G-ρ不变凸多目标规划的最优性条件.pdf

DOI：10.13876/J.cnki.ydnse.230025第 43 卷 第 1 期2024 年 3 月延安大学学报（自然科学版）Journal of Yanan University（Natural Science Edition)Vol.43 No.1Mar.2024G-不变凸多目标规划的最优性条件张媛，李钰*（延安大学 数学与计算机科学学院，陕西 延安 716000）摘要：凸函数的推广在最优化理论中占有重要地位。利用局部Lipschitz函数，基于G-不变凸函数、G-不变拟凸函数和G-不变伪凸函数，建立了含有不等式约束的多目标规划问题，证明了此函数凸性限制下的最优性充分条件，在更弱的凸性条件下推广了已有结论。关键词：G-不变凸函数；多目标规划；最优性条件；有效解中图分类号：O221.6 O224 文献标识码：A 文章编号：1004-602X（2024）01-0072-05凸函数是最优化理论的基础。凸函数的推广是最优化理论的重要研究内容，同样也是众多学者感兴趣的研究方向。凸函数在 1905 年由 JENSEN提出，HANSON1于1981年在凸函数的基础上进行推广，定义了一类广义凸函数不变凸函数，许多学者们采用此类函数讨论不同规划问题的最优性条件、对偶性定理2-5；2007年，ANTCZAK6提出了G不变凸函数，利用该函数研究含有不等式和等式约束的可微多目标规划问题的最优性条件和对偶性定理7-9；文献 10-11 把G不变凸函数推广到非可微的情况，建立了多目标规划模型，讨论了最优性条件和对偶性定理；随后，ANTCZAK12继续推广G不变凸函数，定义了一类新的非可微G-V不变凸函数，针对涉及局部Lipschitz函数的多目标规划问题，研究了最优性条件，建立了原规划问题与其对偶问题之间的几个对偶性结果；在已有的G-V不变凸函数基础上，刘靖雯等13利用该函数研究了多目标规划的Wolfe型对偶；2020年，李向有等14利用局部Lipschitz函数，新定义了一类(G-V，)不变凸函数、(G-V，)不变拟凸函数、(G-V，)不变伪凸函数等，研究了非可微多目标规划的 Mond-Weir对偶问题，得到了弱对偶、严格逆对偶条件；随后，文献 15 继续推广(G-V，)不变凸函数，并定义了新的G-不变凸函数，研究涉及此类不变凸函数的半无限多目标规划问题，得到了不完全Lagrange函数鞍点的充分性和必要性条件。本文在上述文献研究的基础上，利用G-不变凸函数、G-不变拟凸函数和G-不变伪凸函数，建立含有不等式约束的多目标规划问题，得到了一些最优性充分条件，推广了现有不变凸多目标规划的相关理论。1基本定义若对任意x Rn的，存在一个正数k和x的邻域N(x)，对任意y，z N(x)，使得有f()y-f()z ky-z成 立，则 称 实 值 函 数f：Rn R是 局 部Lipschitz的16。若 函 数x为 局 部 Lipschitz 的，那 么 函 数f：X R在x点处沿方向d的Clarke广义方向导数和Clarke广义梯度分别定义为16f0(x；d)=limy xsupt 0f()y+td-f()yt，f(x)=Rn：f0(x；d)Td，d Rn。下 面 的 不 等 式 在 全 文 中 成 立，对 于x，收稿日期：2023-03-22基金项目：国家自然科学基金项目（61763045）；陕西省科技厅项目（2023-JC-YB-085）；延安大学研究生教育创新计划项目（YCX2023010）作者简介：张媛（2000），女，陕西咸阳人，延安大学硕士研究生。*通信作者第 1 期张媛 等：G-不变凸多目标规划的最优性条件y Rn，x y xi yi；x y xi yi，但x y；x y xi，则称函数fi在x X是非可微严格G-不变凸函数。定义2 15 令f=(f1，fm)：XRn，fi(i=1，m)是 定 义 在X上 的 局 部 Lipschitz 函 数，函 数G=(G1，Gm)，Gi：Ifi(x)R，i=1，m是严格单调递增的可微实值函数，向量函数：X X Rn，如果存在常数i R，函数d：X X R，使得对x X，i fi(x)，x X，i=1，m有Gi(fi(x)Gi(fi(x)Gi(fi(x)i，()x，x+id2(x，x)0，则称f在x X是非可微G-不变拟凸函数。定义3 15 令f=(f1，fm)：XRn，fi(i=1，m)是 定 义 在X上 的 局 部 Lipschitz 函 数，函 数G=(G1，Gm)，Gi：Ifi(x)R，i=1，m是严格单调递增的可微实值函数，向量函数：X X Rn，如果 存 在 常 数i R，函 数d：X X R，使 得 对x X，i fi(x)，x X，i=1，m有Gi(fi(x)i，()x，x+id2(x，x)0 Gi(fi(x)Gi(fi(x)，则称f在x X是非可微G-不变伪凸函数。定义417 设x 为多目标规划(VP)的可行解，如果不存在(VP)的可行解x，使f(x)f(x)成立，则称x 为多目标规划的有效解。2最优性条件考虑如下多目标规划(VP)minf(x)=(f1(x)，fm(x)，s.t gj(x)0，j=1，k，x X。fi、gj(i=1，m，j=1，k)为局部 Lipschitz函数，X Rn。定理1 设x 是(VP)的可行解：1）=(1，2，m)0，=(1，2，k)0，有下列条件成立：0 i=1miGi(fi(x)fi()x +j=1kjGj(gj(x)gj()x；j=1kjGj()gj()x=0。2）fi在x 点 为G-不 变 凸 函 数，其 中i=1，2，m，Tgj在x 点 为G-不 变 凸 函 数，且id2(x，x)+jd2(x，x)0。若以上条件均满足，则x 是规划(VP)的有效解。证明 假设x 不是规划(VP)的有效解，则存在x X，使得f(x)f(x)，即fi(x)fi(x)，i=1，2，m，至少存在一个n，1 n m，有fn(x)fn(x)。因为函数G=(G1，Gm)，Gi：Ifi(x)R(i=1，m)严格单调递增，故有Gi(fi(x)Gi(fi(x)，i=1，2，m，其 中 存 在 一 个n，使 得1 n m时，有Gn(fn(x)Gn(fn(x)。由于fi在x 点为G-不变凸函数，对任意的x X(x x)，i=1，2，m有Gi(fi(x)-Gi(fi(x)Gi(fi(x)i，()x，x+id2(x，x)。（1）又 因 为Gn(fn(x)Gn(fn(x)，Gi(fi(x)Gi(fi(x)，结合式（1），可得Gi(fi(x)i，()x，x+id2(x，x)0。（2）给式（2）乘以i，可得i=1miGi(fi(x)i，()x，x+i=1miid 2()x，x 0。（3）又因为j=1kjGj()gj()x在x 点为G-不变凸函数，对任意的x X(x x)，i=1，2，m有73延安大学学报（自然科学版）第 43 卷 j=1kjGj()gj()x-Gj()gj()x j=1kjGj(gj(x)j，()x，x+jd2()x，x。（4）因为函数G=(G1，Gk)，Gj：Igj(x)R(j=1，k)严格单调递增，又对任意的x X有g(x)0，=(1，k)0，所以得到j=1kjGj()gj()x 0。由条件知，j=1kjGj()gj()xj=1kjGj()gj()x，结合式（4），可得j=1kjGj(gj(x)j，()x，x+jd2()x，x 0。（5）由式（3）和式（5）相加，又id2(x，x)+jd2(x，x)0，则有i=1miGi(fi(x)i，()x，x+j=1kjGj(gj(x)j，()x，x 0，=(1，2，k)0，有下列条件成立：0 i=1miGi(fi(x)fi()x +j=1kjGj(gj(x)gj()x；j=1kjGj()gj()x=0。2）i=1miGi()fi()x在x 点为G-不变凸函数，其中i=1，2，m，j=1kjGj()gj()x在x 点为G-不变伪凸函数，且id2(x，x)+jd2(x，x)0。若以上条件均满足，则x 是(VP)的有效解。证明 假设x 不是规划(VP)的有效解，则存在x X，使得f(x)f(x)，即fi(x)fi(x)，i=1，2，m，至少存在一个n，1 n m，有fn(x)fn(x)。因为函数G=(G1，Gm)，Gi：Ifi(x)R(i=1，m)严 格 单 调 递 增，所 以 有Gi(fi(x)Gi(fi(x)，i=1，2，m，其中存在一个n，使得1 n m时，有Gn(fn(x)Gn(fn(x)。又i=(1，2，m)，则i=1miGi()fi()xi=1miGi()fi()x。（7）由于i=1miGi()fi()x在x 点为G-不变凸函数，对任意的x X(x x)，i=1，2，m，有i=1miGi()fi()x-Gi()fi()x i=1miGi(fi(x)i，()x，x+id2()x，x。结合式（7）得i=1miGi(fi(x)i，()x，x+id2()x，x 0。（8）根据G-不变伪凸函数的定义，结合式（8）可知，对x X(x x)有j=1kjGj()gj()x i，()x，x+jd2(x，x)0 j=1kjGj()gj()xj=1kjGj()gj()x 。（9）对 任 意 的x X(x x)，有Gj(gj(x)0，即j=1kjGj()gj()x 0。结合已知条件j=1kjGj()gj()x=0，则有j=1kjGj()gj()xj=1kjGj()gj()x。观察发现，与式（9）矛盾，则x 是(VP)的有效解。定理3 设x 是(VP)的可行解：1）=(1，2，m)0，=(1，2，k)0，有下列条件成立：0 i=1miGi(fi(x)fi()x +j=1kjGj(gj(x)gj()x；j=1kjGj()gj()x=0。74第 1 期张媛 等：G-不变凸多目标规划的最优性条件2）Gi(fi(x)在x 点为G-不变凸函数，其中i=1，2，m，TGj(gj(x)在x 点为G-不变拟凸函数，且id2(x，x)+jd2(x，x)0。若以上条件均满足，则x 是规划(VP)的有效解。证明 因为函数G=(G1，Gk)，Gj：Igj()x R（j=1，k）严格单调递增，又对任意的x X有g（x）0，=(1，k)0，所以得到j=1kjGj()gj()x 0，再由条件可得j=1kjGj()gj()x=0，即j=1kjGj()gj()xj=1kjGj()gj()x。因为TGj(gj(x)在x 点为G-不变拟凸函数，则有j=1kjGj()gj()x i，()x，x+jd2(x，x)0。（10）结合0i=1miGi(fi(x)fi()x +j=1k jG j(gj(x)gj()x，则有i=1miGi(fi(x)fi()x =-j=1kjGj(gj(x)gj()x。又id2(x，x)+jd2(x，x)0，结合式（10），则有i=1miGi(fi(x)i，()x，x+id2()x，x 0。（11）又因为Gi(fi(x)在x 点为G-不变凸函数，而i=(1，2，m)0，则有i=1miGi(fi(x)-i=1miGi()fi()x i=1miGi(fi(x)i，()x，x+i=1miid2()x，x。结合式（11），可得i=1miGi(fi(x)i，()x，x+i=1miid2()x，x 0。从而有i=1miGi(fi(x)-i=1miGi()fi()x 0，即i=1miGi(fi(x)i=1miGi()fi()x。所以，x 是规划(VP)的有效解得证。定理4 设x 是(VP)的可行解：1）=(1，2，m)0，=()1，2，k0，使得下列结论成立：0 i=1miGi(fi(x)fi()x +j=1kjGj(gj(x)gj()x；j=1kjGj()gj()x=0。2）i=1miGi(fi(x)+j=1kjGj()gj()x在x 点为G-不变凸函数，其中i=1，2，m，j=1，2，k，且id2(x，x)+jd2(x，x)0。若以上条件均满足，则x 是(VP)的有效解。证明 假设x 不是规划(VP)的有效解，则存在x X，使 得f(x)f(x)，即fi(x)fi(x)，i=1，2，m，至少存在一个n，1 n m，有fn(x)fn(x)。因为函数G=(G1，Gm)，Gi：Ifi(x)R(i=1，m)严格单调递增，所以有Gi(fi(x)Gi()fi()x ，i=1，2，m，其中存在一个n，使得1 n m时，有Gn(fn(x)0，使得i=1miGi()fi()xi=1miGi()fi()x。（12）因 为 函 数G=(G1，Gk)，Gj：Igj(x)R(j=1，k)是严格单调递增的可微实值函数，又对任意的x X有g(x)0，=(1，k)0，所以得到j=1kjGj()gj()x 0，再由条件可得j=1kjGj()gj()x=0，即j=1kjGj()gj()xj=1kjGj()gj()x。（13）由式（12）与式（13）相加得i=1miGi()fi()x+j=1kjGj()gj()xi=1miGi()fi()x+j=1kjGj()gj()x。又i=1miGi(fi(x)+j=1kjGj()gj()x在x 点为G-不变凸函数，对x X(x x)有 i=1miGi()fi()x+j=1kjGj()gj()x-i=1miGi()fi()x+j=1kjGj()gj()x 75延安大学学报（自然科学版）第 43 卷 i=1miGi()fi()x i，()x，x+j=1kjGj()gj()x j，()x，x+i=1miid2()x，x +j=1kj jd2()x，x 。所以可得i=1miGi(fi(x)i，()x，x+j=1kjGj(gj(x)j，()x，x+i=1miid2()x，x +j=1kj jd2()x，x 0。又id2(x，x)+jd2(x，x)0，可得i=1miGi(fi(x)i，()x，x+j=1kjGj(gj(x)j，()x，x 0，与条件矛盾，即与0i=1miGi()fi()x fi()x +j=1kjGj()gj()x gj()x 矛盾。从而得到x 是(VP)的有效解。3结束语本文在G-不变凸函数、G-不变拟凸函数和G-不变伪凸函数的基础上，建立了此函数凸性限制下对应的多目标规划模型，对其最优性条件进行研究，得出的 4个结论推广了现有相关理论。后续还可以在该不变凸函数的基础上，借助Minch对称梯度，将其不变凸性进行推广，新定义一类对称可微函数，并研究对称可微不变凸函数的最优性问题、对偶规划以及鞍点问题等。参考文献：1 HANSON M A.On sufficiency of the Kuhn-Tucker conditionsJ.Journal of Mathematical Analysis and Applications，1981，80（2）：545-550.2 DAS L N，NANDA S.Proper efficiency conditions and duality for multiobjective programming problems involving semilocally invex function J.Optimization，1995，34（1）：43-51.3 GOMEZ R O，MORENO A B，LIZANA A R.Generalized conivexity in multiobjective programmingJ.Journal of Mathematical Analysis and Applications，1999，233（1）：205-220.4 EGUDO R R，HANSON M A.Multiobjective duality with invexity J.Journal of Mathematical Analysis and Applications，1987，126（2）：469-477.5 MARTIN D H.The essence of invexityJ.Journal of Optimization Theory and Applications，1985，47：65-76.6 ANTCZAK T.New optimality conditions and duality results of G type in differentiable mathematical programmingJ.Nonlinear 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李向有.G-不变凸多目标规划的鞍点条件 J.延安大学学报（自然科学版），2022，41（1）：86-90.16 CLARKE F H.Optimization and nonsmooth analysis M.New York：John wiley&Sons，1983.17 林锉云，董加礼.多目标优化的方法与理论 M.吉林：吉林教育出版社，1992.责任编辑 毕伟（下转第81页）76第 1 期高瑞 等：基于YOLOv5s楼梯图像检测识别方法研究10 AHSAN H，MD M，MOTASIM B，et al.Staircase detection to guide visually impaired people：A hybrid approachJ.Revue d Intelligence Artificielle，2020，33（5）：327-334.11 许锁鹏，卢健，许心怡，等.基于YOLOv5的安全帽佩戴检测系统设计 J.黑龙江科学，2022，13（22）：49-51.12 邱芳，李玉峰，孔才华.基于YOLOv5m和注意力机制融合的地铁车厢乘客实时检测 J.微处理机，2022，43（6）：53-58.13 彭名杨，陈亚军.基于YOLOv5的安全头盔佩戴检测方法研究 J.太原师范学院学报（自然科学版），2022，21（4）：64-69.14 强栋，王占刚.基于改进YOLOv5的复杂场景多目标检测 J.电子测量技术，2022，45（23）：82-90.15 杨明远，左栋.基于改进YOLOv5算法的学生课堂行为识别研究 J.信息记录材料，2022，23（12）：51-53+57.16 胡昭华，王莹.改进 YOLOv5的交通标志检测算法 J.计算机工程与应用，2023，59（1）：82-91.责任编辑 毕 伟Research on detection and recognition method of staircase image based on YOLOv5sGAO Rui，LEI Wenli（School of Physics and Electronic Information，Yan an University，Yan an 716000，China）Abstract：Stairway area is a typical environmental target.Whether it is a robot system that can climb stairs autonomously or a software system that can alert the visually impaired to obstacles，it needs to have the function of detecting and recognizing stairs.To help them navigate their surroundings，a stair case image detection algorithm based on YOLOv5s was designed.Firstly，Labelme was used to annotate the stair data set，and the format of the annotated file was transformed.Secondly，the YOLOv5s network model training environment was built，the pre-trained model configuration file was modified，the model weight data migration training was started，and the optimal model parameters were output.Finally，the test data set was loaded to test the effect iveness of the trained optimal model algorithm.The algorithms can recognize the up and down stairs image，and through the comparison test with other target detection algorithms，it has a higher recognition accuracy.The results showed that the mean accuracy of the algorithm reached 80.3%，and the generalization ability was strong.It is feasible to apply the algorithm to the detection method of stairway up and down stairs，which can provide some references for the automatic detection and recognition of stairs by robots，and can also provide effective help for the visually impaired.The market application prospect is good.Key words：staircase；YOLOv5s；image annotation；model training；identification（上接第76页）Optimality conditoins of G-invex multi-objective programmingZHANG Yuan，LI Yu*（College of Mathematics and Computer Science，Yan an University，Yan an 716000，China）Abstract：Convex function promotion plays an important role in optimisation theory.Using the local Lipschitz function，a multi-objective programming problem with inequality constraints was established based on the G-invex function，G-quasi-invex function and G-pseudo-invex function.The sufficient condition of optimality under the convexity constraint was proved，which extended the existing conclusions to the weaker convexity condition.Key words：G-invex function；multi-objective programming；optimality conditions；efficient solution81