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生产企业原材料订购及运输问题研究

摘要；本文针对2021年数学建模C题生产企业原材料的订购和运输问题中的第一问和第二问进行研究，利用目标规划和0-1规划模型，对提出的问题进行分析求解，得出符合题意的方案。
关键词：原材料订购；主成分分析；0-1规划；目标规划
一、问题重述
1. 问题背景
近年来，随着经济的发展和社会的进步，人们对于建筑和装饰板材的需求越来越旺盛。现在有一家以木质纤维和其他植物纤维材料为主要生产原材料的企业，每年生产48周，并且会将未来24周原材料的订购和转运计划提前制定出来。
该企业将原材料大致分为A、B、C三种类型。每周该企业的实际产能为2.82万立方米，而每立方米的产品需消耗0.6立方米的A类原材料或0.66立方米的B类原材料，或0.72立方米的C类原材料。因为原材料比较特殊，供应商不能严格按企业的订货量进行供货，实际上给企业的供货量可能会比订货量多，也可能比订货量少。企业为了保证生产能够正常进行，尽可能保证原材料的库存量能够满足不少于两周的生产需求，因此该企业总是将供应商提供的原材料全部收购。
原材料在转运过程中会出现一定的损耗，该企业仓库接收到转运商实际运送到仓库的原材料数量为企业的“接收量”。每家转运商一周可以运送6000立方米，并且一家供应商尽量由一家转运商运送原材料。
原材料的成本直接影响着企业的利润，在现实中C类原材料采购单价最低，A类原材料采购单价比C类原材料高20%， B类原材料采购单价比C类原材料高10%。三类原材料在运输和储存方面单位费用都是相同的。
2. 问题提出
附件1给出了该企业近5年402家供应商的相关数据。附件2 给出了该企业近5年8家转运商的相关数据。请结合实际情况，对数据进行分析，研究以下问题：
（1）针对附件1，对402家供应商的相关数据进行量化分析，建立出一个数学模型，用来反映保障企业生产重要性，并且以这个模型为基础在这402家供应商中确定出50家重要的供应商。
（2）将问题（1）作为参考，这个企业至少应该选择多少家供应商给该企业供应原材料才能满足该企业的生产需求？针对这些供应商，制定该企业未来24周每周最经济的原材料订购方案。
二、模型假设
1. 假设原材料价格不会出现波动。
2. 假设不考虑该企业到供应商之间距离问题。
3. 假设生产企业在第一周初始时原材料的储存量为0。
4. 假设订购原材料时考虑了优先消耗库存量。
5. 假设生产企业需要保持不少于两周的生产库存，为这一周生产需求量加上上一周剩余库存大于5.64万/周，且第24周仍需保持本周与下一周的生产需求量。
三、模型的建立
1. 问题一的建模
通过对附件1中近5年402家供应商的相关数据进行分析，得出供应商的供货特征，对数据进行量化分析确定衡量供应商供货效率的指标，利用主成分分析模型确定出50家重要的供应商。
1. 问题一的分析
根据题目要求，对附件1中供应商的供货量进行求和进行升序排列，取前60家的相关数据，利用EXCEL软件将这60家供应商的相关数据绘制成各个供应商每周供货量对应的变化曲线，观察得到的曲线图可以看出该企业每隔24周将会大量订购一次生产所需的原材料，与题目中每年生产48周，并且会将未来24周原材料的订购和转运计划提前制定出来相对应。利用主成分分析[1]的方法，求出所有供应商的综合评价值，以此为基础进行排名，并取其中前50家供应商作为50家重要的供应商。
2. 问题一的数据预处理
附件1中的数据较多，不能画出全部的供货量的曲线图，由于数据越大，在曲线图中的起伏波动越大，因此对附件1中供应商240周供货量求和并进行升序排序，截取前六十个数据，用EXCEL软件绘制出关于这60家供应商240周的供货量变化的曲线图。
根据曲线图可以看出供货量呈现一定规律波动，同时通过供应商每周供给的A类原材料、B类原材料、C类原材料可以得出该企业近5年每周实际产能，将实际产能与每周应产能2.82万立方米做成散点图，由散点图可以看出近5年大部分实际产能低于应产能，即供应商供给的原材料不能满足该企业的需求，使得该企业大部分时间都不能达到每周的产能。
通过附件1中的订货量和供货量数据可以整理出总订货次数、总供货次数、总供货次数与总订货次数的比值、总订货量、总供货量、总供货量与总订货量的比值，将这六个值作为反应保障企业生产重要性的指标。
3. 问题一模型的建立
针对这六个指标，可以利用主成分分析对原始数据进行标准化处理，将各指标值 转换成标准化指标 ，

其中

即 为第 个指标的样本均值和样本标准差。
对应地，称

为标准化指标变量。
相关系数矩阵

式中： 是第 个指标与第 个指标的相关系数。
计算相关系数矩阵
的特征值 ，及对应的标准化特征向量 其中 ，由特征向量组成6个新的指标变量，计算特征值 的信息贡献率和累计贡献率。
称

为主成分 的信息贡献率；而且称
，
为主成分 的累积贡献率，
当 接近于 时，则选择前 个指标变量 作为 个主要成分，代替原来6个指标变量，从而可对 个主成分进行综合分析。
计算综合得分
，
其中 为第 个主成分的信息贡献率，根据综合得分值就可进行评价。
2. 问题二的建模
1. 第一小问的建模
针对问题对数据进行处理，得出每周最大的实际产能并对运输损耗率进行分析，从多方面因素考虑，让该企业应至少选择21家供应商供应原材料才可能满足该企业的生产需求。
1. 问题分析
在问题（1）的基础上对求出的50家重要的供应商的数据利用EXCEL进行分析汇总，结合题目中条件，得出50家供应商最大产能表，同时利用k-means聚类分析得出8家转运商240周的运输损耗率大部分在3%左右，并以此作为选出的50家供应商转运货物的运输损耗率，再通过0-1规划模型求出至少需要21家供应商才能满足该企业生产的需求。
2. 0-1规划数学模型的建立
规定决策变量 的取值为：

则此0-1规划[2]的数学模型为：
，
，
式中 表示最小值； 表示最少供应商数量； 表示“受约束于”； 是最大产能。
2. 第二小问的建模
针对题目中提到的最经济的订购方案，利用目标函数24周每周各类原材料所需供货量，按最大供货量进行排序，依次累加直到总计达 、 、 为止，得出该企业未来24周每周最经济的原材料订购方案。
1. 问题分析
将50家重要的供应商按照原材料种类不同进行分类，利用EXCEL求出每周最大供货量，并依据尽可能保持不少于满足两周生产需求的原材料库存量的要求运算出24周每周的库存量，通过单目标最优化模型，求出该企业未来24周每周最经济的原材料供货方案，并依据各个供应商的订货完成率反求出该企业未来24周每周最经济的原材料订购方案。
2. 目标规划模型的建立
目标规划模型[3]如下：
目标函数：
，
约束条件：

式中 表示第 周； 表示第 周A类原材料的所需供货量、 表示第 周B类原材料的所需供货量、 表示第 周C类原材料的所需供货量； 表示第 周的库存量； 表示第 周A类原材料的最大供货量、 表示第 周B类原材料的最大供货量、 表示第 周C类原材料的最大供货量。
参考文献
[1]吴祈宗,侯福均.运筹学与最优化方法[M].北京:机械工业出版社.2013年.
[2]刘保东,宿洁,陈建良.数学建模基础教程[M].北京:高等教育出版社.2015年.
[3]司守奎,孙兆亮.数学建模算法与应用[M].北京:国防工业出版社.2015年.
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-全文完-