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第一章 静力学公理和物体的受力分析静力学的基本概念、公理及物体的受力分析是研究静力学的基础。本章将介绍刚体与力的概念及静力学公理，并阐述工程中常见的约束和约束反力的分析。最后介绍物体的受力分析及受力图，它是解决力学问题的重要环节。1-1 刚体和力的概念1刚体的概念所谓刚体是指这样的物体，在力的作用下，其内部任意两点之间的距离始终保持不变。这是一个理想化的力学模型。实际物体在力的作用下，都会产生程度不同的变形。但是，这些微小的变形，对研究物体的平衡问题不起主要作用，可以略去不计，这样可使问题的研究大为简化。但是不应该把刚体的概念绝对化。例如，在研究飞机的平衡问题或飞行规律时，我们可以把飞机看作刚体;可是在研究飞机的颤振问题时，机翼等的变形虽然非常微小，但必须把飞机看作弹性体。还有，在计算某些工程结构时，如果不考虑它们的变形，而仍使用刚体的概念，则问题将成为不可解的。理论力学中，静力学研究的物体只限于刚体，故又称刚体静力学，它是研究变形体力学的基础。2力的概念力的概念是从劳动中产生的。人们在生活和生产中，由于肌肉紧张收缩的感觉，逐渐产生了对力的感性认识。随着生产的发展，又逐渐认识到:物体的机械运动状态的改变(包括变形)，都是由于其它物体对该物体施加力的结果。这样，逐步由感性到理性，建立了抽象的力的概念。力是物体间相互的机械作用，这种作用使物体的机械运动状态发生变化。物体之间的机械作用，大致可分为两类，一类是接触作用，例如:机车牵引车厢的拉力，物体之间的挤压力等。另一类是场对物体的作用，例如:地球引力场对物体的引力，电场对电荷的引力或斥力等。尽管各种物体间相互作用力的来源和性质不同，但在力学中将撇开力的物理本质，只研究各种力的共同表现，即力对物体产生的效应。力对物体产生的效应一般可分为两个方面:一是物体运动状态的改变，另一个是物体形状的改变。通常把前者称为力的运动效应，后者称为力的变形效应。理论力学中把物体都视为刚体，因而只研究力的运动效应，即研究力使刚体的移动或转动状态发生改变这两方面的效应。实践表明，力对物体的作用效果应决定于三个要素:(1)力的大小;(2)力的方向，(3)力的作用点。我们可用一个矢量来表示力的三个要素，如图1-1所示。这矢量的长度(AB)按一定的比例尺表示力的大小;矢量的方向表示力的方向;矢量的始端(点A)表示力的作用点;矢量所沿着的直线(图1-1上的虚线)表示力的作用线。我们常用黑体字母表示力的矢量，而用普通宇母表示力的大小。若以表示沿矢量方向的单位矢(图1-2)，则力矢可写成=即力的矢量可以用它的模（即力的矢量大小）和单位矢量的乘积表示。在国际单位制（SI）中，以“N”作为力的单位符号，称作牛顿。有时也以“kN”作为力的单位符号，称作千牛顿。1-2 静力学公理公理是人们在生活和生产实践中长期积累的经验总结，又经过实践反复检验，被确认是符合客观实际的最普遍、最一般的规律。公理1 力的平行四边形规则作用在物体上同一点的两个力，可以合成为一个合力。合力的作用点也在该点，合力的大小和方向，由这两个力为边构成的平行四边形的对角线确定，如图1-3a所示。或者说，合力矢等于这两个力矢的几何和，即=+ (1-1)应用此公理求两汇交力合力的大小和方向(即合力矢)时，可由任一点0起，另作一力三角形，如图1-3b、c所示。力三角形的两个边分别为力矢和，第三边，即代表合力矢，而合力的作用点仍在汇交点A。这个公理表明了最简单力系的简化规律，它是复杂力系简化的基础。公理2 二力平衡条件作用在刚体上的两个力，使刚体保持平衡的必要和充分条件是这两个力的大小相等，方向相反，且在同一直线上，如图1-4所示，即=- (1-2)这个公理表明了作用于刚体上的最简单的力系平衡时所必须满足的条件。公理3 加减平衡力系原理 在已知力系上加上或减去任意的平衡力系，并不改变原力系对刚体的作用。就是说，如果两个力系只相差一个或几个平衡力系，则它们对刚体的作用是相同的，因此可以等效替换。这个公理是研究力系等效变换的重要依据。根据上述公理可以导出下列推理:推理1 力的可传性作用于刚体上某点的力，可以沿着它的作用线移到刚体内任意一点，并不改变该力对刚体的作用。证明:设有力作用在刚体上的点A，如图1-5a所示。根据加减平衡力系原理，可在力的作用线上任取一点B，并加上两个相互平衡的力和，使=-，如图1-5b所示。由于力和也是一个平衡力系，故可除去;这样只剩下一个力，如图1-5c所示。于是，原来的这个力与力系(、)以及力均等效，即原来的力沿其作用线移到了点B。由此可见，对于刚体来说，力的作用点己不是决定力的作用效应的要素，它已为作用线所代替。因此，作用于刚体上的力的三要素是:力的大小、方向和作用线。作用于刚体上的力可以沿着作用线移动，这种矢量称为滑动矢量。推理2 三力平衡汇交定理作用于刚体上三个相互平衡的力，若其中两个力的作用线汇交于一点，则此三力必在同一平面内，且第三个力的作用线通过汇交点。证明:如图1-6所示，在刚体的A、B、C三点上，分别作用三个相互平衡的力、。根据力的可传性，将力和移到汇交点0，然后根据力的平行四边形规则，得合力。则力应与平衡。由于两个力平衡必需共线，所以力必定与力和共面，且通过力与的交点O。于是定理得证。公理4 作用和反作用定律作用力和反作用力总是同时存在，两力的大小相等、方向相反，沿着同一直线，分别作用在两个相互作用的物体上。这个公理概括了物体间相互作用的关系，表明作用力和反作用力总是成对出现的。下面举一个实例来说明。如图1-7a所示，放置在基座上的电动机，受重力和基座的两个反力和的作用(图1-7b)。重力是地球对电动机的吸引力，作用在电动机上;同时，电动机对地球也有一个吸引力作用在地球上(图1-7c)，这两个力是作用力和反作用力，两者等值、反向共线，即=-。此外，电动机对基座也作用两个压力，和，其中力与、力与是作用力与反作用力关系，即=-、=-。今后，作用力和反作用力用同一字母表示，但其中之一，在字母的上方加一“”。必须强调指出，由于作用力与反作用力分别作用在两个物体上，因此，不能认为作用力与反作用力相互平衡。公理5 刚化原理变形体在某一力系作用下处于平衡，如将此变形体刚化为刚体，其平衡状态保持不变。这个公理提供了把变形体看作为刚体模型的条件。如图1-8所示，绳索在等值、反向、共线的两个拉力作用下处于平衡，如将绳索刚化成刚体，其平衡状态保持不变。若绳索在两个等值、反向、共线的压力作用下并不能平衡，这时绳索就不能刚化为刚体。但刚体在上述两种力系的作用下都是平衡的。由此可见，刚体的平衡条件是变形体平衡的必要条件，而非充分条件。在刚体静力学的基础上，考虑变形体的特性，可进一步研究变形体的平衡问题。静力学全部理论都可以由上述五个公理推证而得到，如前述的推理1和推理2。本篇基本上采用这种逻辑推演的方法，建立静力学的理论体系。这一方面能保证理论体系的完整和严密性，另一方面也可以培养读者的逻辑思维能力。然而，对于某些易于理解而推证过程又比较繁琐的个别结论，本书将省略其证明过程，直接给出结论，以便于应用。读者也可自行推证。1-3 约束和约束反力 有些物体，例如：飞行的飞机、炮弹和火箭等，它们在空间的位移不受任何限制。位移不受限制的物体称为自由体。相反有些物体在空间的位移却要受到一定的限制。如机车受铁轨的限制，只能沿轨道运动;电机转子受轴承的限制，只能绕轴线转动;重物由钢索吊住，不能下落等。位移受到限制的物体称为非自由体。对非自由体的某些位移起限制作用的周围物体称为约束。例如，铁轨对于机车，轴承对于电机转子，钢索对于重物等，都是约束。既然约束阻碍着物体的位移，也就是约束能够起到改变物体运动状态的作用，所以约束对物体的作用，实际上就是力，这种力称为约束反力，简称反力。因此，约束反力的方向必与该约束所能够阻碍的位移方向相反。应用这个准则，可以确定约束反力的方向或作用线的位置。至于约束反力的大小则是未知的。在静力学问题中，约束反力和物体受的其它已知力(称主动力)组成平衡力系，因此可用平衡条件求出未知的约束反力。下面介绍儿种在工程中常遇到的简单的约束类型和确定约束反力方向的方法。1具有光滑接触表面的约束例如，支持物体的固定面(图1-9a、b)、啮合齿轮的齿面(图1-10)、机床中的导轨等，当摩擦忽略不计时，都属于这类约束。这类约束不能限制物体沿约束表面切线的位移，只能阻碍物体沿接触表面法线并向约束内部的位移。因此，光滑支撑面对物体的约束反力，作用在接触点处，方向沿接触表面的公法线，并指向受力物体。这种约束反力称为法向反力，通常用表示，如图1-9中的、和图1-10中的，等。2由柔软的绳索、链条或胶带等构成的约束细绳吊往重物，如图1-lla所示。由于柔软的绳索本身只能承受拉力(图1-llb)，所以它给物体的约束反力也只可能是拉力(图1-Ilc)。因此，绳索对物体的约束反力，作用在接触点，方向沿着绳索背离物体。通常用或表示这类约束反力。链条或胶带也都只能承受拉力。当它们绕在轮子上，对轮子的约束反力沿轮缘的切线方向(图1-12)。3光滑铰链约束这类约束有向心轴承、圆柱形铰链和固定铰链支座等。(1)向心轴承(径向轴承)图1-13a、b所示为轴承装置，可画成如图1-13c所示的简图。轴可在孔内任意转动，也可沿孔的中心线移动;但是，轴承阻碍着轴沿径向向外的位移。忽略摩擦，当轴和轴承在某点A光滑接触时，轴承对轴的约束反力作用在接触点A，且沿公法线指向轴心(图1-13a)。 但是，随着轴所受的主动力不同，轴和孔的接触点的位置也随之不同。所以，当主动力尚未确定时，约束反力的方向预先不能确定。然而，无论约束反力朝向何方，它的作用线必垂直于轴线并通过轴心。这样一个方向不能预先确定的约束反力，通常可用通过轴心的两个大小未知的正交分力、来表示，如图1-13b或c所示，、的指向暂可任意假定。(2) 圆柱铰链和固定铰链支座图1-14a所示的拱形桥，它是由两个拱形构件通过圆柱铰链C以及固定铰链支座A和B连接而成。圆柱铰链简称铰链，它是由销钉C将两个钻有同样大小孔的构件连接在一起而成(图1-14c)，其简图如图1-14a的铰链C。如果铰链连接中有一个固定在地面或机架上作为支座，则这种约束称为固定铰链支座，简称固定铰支，如图1-14c中所示的支座B。其简图如图1-14a所示的固定铰链支座A和B。在分析铰链C处的约束反力时，通常把销钉C固连在其中任意一个构件上，如构件II;则构件I、II互为约束。显然，当忽略摩擦时，构件II上的销钉与构件I的结合，实际上是轴与光滑孔的配合问题。因此，它与轴承具有同样的约束性质，即约束反力的作用线不能预先定出，但约束反力垂直轴线并通过铰链中心，故也可用两个大小未知的正交分力、和、来表示，如图1-14b所示。其中=-，=-，表明它们互为作用与反作用关系。同理，把销钉固连在A飞B支座上，则固定铰支A、B对构件I、II的约束反力分别为、与、，如图1-14b所示。当需要分析销钉C的受力时，才把销钉分离出来单独研究。这时，销钉C将同时受到构件I、II上的孔对它的反作用力。其中=-，=-，为构件I与销钉C的作用与反作用力;又=-，=-，则为构件II与销钉C的作用与反作用力。销钉C所受到的约束反力如图1-14d所示。当将销钉C与构件II固连为一体时，与，与为作用在同一刚体上的成对的平衡力，可以消去不画。此时，力的下角不必再区分为Cl和C2，铰链C处的约束反力仍如图1-14b所示。请读者思考，若将销钉C与构件I固连，铰链C处的约束反力将如何表达?上述三种约束(向心轴承、铰链和固定铰链支座)，它们的具体结构虽然不同，但构成约束的性质是相同的，都可表示为光滑铰链 此类约束的特点是只限制两物体径向的相对移动，而不限制两物体绕铰链中心的相对转动及沿轴向的位移。4其它约束 (1)滚动支座在桥梁、屋架等结构中经常采用滚动支座约束。这种支座是在铰链支座与光滑支承面之间，装有几个辊轴而构成的，又称辊轴支座，如图1-l5a所示，其简图如图1-l5b所示。它可以沿支承面移动，允许由于温度变化而引起结构跨度的自由伸长或缩短。显然，滚动支座的约束性质与光滑面约束相同，其约束反力必垂直于支承面，且通过铰链中心。通常用表示其法向约束反力，如图1-l5c所示。 (2)球铰链通过圆球和球壳将两个构件连接在一起的约束称为球铰链，如图1-16a所示。它使构件的球心不能有任何位移，但构件可绕球心任意转动。若忽略摩擦，与圆柱铰链分析相似，其约束力应是通过球心但方向不能预先确定的一个空间力，可用三个正交分力、表示，其简图及约束反力如图1-16b所示。(3)止推轴承止推轴承与径向轴承不同，它除了能限制轴的径向位移以外，还能限制轴沿轴向的位移。因此，它比径向轴承多一个沿轴向的约束力，即 其约束反力有三个正交分量、。止推轴承的简图及其约束反力如图1-17所示。以上只介绍了几种简单约束，在工程中，约束的类型远不止这些，有的约束比较复杂，分析时需要加以简化或抽象化，在以后的某些章节中，我们将再作介绍。1-4 物体的受力分析和受力图在工程实际中，为了求出未知的约束反力，需要根据已知力，应用平衡条件求解。为此，首先要确定构件受了几个力，每个力的作用位置和力的作用方向，这种分析过程称为物体的受力分析。作用在物体上的力可分为两类:一类是主动力，例如:物体的重力、风力、气体压力等，一般是已知的;另一类是约束对于物体的约束反力，为未知的被动力。为了清晰地表示物体的受力情况，我们把需要研究的物体(称为受力体)从周围的物体(称为施力体)中分离出来，单独画出它的简图，这个步骤叫做取研究对象或取分离体。然后把施力物体对研究对象的作用力(包括主动力和约束反力)全部画出来。这种表示物体受力的简明图形，称为受力图。画物体受力图是解决静力学问题的一个重要步骤。下面举例说明。例1-1 用力拉动碾子以压平路面，重为的碾子受到一石块的阻碍，如图1-18a所示。试画出碾子的受力图。解:(1)取碾子为研究对象(即取分离体)，并单独画出其简图。(2)画主动力。有地球的引力和杆对碾子中心的拉力。(3)画约束反力。因碾子在A和B两处受到石块和地面的约束，如不计摩擦，均为光滑表面接触，故在A处受石块的法向反力的作用，在B处受地面的法向反力的作用，它们都沿着碾子上接触点的公法线而指向圆心。碾子的受力图如图1-18b所示。例1-2 屋架如图1-19a所示。A处为固定铰链支座，B处为滚动支座，搁在光滑的水平面上。已知屋架自重在屋架的AC边上承受了垂直于它的均匀分布的风力，单位长度上承受的力为q。试画出屋架的受力图。解:(1)取屋架为研究对象，除去约束并画出其简图。(2)画主动力。有屋架的重力和均布的风力q。(3)画约束反力。因A处为固定铰文，其约束反力通过铰链中心A，但方向不能确定，可用两个大小未知的正交分力和表示。B处为滚动支座，约束反力垂直向上，用表示。屋架的受力图如图1-19b所示。例1-3 如图1-20a所示，水平梁AB用斜杆CD支撑，A、C、D三处均为光滑铰链连接。均质梁重其上放置一重为的电动机。如不计杆CD的自重，试分别画出杆CD和梁AB（包括电动机）的受力图。解:(1)先分析斜杆CD的受力。由于斜杆的自重不计，因此杆只在铰链C、D处受有两个约束反力和。根据光滑铰链的特性，这两个约束反力必定通过铰链C、D的中心，方向暂不确定。考虑到杆CD只在、二力作用下平衡，根据二力平衡公理，这两个力必定沿同一直线，且等值、反向。由此可确定和的作用线应沿铰链中心C与D的连线，由经验判断，此处杆CD受压力，其受力图如图1-2Ob所示。一般情况下，与的指向不能预先判定，可先任意假设杆受拉力或压力。若根据平衡方程求得的力为正值，说明原假设力的指向正确;若为负值，则说明实际杆受力与原假设指向相反。只在两个力作用下平衡的构件，称为二力构件，简称二力杆。它所受的两个力必定沿两力作用点的连线，且等值、反向。二力杆在工程实际中经常遇到，有时也把它作为一种约束，如图1-l5b。(2)取梁AB(包括电动机)为研究对象。它受有、两个主动力的作用。梁在铰链D处受有二力杆CD给它的约束反力的作用。根据作用和反作用定律，=-。梁在A处受固定铰支给它的约束反力的作用，由于方向未知，可用两个大小未定的正交分力和表示。梁AB的受力图如图1-2Oc所示。例1-4 如图1-2la所示的三铰拱桥，由左、右两拱铰接而成。设各拱自重不计，在拱AC上作用有载荷。试分别画出拱AC和CB的受力图。解: (1)先分析拱BC受力。由于拱BC自重不计，且只在B、C两处受到铰链约束，因此拱BC为二力构件。在铰链中心B、C处分别受、两力的作用，且=-，这两个力的方向如图1-2lb所示。 (2)取拱AC为研究对象。由于自重不计，因此主动力只有载荷P。拱在铰链C处受有拱BC给它的约束反力的作用，根据作用和反作用定律，=-。拱在A处受有固定铰支给它的约束反力的作用，由于方向未定，可用两个大小末知的正交分力和代替。拱AC的受力图如图1-2lc所示。再进一步分析可知，由于拱AC在、和三个力作用下平衡，故可根据三力平衡汇交定理，确定铰链A处约束反力的方向。点D为力和作用线的交点，当拱AC平衡时，反力的作用线必通过点D(图1-2ld);至于的指向，暂且假定如图，以后由平衡条件确定。请读者考虑:若左右两拱都计入自重时，各受力图有何不同?例1-5 如图1-22a所示，梯子的两部分AB和AC在点A铰接，又在D、E两点用水平绳连接。梯子放在光滑水平面上，若其自重不计，但在AB的中点H处作用一铅直载荷。试分别画出绳子DE和梯子的AB、AC部分以及整个系统的受力图。解:(1)绳子DE的受力分析。绳子两端D、E分别受到梯子对它的拉力、的作用(图1-22b)。(2)梯子AB部分的受力分析。它在H处受载荷P的作用，在铰链A处受AC部分给它的约束反力和的作用。在点D受绳子对它的拉力(与互为作用力和反作用力)。在点B受光滑地面对它的法向反力的作用。梯子AB部分的受力图如图1-22c所示。(3)梯子AC部分的受力分析。在铰链A处受AB部分对它的作用力和(分别与和互为作用力和反作用力)。在点E受绳子对它的拉力(与互为作用力和反作用力)。在C处受光滑地面对它的法向反力。梯子AC部分的受力图如图1-22d所示。(4)整个系统的受力分析。当选整个系统为研究对象时，可把平衡的整个结构刚化为刚体。由于铰链A处所受的力互为作用力与反作用力关系，即=-，=-;绳子与梯子连接点D和E所受的力也分别互为作用力与反作用力关系，即=-，=-，这些力都成对地作用在整个系统内，称为内力。内力对系统的作用效应相互抵消，因此可以除去，并不影响整个系统的平衡。故内力在受力图上不必画出。在受力图上只需画出系统以外的物体给系统的作用力，这种力称为外力。这里，载荷和约束反力、都是作用于整个系统的外力。整个系统的受力图如图1-22e所示。应该指出，内力与外力的区分不是绝对的。例如，当我们把梯子的AC部分作为研究对象时，、和均属外力，但取整体为研究对象时，、和又成为内力。可见，内力与外力的区分，只有相对于某一确定的研究对象才有意义。例1-6 图1-23a所示的平面构架，由杆AB、DE及DB铰接而成。A为滚动支座，E为固定铰链。钢绳一端拴在K处，另一端绕过定滑轮I和动滑轮II后拴在销钉B上。物重为，各杆及滑轮的自重不计。(1)试分别画出各杆、各滑轮、销钉B以及整个系统的受力图;(2)画出销钉B与滑轮I一起的受力图;(3)画出杆AB、滑轮I、II、钢绳和重物作为一个系统时的受力图。解:(1)取杆BD为研究对象(B处为没有销钉的孔)。由于杆BD为二力杆，故在铰链中心D、B处分别受、两力的作用，其中为销钉给孔B的约束反力，其受力图如图1-23b所示。(2)取杆AB为研究对象(B处仍为没有销钉的孔)。A处受有滚动支座的约束反力的作用;C为铰链约束，其约束反力可用两个正交分力、表示；B处受有销钉给孔B的约束反力，亦可用两个正交分力、表示，方向暂先假设如图。杆AB的受力图如图1-23c所示。(3)取杆DE为研究对象。其上共有D、K、C、E四处受力，D处受二力杆给它的约束反力(=-);K处受钢绳的拉力，铰链C受到反作用力与(=-，=-);E为固定铰链，其约束反力可用两个正交分力与表示。杆D也的受力图如图1-23d所示。(4)取轮I为研究对象(B处为没有销钉的孔)。其上受有两段钢绳的拉力、(=-)外，还有销钉B对孔B的约束反力,及，其受力图如图1-23e所示(亦可根据三力平衡汇交定理，确定铰链B处约束反力的方向，如图中虚线所示)。(5)取轮II为研究对象，其上受三段钢绳拉力、及，其中=-。轮II的受力图如图1-23f所示。(6)单独取销钉B为研究对象，它与杆DB、AB、轮I及钢绳等四个物体连接，因此这四个物体对销钉都有力作用。二力杆DB对它的约束反力为(=-);杆AB对它的约束反力为、(=-、=-);轮I给销钉B的约束反力为与(=-、=-);另外还受到钢绳对销钉B的拉力(=-)。其受力图如图1-23g所示。(7)当取整体为研究对象时，可把整个系统刚化为刚体;其上铰链B、C、D及钢绳各处均受到成对的内力，故可不画。系统的外力除主动力P外，还有约束反力与、。其受力图如图1-23h所示。(8)当取销钉B与滑轮I一起为研究对象时，销钉B与滑轮I之间的作用与反作用力为内力，可不画。其上除受三绳拉力、及外，还受到二力杆BD及杆AB在B处对它的约束反力及、。其受力图如图1-2i所示。(9)当取杆AB、滑轮I、II以及重物、钢绳(包括销钉B)一起为研究对象时，此时可将此系统刚化为一个刚体。这样，销钉B与轮I、杆AB、钢绳之间的作用与反作用力，都是作用在同一刚体上的成对内力，可不画。系统上的外力有主动力，约束反力、及、外，还有K处的钢绳拉力。其受力图如图1-2引所示。此题较难，是由于销钉B与四个物体连接，销钉B与每个连接物体之间都有作用与反作用关系，故销钉B上受到的力较多，因此必须明确其上每一个力的施力物体。必须注意:当分析各物体在B处的受力时，应根据求解需要，将销钉单独画出或将它属于某一个物体。因为各研究对象在B处是否包括销钉，其受力图是不同的，如图1-23e与图1-23i。以后凡遇到销钉与三个以上物体连接时，都应注意上述问题。读者还可以分析当杆DB包括销钉B或杆AB包括销钉B为研究对象时的受力图，并与图1-23b或图1-23c比较，且说明各力之间的作用力与反作用力关系。正确地画出物体的受力图，是分析、解决力学问题的基础。画受力图时必须注意如下几点:1必须明确研究对象。根据求解需要，可以取单个物体为研究对象，也可以取由几个物体组成的系统为研究对象。不同的研究对象的受力图是不同的。2正确确定研究对象受力的数目。由于力是物体之间相互的机械作用，因此，对每一个力都应明确它是哪一个施力物体施加给研究对象的，决不能凭空产生。同时，也不可漏掉一个力。一般可先画已知的主动力，再画约束反力;凡是研究对象与外界接触的地方，都一定存在约束反力。3.正确画出约束反力。一个物体往往同时受到几个约束的作用，这时应分别根据每个约束本身的特性来确定其约束反力的方向，而不能凭主观臆测。4当分析两物体间相互的作用力时，应遵循作用、反作用关系。若作用力的方向一经假定，则反作用力的方向应与之相反。当画整个系统的受力图时，由于内力成对出现，组成平衡力系，因此不必画出，只需画出全部外力。小结1静力学研究作用于物体上力系的平衡。具体研究以下三个问题。(1)物体的受力分析;(2)力系的等效替换;(3)力系的平衡条件。2力是物体间相互的机械作用，这种作用使物体的机械运动状态发生变化(包括变形)。力的作用效应由力的大小、方向和作用点决定，称为力的三要素。力是矢量。作用在刚体上的力可以沿着作用线移动，这种力矢量是滑动矢量。3静力学公理是力学的最基本、最普遍的客观规律。公理1 力的平行四边形规则。公理2 二力平衡条件。以上两个公理，阐明了作用在一个物体上最简单的力系的合成规则及其平衡条件。公理3 加减平衡力系原理。这个公理是研究力系等效变换的依据。公理4 作用和反作用定律。这个公理阐明了两个物体相互作用的关系。公理5 刚化原理。这个公理阐明了变形体抽象成刚体模型的条件，并指出刚体平衡的必要和充分条件只是变形体平衡的必要条件。4约束和约束反力限制非自由体某些位移的周围物体，称为约束，如:绳索、光滑铰链、滚动支座、二力构件、球铰链及止推轴承等。约束对非自由体施加的力称为约束反力。约束反力的方向与该约束所能阻碍的位移方向相反。画约束反力时，应分别根据每个约束本身的特性确定其约束反力的方向。5物体的受力分析和受力图是研究物体平衡和运动的前提。画物体受力图时，首先要明确研究对象(即取分离体)。物体受的力分为主动力和约束反力。当分析多个物体组成的系统受力时，要注意分清内力与外力，内力成对可不画;还要注意作用力与反作用力之间的相互关系。 第二章 平面汇交力系与平面力偶系平面汇交力系与平面力偶系是两种简单力系，是研究复杂力系的基础。本章将分别用几何法与解析法研究平面汇交力系的合成与平衡问题，同时介绍平面力偶的基本特性及平面力偶系合成与平衡问题。 2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法平面汇交力系是指各力的作用线都在同一平面内且汇交于一点的力系。1平面汇交力系合成的几何法、力多边形规则设一刚体受到平面汇交力系 ， ， ， 的作用，各力作用线汇交于点A，根据刚体内部力的可传性，可将各力沿其作用线移至汇交点A，如图2-la所示。为合成此力系，可根据力的平行四边形规则，逐步两两合成各力，最后求得一个通过汇交点A的合力;还可以用更简便的方法求此合力的大小与方向。任取一点a，先作力三角形求出与的合力大小与方向，再作力三角形合成与得，最后合成与得，如图2-lb所示。多边形abcde称为此平面汇交力系的力多边形，矢量称此力多边形的封闭边。封闭边矢量即表示此平面汇交力系合力的大小与方向(即合力矢)，而合力的作用线仍应通过原汇交点A，如图2-la所示的。必须注意，此力多边形的矢序规则为:各分力的矢量沿着环绕力多边形边界的同一方向首尾相接。由此组成的力多边形abcde有一缺口，故称为不封闭的力多边形，而合力矢则应沿相反方向连接此缺口，构成力多边形的封闭边。多边形规则是一般矢量相加(几何和)的几何解释。根据矢量相加的交换律，任意变换各分力矢的作图次序，可得形状不同的力多边形，但其合力矢仍然不变，如图2-lc所示。总之，平面汇交力系可简化为一合力，其合力的大小与方向等于各分力的矢量和(几何和)，合力的作用线通过汇交点。设平面汇交力系包含n个力，以表示它们的合力矢，则有=+= (2-1)合力对刚体的作用与原力系对该刚体的作用等效。如果一力与某一力系等效，则此力称为该力系的合力。如力系中各力的作用线都沿同一直线，则此力系称为共线力系，它是平面汇交力系的特殊情况，它的力多边形在同一直线上。若沿直线的某一指向为正，相反为负，则力系合力的大小与方向决定于各分力的代数和，即 = （2-2）2平面汇交力系平衡的几何条件由于平面汇交力系可用其合力来代替，显然，平面汇交力系平衡的必要和充分条件是:该力系的合力等于零。如用矢量等式表示，即= (2-3)在平衡情形下，力多边形中最后一力的终点与第一力的起点重合，此时的力多边形称为封闭的力多边形。于是，可得如下结论:平面汇交力系平衡的必要和充分条件是:该力系的力多边形自行封闭，这就是平面汇交力系平衡的几何条件。求解平面汇交力系的平衡问题时可用图解法，即按比例先画出封闭的力多边形，然后，用尺和量角器在图上量得所要求的本知量;也可根据图形的几何关系，用三角公式计算出所要求的未知量，这种解题方法称为几何法。例2-1 如图2-2a所示的压路碾子，自重=20kN，半径R=0.6m，障碍物高h=0.08m。碾子中心O处作用一水平拉力。试求:(1)当水平拉力=5kN时，碾子对地面及障碍物的压力;(2)欲将碾子拉过障碍物，水平拉力至少应为多大;(3)力沿什么方向拉动碾子最省力，此时力为多大。解:(1)选碾子为研究对象，其受力图如图2-2b所示，各力组成平面汇交力系。根据平衡的几何条件，力、与应组成封闭的力多边形。按比例先画已知力矢与如图2-2c，再从a、c两点分别作平行于、的平行线，相交于点d。将各力矢首尾相接，组成封闭的力多边形，则图2-2c中的矢量和即为A、B两点约束反力、的大小与方向。从图2-2c中按比例量得=l1.4kN，=lOkN由图2-2c的几何关系，也可以计算、的数值。由图2-2a，按已知条件可求得 cos = = 0.886故 30再由图2-2c中各矢量的几何关系，可得sin=F + cos=解得= = 10kN= - cos = l1.34kN根据作用与反作用关系，碾子对地面及障碍物的压力分别等于11.34kN和10kN。(2)碾子能越过障碍物的力学条件是=O，因此，碾子刚刚离开地面时，其封闭的力三角形如图2-2d所示。由几何关系，此时水平拉力=tan=11.55kN此时B处的约束反力 = 23.09kN(3)从图2-2d中可以清楚地看到，当拉力与垂直时，拉动碾子的力为最小，即=sin=l0kN由此例题可以看出，用几何法解题时，各力之间的关系很清楚，一目了然。例2-2 支架的横梁AB与斜杆DC彼此以铰链C相联接，并各以铰链A、D连接于铅直墙上。如图2-3a所示。已知AC=CB;杆DC与水平线成45角;载荷F=l0kN，作用于B处。设梁和杆的重量忽略不计，求铰链A的约束反力和杆DC所受的力。解:选取横梁AB为研究对象。横梁在B处受载荷作用。DC为二力杆，它对横梁C处的约束反力的作用线必沿两铰链D、C中心的连线。铰链A的约束反力的作用线可根据三力平衡汇交定理确定，即通过另两力的交点E，如图2-3b所示。根据平面汇交力系平衡的几何条件，这三个力应组成一封闭的力三角形。按照图中力的比例尺，先画出已知力=,再由点a作直线平行于AE，由点b作直线平行CE，这两直线相交于点d,如图2-3c。由力三角形abd封闭，可确定和的指向。在力三角形中，线段bd和da分别表示力和的大小，量出它们的长度，按比例换算得:=28.3kN=22.4kN根据作用力和反作用力的关系，作用于杆DC的C端的力与的大小相等，方向相反。由此可知杆DC受压力，如图2-3b所示。应该指出，封闭力三角形也可以如图2-3d所示，同样可求得力和，且结果相同。通过以上例题，可总结几何法解题的主要步骤如下:1选取研究对象。根据题意，选取适当的平衡物体作为研究对象，并画出简图。2分析受力，画受力图。在研究对象上，画出它所受的全部已知力和未知力(包括约束反力)。若某个约束反力的作用线不能根据约束特性直接确定(如铰链)，而物体又只受三个力作用，则可根据三力平衡必须汇交的条件确定该力的作用线。.作力多边形或力三角形。选择适当的比例尺，作出该力系的封闭力多边形或封闭力三角形。必须注意，作图时总是从已知力开始。根据矢序规则和封闭特点，就可以确定末知力的指向。4求出未知量。用比例尺和量角器在图上量出未知量，或者用三角公式计算出来。2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法解析法是通过力矢在坐标轴上的投影来分析力系的合成及其平衡条件。1.力在正交坐标轴系的投影与力的解析表达式如图2-4所示，已知力F与平面内正交轴x、y的夹角为、，则力在x、y轴上的投影分别为X=cos Y=cos=Fsin (2-4)即力在某轴的投影，等于力的模乘以力与投影轴正向间夹角的余弦。力在轴上的投影为代数量，当力与轴间夹角为锐角时，其值为正;当夹角为钝角时，其值为负。由图2-4可知，力F沿正交轴Ox、Oy可分解为两个分力和时，其分力与力的投影之间有下列关系=Xi, =Yj由此，力的解析表达式为=Xi+Yj (2-5)其中i、j分别为x、y轴的单位矢量。显然，己知力在平面内两个正交轴上的投影X和Y时，该力矢的大小和方向余弦分别为= (2一6)cos(,i)=,cos(,j)= 必须注意，力在轴上的投影X、Y为代数量，而力沿轴的分量=Xi和=Yj为矢量，二者不可混淆。当Ox、Oy两轴不相垂直时，力沿两轴的分力、在数值上也不等于力在两轴上的投影X、Y，如图2-5所示。2平面汇交力系合成的解析法设由n个力组成的平面汇交力系作用于一个刚体上，以汇交点0作为坐标原点，建立直角坐标系0xy，如图2-6a所示。根据式(2-5)，此汇交力系的合力的解析表达式为=i+j式中，、为合力在x、y轴上的投影。图2-6根据合矢量投影定理：合矢量在某一轴上的投影等于各分矢量在同一轴上投影的代数和，将式（2-1）向x、y轴投影，可得 =+= =+= （2-7）其中和，和，和分别为各分力在x和y轴上的投影。根据式(2-6)可求得合力失的大小和方向余弦为=，cos(,i)=,cos(,j)= （2-8）例2-3求图2-7所示平面共点力系的合力。解:用式(2-7)和(2-8)计算。 =cos30-cos60-cos45+cos45 =200cos30-300cos60_100cos45+250cos45 =129.3N=cos60+cos30-cos45-cos45 =200cos60+300cos30-100cos45-250cos45 =112.3N=171.3Ncos=0.7548,cos=0.6