07第7章--综合评价方法.docx

第7章 综合评价方法
所谓的综合评价是指对评价对象所进行的客观、公正、合理的评价，具体来说就是对一个复杂系统的多属性、多个因素的指标数据信息，应用定量的方法对数据信息进行加工和提炼，以得到研究对象优劣等级的一种评价方法。其目的是根据系统的属性判断评价对象的优劣，并进行综合排序或分类。综合评价是决策的前提，正确的决策源于科学的综合评价。
7.1 综合评价的基本理论和数据预处理
7.1.1 综合评价的基本概念
1.综合评价问题的基本要素
一般地，一个综合评价问题是由评价对象、评价指标、权重系数、综合评价模型和评价者五个基本要素组成。
（1）评价对象
评价对象就是综合评价问题中所研究的对象，或称为系统。通常情况下，在一个问题中评价对象是属于同一类的，且个数要大于1，不妨假设一个综合评价问题中有个评价对象，分别记为。
（2）评价指标
评价指标是反映评价对象的运行（或发展）状况的基本要素。通常的问题都是有多项指标构成，每一项指标都是从不同的侧面刻画系统所具有某种特征大小的一个度量。
一个综合评价问题的评价指标一般可用一个向量表示，称为评价指标问题，其中每一个分量就是从一个侧面反映系统的状态，即称为综合评价的指标体系。在建立评价指标体系时，一般应遵循以下原则：①系统性；②独立性；③可观测性；④科学性；⑤可比性。不失一般性，设系统有个评价指标，分别记为，即评价指标向量为。
（3）权重系数
每一个综合评价问题都有相应的评价目的，针对某种评价目的，各评价指标之间的相对重要性是不同的，评价指标之间的这种相对重要性的大小，可用权重系数来刻画。如果用来表示评价指标的权重系数，一般应满足
.
当各评价对象和评价指标值都确定以后，综合评价结果就依赖于权重系数的取值了，即权重系数确定的合理与否，直接关系到综合评价结果的可信度，甚至影响到最后决策的正确性。因此，权重系数的确定要特别谨慎，应按一定的方法和原则来确定。
（4）综合评价模型
对于多指标（或多因素）的综合评价问题，就是要通过建立一定的数学模型将多个评价指标值综合成为一个整体的综合评价值，作为综合评价的依据，从而得到相应的评价结果。
不妨假设第个评价对象的个评价指标值构成的向量为，指标权向量为，由此构造综合评价模型
.
并计算出第个评价对象的综合评价值，根据值的大小，将这个评价对象进行排序或分类，即得到综合评价结果。
（5）评价者
评价者是直接参与评价的人，可以是一个人，也可以是一个团体。对于评价目的选择、评价指标体系确定、权重系数的确定和评价模型的建立都与评价者有关。因此，评价者在评价过程中的作用是不可小视的。
2.综合评价问题的一般过程
综合评价方法的一般过程如下：
（1）明确评价任务与评价目的。一般来说，对评价对象进行评价的目的主要有两个：一是总结性评价，例如评优、评先等。二是发展性评价，例如方案的选择、候选人的确定等。评价的目的取决于评价者或决策者。
（2）确定评价对象。评价对象的选取要具有普遍性、可比性、可测性。
（3）建立评价指标体系。包括评价指标的原始值、评价指标的预处理等，评价指标体系的建立应根据评价问题而定，应遵循系统性、科学性、可比性、可观测性、独立性等原则。
（4）确定评价指标的权重系数。评价指标权重系数的确定是综合评价结果是否可靠、可信的一个核心问题。指标权重系数的确定带有一定的主观性，用不同方法确定的权重，可能不尽一致，这将导致权重分配的不确定性，最终可能导致评价结果的不确定性。因而在实际工作中，不论用哪种方法确定权重分配，都应当依赖于较为合理的专业解释。
（5）选择或构造综合评价模型。一般来说，对同样的评价对象，选用不同的评价方法与评价模型得到的评价结果可能会不尽相同，这时可进一步地将多种评价结果再进行组合分析。
（6）计算各对象的综合评价值。根据综合评价模型，计算综合评价指标值，并给出综合评价结果（即排序或分类选择）。
综合评价是一个相当复杂的过程，不仅要求评价方法具有科学性、客观性和合理性，而且还要求评价过程具有透明性和再现性。
7.1.2 综合评价体系的构建
综合评价过程包括评价指标体系的建立、评价指标的预处理、指标权重的确定和评价模型的选择等重要环节。其中评价指标体系的构建与评价指标的筛选是综合评价的重要基础，也是做好综合评价的保证。
1.评价指标和评价指标体系
所谓指标就是用来评价系统的参量。例如，在校学生规模、教育质量、师资结构、科研水平等，就可以作为评价高等院校综合水平的主要指标。一般来说，任何一个指标都反映和刻画事物的一个侧面。
从指标值的特征来看，指标可以分为定性指标和定量指标。定性指标是用定性的语言作为指标描述值。例如，旅游景区质量等级有5A、4A、3A、2A和1A之分，则旅游景区质量等级是定性指标，而景区年旅客接待量、门票收入等就是定量指标。
从指标值的变化对评价目的的影响来看，可以将指标分为以下四类：
（1）极大型指标（又称为效益型指标）是指标值越大越好的指标；
（2）极小型指标（又称为成本型指标）是指标值越小越好的指标；
（3）居中型指标是指标值既不是越大越好，也不是越小越好，而是适中为最好的指标；
（4）区间型指标是指标值取在某个区间内为最好的指标。
例如，在评价企业的经济效益时，利润作为指标，其值越大，经济效益就越好，这就是效益型指标；而管理费用作为指标，其值越小，经济效益就越好，所以管理费用是成本型指标。投标报价既不能太高又不能太低，其值的变化范围一般是，超过此范围的都将被淘汰，因此投标报价为区间型指标。投标工期既不能太长又不能太短，就是居中型指标。
在实际中，不论按什么方式对指标进行分类，不同类型的指标可以通过相应的数学方法进行相互转换。所谓评价指标体系就是由众多评价指标组成的指标系统。在指标体系中，每个指标对系统的某种特征进行度量，共同形成对系统的完整刻画。
2.评价指标体系的构建步骤与筛选原则
为了对多层次、多因素的问题进行综合评价，必须构建一个科学、合理的评价指标体系，使大量相互关联、相互制约的因素条理化、层次化。指标体系应集中反映评价目标的主要特征和层次结构，区分各层目标和单个目标对系统整体评价的影响程度。对于定性指标，要用适当方法进行量化处理。
评价指标体系的构建是一个复杂的过程，要在系统分析的基础上，做到科学合理、符合系统实际，并为相关人员所接受。其基本步骤为：
（1）针对具体问题收集相关资料，提出综合评价目标及其影响因素；
（2）分析和比较各影响因素之间的关系，对指标进行筛选；
（3）经过优化后确定指标之间的层次和结构，即得到评价指标体系。
在评价指标体系的构建中，评价指标数量的设置要适度，并不是越多越好，指标过多，不能保证完全独立性；但也不是越少越好，评价指标过少，可能缺乏足够的代表性，会产生片面性。因此，在建立评价指标体系时应该遵循以下原则。
（1）系统性：指标体系应能全面反映评价对象的本质特征和整体性能。应注意使指标体系层次清楚、结构合理、相互关联、协调一致。要抓住主要因素，以保证评价的全面性和可信度。
（2）独立性：同层次的指标不应具有包含关系，保证指标能从不同方面反映系统的实际情况。
（3）可观测性：指标能够被测定或度量，尽可能用数字说活。评价指标含义要明确，数据要规范、口径要一致，资料收集要简便。指标设计必须符合国家和地方的方针、政策、法规。
（4）科学性：以科学理论为指导，定性与定量分析相结合，正确反映系统整体和内部相互关系的数量特征。定量指标注意绝对量和相对量结合使用。
（5）可比性：评价指标体系可比性越强，评价效果的可信度越高。评价指标和评价标准的制定要客观实际，便于比较。指标标准化处理中要保持同趋势化，以保证指标之间的可比性。
3.评价指标的筛选方法
筛选评价指标，要根据综合评价的目的，针对具体的评价对象、评价内容收集有关指标信息，采用适当的筛选方法对指标进行筛选，合理地选取主要指标，剔除次要指标，以简化评价指标体系。常用的评价指标筛选方法主要有专家调研法、最小均方差法、极大极小离差法等。
（1）专家调研法（Delphi法）
评价者根据评价目标和评价对象的特征，首先设计出一系列指标的调查表，向若干专家咨询和征求对指标的意见，然后进行统计处理，并反馈意见处理结果，经几轮咨询后，当专家意见趋于集中时，将专家意见集中的指标作为评价指标，从而建立起综合评价指标体系。
（2）最小均方差法
对于个评价对象，每个评价对象有个指标，其观测值分别为
.
如果个评价对象关于某项指标的观测值都差不多，那么不管这个评价指标重要与否，对于这个评价对象的评价结果所起的作用将是很小的。因此，在评价过程中就可以删除这样的评价指标。
最小均方差法的筛选过程如下：
①求出第项指标的平均值和均方差
.
②求出最小均方差
.
③如果最小均方差，则可删除与对应的指标。考察完所有指标，即可得到最终的评价指标体系。
最小均方差法只考虑了指标的差异程度，容易将重要的指标删除。
（3）极大极小离差法
对于个评价对象，每个评价对象有个指标，其观测值分别为
.
极大极小离差法的筛选过程如下：
①求出第项指标的最大离差
.
②求出最小离差
.
③如果最小离差，则可删除与对应的指标，考察完所有指标，即可得到最终的评价指标体系。
常用的评价指标筛选方法还有条件广义方差极小法、极大不相关法等，详细介绍可参阅相关资料。
7.1.3 评价指标的预处理方法
一般情况下，在综合评价指标中，各指标值可能属于不同类型、不同单位或不同数量级，从而使得各指标之间存在着不可公度性，给综合评价带来了诸多不便。为了尽可能地反映实际情况，消除由于各项指标间的这些差别带来的影响，避免出现不合理的评价结果，就需要对评价指标进行一定的预处理，包括对指标的一致化处理和无量纲化处理。
1.指标的一致化处理
所谓一致化处理就是将评价指标的类型进行统一。一般来说，在评价指标体系中，可能会同时存在极大型指标、极小型指标、居中型指标和区间型指标，它们都具有不同的特点。若指标体系中存在不同类型的指标，必须在综合评价之前将评价指标的类型做一致化处理。例如，将各类指标都转化为极大型指标，或极小型指标。一般的做法是将非极大型指标转化为极大型指标。但是，在不同的指标权重确定方法和评价模型中，指标一致化处理也有差异。
（1）极小型指标化为极大型指标
对极小型指标，将其转化为极大型指标时，只需对指标取倒数：
，
或做平移变换：
，
其中，即个评价对象第项指标值最大者。
（2）居中型指标化为极大型指标
对居中型指标，令，，取

就可以将转化为极大型指标。
（3）区间型指标化为极大型指标
对区间型指标，是取值介于区间内时为最好，指标值离该区间越远就越差。令，，，取

就可以将区间型指标转化为极大型指标。
类似地，通过适当的数学变换，也可以将极大型指标、居中型指标转化为极小型指标。
2.指标的无量纲化处理
所谓无量纲化，也称为指标的规范化，是通过数学变换来消除原始指标的单位及其数值数量级影响的过程。因此，就有指标的实际值和评价值之分。一般地，将指标无量纲化处理以后的值称为指标评价值。无量纲化过程就是将指标实际值转化为指标评价值的过程。
对于个评价对象，每个评价对象有个指标，其观测值分别为
.
（1）标准样本变换法
令
，
其中样本均值，样本均方差，称为标准观测值。
注7.1 对于要求评价指标值的评价方法，如熵权法和几何加权平均法等该数据处理方法不使用。
（2）比例变换法
对于极大型指标，令
.
对极小型指标，令
，
或
.
该方法的优点是这些变换前后的属性值成比例。但对任一指标来说，变换后的和不一定同时出现。
（3）向量归一化法
对于极大型指标，令
.
对于极小型指标，令
.
（4）极差变换法
对于极大型指标，令
.
对于极小型指标，令
.
其特点为经过极差变换后，均有，且最优指标值，最劣指标值。该方法的缺点是变换前后的各指标值不成比例。
（5）功效系数法
令
，
其中均为确定的常数，表示“平移量”，表示指标实际基础值，表示“旋转量”，即表示“放大”或“缩小”倍数，则。
通常取，，即
.
则实际基础值为60，最大值为100，即。
3.定性指标的定量化
在综合评价工作中，有些评价指标是定性指标，即只给出定性的描述，例如，质量很好、性能一般、可靠性高等。对于这些指标，在进行综合评价时，必须先通过适当的方式进行赋值，使其量化。一般来说，对于指标最优值可赋值1，对于指标最劣值可赋值0。对极大型和极小型定性指标常按以下方式赋值。
（1）极大型定性指标量化方法
对于极大型定性指标而言，如果指标能够分为很低、低、一般、高和很高五个等级，则可以分别取量化值为0，0.1，0.3，0.5，0.7，1，对应关系如表7.1所示。介于两个等级之间的可以取两个分值之间的适当数值作为量化值。
表7.1 极大型定性指标对应量化值
等级
很低
低
一般
高
很高
量化值
0
0.3
0.5
0.7
1
（2）极小型定性指标量化方法
对于极小型定性指标而言，如果指标能够分为很高、高、一般、低和很低五个等级，则可以分别取量化值为0，0.1，0.3，0.5，0.7，1，对应关系如表7.2所示。介于两个等级之间的可以取两个分值之间的适当数值作为量化值。
表7.2 极小型定性指标对应量化值
等级
很高
高
一般
低
很低
量化值
0
0.3
0.5
0.7
1
7.1.4 评价指标预处理示例
下面我们考虑一个战斗机性能的综合评价问题。
例7.1 战斗机的性能指标主要包括最大速度、飞行半径、最大负载、隐身性能、垂直起降性能、可靠性、灵敏度等指标和相关费用。综合各方面因素与条件，忽略了隐身性能和垂直起降性能，只考虑余下的6项指标，请就和四种类型战斗机的性能进行评价分析，其6项指标值如表7.3所示。
表7.3 四种战斗机性能指标数据

最大速度(马赫)
飞行范围(km)
最大负载(磅)
费用(美元)
可靠性
灵敏度

2.0
1500
20000
5500000
一般
很高

2.5
2700
18000
6500000
低
一般

1.8
2000
21000
4500000
高
高

2.2
1800
20000
5000000
一般
一般
下面对这些指标数据进行预处理。
假设将6项指标依次记为，首先将和两项定性指标进行量化处理，量化后的数据如表7.4所示。
表7.4 可靠性与灵敏度指标量化值

最大速度
飞行范围
最大负载
费用
可靠性
灵敏度

2.0
1500
20000
5500000
0.5
1

2.5
2700
18000
6500000
0.3
0.5

1.8
2000
21000
4500000
0.7
0.7

2.2
1800
20000
5000000
0.5
0.5
数值型指标中为极大型指标，费用为极小型指标。下面给出几种处理方式的结果。采用向量归一化法对各指标进行标准化处理，可得评价矩阵为
.
采用比例变换法对各数值型指标进行标准化处理，可得评价矩阵为
.
采用极差变换法对各数值型指标进行标准化处理，可得评价矩阵为
.
计算的MATLAB程序如下：
clc, clear
a=load('gdata7_1_1.txt'); %加载表7.4中的数据
R1=a; R2=a; R3=a; %初始化
for j=[1:3,5,6]
R1(:,j)=R1(:,j)/norm(R1(:,j)); %向量归一化
R2(:,j)=R1(:,j)/max(R1(:,j)); %比例变换
R3(:,j)=(R3(:,j)-min(R3(:,j)))/(max(R3(:,j))-min(R3(:,j)));
end
R1(:,4)=1-R1(:,4)/norm(R1(:,4))
R2(:,4)=min(R2(:,4))./R2(:,4)
R3(:,4)=(max(R3(:,4))-R3(:,4))/(max(R3(:,4))-min(R3(:,4)))
save gdata7_1_2 R1 R2 R3 %把矩阵R1,R2,R3保存到mat文件中
从这三个评价矩阵可以看出，用不同的预处理方法得到的评价矩阵略有不同，即各指标的指标值略有不同，但对评价对象的特征反映趋势是一致的。
7.2 评价指标权重系数的确定方法
在综合评价指标中，要想得到科学、公正、合理的评价结果，就必须考虑各项指标对总目标实现的重要程序，即评价指标的权重系数（简称权重），它反映了某项指标在综合评价中的价值系数。根据计算权重时原始数据的来源不同可以分为主观赋权法、客观赋权法和组合赋权法三类确定方法。
7.2.1 主观赋权法
所谓主观赋权法就是根据评价者或专家主观上对各指标的重视程度来确定指标权重系数的一类方法。常用的主观赋权法有以下几种。
1.相对比较法
相对比较赋权法的过程如下，将所有的评价指标分别按行和列排列，构成一个正方形数表；再根据三级比例标度对任意两个指标的相对重要关系进行分析，并将评分值记入表中相应的位置；将各个指标评分值按行求和，得到各个指标的评分总和；最后做归一化处理，求得指标的权重系数。
三级比例标度两两相对比较评分的分值为，则标度值及其含义如下：

则评分矩阵，显然，。则第项指标的权重为
.
在用该方法确定指标权重时，任意两个指标之间的相对重要程度要有可比性。这种可比性在主观判断评分时，应满足比较的传递性，即比重要，比重要，则比重要。
2.集值迭代法
集值迭代法确定指标权重的过程如下：
（1）选取名专家，让每位专家在指标集任意选取其认为最重要的个指标。如第位专家选取的结果为指标集的一个子集：
.
（2）作（示性）函数

令
.
（3）将归一化，即得第项指标的权重为
.
此外，第4章的层次分析方法也是一种比较常用的主观赋权法。
7.2.2 客观赋权法
客观赋权法就是从原始数据出发，利用一定的数学方法从样本中提取有关信息进行指标赋权的一类方法。由于客观赋权法的原始数据来自于评价指标的实际数据，更能反映评价指标真实的重要程度，避免权重系数的主观性来源，但容易出现“重要指标的权重系数小，而不重要指标的权重系数大”的不合理现象。比如某个比较重要的指标对于所有评价对象的取值基本相同，则该项指标在综合评价中所起作用将微乎其微。而另外某项相对不太重要，但又不能舍弃的指标，对于所有评价对象的取值差异很大，那么该项指标对综合评价结果的影响将是很大的。为此，可用基于“差异驱动”的客观赋值方法，常用的有突出整体差异的拉开档次法和突出局部差异的均方差法、极差法、熵值法等。
1.突出整体差异的拉开档次法
所谓的“突出整体差异的拉开档次法”就是通过选择指标权重系数，从整体上尽可能体现出各评价对象之间的差异，使之尽可能拉开档次，以利于对其排序。
对于个评价对象，每个评价对象有个指标，第个评价对象的指标值为
，
待定指标权重向量记为，综合评价模型为
，
其中，则对应的个评价对象的综合评价指标值分别为
.
令综合评价指标值的平均值和方差分别为
，
通过确定指标权重向量，使方差达到最大，从而使整体差异最大，拉开各评价对象综合评价指标之间的档次。
突出整体差异拉开档次的赋权法是一类“求大异存小同”的赋权方法。
2.突出局部差异的客观赋权方法
设个评价对象个指标的观测值分别为
.
（1）均方差法
记第项指标的样本均值与样本标准差分别为
，
取第项指标的权重系数为
. (7.1)
（2）极差法
记第项指标观测值的极差
， (7.2)
则取第项指标的权重系数为
. (7.3)
（3）熵值法
在信息论中信息熵是信息不确定性的一种度量。一般来说，信息量越大，熵值越小，信息的效用值越大；反之，信息量越小，熵值越大，信息的效用值越小。而熵值法就是通过计算各指标观测值的信息熵，根据各指标的相对变化程度对系统整体的影响来确定指标权重系数的一种赋权方法。熵值法的计算过程如下：
①计算在第项指标下第个评价对象的特征比重
设第个评价对象的第个观测值，则在第项指标下第个评价对象的特征比重为
.
②计算第项指标的熵值为
，
不难看出，如果第项指标的观测值差异越大，熵值越小；反之，熵值越大。
③计算第项指标的差异系数为
.
如果第项指标的观测值差异越大，则差异系数就越大，第项指标也就越重要。
④确定第项指标的权重系数
. (7.4)
均方差法、极差法、熵值法都是基于某同一指标观测值之间的差异程度来考察该指标的重要程度的，具有评价过程的透明性、再现性，评价结果客观性强、可比性好的优点。
7.2.3 综合集成赋权法及指标赋权示例
综合集成赋权法是结合主观赋权法和客观赋权法的各自特点来确定指标权重系数的一种赋权方法。其一般做法是：首先分别在主观赋权法和客观赋权法内部找出最合理的主、客观权重系数，再根据具体情况确定主、客观赋权法权重系数所占的比例，最后求出综合评价权重系数。常用的综合集成赋权法有加法集成赋权法和乘法集成赋权法。
1.加法集成赋权法
设和分别为由主观赋权法和客观赋权法对第项指标所确定的权重系数，将和进行加权求和作为第项指标新的权重系数，即
，
其中为待定常数，且满足，分别表示主观权重与客观权重的相对重要程度。
2.乘法集成赋权法
设由主观赋权法和客观赋权法对第项指标所确定的权重系数分别为和，第项指标重新赋权为
.
从而使得新权重系数中同时具有主客观信息的集成特征。
3.指标赋权示例
下面利用其中的几种方法对战斗机性能的评价指标进行赋权，采用比例变换法得到的评价矩阵：
.
（1）利用极差法求各指标权重
首先利用公式求出各指标的极差依次为
0.28，0.4444，0.1429，0.3077，0. 5714，0.5.
再由公式，计算出各指标的权重系数为
.
（2）利用熵值法求各指标权重
首先利用公式
.
求各指标的特征比重为
，
利用公式
，
计算各指标的熵值为
.
再利用公式
，
计算各指标的差异系数为
.
最后由公式
，
求得各指标的权重向量为
.
注7.2 上述计算权值的方法，定性指标的权值过大（如果把定性指标数量化，不再进行标准化处理，计算的权值也是过大的），值得我们探讨。
（3）利用加权集成赋权法求各指标权重
不妨设评价者对各评价指标给出的主观权重为
.
在此取，，并由和进行加法集成赋权，，可得各指标的组合权重为。
上述三种方法计算权重的MATLAB程序如下：
clc, clear
load gdata7_1_3 R2 %加载矩阵R2
rj=range(R2) %求各列的极差
W1=rj/sum(rj) %求极差法的权重
P=R2./repmat(sum(R2),size(R2,1),1) %计算特征比重
e=-sum(P.*log(P)/log(size(R2,1))) %计算熵值
g=1-e %计算差异系数
W2=g/sum(g) %求熵值法的权重
W0=[0.2,0.1,0.1,0.1,0.2,0.3]; %主观权重
W3=0.6*W0+0.4*W2
save('gdata7_1_3','W3','-append') %把W3追加保存到mat文件中
7.3 常用的综合评价数学模型
综合评价数学模型就是将同一评价对象不同方面的多个指标值综合在一起，得到一个整体性评价指标值的一个数学表达式。通常根据评价的特点与需要来选择合适的综合评价数学模型。针对个评价对象，个评价指标，经过预处理的指标值为。
7.3.1 几种综合评价模型
1.线性加权综合评价模型
设指标变量的权重系数向量为。
线性加权综合模型是使用最普遍的一种简单综合评价模型。其实质是在指标权重确定后，对每个评价对象求各个指标的加权和。即令
，
则就是第个评价对象的加权综合评价值。
线性加权模型的主要特点：
（1）由于总的权重之和为1，各指标可以线性相互补偿；
（2）权重系数对评价结果的影响明显，权重大的指标对综合指标作用较大；
（3）计算简单，可操作性强；
（4）线性加权综合评价模型适用于各评价指标之间相互独立的情况，若个评价指标不完全独立，其结果将导致各指标间信息的重复起作用，使评价结果不能客观地反映实际。
2.TOPSIS法
TOPSIS法是理想解的排序方法（Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution）的英文缩写。它借助于评价问题的正理想解和负理想解，对各评价对象进行排序。所谓正理想解是一个虚拟的最佳对象，其每个指标值都是所有评价对象中该指标的最好值；而负理想解则是另一个虚拟的最差对象，其每个指标值都是所有评价对象中该指标的最差值。求出各评价对象与正理想解和负理想解的距离，并以此对各评价对象进行优劣排序。
设综合评价问题含有个评价对象个指标，相应的指标观测值分别为
，
则TOPSIS法的计算过程如下：
（1）将评价指标进行预处理，即进行一致化（全部化为极大型指标）和无量纲化，并构造评价矩阵。
（2）确定正理想解和负理想解。
设正理想解的第个属性值为，即；负理想解第个属性值为，即，则
，
.
（3）计算各评价对象到正理想解及到负理想解的距离。
各评价对象到正理想解的距离为
，.
各评价对象到负理想解的距离为
，.
（4）计算各评价对象对理想解的相对接近度
，.
（5）按由大到小排列各评价对象的优劣次序。
注7.3 若已求得指标权重向量，则可利用评价矩阵，构造加权规范评价矩阵，其中。在上面计算步骤中以代替做评价。
3.灰色关联度分析
设综合评价问题含有个评价对象个指标，相应的指标观测值分别为
.
灰色关联度分析具体步骤如下：
（1）将评价指标进行预处理，即进行一致化（全部化为极大型指标）和无量纲化，并构造评价矩阵。
（2）确定比较序列（评价对象）和参考数列（评价标准）。
比较数列为
，，
即为第个评价对象的标准化指标向量值。
参考数列为，这里，。即参考数列相当于一个虚拟的最好评价对象的各指标值。
（3）计算灰色关联系数
，，.
为比较数列对参考数列在第个指标上的关联系数，其中为分辨系数。称式中、分别为两级最小差及两级最大差。
一般来讲，分辨系数越大，分辨率越大；越小，分辨率越小。
（4）计算灰色关联度
灰色关联度的计算公式为
.
其中为第个指标变量的权重，若权重没有确定，各指标变量也可以取等权重，即，为第个评价对象对理想对象的灰色关联度。
（5）评价分析
根据灰色关联度的大小，对各评价对象进行排序，可建立评价对象的关联序，关联度越大其评价结果越好。
4.秩和比（RSR）法
秩和比（Rank Sum Ratio简称RSR）综合评价法基本原理是在一个行列矩阵中，通过秩转换, 获得无量纲统计量RSR；在此基础上，运用参数统计分析的概念与方法, 研究RSR的分布；以RSR值对评价对象的优劣直接排序，从而对评价对象做出综合评价。
先介绍一下样本秩的概念。
定义7.1 样本秩
设是从一元总体抽取的容量为的样本，其从小到大的顺序统计量是。若，则称是在样本中的秩，记作，对每一个，称是第个秩统计量。总称为秩统计量。
例如，对样本数据
-0.8，-3.1，1.1，-5.2，4.2，
顺序统计量是
-5.2，-3.1，-0.8，1.1，4.2，
而秩统计量是
3，2，4，1，5.
设综合评价问题含有个评价对象个指标，相应的指标观测值分别为,构造数据矩阵。
秩和比综合评价法的步骤如下：
（1）编秩
对数据矩阵逐列编秩，即分别编出每个指标值的秩，其中极大型指标从小到大编秩，极小型指标从大到小编秩，指标值相同时编平均秩，得到的秩矩阵记为。
（2）计算秩和比（）
如果各评价指标权重相同，根据公式
，
计算秩和比。当各评价指标的权重不同时，计算加权秩和比，其计算公式为
，
其中为第个评价指标的权重，。
（3）秩和比排序
根据秩和比对各评价对象进行排序，秩和比越大其评价结果越好。
7.3.2 综合评价示例
下面对战斗机的性能评价问题进行综合评价。采用比例变换法得到的评价矩阵：
.
用加法集成赋权得到指标权重为
.
1. 利用线性加权综合模型进行综合评价
由线性加权综合模型公式
，
对每种机型求各个指标的加权和，可得到各机型的加权综合评价值：
，
经比较可知四种战斗机的性能优劣次序为
.
2.利用TOPSIS法进行综合评价
（1）利用公式，构造加权规范评价矩阵
.
（2）确定正理想和负理想解分别为
，
，
（3）由计算公式
，，，
计算各评价对象到正理想解和负理想解的距离分别为
，
.
（4）由公式
.
计算各机型对理想解的相对接近度为
.
（5）根据相对接近度对各机型按优劣次序进行排序如下：
.
3.灰色关联度评价
（1）灰色关联度的计算数据如表7.5所示。
表7.5 灰色关联系数及关联度计算数据

最大速度
飞行范围
最大负载
费用
可靠性
灵敏度

0.5882
0.3913
0.8571
0.6111
0.5
1
0.6903

1
1
0.6667
0.4815
0.3333
0.3636
0.5631

0.5051
0.5243
1
1
1
0.4878
0.7017

0.7042
0.4615
0.8571
0.7407
0.5
0.3636
0.5250
（2）根据灰色关联度对各机型按优劣次序进行排序如下：
.
4.利用秩和比（RSR）法进行综合评价
（1）编秩
对于各机型的评价指标进行编秩，结果如表7.6所示。
表7.6 各机型指标值的编秩值

最大速度
飞行范围
最大负载
费用
可靠性
灵敏度

2
1
2.5
2
2.5
4

4
4
1
1
1
1.5

1
3
4
4
4
3

3
2
2.5
3
2.5
1.5
（2）计算秩和比
用公式，计算加权秩和比为
.
（3）秩和比排序
根据对四种机型的性能按优劣次序进行排序为
.
上述4种评价方法的MATLAB程序如下：
clc, clear
load gdata7_1_3 R2 W3 %加载矩阵R2,W3
[n,m]=size(R2);
F1=R2*W3' %计算线性加权评价值
[sF1,ind1]=sort(F1,'descend') %对评价值按从大到小排序
B=repmat(W3,n,1).*R2 %构造加权规范评价矩阵
cp=max(B), cm=min(B) %求正理想解和负理想解
for i=1:n
sp(i)=norm(B(i,:)-cp); %求到正理想解的距离
sm(i)=norm(B(i,:)-cm); %求到负理想解的距离
end
sp, sm, F2=sm./(sp+sm) %计算TOPSIS法的评价值
[sF2,ind2]=sort(F2,'descend') %对评价值按从大到小排序
ck=max(R2); %计算参考序列
t=repmat(ck,n,1)-R2; %计算参考序列与每个序列的差
mmin=min(min(t)); mmax=max(max(t)); %计算最小差和最大差
rho=0.5; %分辨系数
xs=(mmin+rho*mmax)./(t+rho*mmax) %计算灰色关联系数
F3=sum(repmat(W3,n,1).*xs,2) %取权重W3，计算关联度
[sF3,ind3]=sort(F3,'descend') %对关联度按照从大到小排序
xlswrite('gdata7_1_6.xlsx',[xs,F3]) %把关联系数和关联度写到Excel文件中
R=tiedrank(R2) %对每个指标值分别编秩，即对R2的每一列分别编秩
RSR=sum(repmat(W3,n,1).*R,2)/n %计算秩和比
[sRSR,ind4]=sort(RSR,'descend') %对秩和比按照从大到小排序
7.4 模糊综合评价决策模型
1965年，美国著名控制论专家ZadeH. L. A.（查德）教授发表了“Fuzzy Sets”，这一开创性的论文引用“隶属度”和“隶属函数”来描述差异的中间过渡，处理和刻画模糊现象，产生了应用数学重要分支—模糊数学。近年来，基于模糊数学的评价方法发展非常迅速，应用相当广泛。基于模糊数学理论的评价方法主要有：模糊综合评价、模糊聚类和模糊AHP等，其中应用最广泛的方法之一是模糊综合评价法。
7.4.1 模糊数学的基本概念和基本运算
处理现实现象的数学模型可分为三大类：
（1）确定性数学模型；
（2）随机性数学模型；
（3）模糊性数学模型。
前两类模型的共同特点是所描述的事物本身的含义是确定的，它们赖以存在的基石－集合论，它满足互补率，就是非此即彼的清晰概念的抽象。模糊性数学模型所描述的事物本身的含义是不确定的。
随机性，是针对事件的某种结果的机会而言，由于条件不充分而导致各种可能的结果。这是因果律的缺失而造成的不确定性。概率论与统计数学就是处理这类随机现象的数学。
模糊性，是指存在于现实中的不分明现象。如“稳定”与“不稳定”、“健康”与“不健康”之间找不到明确的边界。从差异的一方到另一方，中间经历了一个从量变到质变的连续过渡过程。这是因排中律的缺失而造成的不确定性。
1.模糊集和隶属函数
定义7.2 被讨论的对象的全体称为论域。论域常用大写字母等来表示。
在普通集合中，论域中的元素与集合之间的关系是属于（），或者不属于（），它所描述的是非此即彼的清晰概念。但在现实生活中并不是所有的事物都能用清晰的概念来描述，例如：雨的大小、人的胖瘦、个子的高低等等。在模糊数学中，称没有明确边界（没有清晰外延）的集合为模糊集合。常用大写字母来表示。元素属于模糊集合的程度用隶属度来表示。用于计算隶属度的函数称为隶属函数。它们的数学定义如下。
定义7.3 论域到闭区间上的任意映射

都确定了上的一个模糊集合，叫做的隶属函数，或称为对的隶属度。记作，使得的点称为模糊集的过渡点，此点最具有模糊性。
以下我们称模糊集为F集。
2.模糊集的表示
当论域为有限集时，记，则上的模糊集有下列三种常见表示形式：
（1）序偶表示法
.
（2）向量表示法
.
（3）查德表示法
.
注7.4 “”和“+”不是求和的意思，只是表示集合元素的记号。不是分数，它表示点对模糊集的隶属度是。
当论域为无限集时，上的模糊集可表示为：。
注7.5 “”也不表示积分，不是分数。
例7.2 设论域表示六个身高均为170cm的学生的体重（单位：公斤），上的一个模糊集“胖子”（记作）的隶属函数定义为
.
序偶表示法：
.
向量表示