2.2.1经济模型与应用.doc

新编经济应用数学（微分学 积分学）第五版
课题
2.2.1经济模型与应用（2学时）
时间
年 月 日
教
学
目
的
要
求

重点

难点

教
学
方
法
手
段
精讲多练
主
要
内
容
时
间
分
配
1、 常用的几种经济模型 20分钟
例题 25分钟
2、 其他常用的几种应用 15分钟
例题 30分钟

作业

备注

14
2.2.1经济模型与应用
2.2.1经济模型与应用
1．财贸与金融方面的应用
（1）资本现值与投资问题
若现有元货币，按年利率为作连续复利计算，则年后的价值为元；反过来，若年后有货币元，则按连续复利计算，现应有元，这就称为资本现值。
设在时间区间内时刻的单位时间的收入为,称此为收入率，若按年利率为 的连续复利计算，则在内的总收入为

若收入率 （为常数），称此为均匀收入率，如果年利率也为常数，则总收入的现值为

若在时，一次投入的资金为，则在内的纯收入的贴现值（也称投资效益）为 即
纯收入的贴现值=总收入现值-总投资

例1若连续3年内保持收入率每年7500元不变，且利率为,问其现值是多少？
解 因均匀收入率元，, 所以现值为

(元)
即现值为20150元。

例2现对某企业给予一笔投资, 经测算，该企业在T年中可以按每年A的均匀收入率获得收入，若年利率为，试求：
（1）该投资的纯收入贴现值：
（2）收回该笔投资的时间。

解（1）投资后T年中获总收入的现值为

从而投资获得的纯收入的贴现值为
；
（2）收回投资，即总收入的现值等于投资，故有

由此解得收回投资的时间

如果回收期为无限时期，则纯收入的贴现值为

显然，的值越大，投资效益越好，除国家允许外，都应避免的情况出现。
例3若某企业投资万元, 年利率为，设在20年内的均匀收入率200万元/年，试求：
（1）该投资的纯收入贴现值：
（2）收回该笔投资的时间为多少？
解 总收入的现值为
（万元），
从而投资所得纯收入为
(万元)，
收回投资的时间为
（年）。

例4 有一个大型投资项目，投资成本为（万元），投资年利率为，每年的均匀收入率（万元），求该投资为无限时期的纯收入的贴现值。
解 由已知条件收入率（万元），年利率为，故无限期的投资的总收入的贴现值为

（万元）
从而投资为无限时期的纯收入的贴现值为
（万元）。
例5某工厂生产某种产品的购置设备成本费用为50万元，在10年中每年可收回20万元，如果年利率为，并且假定购置的设备在10年中完全失去价值，求其投资效益。
解 由题意知，收入率（万元），年利率为，投资（万元），
故投资效益为

（万元）.
如果购置的设备不失去价值，每年的收入率仍为20万元，则投资效益为

（万元）.

（2）资本形成
资本形成就是增加一定资本总量的过程，若此过程视为时间的连续过程，资本总量函数为时间的连续可导函数：，则资本形成率（资本形成的速度）为资本对时间的导数，此时，资本形成率也称为在时间处的净投资，记为, 即
由导数与不定积分的关系，有 。
设初始时刻时的资本，由积分上限函数的性质知，资本函数可表为

上式表明，在任意时刻，资本总量等于初始资本（或）加上从时刻起到时刻止所增加的资本数量。根据上式求出

在时间间隔[]上资本形成的总量。

即 。
例6设净投资函数（单位：万元/年），求：
（1）第1年期间资本积累的总量：
（2）若原始资本为100万元，问从开始到第8年末的总资本是多少？
解（1）第1年期间所积累的资本为
6（万元）
（2）（万元）
2．会计与统计方面的应用
定积分在经济上有着广泛的应用，常见的有以下几种类型。
（1）由边际函数求总函数
由于总函数（如总成本，总收益、总利润等）的导数就是边际函数（如边际成本，边际收益、边际利润等），当已知初始条件时，既可以用不定积分求出总函数，也可以用定积分求出总函数。例如：已知边际成本 ，固定成本、边际收益，则
总成本函数 ，
总收益函数 ，
总利润函数
例7已知生产某种产品单位时，边际收益为（元/单位）.求:
（1）总收益函数和平均收益；
（2）生产100个单位产品的总收益；
（3）生产100个单位产品后再生产100个单位产品的总收益.
解（1）

,
（元/单位）.
（2）（元）
（3）（元）.

（2）由边际函数求总量函数的极值
设边际收益，边际成本 ，固定成本，已知=，即时利润最大，则最大利润为.
例8 某工厂生产某种产品单位时，其边际成本函数为，固定成本（单位：百元）。求：
（1） 此产品从30个单位到50个单位所需的成本；
（2） 总成本函数；
（3） 若此产品的销售单价为10（单位：百元），求总利润函数；
（4） 何时才能获得最大利润，最大利润是多少？
解 （1）从30个单位到50个单位所需的成本，就是边际成本在区间上的定积分，于是所需的成本为
（百元）
（2）总成本函数为

（3）设销售单位商品得到的总收入为，依题意有

因此，总利润函数为

（4）令， 得，而 ，
所以 当时，有最大值，
（百元）
例9 某种产品每天生产单位时的固定成本为元，边际成本（元/单位），边际收益（元/单位），求：
（1）每天生产多少单位时利润最大？最大利润是多少？
（2）从利润最大时的产量又生产了10个单位的产品，总利润是多少？
解（1）由利润最大原则知，当时利润最大，即

从而得，即时利润最大，最大利润为

（元）；
（2）（元），
即从最大利润的生产量个单位，再生产10个单位的产品利润减少30元.

（3）收入预测
例10 中国人的收入正在逐年提高。据统计，深圳2002年的年人

均收入为21914元（人民币），假设这一人均收入以速度（单位：元/年）增长，这里是从2003年开始算起的年数，估算2009年深圳的年人均收入是多少？
解 因为深圳年人均收入以速度（单位：元/年）增长，由变化率求总 改变量的方法，这7年间年人均收入的总变化为

（元）。
所以，2009年深圳的人均收入为
（元）
（4）国民生产总值
例11 1999年我国的国民生产总值（GDP）为80423亿元，如果我国能保持每年的相对增长率，问到2010年我国的GDP是多少？
解 （1）建立微分方程
设第年我国的GDP为，代表1999年。
由题意知，从1999年起，的相对增长率为，即
，且
(2) 求通解
分离变量得
两边同时积分，得

(3) 求特解
将代入通解，得，
所以从1999年起第年我国GDP为.
将代人上式，得2010年我国的GDP的预测值为
（亿元）

3．经济管理与物流方面的应用

（1）一阶常微分方程在经济中的应用
有些经济问题往往可以转化成微分方程来求解。下面通过实例来介绍常微分方程在经济中的应用
例12 已知某产品的纯利润对广告费的变化率与常数和纯利润之差成正比，当,时,试求纯利润与广告费之间的函数关系.
解 由题意列出方程为

分离变量积分得

即 (其中)
所以 ,
由初始条件 ,解得 ,
所以纯利润与广告费的函数关系为
.

例13 某商店统计其月售货款额不超过元。在一个月内前日累积售货款额显然是的增函数，已知的增长速度与成正比。本月共30天，已经过了10天，前5日累积售货款额为元，前10日累积售货款额为元，预计本月售货款额为多少？
解 设前t日累积售货款额与的函数关系为,定义域为{为正整数，}，把它扩大为，从而的增长

速度可以用表示。
由题意知 （1）
其中，比例系数。
所以，这个问题就转化成求常微分方程（1）在初始条件为，的特解。再令，此时的值即为所求的货款额。
对方程（1）分离变量可得

两边积分，得
所以 （为任意常数）
于是方程（1）的通解为
（，为任意常数）
将 ，代入通解中得
，
根据初始条件得到方程（1）的特解

（）
当时，（元）
所以，预计本月售货款额为元。
例14 (逻辑斯蒂曲线) 在商品销售预测中,时刻时的销售量用表示.如果商品销售的增长速度正比于销售量用及与销售接近饱和水平的程度之乘积(为饱和水平),求销售量函数.
解 根据题意建立微分方程
(为比例因子)
分离变量积分得
,
上式变形为
.
两端积分得
(为任意常数)
即
(为任意常数)
从而可得通解为
(为任意常数)
其中为任意常数将由给定的初始条件确定.

例15 (市场动态均衡价格) 设某种商品的市场价格随时

间变动，其需求函数为，供给函数为。又设价格随时间的变化率与超额需求成正比，求价格函数。
解 由题意，价格函数满足微分方程：

利用一阶微分方程通解公式得

根据初始条件 ，得 ， 代入上式有

由解的表达式可得，当时，，称为均衡价格，即当时，价格将逐步趋向均衡价格。

（2）生产效益计算
生产效益指的是在一定条件下，生产了多少产品，得到了多少收入，获得多少利润，一般说来得到的（产量、收入、利润）越多，生产效益就越高。
已知某产品总产量的变化率为

则该产品在时间区间内的总产量为
=

例16 （求生产的总费用）已知某种产品每小时生产台，总费用的变化率为
（千元/台）
（1）求总费用；
（2）如果该产品每台售价3千元，每小时产量为多少台时才能获利最大？最大利润是多少？
解（1）设总费用为，则 ，所以

（2）由题意销售该产品台时的总收入

于是
令 ， 得
又因为
所以当每小时生产3台时才能获利最大，最大利润为
（千元）

例17 （商品销售量）某种商品一年中的销售速度为，（的单位：月；）,求此商品前3个月的销售总量.
解 由变化率求总改变量知商品在前3个月的销售总量为

.

（3）广告策略
例18 某出口公司每月销售额是1000000美元，平均利润是销售额的10%。根据公司以往的经验，广告宣传期间月销售额的变化率近似服从如下式的增长曲线
（以月为单位）。该公司现在需要决定是否举行一次为期一年的总成本为130000美元的广告活动。按惯例，对于超过100000美元的广告活动，如果新增销售额产生的利润超过广告投资的，则决定做广告。试问该公司按惯例是否应该做此广告？
解 一年的总销售额为

（美元）
而公司的利润销售额的10%，所以新增销售额产生的利润是
（美元）
所以做广告所产生的实际利润为
（美元）
这说明赢利大于广告成本的，该公司应该做此广告。