路面激励载荷时频域分析研究.doc

毕业论文说明书 路面激励载荷时频域分析研究1 引言11 本课题研究的背景及意义随着经济的发展，高等级公路里程的增长，长途客流已成为我国公路运送的重要特性，长距离、长时间的驾驶作业已是平常。这样使得隔振装置在汽车上发挥着越来越重要的作用，如轮胎、弹簧钢板、减振器、座椅、气囊等等。这些装置缓和了路面不平传给人体的冲击，衰减了由此引起的振动，给驾驶员和乘员提供了舒适、安全的乘座条件及工作条件，车辆运送路面激励载荷的分析对隔振装置的设计起着关键性的作用。此外，一些产品在运送过程中，由于包装不妥而遭到破坏，这方面的损失是很大的。产品在运送过程中遭到破坏的重要因素是包装方法、包装材料及包装结构不合理所致，其主线因素就是包装缺少科学性。车辆运送路面激励载荷的分析举证了包装产品在振动与冲击作用下的动力学规律。同时，有助于商家在减振包装的设计方法与设计环节中做到最佳。本文以汽车运送过程中路面的激励数据为对象，进行随机路面振动激励载荷特性的时频域分析和研究。实际生活中路面对车辆的激励载荷在垂直、前进、左右三个方向上都存在，由于三个方向上激励载荷的相关性不是很大，且垂直方向上的激励载荷影响最为明显，故我们仅对这一方向上的数据进行分析。12 振动信号的研究及现状车辆在行驶状态下的振动信号是不平稳的，用Fourier分析法和通常的时域分析方法是不能反映出车辆振动的本质特性的，这样也就是车辆的减震降噪相对变得困难。由于非平稳动态信号的记录特性与时间有关，对非平稳信号的解决需进行时频分析，希望得届时域和频域中非平稳信号的全貌和局化结果1。非平稳振动信号的解决方法中有短时傅立叶分析、Winger-vile分析、小波分析、Hilbert-huang变换和神经网络技术6。 短时傅立叶变换（STFT）15：通过一个窗口观测信号，将整个信号转化为若干个局部“平稳”的信号，再进而施行傅立叶变换，从而将一维信号映射为时间一频率面内的二维函数。然而，根据短时傅立叶变换的基本理论，时间和频率的分辨率将直接影响分析的结果，而高的时间分辨率规定分析窗尽量窄，高的频率分辨率则规定分析窗尽量宽。在实际应用中，只能牺牲时间分辨率以换取更高的频率分辨率，或反过来用频率分辨率的牺牲换取时间分辨率的提高。Winger-vile分布的重要特点之一是具有明确的物理意义，它可被看作信号能量在时域和频域中的分布，根据卷积定理和多分量信号的Winger-vile分布会出现交叉项，这是Winger-vile分布应用中的重要困难，交叉项通常是振荡的，并且幅度可以达成自项的两倍，导致信号的时频特性模糊不清，因此如何有效克制交叉项，对时频分析非常重要，对多分量信号的干扰项虽是无法避免的，但国内外学者已经研究了多种可克制或削弱它们的方法重要有：预滤波法、多分量分离法与辅助函数法，并且都采用解析信号以消除由负频率成分产生的交叉干扰项。小波分析方法3,5是一种窗口大小固定但其形状可改变、时间窗和频率窗都可改变的时一频局部分析方法。即在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，很适合于探测正常信号中夹带的瞬态反常现象，所以被誉为信号分析的显微镜。小波分析本质上是窗可调的傅立叶变换，由于小波基函数的长度有限，在对信号作小波变换时会产生能量泄露，从而要对信号在时域和频域作精确分析会有较大的困难；另一方面，一旦选择了小波基和分解尺度，所得到的结果将是某一固定频段的信号，这一频段只与信号的采样频率有关而不能随信号自身的变化而变化，也就是说不具有自适应性。希尔波特一黄(HilbertHuang)变换17是指先进行一种称为经验模式 (Empirical Mode Decomposition，简称EMD)的信号分解，再对所得分量进行希尔伯特变换的方法。经验模式分解(EMD)提出了本征模函数的新概念以及将任意信号进行经验模式分解的方法，初步建立了以瞬时频率为表征信号交变的基本量，以本征模函数为基本时域信号的新时频分析方法体系，HilbertHuang变换局部性能良好并且是自适应的，对稳态信号和非平稳信号都能进行分析。HilbertHuang变换得到的瞬时频率具有清楚的物理意义可以表征信号的局部特性。自回归滑动平均(ARMA)模型是一类根据实测数据建立的，在系统辨识、预测、控制中广泛采用的线性动态模型，但ARMA模型仅合用于平稳随机信号，故在建立模型之前必须对信号进行平稳化解决。E.Norden等提出的经验模态分解(EMD)，为建立ARMA模型提供了一种实现途径，即基于EMD和ARMA模型振动信号降噪的解决方法9。基于PED（偏微分方程）的去噪方法可以有效的消除振动信号中的噪声干扰，同时保存信号自身的边沿特性和内部连续性，对信号的特性破坏少，并且还具有平滑特性。因此该法在消除缓变信号的噪声干扰尤为突出16。功率谱估计可以分为经典谱估计(非参数估计)和现代谱估计(参数估计)。前者的重要方法有：周期图法，相关图法及改善的周期图的估计法8,10,12。后者的重要发法有最大熵谱分析法(AR模型法)、Pisarenko谐波分解法、Prony提取极点法、Prony谱线分解法以及Capon最大似然法。其中周期图法和AR模型法是用得较多且最具代表性的方法4,7。MATLAB提供应用户的事一种最简洁、最直观的程序开发环境，用MATLAB编程如同在演算纸上排列出公式与求解问题。它强大的信号解决工具箱广泛应用于振动信号的解决中。13 钢丝绳减震器的构成及工作原理钢丝绳减震系统是由绕制成螺旋弹簧状的钢丝绳和上下夹板构成的，夹板上钻有安装孔。钢丝绳隔振器的刚度和阻尼取决于钢丝绳直径、股数、长度、圈数、缠绕方式及松紧限度。钢丝绳减震器具有刚度大能承受较大的载荷，快速吸能使振动迅速衰减，不产生谐振，结构简朴，体积较小，不易老化，不受温度变化影响等优点。当隔振器变形时，钢丝绳各股之间发生滑移，产生干摩擦阻尼，变形愈大阻尼愈大，吸取的振动能量也越多，可达成隔离振动的目的。由振动理论分析可知，钢丝绳隔振系统的固有频率、阻尼、传递函数与外激励之间均为非线性关系。14 本文研究的内容（1）学习和研究数据解决的方法，对于大宗数据，可进行分段解决。（2）由于采集过程受各方面的影响得到的信号并不是真实的振动信号，所以需要对数据进行预解决，用五点三次法对数据进行平滑解决，消除信号的不规则趋势项和高频噪声。（3）设计滤波器把不需要的成分滤掉，保存需要的成分，分析滤波前后的平均值、均方值、均方根值、方差、相关性分析等。（4）对滤波后的加速度信号进行一次积分求得振动信号的速度，进行二次积分求得振动信号的位移。（5）用经典谱分析的方法对信号进行频域分析。2 振动信号预解决技术研究21 数据的平滑解决2.1.1 平滑解决的意义和目的通过数据采集仪采样得到的振动信号数据往往叠加有噪声信号，噪声信号除了有50HZ的工频及其倍频程等周期性的干扰信号外，尚有不规则的随机信号。由于随机信号的频带较宽，有时高频成分所占的比例还很大，使得采集到的离散数据绘成振动曲线上呈现许多毛刺，很不光滑。为了削弱干扰信号的影响，提高振动曲线的光滑度，故需要对数据进行平滑解决。数据平滑还可以消除信号的不规则趋势项。在振动测试过程中，有时测试仪由于受到某种意外的干扰，导致个别测点的采样信号产生偏离基线较大，形状有不规则的趋势项。可以用滑动平均法对这个信号进行多次数据平滑解决，得到一条光滑的趋势项曲线，用原始信号减去趋势项，即消除了信号的不规则趋势项。最常用的平滑解决方法有平均法、五点三次平滑法。本文采用这两种方法来对振动信号进行平滑解决。2.1.2 平滑解决的原理（1）五点三次平滑法平滑解决五点三次平滑法是运用最小二乘法原理对离散数据进行三次最小二乘多项式平滑的方法。五点三次平滑法的计算公式：五点三次平滑法对时域数据的重要作用是能减少混入振动信号中的随机高频成分。（2）五点滑动平均法平滑解决直线滑动平均法是根据某点邻近的采样点的波幅来对该点波幅进行修正，从而达成对波形进行去噪的目的。直线滑动平均法是运用最小二乘法原理对离散数据进行线性平滑。五点滑动平均的计算公式为： 2.1.3 平滑解决方法为了便于研究，我们只截取了数据的一部分。（1）五点三次平滑法平滑解决图2.1信号平滑前、后的时程图和频谱图（平滑次数40）图2.2信号平滑前、后的时程图和频谱图（平滑阶次50）图2.3 信号平滑前、后的时程图和频谱图（平滑次数60）从时域图上可看出，平滑解决前的信号中混有噪声信号，使得绘制成的振动曲线上呈现许多的毛刺，并且也很不光滑，这些噪声信号重要包含高频噪声信号和采集过程中的随机干扰信号，而高频噪声信号影响比较小，可以忽略不计，但是随机信号的频带较宽，高频成分占得比例较大，会对信号的后续解决导致影响。信号在平滑解决后，许多噪声信号被解决掉，振动曲线不再有毛刺，变得光滑。从图2.1、图2.2、图2.3的频谱图可以看出，信号平滑解决的结果使得频率在150Hz至200Hz范围内的高频噪声信号被除去。三幅图比较来看，平滑的阶次影响数据解决的结果，阶次越大，对高频噪声的解决就越彻底，但有时会把一部分有用的信号平滑掉，所以阶次并不是越大越好。图2.1表达平滑阶次为40时，可看出有一小部分的高频噪声仍然存在，图2.2表达平滑阶次为50时，可看出150Hz至200Hz频率范围内的噪声信号基本上已经所有解决，图2.3表达平滑阶次为60次，看到此图的频谱图与图2基本上同样，所以本文所研究的振动信号采用的平滑阶次为50。（2）五点滑动平均法平滑解决图2.4 信号平滑前、后的时程图和频谱图图2.4中信号平滑时采用的平滑次数为2，通过对图2.2、图2.4的频谱图比较可看出，用五点三次平滑法和五点滑动平均平滑法解决后的频谱结果同样，但是五点三次平滑法的平滑次数为50次，五点滑动平均平滑法的平滑次数为2次，可得以下结论：平滑解决后频谱达成相同效果，五点三次平滑法所用的平滑次数要比五点滑动平均平滑法要少。通过对图2.2、图2.4的时程曲线图可以看出，五点三次平滑法平滑后的波形图的最小幅值大约为-0.28，五点滑动平均平滑法平滑后的波形图的最小幅值大约为-0.32，可得以下结论：在平滑解决后频谱达成相同效果的情况下，五点三次平滑法要比五点滑动平均平滑法能更好的消除信号的不规则趋势项，使得振动的曲线变得更光滑。表2.1 各种平滑方法的比较五点三次平滑法和五点滑动平均平滑法的比较相同点：都是基于最小二乘法的原理，具有消除高频噪声，消除不规则趋势项的特点。异同点：对于消除同样的高频噪声，五点三次平滑法用的阶次比五点滑动平均平滑法的多；消噪时五点三次平滑法易于把握，计算复杂，消除趋势项的效果好。22 消除趋势项2.2.1 趋势项消除的意义和目的在振动测试中采集到的振动信号数据，由于放大器随温度变化产生的零点漂移、传感器频率范围外低频性能的不稳定以及传感器周边的环境干扰等，往往会偏离基线，甚至偏离基线的大小还会随时间变化。偏离基线随时间变化的整个过程被称为信号的趋势项。所谓趋势项就是在随机信号中，存在线性项或缓慢变化的、周期大于记录长度的成分。虽然趋势项的定义是针对随机信号而言的，但在拟定性信号中同样也存在趋势项。工程界中实际测录的信号并非纯随机信号，绝大部分实际信号都是复杂周期性信号与随机信号的混合，并且周期性信号往往是研究对象。产生趋势项的因素重要有四种：（1）采样时未对原始信号加以适当的解决，如高通滤波，使采样得到的信号中具有周期比采样长度长得多的低频成分；（2）由于外界因素，涉及传感器或仪器的零点飘移，基础运动等引起的信号波形偏移；（3）由于操作不妥，信号经积分放大器后产生的趋势项，如零点未调准所产生的常数，经积分后成为一条直线；低频噪声经积分放大后成为缓慢变化的趋势项；（4）在截取记录时，样本长度选择不妥。可见产生趋势项的因素是很复杂的，要在实际采集的数据中完全避免趋势项十分困难。在时域辨认中，由于多采用较简朴的冲击激振和环境激振法，外界影响大，常引起基础运动，而冲击激振又易产生加速度传感器的零点飘移，这是产生趋势项重要因素。趋势项直接影响信号的对的性，应当将其去除。2.2.2 趋势项消除的原理 设实测采样信号的采样数据为，由于采样间距是等时间间隔的，为简化起见，令采样的时间间隔，设一个多项式函数为： 拟定函数的待定系数，使得函数与离散数据的误差平方和最小，即满足有极值的条件为 依次取对求偏导，可以产生一个元线性方程祖： 解方程组，求出个待定系数。上面各式中，为设定的多项式阶次，其值范围为。当时求得的趋势项为常数，有解方程。得可以看出，当时的趋势项为信号采样数据的算术平均值。消除趋势项的计算公式为 当为线性趋势项，有解方程组，得消除线性趋势项的计算公式为 当时为曲线趋势项。在实际振动信号数据解决中，通常取对采样数据进行多项式消除解决。在MATLAB中，plotfit用于最小二乘法法定阶数的多项式拟合。Ployval求多项式的值。2.2.3 趋势项消除的分析和比较当选用多项式的阶次为2时：图2.5 减震前信号消趋时程曲线图当选用多项式的阶次为3时：图2.6 减震前信号消趋时程曲线图通过对图2.5、图2.6的比较，可以看出图2.6的趋势项消除后加速度比较接近零，图2.5趋势项消除后振荡比较严重，故我们选择多项式的阶次为3阶来消除趋势项。而信号中的趋势项重要来源于随机信号中存在缓慢变化的、周期大于记录长度的成分及外界环境和设备自身引起的零点漂移。本文中研究的振动信号的频率重要在5100赫兹，由于趋势项的存在，会对时域中的相关分析、频域积分及频率域中的功率谱分析产生大的误差，甚至使低频谱完全失去真实性，因此，消除趋势项是数据解决中的一个重要的中间环节。表2.2 振动信号消趋前后的变化均值方差消趋前的信号消趋后的信号通过表2.2中的数据说明，信号消趋后的均值比消趋前的均值少了6个数量级，信号更加趋近于零，消趋前后的方差相等，说明信号几乎没有波动，只是随着均值上下移动，由此可知，最小二乘法能很好的消除本文中振动信号的趋势项。3 数字滤波滤波器就是在时间域或频域内，对已知激励产生规定响应的网络，使其可以从信号中提取并放大有用的信号，克制并衰减不需要的信号。数字滤波器就是其输入和输出都是数字信号，通过一定的运算关系改变输入信号所含频率成分的相对比例或者滤除某些频率成分。31 数字时域滤波经典滤波器分为有限长冲击响应滤波器和无限长冲击响应滤波器，FIR滤波器的优点是不管什么时候都是稳定的，在满足幅频特性的同时，具有很好的相频特性。3.1.1 FIR数字滤波器的设计原理数字滤波器的设计实质上是对提出的设计规定，给出相应的性能指标，再通过计算使物理可实现的实际滤波器频率响应特性逼近给出的频率响应特性。FIR数字滤波器系统的传递函数为：由此得到系统的差分方程：若FIR数字滤波器的单位脉冲响应序列为，它就是滤波器系数向量。它的重要设计方法有窗函数法、最优化设计法及约束最小二乘逼近法。应用MATLAB设计FIR滤波器的重要任务是根据给定性能指标，设计一个使其逼近这一指标，进而计算并拟定滤波器的系数，再将所设计滤波器的幅频响应、相频响应曲线作为输出，与设计规定进行比较，对设计的滤波器进行优化。3.1.2 窗函数设计方法一般是先给出所规定的抱负的滤波器频率响应，规定设计一个FIR滤波器频率响应来逼近。但是设计是在时域进行的，因而必须由抱负的滤波响应推导出相应的单位取样响应，再设计一个FIR数字滤波器的单位取样响应去逼近。设计过程如下：用窗函数设计FIR滤波器的重要环节：根据对过渡带及阻带衰减规定，选择窗函数的类型并估计窗口的长度N或阶数M=N-1。窗函数类型可根据阻带最小衰减的条件独立选择，由于其长度对阻带最小衰减没有影响，在拟定窗函数类型后，就可以根据过渡带宽小于给定指标的条件，拟定所用的窗函数长度。窗函数的选用原则：（1）窗谱主瓣尽也许地窄，以获得较陡的过渡带；（2）尽量减少窗谱最大旁瓣的相对幅度，也就是能量尽也许集中于主瓣，这样使肩峰和波纹减小，就可增大阻带的衰减。这两项规定是不也许同时获得满足的，往往是增大主瓣宽度以换取对旁瓣的克制。因而选用不同形状的窗函数是为了使得到平坦的通带幅度响应和较小的阻带波纹（也就是加大阻带衰减），故所选用的窗函数，若频谱旁瓣电平要小，则主瓣就会加宽。这就是说窗函数在边沿处比矩形窗变换要平滑而缓慢，以减小由陡峭的边沿所引起的旁瓣分量，使阻带衰减增大，但窗谱的主瓣宽度却比矩形窗的要宽，这导致滤波器幅度函数过渡带的加宽。32 数字频域滤波数字滤波的频域方法是运用FFT快速算法对输入采样数据进行离散傅里叶变换，分析其频谱，根据滤波规定，将需要滤除的频率部分直接设立成零或加渐变过渡频带后再设立成零，例如在通带和阻带之间加设一段余弦类窗函数的过渡带，然后再运用IFFT快速算法对滤波解决后的数据进行离散傅里叶逆变换恢复出时域信号。频域方法具有较好的频率选择性和灵活性，并由于信号傅里叶频谱与滤波器的频率特性是简朴的相乘关系，其运算速度比计算等价的时域卷积要快得多，并且不会像时域滤波方法那样产生时移，数字滤波的频域方法的表达式式中：为输入信号的离散傅里叶变换；为滤波器的频率响应函数。加矩形窗直接滤波：图3.1 减震前信号的滤波时程曲线图图3.2 减震前信号的滤波时程曲线局部图图3.3 减震前信号的滤波频谱图图3.4 减震后信号的滤波时程曲线图图3.5 减震后信号的滤波时程曲线局部图图3.6 减震后信号的滤波频谱图从减震前信号的时程曲线图（图3.1、图3.2）和减震后信号的时程曲线图（图3.4、图3.5）可以看到，滤波前振动信号的幅值较大，通过数字频域滤波后振动信号的幅值减小，把信号的高频成分和低于5赫兹的频率成分滤除了。我们还可以看到通过数字频域滤波后，振动信号的幅值更加趋于零，趋势项得到进一步的消除，可见数字频域滤波尚有消趋的功能。从减震前信号的频谱图（图3.3）和减震后信号的频谱图（图3.6）可以看到，振动信号通过滤波后，只保存了频段5100赫兹的谱线，5赫兹以下和100赫兹以上的幅值均为零。数字频域滤波具有更好的频率选择性，滤波频带控制精度高，由于加了矩形窗，对频域数据的忽然截断导致谱泄漏会使滤波后的时域信号出现失真变形。在不考虑加平滑衰减过渡带的情况下，数字滤波的频域方法比较适合于数据长度较大的信号或者振动幅值最终还是逐渐变小的信号。由于我们研究的振动信号重要集中在5100赫兹的频段，而加矩形窗滤波时，会出现大的频谱泄漏，于是对本文研究的震动信号我们采用了加余弦窗函数的过渡带，避免了由于忽然截断所引起的谱泄漏，所加的余弦窗函数如下：余弦坡度窗是振动信号解决中常用的一种窗函数，是由矩形窗加汉宁窗组合而成。它的窗函数曲线大部分时间里连续很平，如同矩形窗那样，之后加一段汉宁窗，平滑衰减到截断处，余弦坡度窗的优缺陷介于矩形窗和汉宁窗之间，由于矩形窗的频率主瓣窄，谱峰值衰减小，而汉宁窗的旁瓣小，主瓣宽。因此把两者结合起来取长补短，达成既有较窄频率主瓣，又有较好的克制频谱泄露的效果。加余弦坡度窗进行滤波：图3.7 滤波后减震前、后的信号时程曲线局部图图3.8a 滤波后减震前、后信号的频谱图图3.8b 滤波后减震前、后信号的频谱图从图3.7可以看到减震前信号的幅值震荡比较厉害，经减震器减震后，信号均匀地分布在零附近，这也意味着振动信号的过大冲击减小，起到一定的减震效果。从图3.8a和图3.8b的信号频谱图可以看到频率在030赫兹的信号，通过减震器减震后，振幅要比减震前信号的幅值要大；频率在30100赫兹的信号，通过减震器减震后，振幅比减震前信号的幅值明显要小；频率在7580赫兹之间的信号，通过减震器减震后，幅值有明显增大的趋势。可见，本文中采用的钢丝绳减震器能更好地消除信号中频率较高的成分，对于信号的低频成分幅值有放大的现象，重要因素是当信号作用于钢丝绳减震系统时，隔振器发生变形，把一部分能量存储在钢丝绳内，当隔振器的变形限度较大时，钢丝之间会出现滑移，产生干摩擦力，把一部分能量通过摩擦消耗掉，从而使信号的振动幅度减小，其间有部分信号的高频成分会变成低频成分，并使得低频成分的幅值加大。频段在7580赫兹信号的幅值加大重要是由于受系统固有频率的影响，它也许是倍频程频率。4 振动信号的时域分析研究振动信号的时域解决又称为波形分析，重要是对时域信号波形的分析解决，滤波是时域信号解决的重要内容。根据需要，滤波或保存实测信号波形的某些频率成分可通过滤波解决来实现。波形的最大值、平均值、有效值、分析波形与波形之间的相似限度的相关函数以及将位移、速度、加速度进行互相转换的积分和微分变换都属于振动信号的时域解决的范畴，对于随机振动信号的时域解决，还需要用到概率分布函数、概率密度函数、均值、均方值、方差和相关分析等13。41 振动信号的时域分析内容4.1.1 均值随机振动信号的均值是样本函数为采样所获得的一组离散数据在整个时间坐标上的积分平均，则其均值的表达式为其物理含义为随机振动信号变化的中心趋势，即描述信号的平均水平（数据的静态分量）。4.1.2 均方值随机振动信号均方值的估计是样本函数的平方在时间坐标轴上有限长度的积分平均。离散随机振动信号均方值的表达式为均方值用来描述信号的平均能量和平均功率，它包含了静态分量和动态分量。均方值的正平方根称为均方根值（有效值），均方根值是信号振动的平均能量（功率）的一种表达，是信号幅度最恰当的度量13。4.1.3 方差方差是去除了均值后的均方值，离散随机信号的方差的表达式为方差表达随机信号偏离其均值的限度，是描述随机振动信号的动态分量强度的一种表达，与随机振动的能量成比例。方差的正平方根称为标准差，表达信号偏离静态的限度。均值、均方值和方差三者之间的关系是：4.1.4 斜度与峭度对于离散数据的振动信号，斜度与峭度的计算公式如下：斜度：峭度：斜度反映随机信号的幅值概率密度函数对于纵坐标的不对称性。不对称越厉害，越大。一般来说，随着振动量的发生和发展，均方根值、峭度均会逐渐增大，其中峭度对大幅值非常敏感。当其概率增长时，值会迅速增大，这有助于探测奇异振动信号。斜度和峭度都是反映信号中大幅值成分的影响。信号均值、方差与均方差都反映信号的幅值和能量变化的情况，相比之下用信号的高阶矩阵构成的特性向量，对于信号中存在的微小冲击成分比较敏感，故用峭度和斜度能很好的反映信号中的大幅值成分。表4.1 减震前后数据的分析均值方差均方差斜度峭度减震前信号减震后信号表格中的数据显示，减震后加速度信号的斜度和峭度比减震前信号的值要小，由于斜度和峭度的物理意义是反映信号中的大幅值成分，对信号的微小冲击比较敏感，由此可以说明，通过减震器减震后，振动信号中的微小冲击成分减小，起到了一定的减震效果。42 振动信号的相关性分析相关函数是描述随机振动信号样本函数在不同时刻瞬时值之间的关联限度，也可描述为随机振动波形随时间坐标移动时与别的波形的相似限度。对同一随机振动样本函数随时间坐标移动进行相似限度计算，称为自相关函数。对不同的两个样本函数随时间坐标移动进行相似限度计算，称为互相关函数。4.2.1 自相关分析自相关函数描述一个时刻的信号与另一个时刻的信号之间的互相关系，是两个状态之间相关性的数量描述，即离散时间信号的自相关函数表达式 或 自相关函数的性质： （1）当时间差变大时，与会越来越不相关，变小。对于一般随机过程，当时，有。当变小时，与相差无几，两者越来越相关，就变大。当时，时间位移为零，有最大值：自相关函数等于均方值，即：（2）设随机变量的均值，标准差，则（3）为实函数，也是偶函数，即4.2.2 互相关分析互相关函数表达两个随机信号与的相关性记录量，它定义为：离散时间信号的互相关函数可以表达为： 或 互相关函数的性质：（1）是实值函数，可正可负，当=0时，称与不相关。（2）的大小范围是。（3）。通常把振动信号的数据均值化为零，这时。由于对于一般的随机过程，当时，与存在相关性。（4）互相关函数中的下标与的顺序不能颠倒。43 振动信号的积分变换在振动信号测试的过程中，我们采集到的信号是加速度振动信号，为了得到速度信号和位移信号，我们可以对加速度信号求一次积分得到速度信号，对加速度信号求二次积分得到位移信号。积分可以在时域里实现，采用的方法重要有：辛普森求积法、梯形求积法等。积分和微分还可以在频域里实现，基本原理是一方面将需要积分或微分的信号作傅里叶变换，然后将变换的结果在频域里进行积分或微分运算，最后经傅里叶逆变换得到积分或微分后的时域信号。积分和微分在频域里的运算方法如下：根据傅里叶逆变换的公式，加速度信号在任一频率的傅里叶分量可以表达为：式中：为加速度信号在频率的傅里叶分量；为相应的系数，为虚数。初速度分量为0时，对加速度信号分量的时间积分可以得出速度信号分量，即：式中：为速度信号在频率的傅里叶分量；为相应的系数。于是一次积分在频域里的关系式为：初速度和初位移分量均为0时，对加速度信号的傅里叶分量两次积分可得出位移分量：式中：为速度信号在频率的傅里叶分量；为相应的系数于是可得两次积分在频域里的关系式为： 将所有不同频率的傅里叶分量按积分或微分在频域里关系式运算后，进行傅里叶逆变换就能得出相应得积分和微分的信号。一次频域积分的数值公式： 二次频域积分的数值公式： 其中： 图4.1 减震前信号的加速度、速度、位移时程曲线图图4.2 减震后信号的加速度、速度、位移时程曲线图5 振动信号的频域分析研究频域解决也成为频谱分析，是建立在傅里叶变换基础上的时频变换解决，所得到的结果是以频率为变量的函数，称为谱函数。频域解决重要的方法是傅里叶变换。傅里叶变换的结果成为傅氏谱函数，是有实部和虚部组成的复函数。傅氏谱的模称为幅值谱，相角称为相位谱，振动信号的幅值谱可用来表达振动的大小随频率的分布情况，相位谱则反映振动信号的各频率成分相位角的分布情况13。51 傅里叶变换作为时间函数的振动信号，通常在时间域内描述该信号随时间变化的性质，称为时域描述，以频率为变量来描述信号的方法称为信号的频域描述，把信号从时域描述变换成频域描述称为时频域变换，我们知道周期振动信号的时频域变换法是用傅里叶级数展开法来进行描述的，而非周期振动信号的时频域变换法是采用傅里叶积分法做变换。在实际中，很多信号都是非周期的，本文研究的振动信号就是非周期信号，通常把非周期的振动信号当作是一个周期趋向无穷大的周期振动，就可以借助周期信号的傅里叶级数法来分析非周期振动信号的频谱特性。由于实际采样信号是离散的且样本长度是有限的，在对数字振动信号进行傅里叶变换时需要采用傅里叶变换的离散算法，当采样点，共有个，无限长信号截断后变为周期信号。频谱由连续谱变为离散谱，即。无限长连续时间信号就变成有限长的周期信号，因此其频谱具有离散性、谐波性、周期性。离散傅里叶变换（DFT）的表达式为式子中：等效于；等效于，为时域采样点的编号，为频域采样点的编号，为采样的时间间隔，为频率的分辨率，为采样点数（频域谱线为）。对于一个随机信号，由于它的积分不能收敛，所以它自身的傅里叶变换是不存在的，因此无法像拟定性信号那样用表达式来精确的描述，而只能用记录平均量来描述。其中自相关函数最能完整的表征它的记录平均量，而一个随机信号的功率谱密度正是自相关函数的傅里叶变换，因此我们可以用它的功率谱密度来表征记录平均谱特性。52 功率谱密度函数功率谱密度函数反映了信号的功率在频域随频率的分布。功率谱密度函数分为自功率谱密度函数和互功率谱密度函数。离散信号的自功率谱密度函数是该随机信号的自相关函数的傅里叶变换，其表达式为:当时时可看出，函数的物理意义为信号能量的度量，函数沿频率轴的积分等于信号的均方值。因此又称为均方谱密度函数。自功率谱密度函数是实偶函数。两个随机信号的功率谱密度函数称为互功率谱密度函数，是这两个随机信号的互相关函数的傅里叶变换，其表达式为：互功率谱密度函数是复函数。53 频谱与频谱分析对于周期信号的傅里叶级数，若认为横坐标，（或）为纵坐标，就可以分别画出幅值（或相位）随频率变化的关系曲线，称为幅频（或相频）特性，两者合称为周期信号的频谱。实数形式傅里叶级数展开形式的频谱称为实频谱，复数形式傅里叶级数展开式的频谱称为复频谱。实频谱中的其值范围从0到，是单边频谱，而复频谱中的取值范围从到，是双边频谱，实频谱的幅值是相应的复频谱的两倍，初相位与复频谱的初相位互为余角。周期信号的频谱是离散频谱，非周期信号的频谱是连续频谱。傅里叶谱的幅值信息，根据应用的场合，也有三种的不同的表达方法（1）幅值谱 它是的模，即。幅值谱客观地反映了信号中的各频率分量的实际奉献大小，并同等的看待他们对信号的重要性，因而是一种等权谱。（2）均值谱 它是用的幅值平方表达的幅值的信息，即，它对奉献大的频率分量加权大，奉献小的频率分量加权小，突出重要矛盾。显然，这是一种变权重谱，且权重取决于每个频率分量的幅值。（3）对数谱 的对数谱定义为。它对奉献率小的频率分量加大权，而对奉献大的频率分量加小权，突出次要矛盾。显然，这是一种变权重谱。54 功率谱估计的原理5.4.1 经典功率谱估计的原理 （1）经典周期图法：先对振动信号进行傅里叶变换，然后取变换结果幅值的平方，并除以该信号数据的长度作为功率谱密度函数的一个估计，这就是建立在傅里叶变换能量定理上的经典周期图法.直接法估计出的功率谱为，则式中：为序列的长度，为序列的傅里叶变换。在信号功率谱估计中有。该算法的方差在随机信号为零均值正态白色随机信号时，由式子拟定，其中为信号的方差，由于不随数据长度的增长趋于零，因此周期图法不是一致估计。在信号记录长度一定的条件下，要保证估计的分辨率，会使方差很大。对于直接法，当数据长度太大时，谱线起伏加剧，当数据长度太小时，谱的分辨率有不好。 因此必须对周期图法进行改善。这里的改善重要指的是数据方差的改善。（2）Bartlett平均周期图法是将点的有限长序列，提成互不重叠的L段数据，每段有个样本，则有，即：其中,为长度是的矩形窗。然后求取每一段样本的功率谱估计，即:最后求出所有段的数据功率谱的平均值：并将作为整个序列的功率谱估计。（3）平均修正周期图法：将随机振动信号的数据提成若干段，并允许每段数据有部分重叠，分别求出每段数据的功率谱，然后加以平均，这就是韦尔奇(Welch)法。Welch法又称为加权交叠平均法，表现在以下两方面：在对序列分段时，允许每段数据有部分交叠；每段数据可以选择其他窗函数，不一定是矩形窗。在计算每段数据的功率谱时，Welch法的算法与Bartlett法相同，即：其中为每段的数据样本，为归一化因子，它保证由Welch方法得到的功率谱估计是无偏估计。由Welch法得到的平均功率谱为：Welch算法谱估计的方差由式子来近似计算，该算法对谱估计的方差性能有了较大的改善，但以分辨率的减少为代价。由于Welch法在估计序列的功率谱时，使用了窗函数，由窗函数的基本知识可知，采用合适的非矩形窗可以减小信号的频谱泄漏，同时也可以增长谱峰的宽度，从而提高频谱的分辨率。但对窗函数进行选择时，有如下规定10：1.窗口宽度远小于样本序列长度，以排除不可靠的自相关值；2.当平稳信号为实过程时，为保证平滑周期图和真实功率谱同样也是实偶函数，平滑窗函数必须是实偶对称函数；3.平滑窗函数应当在m=0处有峰值，并随m绝对值增长而单调下降。，使可靠的自相关值有较大的权值；4.功率谱是频率的非负函数，由于周期图是非负的，因而规定窗函数的傅里叶变换时非负的。5.4.2 现代谱估计的原理经典功率谱估计的频率分辨率较低，其因素是对周期图法假定数据窗以外的数据全为零7，而对自相关法是假定在延迟窗以外的自相关函数全为零，这种假设是不合理的，所以产生了经典谱估计较差的频率分辨率。在经典谱估计中，由于受DFT算法的影响，其存在固有缺陷，比如存在泄漏误差和混跌误差，分辨率低，不适合短数据，谱线不平滑，起伏剧烈，难以拟合出光滑曲线等4，为此人们提出了参数谱估计方法，其通常是根据对过程的先验知识，建立一个近似实际过程的模型，而后运用观测数据或相关函数来估计假设的模型参数，最后进行辨认或谱估计。基于参数建模的功率谱估计是现代功率谱估计的重要内容，其目的是为了改善功率谱估计的频率分辨率16。（1）随机信号的参数模型频谱估计的环节：对给定的随机信号拟定合理的参数模型；根据信号的自相关函数估计所拟定的模型的参数；用估计出的模型参数计算信号的功率谱密度函数；（2）谱估计原理及常见的参数模型：假设随机信号是由白噪音激励某一拟定性的线性系统所产生的。因此只要知道白噪声的功率和系统的传递函数，就可以根据式估计出信号的功率谱密度函数。 假设参数模型的输入和输出满足差分方程 其中，系数和就是模型的参数，常数和称为参数模型的阶数。对上式两边进行变换，得到参数模型的传递函数为： （3）模型的阶次的拟定阶次过小或过大将会引起谱估计时分辨率过低或过高，阶次过低将会使相邻的不同平率分量混淆，阶次过高将会使某个频率分量的谱线分裂而导致虚假的频率。经验方法根据数据序列的长度拟定模型的阶次，阶次可选在长度的三分之一到一半。另一种方法是试探法。55 功率谱估计方法的研究5.5.1 经典谱估计的分析方法一般用估计的偏差、方差和分辨率来作为衡量各种周期图的估计性能指标，以上的周期图法都是功率谱的渐进无偏估计8。图5.1 振动信号的经典周期图谱估计（长数据）图5.2 振动信号的经典周期图谱估计（短数据）从图5.1和图5.2可以看出，经典周期图法功率谱估计的曲线粗糙，方差较大，分辨率较高，经典周期图可以当作是加了一个矩形窗，其主瓣比较窄，所以具有较高的分辨率，但是矩形窗的旁瓣比非矩形窗的高，谱线附近的旁瓣泄露比较严重。从纵向对比来看，长数据序列的标准方差普遍比短数据序列的值大，反映在图形上是谱曲线起伏加剧。图5.3 振动信号的Welch法谱估计（数据量为20480）