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使用连续小波变换在配电系统中故障定位

摘要
该论文说明了连续小波变换（CWT）为分析由于线路故障引起电压瞬变得基本环节并讨论了其应用于配电系统故障定位。所进行的分析实现在网络中显示存在相关典型频率的连续小波变换转换信号和特殊途径代替转换小波引起的故障。本文提出了一种在MV离散系统中运用以上所提到的相关性拟定MV配电系统故障定位的环节。 在本文中分析MV离散系统是准确地以EMPT模型为代表，以及研究各种故障类型和网络特点。本文介绍了一些也基本测量概念和故障定位标准系统的分布式结构。
关键词：故障测距;配电系统;连续小波变换;电磁暂态;分布式测控系统
1.导言
近年来中压配电网络的故障定位是一个日益受到重视研究话题，由于既要最严的质量的规定并要提供改善测量和监测系。此外，在网络需检修的传统程序的基础上增长的安装分布式发电资源自动开关系统。最有前程的解决这个大家关注问题的方法似乎是在离散系统中运用适当的信号解决技术引起电压/电流瞬变产生的短路事件并记录在一个或更多的位置。
在本文中，使用了连续小波变换（CWT）算法。众所周知，相对于DWT的算法，CWT是一种让表现出该故障暂态更具体连续的光谱分析能源。这样的功能是用来检测单一频率电压瞬变所产生的故障。这些频率可用于推断的故障位置，在网络的拓扑结构小波沿线传播速度和已知故障类型。
基于CWT故障定位的程序是与测量系统旨在获得双方的起始时间的瞬态及有关波形设想结合起来。该文献的结构如下。第3部分介绍了拟订对连续小波变换的分析和具体的途径沿网络所涵盖的行波源故障的互相关系。第4部分提出申请离散系统对称故障和非对称两个方案，同时还介绍了为不同中性点接地的特点和故障的位置检测所取得的成果。基于该CWT程序是合用于这种以计算机模拟所得的单一结果与具体EMPT（电磁暂态程序）模型离散系统，其特点和数据在附录中描述。第5部分描述前文提到测量系统与离散系统结构用于配置电压瞬变的基本特性。 结论总结所取得的成果与建议的方法和拟定的重要研究额外规定方面的工作。
2.连续小波变换所提供故障定位的资料
一个S（t）的该CWT信号是S（t）和所产生的谐波之间积分产品， 是转换的时间和扩大规模/压缩版本一个函数具有有限能量的函数的基波。这个过程中，相称于一个标产品， 生产小波系数C（a,b） ，其中可以看出作为“相似性指标”的信号和所谓的谐波位于立场之间，b（时间平移因数）是积分模型并且正数a:

其中*表达复共轭。 Eq（1）可表达频域（例如[5]） ：

其中F(C(a,b))，S（）和分别是傅立叶变换的C（a，b），S（t）和。 Eq（2）表白，假如基波是一个带滤波器功能，在频域中，运用连续小波变换拟定在该频域位置的特殊信号。根据傅立叶变换理论，假如中心频率的基波是，那么的是/a之一。因此，不同的模型允许从原始信号提取不同频率-较大得等值的模型，相应的以较低频率所给予中心频率和带宽比率之间。相反，向窗口傅立叶分析那里的常数频率分辨率和依赖于所选择的窗口带宽，与解决小波的宽度的窗口不同作为一个函数a，从而使用一些的时间窗口进行分析，这是依赖等值比率a。
众所周知，必须满足“受理条件”才干允许CWT使用任意基波：

Eq.（3）必须满足下列两个条件：
•均值等于零;
•快速下降至零的范围是[t±] 。
只要基波满足具体条件， 特别是正交下，信号可以也从变换系数修复。 几种基波已被用于文献（例如，[6-11]），在这方面的文献，即所谓的选择Morlet小波作为基波之一：

与DWT不同，CWT可以在任何频域上产生效果，特别是从对原始信号提高到一些更高的频域。CWT也是不断在变化条件：在计算中，分析小波能通畅的转移到完整的的分析函数区域中。在连续小波变换的分析是表现在分析网络总线故障后记录时间域上电压瞬变。
该分析瞬态记录信号S（t）的一部分可以相应到一个电压或电流瞬态变化，相应的该产品的采样时间Ts 和样本数目N在一个有限的时间（数毫秒）之间。该CWT的数值是一个一元函数S（t）同时以一个矩阵C（a,b）为范围。如下：

平方和的值为所有相应的以同样的频率的系数，这是为以后所有连续小波变换信号Ecwt（a） ，拟定了每个频率元件规定的重量的“尺度”：

通过检查相相应最高的峰值就可以得到的Ecwt（a）的大小，该信号的检测由最明显的高频成分拟定。从现在起，这些高频成分被称为暂态的“CWT的拟定频率”。该CWT拟定频率可以被相近的faultoriginated 波传播的现象，沿它们的间断点路线反射。为了每个故障定位， 一些理论频率值计算，作为一个功能该途径长度所涵盖的旅行波，传播速度沿线和该类型的思考。队之间的比赛，这些价值观该CWT，拟定频率可以提供有用的信息为故障定位。
值得注意的是，增长的衍生波在多导体传输线涉及到存在不同的增长速度。在连续小波变换为基础的分析方面， 目前已分开进行了对各种模式在电压暂态观测点的记录。Eqs.(7)和（8）总结在频域上的状态转型，作为使该对角线矩阵的矩阵阻抗和单位长度的矩阵通道之间的一个方法，即[z’][ y’]和[y’][z’]不相等，但具有相同的特性值的平方形成对角矩阵。

系数是i传播的常数模式，这个复合常数是其中是衰减常数和是i相常数相传播的模式， 其中i被赋予：

变换矩阵的纵行[]和 ，即使对角矩阵[ z’][y’]和矩阵[y’][z’] ，分别给出了相应的独立的线性特性向量。
3基于故障定位程序该CWT的应用
一方面提出合用于简朴的一个对称的（分三个阶段）故障模型的方法，然后扩展到非对称故障模型。参考故障瞬变以获得分派制度的选择，其配置显示在图.1 ，仿照电磁瞬态计划EMTP-RV[ 12,13 ]的方法 。这些关键点和数据模型在附录给出。 为基于转化矩阵[]和平衡线的定义在式（8），把它们相应到Clarke’s（）得到一些相同系数的变换矩阵[14 ]。由不平衡线性矩阵可以推断，仍然可以使用基于程序[15]程序实行EMTP。在考虑垂直对称导体架空线路中的配置（见图9的附录） ，模拟有关的平衡和不平衡线过渡的显着差异。
3.1.均衡的故障
图.2显示模拟电压瞬变在三处不同的观测点的网络图.1 ， 即总线2,总线3及总线4，由于零阻抗分三个阶段出现总线1故障，即重要终端被中止。 图.1也说明了六个涵盖的行进小波途径所产生的一个故障，总线1 。该行波反映在线路终端并在故障定位。
考虑局部点多线融合在这里忽视。只有三个途径（即途径1,2及3）达成观测点。
假设在总线四，即发送端的重要接口是有也许的关联，在观测点每个途径特性频率该故障暂态记录的方式如下讨论：途径1是相关的一个时期所给予的行进时间等于四个时间L1+L2+L3除以传播速度，思考作为行波的途径在故障定位(总线1)的传播途径并在发送端的重要馈线（总线4）为连接途径2和3

图.1.电力分布网络和总线1途径所涵盖的行波所导致的故障。

图.2.电压瞬变对一个包含三个阶段故障的发生，在总线1观测在3个不同的节点（总线2 ，总线3及总线4 ） ，配电网络所显示的图(1):（a）一般性能及（b）具体的描述。

图.3.在总线4连续小波变换分析的电压瞬态结果如图.2所示。 它是由最大值(1.25)所决定。
图.三介绍了在观测点（总线4 ）的连续小波变换分析的电压瞬态结果如图.二所示，。表1比较的理论上假设和在第一次逼近结果推断，其与所拟定的从高峰期行进速度等于光速的速度如图.3所示。
表1
频率值理论上途径所涵盖的行波来源于一个均衡的故障系统，观测总线1总线4的不同以拟定由连续小波变换分析途径长度

途径
途径长度（km）
理论频率值（KHz）
CWT拟定频率（KHz）

假如连续小波变换的分析是合用于记录电压瞬变在一个不同的观测点，我们正考虑测试在其他的分布式系统的观测点（见第5条），是有也许增长故障位置的有关资料的。图.4 表2显示在总线2连续小波变换分析的结果。
在总线1为零阻抗分三个阶段故障。检测这三个途径的重要影响：L3+L4，与之相相应故障位置在总线2的和L1+L2+L4 反映在线路终端具有相同的结果，
而L2+L3+L5则是与反射线端子相同的结果。因此可以看出，加入总线4所提供的要素检测两个故障的地点，因此可以得到更加准确的函数。
图.5和表3显示该条件下在总线5的平衡故障的结果。在这种情况下只有两条路对L1+L2有影响。与之相相应故障位置在主馈线发送端和L1 + 15有影响，其反射系数的同时显示在线端子。 图.6和表4显示该条件在总线2的平衡故障终止横向的结果。 在三个途径这种情况的影响下:（a）在故障定位（总线2）的L1+L2+L4 与之相相应故障位置在主馈线发送端（总线4）。（b）在线端子L1+L2+L3及（c）L1+L5表达的是线端子。
在连续小波变换分析中运用Morlet 基波，是可以侦测到只与频率相关两条途径，即第一个和第三个途径，而第二途径的频率最大峰值似乎是隐藏的第一高峰期，由于基波通过大型过滤器的振幅影响，反映出在总线1和总线5反复均衡的故障.在总线2的发电机通过变压器的变换。该CWT拟定频率的能量，在表1—3中，显示不修改反射系数能中止发电机。
3.2.非对称故障
对非对称故障不同传播速度的各种模式的衍生波必须顾及[15]的影响。考虑到线配置显示，在附录中，作为第一个近似，克拉克转型是合用于电压瞬变在观测点（总线4 ）的分布情况网络图.1 ，为不同类型的不平衡故障在不同地点，也与图.七的非零故障阻抗说明结果的连续小波变换分析的电压瞬变，由于在总线1到地面发生故障，无论对案件接地和毫无根据的中立。 此外，在这种情况下，考虑的途径是那些说明在图.1相速度的模式0 ，但显着低于光速的速度（如表1所显示。附录9） 。这个速度是用来评价理论频率的价值观，这在表5，比较与那些拟定由连续小波变换的分析。 为同一系统的图.1和表6显示总线5到地面发生故障的结果，反复模拟和分析的考虑到故障电阻等于10。那些在表5和表6存在不平衡负载似乎没有明显的影响结果。表7显示该的从一个阶段到另一个阶段影响故障的结果，和表8显示所取得的成果为两相到地面故障。对于这两种情况下，两个故障地点审核：总线1和总线5 。中立被认为是毫无根据。 虽然有些结果表白，一些限制的通过的Morlet小波，即那些有关故障在图.1的该网络(例如，在总线2均衡故障)，其整体理论计算值拟定已经达成CWT频率。这样的匹配鼓励我们研究定位故障。
第4条讨论问题。
4.测量系统与分布式体系结构所描述的连续小波变换为基础的算法是构思要再加上一个分布式测量系统。每个单位，设在一些合适的总线的分销网络， 配备了GPS同步装置和是可以获得双方的出发瞬间的瞬态以及相关的波形。一测量单元的故障位置的分布式制度是代表图.八。改善了一些地方如[16] 。每个线电压的条件是透过一个VTV电压互感器（V-VT）其输出是到一个检测模块(EDB)。

图.4.连续小波变换在总线2分析电压暂态的结果，由于在总线5分三个阶段发生零阻抗故障。它的值受最大频率（1.23）影响。
表2
频率值，理论上相关的途径所涵盖的行波来源于一个均衡的系统故障，总线5 ，观测在总线2 ，
和价值观，拟定由连续小波变换分析
途径
途径长度（km）
理论频率值（KHz）
CWT拟定频率（KHz）

一个检测模块（EDB）和一个模拟到字转换数字采集模块（DAQ）。经EDB特别设计检测在场的瞬变叠加到供应电压波形，并提供一个触发短暂的逻辑信号作为一个前触发该数据采集卡，为数据采集和基于GPS的装置作为一个触发模块，以便记录短暂的开始时间。该数据采集卡输出是离线分析，通过上述所描述的算法。原型已具有以下的特点：以Pearson电压差估价已使用VD305，与绝缘电压300千伏的高峰值的大小比例10000V/1V，带宽30 Hz至4兆赫（ 3分贝） ，上升时间100毫微秒，准确性±1％。其输出信号反馈检测模块，其中已实行的手段模拟电路中描述的[ 16 ] 。其输出是的TTL双逻辑信号，在符合规定的基于GPS 设备。这个装置的捕获时间瞬间下降边沿的投入，与标称精度± 250纳秒。 此外，它提供1S为周期精度± 250纳秒 TTL脉冲用于同步测量系统。比较由于时间所instants对在不同的分布式测量单位接受的电压瞬变

图.5. 在总线4电压暂态连续小波变换分析的结果，由于总线5零阻抗分三个阶段发生故障。它的值受最大频率（3.66 ）影响
表3频率值理论上途径所涵盖的行波来源于一个平衡的系统故障总线5 ，观测在总线四拟定由连续小波变换分析的影响。
途径
途径长度（km）
理论频率值（KHz）
CWT拟定频率（KHz）

由CWT分析提供断裂部分的精确位置。 一个12位采集装置是用来采集最高采样频率为100Msa/s，其精确范围是± 1 ％和的资料存储能力为64KB， 一个采集装置十毫秒的采集速率为3.2 Msa/s。 该仪器还配备了GSM/GPRS网络调制解调器的数据传送/接受功能。这样根据一项主从式构造是为了运作而设计的的一个系统。
4.1.分析测量不拟定度和不拟定性的来源其传播效果通过测量算法拟定，重要取决于测量硬件。在本节中，从样本所获得的描述的文献初步分析的目的是评估的不拟定性影响估计的故障定位的测量结果。 国际标准化组织“不拟定性测量指南”[17]明确评估的不拟定性环节的分析，起始量的不拟定因素影响简介量的测量。 然而，在我们的已知其他许多实际情况下，不拟定度评估所提供的手段是不合用分析这样的不拟定环节。因此，数控技术的基础上评价方式进行模拟记录一些故意义的测量数目，以便估计有关概率密度函数（PDF格式）。具体而言，第一步程序是表征对测量系统每个设备的计量性能以便获得PDF格式的不拟定性来源。这一方法可以执行初步的实验测试，对每一个设备或由制造商提供的规格测量其准确性，。
记录相关的不拟定性随机变量参数所产生的数据以及通过使用大量的模拟测量算法执行，估计获得数目的计量和有关PDF。这个程序已经应用到我们的情况下，开始准确的定义提供规格或由制造商提供精度规格：精度为±1％传感器其数据采集比率为±1％。在缺少进一步的资料这些不拟定源用来影响独立均匀分布的随机变量。
表4
频率值理论上途径所涵盖的行波来源于一个平衡的系统故障总线2，观测在总线4拟定由连续小波变换分析
途径
途径长度（km）
理论频率值（KHz）
CWT拟定频率（KHz）

特别是正如已经提到的表2

图.6. 在总线4连续小波变换分析的电压暂态的结果，由于总线2零阻抗发生故障分三个阶段，它的值受最大频率（1.71）影响

图.7.在总线4连续小波变换的分析模式0电压暂态的结果，由于在总线1接地故障：（a）中性点接地网络，（b）无中性点接地网络。其值分别受最大值为（1.37）以及不接地中性点（1.74）影响。
表5
频率值在总线1理论上相关的途径发生故障涵盖的行波源自由一个阶段到地面，观测总线4及其值由连续小波变换拟定分析
途径
途径长度（km）
理论频率值（KHz）
CWT拟定频率（KHz）

表6
频率值在总线5理论上相关的途径发生故障涵盖的行波源自由一个阶段到地面，观测总线4及其值由CWT拟定途径
途径
途径长度（km）
理论频率值（KHz）
CWT拟定频率（KHz）

测试的表白就不同的网络配置由不拟定性水平低于200赫兹时所涵盖的行播相关的途径频率。此值提供了一个不拟定性迹象的估计故障定位作为途径长度和增长速度的一个功能
表7
频率值在总线1和总线5（中性点不接地）理论上相关的途径所涵盖的行波源故障，观测在总线4及其值，由CWT拟定途径
途径
途径长度（km）
理论频率值（KHz）
CWT拟定频率（KHz）

表8
总线1和总线5（中立不接地）频率的数值相关的途径涵盖的行波源由两阶段连接到地面发生故障，观测在总线4及其值，由CWT解决值拟定
途径
途径长度（km）
理论频率值（KHz）
CWT拟定频率（KHz）

5 结论
本文论述了一种基于连续微波变换基础上来分析配电系统中电压瞬变所产生的的故障方法。 这种方法合用于测试网络、显示一些特性频率转化的信号和具体网络途径互相之间的关系。结果表白，在考虑网络配置和故障的类型基础上，可以提供达成预期的故障定位。此外可以改善的的研究工作将致力于采用到更复杂的网络（例如由架空线和电缆组成的网络）或者为提高故障定位准确性而改善基波。 此外作者认为，该论文所得到的结果构成了故障定位系统（分布式体系结构）发展的基础。
鸣谢
这项工作得到了CESI研究计划的支持。
附录
在本文中，连续小波变换的分析已进行了模拟仿真。图1为配电网络的配置说明，这里使用了电磁暂态程序，即EMTP-RV代码。geometry
配电网络是由一个10Km长的重要馈线（L1 ， L2和L3 ）和由两个2Km长的辅助电缆（ L4 ）和1Km长的（ L5 ）及150、20kVd的变电站组成 。
架空线路的特点和导体的几何形状如图9所示。其中地面电阻率假设等于100M

图 9 配置架空电缆截面的导体

图8 测量系统示意图。
表9架空线图模态参数值， 9以上地面与电阻率等于100的XM

该表格代表了一个“连续参数线模型” （CP模型） [ 15 ]和模态参数的值观（表9 ）值得一提的是这里采用了一项频变线模型（例如FD模型[ 18 ] ） ，结果表白在电压瞬变中的结果与CP线模型接近。这一方面是由于其典型的有限长度的分布电缆，在另一方面是由于其典型的频率故障瞬变，（其中不超过几十千赫）。
这里有两种类型的电力变压器： （i） 20MVA 150/20kV的变压器及（ ii ） 3MVA 20/0.4KV配电变压器负荷总线。图10 说明了在总线上的负荷连接。图 1 中的1 、 2及3中，每个负载在低电压方面的配电变压器连接，并由三个阻抗代表。一个电容也涉及在每个平行的变压器模型中，在一次近似中，其反映的瞬态频率范围约为100KHZ
参考

On the use of continuous-wavelet transform for fault
location in distribution power systems

A. Borghettia, S. Corsib, C.A. Nuccia,*, M. Paolonea, L. Perettoa, R. Tinarellia
a Department of Electrical Engineering, University of Bologna, viale Risorgimento, 2, 40136 Bologna, Italy
b CESI, Milan, Italy
Received 31 March 2023; accepted 31 March 2023

Abstract

The paper illustrates a procedure based on the continuous-wavelet transform (CWT) for the analysis of voltage transients due to line
faults, and discusses its application to fault location in power distribution systems. The analysis carried out shows that correlation exists
between typical frequencies of the CWT-transformed signals and specific paths in the network covered by the traveling waves originated
by the fault. The paper presents a procedure for determining fault location in MV distribution systems, which exploits the above-men-
tioned correlation. The MV distribution system analysed in the paper is accurately represented by means of an EMTP model; various
fault types and network characteristics are examined. The paper presents also the basic concepts of a measurement and fault location
prototype system with distributed architecture.
2023 Elsevier Ltd. All rights reserved.

Keywords: Fault location; Power distribution systems; Continuous-wavelet transform; Electromagnetic transients; Distributed measurement systems

1. Introduction

Fault location in MV distribution network is a research
topic that is receiving increased attention in recent years,
due both to the most severe power quality requirements
and to the availability of improved measurement and mon-
itoring systems. In addition, the increasing installation of
distributed generation resources in the network requires
the overhaul of traditional procedures based on automatic
switching systems.
The most promising approach for the problem of inter-
est appears to be the application of appropriate signal pro-
cessing techniques to the voltage/current transients
produced by short circuit events and recorded at one or
more locations in the distribution system.
Recent contributions to the subject are based on the use
of the wavelet transform (e.g., [1–4]), usually adopting the
discrete-wavelet transform (DWT), due to its straightfor-

* Corresponding author. Tel.: [phone]; fax: [phone].
E-mail address: (C.A. Nucci).

0142-0615/$ - see front matter 2023 Elsevier Ltd. All rights reserved.
doi:10.1016/j.ijepes.2023.03.001


ward implementation and the reduced computational time
it requires.
In this paper, use is made of the continuous-wavelet
transform (CWT) algorithm. As known, compared to the
DWT algorithm, the CWT one allows performing a more
detailed and continuous analysis of the spectrum energy
of the fault transient. Such a feature is used to detect indi-
vidual frequencies that characterize the voltage transients
generated by the fault. These frequencies can be used for
inferring the location of the fault, being the network topol-
ogy, the wave propagation velocity along the lines and the
fault type known.
The proposed CWT-based fault location procedure is
conceived to be combined with a measurement system
aimed at acquiring both the starting time of the transient
and the relevant waveforms.
The paper is structured as follows. Section 3
introduces the proposed correlation between the results
of the CWT-analysis and specific paths along the net-
work covered by the traveling waves originated by the
fault.

A. Borghetti et al. / Electrical Power and Energy Systems 28 (2023) 608–617

609

Section 4 presents the application to a distribution sys-
tem for both the case of symmetrical faults and non-sym-
metrical ones. It also presents the results obtained for


Ch¼
Zþ1

1

2
jWðxÞj
x


dx < 1


ð3Þ

different neutral grounding characteristics and fault loca-
tions. The CWT-based procedure is applied in such a sec-
tion to computer simulation results obtained with a
detailed EMTP (electromagnetic transient program) model
of the distribution system, whose characteristics and data
are reported in Appendix.
Section 5 describes the basic characteristics of the earlier
mentioned measurement system with distributed architec-
ture for the acquisition of voltage transients.
The conclusions summarize the results obtained with the
proposed approach and identify the main aspects requiring
Eq. (3) is satisfied by the two following conditions:

• mean value of w(t) equal to zero;
• fast decrease to zero of w(t) for t ! ±1.

Provided that the mother-wavelet satisfies specific condi-
tions, in particular the orthogonality one, the signal can
also be reconstructed from the transform coefficients.
Several mother-wavelet has been used in the literature
(e.g., [6–11]), in this paper, the so-called Morlet-wavelet
is chosen as mother one w(t):

additional research efforts.
wðtÞ ¼ et2=2ej2pF0t:
ð4Þ

2. Fault location information provided by continuous-wavelet
transform

The CWT of a signal s(t) is the integral of the product
between s(t) and the so-called daughter-wavelets, which
are time translated and scale expanded/compressed ver-
sions of a function having finite energy w(t), called
mother-wavelet. This process, equivalent to a scalar prod-
uct, produces wavelet coefficients C(a, b), which can be seen
as ‘‘similarity indexes’’ between the signal and the so-called
daughter-wavelet located at position b (time shifting factor)
and positive scale a:
Z11
Unlike DWT, CWT can operate at any scale, specifically
from that of the original signal up to some maximum scale.
CWT is also continuous in terms of shifting: during com-
putation, the analyzing wavelet is shifted smoothly over
the full domain of the analyzed function.
The CWT-analysis is performed in time domain on the
voltage transients recorded after the fault in a bus of the
distribution network.
The analyzed part of the transient recorded signal s(t),
which can correspond to a voltage or current fault-
transient, has a limited duration (few milliseconds) corre-
sponding to the product between the sampling time Ts
and the number of samples N. The numerical implementa-
tion of the CWT to signal s(t) is a matrix C(a,b) defined as

p wtb
ð1Þ

Cða; bÞ ¼
1
sðtÞ
affiffiffi
a
dt
follows:

1

where * denotes complex conjugation.
Eq. (1) can be expressed also in frequency domain (e.g.,
Cða; iTsÞ ¼ Ts
pjffiffiffiffiffiffiajX1
n
wð
iÞTs
a
sðnTsÞ;

[5]):
i ¼ 0; 1; . . . ; N :
n¼0
ð5Þ

F ðCða; bÞÞ ¼pffiffiffiaW ða xÞSðxÞ
ð2Þ
The sum of the squared values of all coefficients corre-
sponding to the same scale, which is henceforth called

where F(C(a,b)), S(x) and W(x) are the Fourier transforms
of C(a, b), s(t) and w(t), respectively.
Eq. (2) shows that if the mother-wavelet is a band-pass
filter function in the frequency-domain, the use of CWT in
the frequency-domain allows for the identification of the
local features of the signal. According to the Fourier trans-
form theory, if the center frequency of the mother-wavelet
W(x) is F0, then the one of W(ax) is F0/a. Therefore, differ-
ent scales allows the extraction of