线性代数典型例题.doc

线性代数

第一章 行列式
典型例题
一、利用行列式性质计算行列式
二、按行（列）展开公式求代数余子式
已知行列式，试求与.
三、利用多项式分解因式计算行列式
1．计算.
2．设，则方程有根
四、抽象行列式的计算或证明
1.设四阶矩阵，其中均为四维列向量，且已知行列式,试计算行列式
2.设为三阶方阵，为的伴随矩阵，且，试计算行列式

3.设是阶非零实矩阵，元素与其代数余子式相等，求行列式
4.设矩阵,矩阵满足,则
5.设均为3维列向量，记矩阵

如果，那么
五、阶行列式的计算
六、利用特征值计算行列式
1.若四阶矩阵与相似，矩阵的特征值为，则行列式
2.设为四阶矩阵，且满足,又已知的三个特征值分别为，试计算行列式

第二章 矩阵
典型例题
一、求逆矩阵
1.设都是可逆矩阵，求：

2.设，求
二、讨论抽象矩阵的可逆性
1.设阶矩阵满足关系式,证明可逆，并求
2.已知,证明可逆，并求出逆矩阵。
3.设,其中均为维列向量，且,求的逆矩阵。
4.设为阶矩阵，且可逆，证明也可逆。
三、解矩阵方程
1.设矩阵，矩阵满足,求矩阵.
2.已知矩阵，且矩阵满足
，求.
四、利用伴随矩阵进行计算或证明
1.证明下列等式
(1)； (2)若,则；
（3）,则；
(4) ,则；

（5）若为同阶可逆矩阵，则.
2.设矩阵满足,若为三个相等正数，则
五、关于初等矩阵和矩阵的秩（看教材）

第三章 矩阵
典型例题
一、判断向量组的线性相关性
1.设是维实向量，且线性无关，已知是线性方程组

的非零解向量，试判断向量组的线性相关性。
2.设是个维的线性无关向量，，其中全不为零，证明中任意个向量均无关。
3.设为矩阵，为矩阵，且,其中，证明的列向量组线性相关。
4.设为个线性无关的维列向量，和是与均正交的

维非零列向量，证明（1）、线性相关；（2），线性相关。
二、把一个向量用一组向量线性表示
证明线性方程组的解都是
的解的充要条件是是的线性组合，其中，.
三、求向量组的秩
1.给定一个向量组，求其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。
2.已知向量组（1）；（2）；（3）.如果各向量组的秩分别是3、3、4，证明：向量组的秩为4.
四、有关矩阵秩的命题
1.设为实矩阵，证明：
2.设为阶方阵，且满足，证明：.
综合题
1. 设为矩阵，为矩阵，且已知，，设是满足的一个维向量，证明：存在唯一的一个维列向量，使.
2.已知随机变量，，又维向量线性无关，求向量

线性相关的概率。

第四章 线性方程组
典型例题
一、基本概念题（解的判定、性质、结构）
二、含有参数的线性方程组的求解
三、抽象线性方程组求解
1.已知线性方程组：
的一个基础解系为试写出线性方程组：的通解，并说明理由。
2.已知4阶方阵均为4维列向量，其中线性无关，，如果，求线性方程组的通解。
四、讨论两个方程组的公共解
1.设线性方程组与方程有公共解，求的值及所有公共解。

2.已知下列非齐次线性方程组，
（1）求解方程组，用其导出组的基础解系表示通解；
（2）当方程组中的参数为何值时，方程组与同解。
3.设都是阶级矩阵，且，证明齐次方程组与有非零公共解。
五、讨论两个方程组解之间的关系
1. 与的解的关系。
2.设有齐次线性方程组与，其中都是矩阵，现有4个命题：
①若的解均是的解，则；
②若，则的解均是的解；
③若与同解，则；
④若，则与同解。
以上命题中正确的是：(A) ①② (B) ①③ (C) ②④ (D) ③④
六、已知方程组的解，反求系数矩阵或系数矩阵中的参数
1.设，且方程组的基础解系含有2个线性无关的解向量，求

的通解。
2.设，如果是的一个解，试求的通解。
七、有关基础解系的讨论
1.设为线性方程组的一个基础解系，

其中为实常数，试问满足什么关系时，也为的一个基础解系？
2.若矩阵的秩为，其个列向量为某一齐次线性方程组的一个基础解系，为阶非奇异矩阵，证明：的个列向量也是该齐次线性方程组的一个基础解系。
3.设是非齐次线性方程组的一个解，是其导出组的一个基础解系，证明：
（1）线性无关；
（2）是方程组的个线性无关的解；
（3）方程组的任一解，都可以表示为这个解的线性组合，而且组合系数之和为1.
八、有关的应用
1.已知方阵，三阶方阵满足，试求的值。

2.已知3阶矩阵的第一行是，不全为零，矩阵（为常数），且，求线性方程组的通解。
综合题
1.设矩阵，证明：存在常数，使得.
2.已知维向量中，前个向量线性相关，后个向量线性无关，又矩阵是阶矩阵，证明方程组必有无穷多解，且其任一解中必有.
3.设阶方阵的列向量组为，阶方阵的列向量组为：

试问当时，齐次线性方程组是否有非零解？并证明你的结论。
4.设为矩阵，为矩阵，且，证明：
5.设是实矩阵，满足：
（1），其中为元素的代数余子式；
（2）；（3）
求非齐次线性方程组的解。
6.已知是4阶矩阵，是4维列向量，若方程组的通解是，又，求方程组的通解。

7.设、为矩阵，证明齐次线性方程组与同解的充要条件是、的行向量组等价。

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