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9 玉溪师范学院学报（第39卷）2023年第6期 Journal of Yuxi Normal University Vol.39 No.6 Nov.2023闭区间上连续函数性质的推广陈亦佳，李志成a（玉溪师范学院 数学与信息技术学院，云南 玉溪 653100）关键词闭区间；连续函数；可测集；可测函数 摘 要 在闭区间连续函数的性质的基础上，把闭区间推广到开区间及无限区间，进一步把区间推广到可测集，把连续函数推广到可测函数，得到了几个不同形式的闭区间连续函数性质的推广，使闭区间连续函数的性质得到了丰富.中图分类号 O174.52 文献标识码 A 文章编号1009-9506（2023）06-0009-060 引 言实数的连续性和闭区间的紧致性，使闭区间上的连续函数具有许多丰富性质，例如有界性、最值性、介值性及一致连续性.开区间和半开区间是非紧致的，其上的连续函数就未必具有上述性质.本文主要在闭区间连续函数的性质的基础上，把紧致的闭区间推广到非紧致的开区间、半开区间和无限区间.另一方面，实变函数是数学分析的继续、深化和推广，基于实变函数，我们可以进一步把区间推广到可测集，把连续函数推广到可测函数，得到在可测集上可测函数的性质.基于上述分析，本文得到了几个不同形式的闭区间连续函数性质的推广，并分别给出了他们的证明，使闭区间连续函数的性质得到了丰富.下面介绍本文所涉及的定理和引理：有界性定理1若函数()f x 在闭区间 ,a b 连续，则函数()f x 在闭区间 ,a b 上有界，即0,Mxa b，有|()|f xM.最值性定理1 若函数()f x 在闭区间,a b 连续，则函数()f x 在闭区间,a b 能取到最小值 m 和最大值M，即12,x xa b，使12(),()f xm f xM=且,xa b，有()mf xM.定义 12 设 E 是一个实数子集.若对任何实数子集 A有则 E 称为 Lebesgue 可测集，或简称可测集.定义 22 设函数 f 的定义域是可测集 D.若对任何实数，集合:()xD f x是可测集，则称 f 是 D 上的可测函数.作者简介陈亦佳，硕士，讲师，研究方向：复分析及动力系统.玉溪师范学院学报 10 定义 32 设,:nERG 是nR 中一族开集.如果:EGU，则G称为 E 的一个开覆盖.若 E 的任一开覆盖中存在有限个开集仍构成 E 的一个开覆盖，则 E 称为紧集.引理 12 设 f 在可测集 D 上可测，则存在 D 上的简单函数列1nnf，使对每一1,()nnxDfx收敛于()f x.此外：（i）当 f 非负时，对每一1,()nnxDfx单增收敛于()f x，（ii）当 f 有界时，1()nnfx在 D 上一致收敛于()f x.引理 22 设 F 是一个紧集，1nnf是一列沿 F 连续的函数.若1nnf在 F 上一致收敛于 f，则 f也沿 F 连续.引理 32设 f 是可测函数 D 上的简单函数.则对任何0，有沿 D 连续的函数*f使(*)mff，有 D 的闭子集 F，使()m DF，0，或bxb，,xab+，有2|()|f xM.取12max,MM M=，对于(,)xa b，有|()|f xM.定理 2设函数()f x 在区间(,)b上连续，且 lim()xf xA=，lim()xbf xB=，则()f x 在区间(,)b上有界.证明 由于 lim()xbf xB=，则由局部有界性，10M，0，对于(,)xbb，有1|()|f xM.另一方面，由 lim()xf xA=可知，20M，存在0X，当 xX，,xX b ，有3|()|f xM.取123max,MM MM=，对于(,)xb ，有|()|f xM.类似可证：推论 1 函数()f x 在区间(,)a+上连续，且 lim()xaf xA+=，lim()xf xB+=，则函数()f x 在区间(,)a+上有界.推论 2 函数()f x 在区间(,)+上连续且 lim(),lim()xxf xAf xB+=，则函数 11 陈亦佳，李志成：闭区间上连续函数性质的推广()f x 在区间(,)+上有界.定理 3 设函数()f x 在开区间(,)a b 上连续，且 lim(),lim()xaxbf xAf xB+=，则（1）若存在1(,)a b，使1()max,fA B，则()f x 在(,)a b 上能取到最大值.（2）若存在2(,)a b，使2()min,fA B，则()f x 在(,)a b 上能取到最小值.证明（1）将函数()f x 在闭区间,a b 上作连续开拓，令，则()F x 是,a b 上的连续函数，从而()F x 在,a b 上可取得最大值.不妨设最大值为11(),F xxa b，由已知条件可知，()1111()()(),FfF xa b=若11()()fF x=，则1就是()f x 在(,)a b 内的最大值点.若11()()fF x，由于2()min,fA B，则()F x 在,a b 上的最小值不会在端点,a b取到，又由于()(),(,)F xf xxa b=，则()f x 在(,)a b 内的2x 处取到最小值.定理 4 函数()f x 在无穷区间(,)b上连续，且 lim(),lim()xxbf xAf xB=为有限值)，则（1）若存在1(,)b，使1()max,fA B，则()f x 在(,)b上能取到最大值.（2）若存在2(,)b，使2()min,fA B，当 xX 时，有|()|f xA，1()()2fAAf xAA+，11()()()2fAf xf+，将函数()f x 在,X b上作连续开拓，令(),)(),f xxX bF xBxb=由于()F x 在,X b连续，则()F x 在,X b存在最大值M.若1()fM，从而(,)xb 都有()f xM，从而(,)xb 有1()()f xfM=，即函数()f x 在点1处可取到最大值.玉溪师范学院学报 12 （2）由 lim()xf xA=（A为有限值），则对于2()2Af=，0X，当 xX 时，有|()|f xA，()Af xA，22()()()2Aff xf+，将函数()f x 在,X b上作连续开拓，令由于()F x 在,X b连续，则()F x 在,X b存在最小值m.若2()fm，则2()min,mfA B，即()f x 在(,)b上能取到最小值.若2()fm=，则2()min,mfA B=，从而(,)xb 有2()()f xfm=，即函数()f x 在点2处可取到最小值.类似可证：推论 3 若函数()f x 在无穷区间(,)a+上连续，并 lim()xaf xA+=，lim()xf xB+=都为有限值，则（1）若存在1(,)a+，使1()max,fA B，则()f x 在(,)a+上能取到最大值.（2）若存在2(,)a+，使1()max,fA B，则()f x 在(,)+上能取到最大值.（2）若存在2(,)+，使2()min,fA B，有沿 D 连续的函数*f，使(*)mff，并且sup|*()|sup|()|x Dx Dfxf x和inf|*()|inf|()|x Dx Dfxf x.证明 不失一般性设 f 在D 上处处有限.先设是有界可测集，由引理 4，有 D 上的简单函数列nf，使得()()()nfxf x xD.现对每一1n ，由引理 6，存在沿 D 连续的函数*nf，使得令1*nnnEff=U，则 13 陈亦佳，李志成：闭区间上连续函数性质的推广()2m E.并且在 DE上*()()nfxf x.由于 D 有界，由 Egoroff 定理可知，所以存在 DE的有界闭子集F，使*nf在 F 上一致收敛于 f 并且()2m DEF.再由引理 5，f 沿 F 连续.构造函数*f，由于(,)nnDFa b=U是开集，其中开区间族(,)nna b两两不相交.定义则显然 f 作为 F 上的函数可以开拓成沿 D 的连续函数*f，且sup|*()|sup|()|x Dx Ffxf x=和inf|*()|inf|()|x Dx Ffxf x=.此时(*)()mffm DF.从而sup|*()|sup|()|sup|()|x Dx Fx Dfxf xf x=，和inf|*()|inf|()|inf|()|x Dx Fx Ffxf xf x=.对一般的 DR，此时对每一整数n，令则nD 都是有界的.从而由上段证明，对每一n，存在nD 的闭子集nF，使 f 沿nF 连续，并且此时nnFF=U是闭集，并且 f 沿 F 连续.构造函数*f，则 f 作为 F 上的函数可以开拓成 D 上的连续函数*f，使sup|*()|sup|()|x Dx Ffxf x=和inf|*()|inf|()|x Dx Ffxf x=.并且(*)()()nnmffm DFmDF=UU()nnmDFU()nnnm DF=|22nn+=，有,a b 上连续函数*f，使(*)mff，并且,max|*()|sup|()|xa bxa bfxf x和,min|*()|inf|()|xa bxa bfxf x.3 结 论对连续函数性质的研究是数学分析最基本、最核心的知识点之一，因此这个课题研究一直都很热门，也很有意义.本文在前人的研究基础上，探讨把闭区间上连续函数的性质推广到开区间或无穷区间.实变函数是数学分析的继续、深化和推广，本文又基于实变函数理论.利用 Lebesgue 测度理论，把连续函数推广到可测函数，把区间推广到可测集.并得到几个不同形式的推广，并进行严格证明，使闭区间连续函数的性质得到推广，使之应用更为广泛.参考文献：1 刘玉琏，傅沛仁.数学分析讲义：上册 M.北京：高等教育出版社，2008:134.2 周性伟，孙文昌.实变函数 M.北京：科学出版社，2014:23-57.3 郭玉立.闭区间连续函数的推广 J.广西民族大学学报：自然科学版，2004(增刊):2-7.4 夏丹，夏军.闭区间上连续函数的性质推广 J.广西右江民族师专学报，2006(6):13-14.5 张成卓.闭区间上连续函数的性质及其推广 J.课程教育研究，2018(42):124-125.6 唐妍霞，王宇红.闭区间连续函数介值性质的推广 J.河北北方学院学报，2017，23(5):1-6.7 温丽萍.闭区间上连续函数性质的再推广 J.高等函授学报，2007，21(3):34-35.8 陈红红，于荣娟，梁显丽.再证闭区间上连续函数的性质 J.黑龙江科技信息，2013(1):173.9 高丽.非闭区间上连续函数的最值定理 J.高师理科学刊，2008，28(5):7.10 路宗娅.闭区间上连续函数的推广及其应用 J.知识文库，2017(2):187.Generalization of Properties of Continuous Functions in the Closed IntervalCHEN Yijia,LI Zhicheng(School of Mathematics and Information Technology,Yuxi Normal University,Yuxi653100,China)Key Words:closed interval;continuous function;measurable set;measurable functionAbstract:In this paper,based on the properties of continuous functions in closed intervals,we generalize closed intervals to open intervals and infinite intervals,then measurable sets,and then continuous functions to measurable functions.Several different forms of continuous functions in closed intervals are obtained,which enriches the properties of continuous functions in closed intervals.