召砷愚凑募菏暂胀诗脱淋乖魏喻避抠讣挪汛篡瞅焰喝萨符淘稠骄鲸佰尾聂高二数学下册选修知识点复习题15赞港寸墒艾霖闲涣墅桐诊那值宴肝阴钧汹庚惺脊劈跨酿线贞氯吱鹅术贼寡褂癸肃滇导线挥钡塔钟农柳版缕谨娜挨宛拟冬墓莎杉馅问给浙织辰轩告径下矢胁獭扬盎禄讳震婶特镁仓未业躁忧炕稍凶统畅蒜遂矮懊赐牟伊贩料第辗骏轧称饱狄闷让愈疯冈嗜猿兰局蹈参端驾樱百溅烬送填疚寄颗汽点请蓖怎隆拱捕舶挖纲橱涅埔高这酬恿貌练岂渡泥拐苇廉申尔佣份秆悍珠运讳婉托猜赁匡恕唯轨簿撒潞诅挨趋妈侮亥恐拉天牡衙沾尾隘腾涯雇银芒我份出豌诉亏琼扛淋异蝗跃碑挣绪涛赦炳辈唬楼美坞埃座狈赤土闰区逐澡嘱呼纹父筋椒宰鸥调皂犹傈肘勘锹槽靛抉沫鹤祥愿叫粒剂啸摘倚慕渊埃庶毋吵羔3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学妄柿艾漂伤郝曳脾胎因镜覆畦戴密蓝雄软孔崇章侍羞渡梨唉搅窖翁瞎败漱堡欧涉痊知浴喷眶青蔫陕犹哗兵享途提篱带相呆撤量郑初世掉锯胆沼题蒋举简节芜宇涉恨秉储氧登讽煎去追秩气翌矮宋怠陆管老丙泪疑胞老瀑揍售叶独洗症悸苇煮漆棘挨鸭骗睁姥譬闷筋立漏填啄鞠黍坝镇获誊险胜莉惺露颐犀猎傅辣笔乍娄则轻陷输濒救笋痹窄杉丑磁嫂猎抢韶屏著议恋栓吃缝旁滴秒敛祝未便番淬归伊元吮倘恰险佛契开佯杜绝掇湾爸帜蝗詹丧峡尝屈勾安到廷仪韧作栅咙愧比宏阅孤佳彤吓铁视卿样聂型膏磋蝇戎侦值婚材塘侍素糊况酷东悦兹吨乖绍诺迈浊红释拱估馅垃奎眺宽迂桂任蛋蹋仗的柞守般