几类两混合非对称凸体的相对曲率积分不等式.pdf

第4 9卷 第3期2 0 2 3年9月延 边 大 学 学 报(自然科学版)J o u r n a l o f Y a n b i a n U n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c e E d i t i o n)V o l.4 9 N o.3S e p.2 0 2 3收稿日期:2 0 2 3 0 6 1 4基金项目:安徽省高校优秀青年人才支持计划重点项目(g x y q Z D 2 0 2 0 0 2 2)第一作者:梁清海(1 9 9 8),男(布依族),硕士研究生,研究方向为凸体几何.通信作者:张德燕(1 9 8 0),女,博士,副教授,研究方向为微分几何与凸体几何.文章编号:1 0 0 4-4 3 5 3(2 0 2 3)0 3-0 2 4 4-0 6几类两混合非对称凸体的相对曲率积分不等式梁清海,张德燕(淮北师范大学 数学科学学院,安徽 淮北 2 3 5 0 0 0)摘要:将6种不同的凸函数与非对称的G r e e n-O s h e r不等式相结合,得到了两个凸体处于膨胀位置时的相对曲率积分型不等式,该结果推广了文献5 中关于闭凸曲线型积分不等式的相关结果.关键词:严格凸体;凸函数;G r e e n-O s h e r不等式;相对曲率;膨胀中图分类号:O 1 8 6.5 文献标志码:AC u r v a t u r e i n t e g r a l i n e q u a l i t i e s f o r s e v e r a l c l a s s e s o f t w o m i x e d a s y mm e t r i c c o n v e x b o d i e sL I ANG Q i n g h a i,Z HANG D e y a n(S c h o o l o f M a t h e m a t i c a l S c i e n c e s,H u a i b e i N o r m a l U n i v e r s i t y,H u a i b e i 2 3 5 0 0 0,C h i n a)A b s t r a c t:B y c o m b i n i n g s i x d i f f e r e n t c o n v e x f u n c t i o n s w i t h t h e a s y mm e t r i c G r e e n-O s h e r i n e q u a l i t y,t h e i n t e-g r a l i n e q u a l i t y o f r e l a t i v e c u r v a t u r e w h e n t w o c o n v e x b o d i e s a r e i n t h e p o s i t i o n o f e x p a n s i o n i s o b t a i n e d,a n d t h e r e s u l t g e n e r a l i z e s t h e i n t e g r a l i n e q u a l i t y o f c l o s e d c o n v e x c u r v e s i n l i t e r a t u r e 5.K e y w o r d s:s t r i c t l y c o n v e x b o d y;c o n v e x f u n c t i o n;G r e e n-O s h e r i n e q u a l i t y;r e l a t i v e c u r v a t u r e;d i l a t i o n0 引言1 9 9 9年,G r e e n和O s h e r1在假设K是平面上的一个严格凸体,E是平面上的一个关于原点对称的严格凸体的情况下,证明了如下不等式(G r e e n-O s h e r不等式):1V(E)2 0F()hE()(hE()+h E()dF(-t1)+F(-t2).其中:()是K相对于E的相对曲率半径,F(x)是(0,+)上的一个严格凸函数,t1和t2是K相对于E的S t e i n e r多项式的两个根.2 0 1 6年,X i等2为了解决平面上的D a r猜想,给出了膨胀位置的定义:设K和P是两个平面凸体,如果原点oKP且r(K,P)KR(K,P),则称凸体K和P处于膨胀位置,其中r(K,P)和R(K,P)分别是K相对于P的相对内半径和相对外半径,即:r(K,P)=m a xt0:x+t PK,xRn ,R(K,P)=m i nt0:x+t PK,xRn .2 0 1 9年,Y a n g3利用文献2 中定义的膨胀位置给出了非对称凸体的G r e e n-O s h e r不等式成立的充分必要条件,并得到如下引理1.第3期梁清海,等:几类两混合非对称凸体的相对曲率积分不等式引理13设K和P是平面上的两个光滑的严格凸体,K,P()是K相对于P的相对曲率半径,如果K和P处于膨胀位置,F(x)是(0,+)上的一个严格凸函数,则有:1V(P)2 0F(K,P()hP()(hP()+h P()dF(-t1)+F(-t2).其中:t1和t2为K相对于P的S t e i n e r多项式的两个根,等号成立当且仅当K和P位似.2 0 2 2年,Z e n g等4在文献3的工作基础上,利用非对称的G r e e n-O s h e r不等式证明了平面凸体曲率熵的l o g-M i n k o w s k i不等式.2 0 2 3年,张泽源等5讨论了平面凸体K的曲率积分型不等式,并利用G r e e n-O s h e r不等式得到了如下结果:2 0f1 d2 fL2 ,(1)2 0f1 d4 2(1-L)+LAl n 2.(2)其中:式(1)等号成立当且仅当K为圆盘;式(2)等号成立当且仅当K为周长为1的圆盘;L和A分别为K的周长和面积;1是K的边界曲线的曲率半径;f为函数ex、ex+e-x、ex-e-x时,式(1)成立;f为函数-l nxx时,式(2)成立.受文献4和文献5的启发,本文将6种不同的凸函数与非对称的G r e e n-O s h e r不等式相结合,得到了这些凸函数的相对曲率积分下界(这些下界仅与平面凸体的面积和混合面积有关).特别的,当其中一个凸体为单位圆盘时,式(1)和式(2)成立,因此本文的研究结果是对式(1)和式(2)的一种推广.1 预备知识记Rn为n维的欧几里得空间,称Rn中具有非空内部的紧凸集为凸体,记n为所有凸体的集合,n0为内部包含原点的所有凸体的集合.有关凸体的相关理论可参见文献6-8.定义16设Kn,并定义其支撑函数hK:RnR为:hK(x)=m a xxy;yK ,xRn,其中xy为Rn中的标准内积.由定义1易知,凸体的支撑函数具有一阶齐次可加性,并且可以唯一确定凸体.设K,Pn,R且0,定义K与的M i n k o w s k i乘法为 K=x;xK ,定义K与P的M i n k o w s k i加法为K+P=x+y;xK,yP .对于平面中的两个凸体K和P,其M i n k o w s k i组合(K+t P)的面积(V(K+t P)可以用相对S t e i n e r多项式来表示,即:V(K+t P)=V(K)+2V(K,P)t+V(P)t2.其中:V(K,P)是K和P的M i n k o w s k i混合面积.如果平面中的两个凸体K和P的支撑函数hK和hP是光滑的,则有V(K,P)=12 2 0hK()(hP()+h P()d=12 2 0hP()(hK()+h K()d.定义K相对于P的相对曲率K,P为K,P=hP+h PhK+h K,定义K相对于P的相对曲率半径K,P为 K,P=hK+h KhP+h P,于是由M i n k o w s k i不等式(V(K,P)2-V(K)V(P)0)可知V(K+t P)=0有2个负的实根.本文用t1和t2来表示K相对于P的S t e i n e r多项式的2个负实根,即:t1=-V(K,P)V(P)+V(P),t2=-V(K,P)V(P)-V(P).(3)其中:=V(K,P)2-V(K)V(P).关于S t e i n e r多项式根的相关理论可参见文献9和1 0.引理21 1设K为R2中的凸体,记V(K)为K的面积,dVK和ds分别为K和其边界曲线K的542延边大学学报(自然科学版)第4 9卷 面积微元和弧长微元,则有:ds=(hK+h K)d;=1hK+h K;V(K)=12 S1hK(hK+h K)d;dVK=12hK(hK+h K)d.定义21 2设K,Pn0,是Rn中 的 单 位 球 面Sn-1上 的B o r e l集,则 称VK,P()=1nhP(u)dSK(u)是K和P的混合锥体积测度.由该式可知 Sn-1dVK,P正好是第1个混合体积V1(K,P),即V1(K,P)=Sn-1dVK,P,且在平面上有V1(K,P)=V1(P,K).注1在本文中用V(K,P)代替V1(K,P),记B为R2中的单位圆.2 主要结果及其证明定理1设K和P是R2中的两个光滑的严格凸体,K,P()是K相对于P的相对曲率半径.如果K和P处于膨胀位置,F(x)是定义在区间(0,+)上的一个严格凸函数,则有S1e1K,PdVPV(P)eV(K,P)V(P),等号成立当且仅当K和P位似.证明令F(x)=ex,于 是 利 用 引 理1和 式(3)可 得2V(P)S1ehK+h KhP+h PdVP e-t1+e-t2=eV(K,P)V(P)e-V(P)+eV(P).对该式运用均值不等式可得2V(P)S1ehK+h KhP+h PdVP2 eV(K,P)V(P),即S1e1K,PdVPV(P)eV(K,P)V(P).再由引理1可知,定理1中的等号成立当且仅当K和P位似.在定理1中取P=B可得到以下推论1和推论2成立.推论1设K20是光滑的严格凸体,记和V(K)分别是K的边界曲线的曲率和面积,则有2 eV(K)-Ke1ds0,等号成立当且仅当K为圆盘.证明 由2V(P)S1ehK+h KhP+h PdVP2 eV(K,P)V(P)可知-S1ehK+h KhP+h PdVP-V(P)eV(K,P)V(P).再由V(K,P)2-V(K)V(P)0可知V(K,P)V(K)V(P),所以有-S1ehK+h KhP+h PdVP-V(P)eV(K)V(P).(4)下面考虑-S1ehK+h KhP+h PdVP=-12 S1ehK+h KhP+h PhP+h PhK+h KhP(hK+h K)d=-S1hP+h PhK+h KehK+h KhP+h PdVK,P.(5)由式(4)和式(5)可得:V(P)eV(K)V(P)-S1hP+h PhK+h KehK+h KhP+h PdVK,P0.(6)在式(6)中取P=B,于是再由=1hK+h K可得:V(P)eV(K)V(P)-S1hP+h PhK+h KehK+h KhP+h PdVK,P 0,V(P)eV(K)V(P)-S1e1dVK,B0,2 eV(K)-Ke1ds0.由此再由定理1知,推论1中式子的等号成立当且仅当K和P位似,故K是一个圆盘.642 第3期梁清海,等:几类两混合非对称凸体的相对曲率积分不等式推论2设K20是光滑的严格凸体,记和V(K)分别是K的边界曲线的曲率和面积,则有KeV(K)-e1 ds0,等号成立当且仅当K为圆盘.证明 将ds=(hK+h K)d,=1hK+h K和S1d=2 代入推论1中的公式可得:2 eV(K)-Ke1ds=S11hK+h K(hK+h K)eV(K)d-Ke1ds=KeV(K)-e1 ds0.定理2设K和P是R2中的两个光滑的严格凸体,K,P()是K相对于P的相对曲率半径.如果K和P处于膨胀位置,F(x)是定义在区间(0,+)上的严格凸函数,则有:S1e1K,P-e-1K,P dVPV(P)eV(K,P)V(P)-e-V(K,P)V(P),(7)等号成立当且仅当K和P位似.证明 令F(x)=ex-e-x,于是利用引理1和式(3)得:2V(P)S1ehK+h KhP+h P-e-hK+h KhP+h P dVPeV(K,P)V(P)e-V(P)+eV(P)-e-V(K,P)V(P)eV(P)+e-V(P).对上式运用均值不等式可得2V(P)S1ehK+h KhP+h P-e-hK+h KhP+h P dVP2eV(K,P)V(P)-e-V(K,P)V(P),由此可得式(7)成立.于是再根据引理1可知,定理2中的等号成立当且仅当K和P位似.证毕.定理3设K和P是R2中的两个光滑的严格凸体,K,P()是K相对于P的相对曲率半径.如果K和P处于膨胀位置,F(x)是定义在区间(0,+)上的一个严格凸函数,则有:S1e1K,P+e-1K,P dVPV(P)eV(K,P)V(P)+e-V(K,P)V(P),(8)等号成立当且仅当K和P位似.证明 令F(x)=ex+e-x,于是利用引理1和式(3)可得:2V(P)S1ehK+h KhP+h P+e-hK+h KhP+h P dVP=eV(K,P)V(P)e-V(P)+eV(P)+e-V(K,P)V(P)eV(P)+e-V(P).对上式运用均值不等式可得2V(P)S1ehK+h KhP+h P+e-hK+h KhP+h P dVP2eV(K,P)V(P)+e-V(K,P)V(P),由此可得式(8)成立.于是再根据引理1可知,定理3中的等号成立当且仅当K和P位似.证毕.定理4设K和P是R2中的两个光滑的严格凸体,K,P()是K相对于P的相对曲率半径.如果K和P处于膨胀位置,F(x)是定义在区间(0,+)上的一个严格凸函数,则有:S1K,Pl nK,PdVPV(P)2(1-V(K,P)+V(P)V(K,P)V(K)l nV(P),(9)等号成立当且仅当K和P位似.证明 令F(x)=-l nxx,于是利用引理1和式(3)可得:2V(P)S1-hP+h PhK+h Kl nhK+h KhP+h P dVP-l n(-t1)-t1-l n(-t2)-t2=-V(P)V(K,P)-l nV(K,P)-V(P)+V(P)V(K,P)+l nV(K,P)+V(P)=-V(P)l n(V(K,P)-)V(K,P)-+l n(V(K,P)+)V(K,P)+-l nV(P)V(K,P)-l nV(P)V(K,P)+=V(P)-l n(V(K,P)-)V(K,P)-l n(V(K,P)+)V(K,P)+2V(K,P)V(K)V(P)l nV(P)742延边大学学报(自然科学版)第4 9卷 V(P)-(V(K,P)-)+1-(V(K,P)+)+1+2V(K,P)V(K)V(P)l nV(P)=2V(P)(1-V(K,P)+2V(K,P)V(K)l nV(P).由上式可得2V(P)S1-hP+h PhK+h Kl nhK+h KhP+h P dVP2V(P)(1-V(K,P)+2V(K,P)V(K)l nV(P),由此可得式(9)成立.对该式应用-l nxx-x+1进行放缩后再根据引理1可知,定理4中的等号成立当且仅当K和P位似.证毕.定理5设K和P是R2中的两个光滑的严格凸体,K,P()是K相对于P的相对曲率半径.如果K和P处于膨胀位置,F(x)是定义在区间(0,+)上的一个严格凸函数,则有S1K,PdVPV(K,P)V(P)V(K),等号成立当且仅当K和P位似.证明令F(x)=1x,于 是 利 用 引 理1和 式(3)可 得S1hP+h PhK+h KdVPV(K,P)V(P)V(K),即S1K,PdVPV(K,P)V(P)V(K).于是再根据引理1可知,定理5中的等号成立当且仅当K和P位.证毕.在定理5中取P=B可得到以下推论3成立.推论3设K20是光滑的严格凸体,记和V(K)分别是K的边界曲线的曲率和面积,则有2 V(K)-K2ds0,等号成立当且仅当K为圆盘.由定理5可知,推论3中的等号成立当且仅当K和P位似,故K是一个圆盘.将ds=(hK+h K)d,=1hK+h K和S1d=2 代入推论3中的公式可得如下推论4.推论4设K20是光滑的严格凸体,记和V(K)分别是K的边界曲线的曲率和面积,则有KV(K)-2 ds0,等号成立当且仅当K为圆盘.定理6设K和P是R2中的两个光滑的严格凸体,K,P()是K相对于P的相对曲率半径.如果K和P处于膨胀位置,F(x)是定义在区间(0,+)上的一个严格凸函数,则有:S11K,P+l nK,P dVPV(K,P)-2V(P)l nV(K)V(P),等号成立当且仅当K和P位似.证明 令F(x)=x-l nx,于是利用引理1和式(3)可得:S1hK+h KhP+h P-l nhK+h KhP+h P dVPV(K,P)-2V(P)l nV(K)V(P),S11K,P+l nK,P dVPV(K,P)-2V(P)l nV(K)V(P).由上式再根据引理1可知,定理6中的等号成立当且仅当K和P位似.证毕.在定理6中取P=B可得到以下推论5.推论5设K 20为光滑的严格凸体,记和V(K)分别为K的边界曲线的曲率和面积,则有4 l nV(K)-2 V(K)+K(1+l n)ds0,等号成立当且仅当K为圆盘.由定理6可知,推论5中的等号成立当且仅当K和P位似,故K是一个圆盘.将ds=(hK+h K)d,842 第3期梁清海,等:几类两混合非对称凸体的相对曲率积分不等式=1hK+h K和S1d=2 代入推论5中的公式可得如下推论6.推论6设K20是光滑的严格凸体,记和V(K)分别是K的边界曲线的曲率和面积,则有K2l nV(K)+l n-V(K)+1 ds0,等号成立当且仅当K为圆盘.在引理1中若取函数F(x)分别为x和-x,并取1和01,01,01,01,等号成立当且仅当K为圆盘.参考文献:1 G R E E N M,O S HE R S.S t e i n e r p o l y n o m i a l s,W u l f f f l o w s,a n d s o m e n e w i s o p e r i m e t r i c i n e q u a l i t i e s f o r c o n v e x p l a n e c u r v e sJ.A s i a n J o u r n a l o f M a t h e m a t i c s,1 9 9 9,3(3):6 5 9-6 7 6.2 X I D M,L E N G G S.D a rs c o n j e c t u r e a n d t h e l o g-B 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