考研数学分牛人的重点及难点归纳辅导笔记.doc

数学重点、难点归纳辅导
第一部分
第一章集合与映射
§1.集合
§2.映射与函数
本章教学规定：理解集合的概念与映射的概念，掌握实数集合的表达法，函数的表达法与函数
的一些基本性质。
§1.实数系的连续性
§2.数列极限
§3.无穷大量
§4.收敛准则
本章教学规定：掌握数列极限的概念与定义，掌握并会应用数列的收敛准则，理解实数系具有
连续性的分析意义，并掌握实数系的一系列基本定理。
第三章函数极限与连续函数
§1.函数极限
§2.连续函数
§3.无穷小量与无穷大量的阶
§4.闭区间上的连续函数
本章教学规定：掌握函数极限的概念，函数极限与数列极限的关系，无穷小量与无穷大量阶的
估计，闭区间上连续函数的基本性质。
第四章微分
§1.微分和导数
§2.导数的意义和性质
§3.导数四则运算和反函数求导法则
§4.复合函数求导法则及其应用
§5.高阶导数和高阶微分
本章教学规定：理解微分，导数，高阶微分与高阶导数的概念，性质及互相关系，纯熟掌握求
导与求微分的方法。
第五章微分中值定理及其应用
§1.微分中值定理
§2.L＇Hospital 法则
§3.插值多项式和Taylor 公式
§4.函数的Taylor 公式及其应用
§5.应用举例
§6.函数方程的近似求解
本章教学规定：掌握微分中值定理与函数的Taylor 公式，并应用于函数性质的研究，纯熟运
用L＇Hospital 法则计算极限，纯熟应用微分于求解函数的极值问题与函数作图问题。
第六章不定积分
§1.不定积分的概念和运算法则
§2.换元积分法和分部积分法
§3.有理函数的不定积分及其应用
本章教学规定：掌握不定积分的概念与运算法则，纯熟应用换元法和分部积分法求解不定积分，
掌握求有理函数与部分无理函数不定积分的方法。
第七章定积分（§1 —§3）
§1.定积分的概念和可积条件
§2.定积分的基本性质
§3.微积分基本定理
第七章定积分（§4 —§6）
§4.定积分在几何中的应用
§5.微积分实际应用举例
§6.定积分的数值计算
本章教学规定：理解定积分的概念，牢固掌握微积分基本定理：牛顿—莱布尼兹公式，纯熟定
积分的计算，纯熟运用微元法解决几何，物理与实际应用中的问题，初步掌握定积分的数值计
算。
第八章反常积分
§1.反常积分的概念和计算
§2.反常积分的收敛判别法
本章教学规定：掌握反常积分的概念，纯熟掌握反常积分的收敛判别法与反常积分的计
算。
第九章数项级数
§1.数项级数的收敛性
§2.上级限与下极限
§3.正项级数
§4.任意项级数
§5.无穷乘积
本章教学规定：掌握数项级数敛散性的概念，理解数列上级限与下极限的概念，纯熟运用各种
判别法判别正项级数，任意项级数与无穷乘积的敛散性。
第十章函数项级数
§1.函数项级数的一致收敛性
§2.一致收敛级数的判别与性质
§3.幂级数

§4.函数的幂级数展开
§5.用多项式逼近连续函数
本章教学规定：掌握函数项级数（函数序列）一致收敛性概念，一致收敛性的判别法与
一致收敛级数的性质，掌握幂级数的性质，会纯熟展开函数为幂级数，了解函数的幂级数展开
的重要应用。
第十一章Euclid 空间上的极限和连续
§1.Euclid 空间上的基本定理
§2.多元连续函数
§3.连续函数的性质
本章教学规定：了解Euclid 空间的拓扑性质，掌握多元函数的极限与连续性的概念，区分它
们与一元函数相应概念之间的区别，掌握紧集上连续函数的性质。
第十二章多元函数的微分学（§1—§5）
§1.偏导数与全微分
§2. 多元复合函数的求导法则
§3.Taylor 公式
§4.隐函数
§5.偏导数在几何中的应用
第十二章多元函数的微分学（§6—§7）
§6.无条件极值
§7.条件极值问题与Lagrange 乘数法
本章教学规定：掌握多元函数的偏导数与微分的概念，区分它们与一元函数相应概念之间的区
别，纯熟掌握多元函数与隐函数的求导方法，掌握偏导数在几何上的应用，掌握求多元函数无
条件极值与条件极值的方法。
第十三章重积分
§1.有界闭区域上的重积分
§2.重积分的性质与计算
§3.重积分的变量代换
§4.反常重积分
§5.微分形式
本章教学规定：理解重积分的概念，掌握重积分与反常重积分的计算方法，会纯熟应用变量代
换法计算重积分，了解微分形式的引入在重积分变量代换的表达公式上的应用。
第十四章曲线积分与曲面积分
§1.第一类曲线积分与第一类曲面积分
§2.第二类曲线积分与第二类曲面积分
§3.Green 公式，Gauss 公式和Stokes 公式
§4.微分形式的外微分
§5.场论初步

本章教学规定：掌握二类曲线积分与二类曲面积分的概念与计算方法，掌握Green 公式，Gauss
公式和Stokes 公式的意义与应用，理解外微分的引入在给出Green 公式，Gauss 公式和Stokes
公式统一形式上的意义，对场论知识有一个初步的了解。
第十五章含参变量积分
§1.含参变量的常义积分
§2.含参变量的反常积分
§3.Euler 积分
本章教学规定：掌握含参变量常义积分的性质与计算，掌握含参变量反常积分一致收敛
的概念，一致收敛的判别法，一致收敛反常积分的性质及其在积分计算中的应用，掌握Euler
积分的计算。
第十六章Fourier 级数
§1.函数的Fourier 级数展开
§2. Fourier 级数的收敛判别法
§3. Fourier 级数的性质
§4. Fourier 变换和Fourier 积分
§5.快速Fourier 变换
本章教学规定：掌握周期函数的Fourier 级数展开方法，掌握Fourier 级数的收敛判别法与
Fourier 级数的性质，对Fourier 变换与Fourier 积分有一个初步的了解。
试题
一、解答下列各题
1、
求极限　　lim tan tan
sin ln( )
.
x
x
→ x
−
2 −
2
1
2、
(e x 1)3e x dx. 求∫ +
3、
求极限lim ．
x . . .
x x
→∞ x x x
+ +
+ + +
100 10 1
01 0 01 0 001
2
3 2
4、
设y x tdt，求y ． x = ∫ ′ 3
0
2 sin2
5、
设
， ；
，
f x 求，其中．
x x x
x x x
( ) = f ( a) f ( a) a
− + ≤
− >
⎧⎨ ⎪
⎩⎪
+ + − >
2
2
1 1
2 1
1 1 0
6、
求极限．
－
lim
x ln
x
→ x
−
1
2 1
7、设　　y = (3x + 1) ln(3x + 1)，求y ′′
8、
求dx．
x
x ∫ −
2 1
0 2
3
1
9、设　y x x e x，求dy ．
x ( ) = −
=
3 2
1

10、
　　求由方程常数拟定的隐函数
的微分．
x y a a
y y x dy
2
3
2
3
2
+ = 3 > 0
=
( )
( )
11、
　　设由和所拟定
试求．
y y x x s y s
dy
dx
= ( ) = (1+ 2 ) 1 = (1− ) ,
2 2 1
2
12、设y y x 由方程y e 所拟定求y
x y
= = x ′
+
( ) ,
13、若x > 0 证明x + 1+ x > 2x , 2 ln( )2
14、
求∫ ． +
16
1 4 x x
dx
15、
求∫ ． −
2
1 x 4 x 2
dx
16、
.
( 1)( 1)
d
∫ 2 x + x +
x 求
二、解答下列各题
1、要做一个圆锥形漏斗,其母线长20cm,要使其体积最大,问其高应为多少?
2、求曲线y = 2 − x 2与y = x 所围成的平面图形的面积.
3、求曲线y = x 2和y = x 3在[0,1]上所围成的平面图形的面积.
三、解答下列各题
证明方程x 5 − 7x = 4在区间(1，2)内至少有一个实根．
四、解答下列各题
鉴定曲线y = (x + 3) x在[0，+ ∞)上的凹凸性
第二部分
（1） 课程名称：微分几何
（2） 基本内容：三维空间中经典的曲线和曲面的理论。重要内容有：
曲线论，内容涉及：曲线的切向量与弧长；主法向量与从法向量；曲率与扰率；Frenet
标架与Frenet 公式；曲线的局部结构；曲线论的基本定理；平面曲线的一些整体性质，

如切线的旋转指标定理， 凸曲线的几何性质， 等周不等式， 四顶点定理与
Cauchy-Crofton 公式；空间曲线的一些整体性质，如球面的Crofton 公式，Fenchel 定
理与Fary-Milnor 定理。
曲面的局部理论，内容涉及：曲面的表达、切向量、法向量；旋转曲面、直纹面与可
展曲面；曲面的第一基本形式与内蕴量；曲面的第二基本形式；曲面上的活动标架与
基本公式；Weingarten 变换与曲面的渐近线、共扼线；法曲率；主方向、主曲率与曲
率线；Gauss 曲率和平均曲率；曲面的局部结构；Gauss 映照与第三基本形式；全脐曲
面、极小曲面与常Gauss 曲率曲面；曲面论的基本定理；测地曲率与测地线；向量的
平行移动。
基本规定：通过本课程的学习，学生应掌握曲线论与曲面论中的一些基本几何概念与研究微
分几何的一些常用方法。以便为以后进一步学习、研究现代几何学打好基础；另一方面培养学
生理论联系实际和分析问题解决问题的能力。
二、讲授纲要
第一章三维欧氏空间的曲线论
§1 曲线曲线的切向量弧长
教学规定：理解曲线的基本概念、会求曲线的切向量与弧长、会用弧长参数表达曲
线。
§2 主法向量与从法向量曲率与扰率
教学规定：理解曲率与挠率、主法向量与从法向量、密切平面与从切平面等基本概
念，会计算曲率与挠率。
§3 Frenet标架Frenet 公式
教学规定：掌握Frenet 公式，能运用Frenet 公式去解决实际问题。
§4 曲线在一点邻近的性质
教学规定：能表达曲线在一点领域内的局部规范形式，理解扰率符号的集合意义。
§5 曲线论基本定理
教学规定：掌握曲线论的基本定理，能求已知曲率与扰率的一些简朴的曲线。
§6 平面曲线的一些整体性质
6．1 关于闭曲线的一些概念
6．2 切线的旋转指标定理
6．3 凸曲线*
6．4 等周不等式*
6．5 四顶点定理*
6．6 Cauchy-Crofton公式*
教学规定：理解平面曲线的一些基本概念：闭曲线、简朴曲线、切线像、相对全曲

率、旋转指标、凸曲线。掌握平面曲线的一些整体性质：简朴闭曲线切
线的旋转指标定理，凸曲线的几何性质，等周不等式，四顶点定理与
Cauchy-Crofton 公式。
§7 空间曲线的整体性质
7．1 球面的Crofton公式*
7．2 Fenchel定理*
7．3 Fary-Milnor定理*
教学规定：理解全曲率的概念。掌握空间曲线的一些整体性质：球面的Crofton 公
式，Fenchel 定理与Fary-Milnor 定理。
第二章三维欧氏空间中曲面的局部几何
§1 曲面的表达切向量法向量
1．1 曲面的定义
1．2 切向量切平面
1．3 法向量
1．4 曲面的参数表达
1．5 例
1．6 单参数曲面族平面族的包络面可展曲面
教学规定：掌握曲面的三种局部解析表达；会求曲面的切平面与法线；了解旋转曲面
与直纹面的表达；掌握可展曲面的特性。
§2 曲面的第一、第二基本形式
2．1 曲面的第一基本形式
2．2 曲面的正交参数曲线网
2．3 等距相应曲面的内蕴几何
2．4 共形相应
2．5 曲面的第二基本形式
教学规定：掌握曲面的第一基本形式及相关量——曲面上曲线的弧长、两相交曲线的
交角与面积的计算，并理解其几何意义；了解等距相应与共形相应；掌握
第二基本形式。
§3 曲面上的活动标架曲面的基本公式
3．1 省略和式记号的约定
3．2 曲面上的活动标架曲面的基本公式
3．3 Weingarten变换W
3．4 曲面的共轭方向渐近方向渐近线
教学规定：掌握曲面上的活动标架与曲面的基本公式，能求正交参数曲线网的联络系

数；理解Weingarten 变换与共轭方向、渐近方向，会求一些简朴曲线的
渐近曲线。
§4 曲面上的曲率
4．1 曲面上曲线的法曲率
4．2 主方向主曲率
4．3 Dupin标线
4．4 曲率线
4．5 主曲率及曲率线的计算总曲率平均曲率
4．6 曲率线网
4．7 曲面在一点的邻近处的形状
4．8 Gauss映照及第三基本形式
4．9 总曲率、平均曲率满足某些性质的曲面
教学规定：理解法曲率、主方向与主曲率、曲率线、总曲率和平均曲率概念与几何意
义，并会对它们进行计算；掌握Gauss 映照及第三基本形式；能对全脐曲
面与总曲率为零的曲面进行分类；掌握极小曲面的几何意义并会求一些简
单的极小曲面。
§5 曲面的基本方程及曲面论的基本定理
5．1 曲面的基本方程
5．2 曲面论的基本定理
教学规定：掌握、理解曲面的基本方程与曲面论基本定理。
§6 测地曲率测地线
6．1 测地曲率向量测地曲率
6．2 计算测地曲率的Liouville公式
6．3 测地线
6．4 法坐标系测地极坐标系测地坐标系
6．5 应用
6．6 测地扰率
6．7 Gauss-Bonnet 公式
教学规定：理解与掌握测地曲率和测地线、测地扰率、法坐标系、测地极坐标系与测
地坐标系的定义及其几何意义；能用Liouville 公式计算测地曲率与测地
线；能用测地极坐标系对总曲率为常数的曲面进行研究；理解（局部）
Gauss-Bonnet 公式。
§7 曲面上的向量的平行移动
7．1 向量沿曲面上一条曲线的平行移动绝对微分

7．2 绝对微分的性质
7．3 自平行曲线
7．4 向量绕闭曲线一周的平行移动总曲率的又一种表达
7．5 沿曲面上曲线的平行移动与欧氏平面中平行移动的关系
教学规定：理解向量沿曲面上一条曲线的平行移动与绝对微分。
习题：
1. 证明推论2.3.1，
2. 设X，Y 为Banach 空间， x(t ) : [a,b]→ X 是连续抽象函数, 对有界线性算子T : X →Y ，
证明：Tx 在[a,b]上R －可积，并且∫ = ∫ b
a
b
a
Tx(t )dt T x(t )dt。
3. 设C[a,b]到C[a,b]中的算子T 由= ∫ + t
a
(Tx )(t ) (1 s 2 )[x(s)]2ds 给出，T 在任一元素x处
是否F －可导？若答案肯定，求导算子T ′(x)。
4. 设f 是Rn 到R 中的一个C1映射。证明： f 在x ∈Rn 0 处沿方向h ∈Rn 的G －微分
( ; ) 0 df x h 等于grad f (x0) hT,
这里grad f =（
xn
f
x
f
x
f
x
f
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
, , ,L
1 2 3
）, ( , , ) ; 1 2 n h = h h Lh
在e n n f x x x x x x x x 1 3 1 2 3 1 ( ; , ) − L = + +L+ 和h = (1,2,3,0,0,L,0,1),
( , 1, ,3,2,1) x0 = n n − L 的情况下计算( ; ) 0 df x h ，又问： f 在x ∈Rn 处的F －导数是什么？
当n
n f x = x + x + x 3 +L+ x
3
2
1 2 ( ) 时求f ′(x )。
5. 设T :R 2 →R 3由T (x, y) = (x 2 − y 2 , xy 2 + 3y,4x + 5y )定义，求T 在（－1，2）处沿方
向（1，－1）的G －微分。
解： 写
⎟ ⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎛
+
+
−
= ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
x y
xy y
x y
y
x
T
4 5
2 3
2 2
， 知
⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎛
+
−
= ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
′⎛
4 5
2 3
2 2
y 2 xy
x y
y
x
T ， 故所求G － 微分为
⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎛
−
= ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢ ⎢
⎣
⎡
−
− −
= ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
− ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛−
′
1
5
2
1
1
4 5
4 1
2 4
1
1
2
1
T 。

6. 设X 、Y 是赋范线性空间，T ：X →Y 由Tx = Ax + y ,∀x ∈X 0 定义，其
y ∈Y 0 ，A∈B(X, Y )，证明T 在∀x ∈ X 处F —可微，且求其F —导算子。
解：
o o o ∀x ∈ X ,∀h ∈ X ,T (x + h) −T (x) = A(x + h ) + y − (Ax + y ) = Ax + Ah + y
− Ax − y = Ah +θ o ，由于A ∈B(X, Y )，且h 0 0, ( h 0),T 1 = → → − θ 在x 处是F —可微的，
且T ′(x) = A。
7. 设T :R 3 →R 2 由T ((x, y , z))= (3x 2 − 2y , y 2 + 2xz)∈R 2 ,∀(x, y, z)∈R 3拟定，求T 在
（1，2，－1）处的F —导数。
解：采用列向量表达，T 将⎟
⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜
⎝
⎛
z
y
x
变换成⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
+
−
y xz
x y
2
3 2
2
2
，故T 在⎟
⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜
⎝
⎛
z
y
x
处的F —导数应是变换
T 的Jacobi 矩阵⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛ −
z y x
x
2 2 2
6 2 0
，在) 1 , 2 , 1 ( ) , , ( − = z y x 处，此矩阵为⎟
⎟⎠ ⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
−
2 4 2
6 2 0
，在
列向量表达下，T 在（1，2，－1）处的F —导数作为线性算子就是此常数矩阵决定的变换：
, ,
2 4 2
6 2 0 3
3
2
1
3
2
1
3
2
1
R
h
h
h
h
h
h
h
h
h
∈
⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎛
∀
⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎛
⎟ ⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
−
⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎛
a 右端即2
1 2 3
1 2 2 4 2
6 2 R h h h
h h ∈ ⎟⎠
⎞ ⎜⎝
⎛
− + +
− 故T 在（1，2，－
1）处的F —导数就是将( , , ) 1 2 3 ∀ h h h 变换为(6 2 , 2 4 2 ) 1 2 1 2 3 h − h − h + h + h 的线性变换。
［备注1：这一答案保持了原题用行向量叙述的方式。］
［备注2：当T :R 3 →R 2表达为2 3
2
2
2 ,
3 2 R
z
y
x
y xz R
x y
z
y
x
T ∈
⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜
⎝
⎛
∀ ∈ ⎟⎠
⎞
⎜⎝⎛
+
= −
⎟ ⎟ ⎠
⎞
⎜ ⎜
⎝
⎛
，我们可得T 在⎟
⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜
⎝
⎛
z
y
x
处的F —导数是：
⎟ ⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛ −
= ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜
⎝
⎛
⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜
⎝
⎛
′
z y x
x
z
y
x
T
2 2 2
6 2 0
，即3
3
2
1
3
2
1
3
2
1 ,
2 2 2
6 2 0
R
h h h
h h h
z y x
x
h h h
z
y
x
T ∈
⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜
⎝
⎛
∀
⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜
⎝
⎛
⎟ ⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛ −
=
⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜
⎝
⎛
⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜
⎝
⎛
⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜
⎝
⎛
′ ，
故=
⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜
⎝
⎛
⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜
⎝
⎛
⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜
⎝
⎛
−
′
3
2
1
1
2
1
h
h h
T 3
3
2
1
1 2 3
21 42 2 ,
6 2 R
h h h
h h h
h h ∈
⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜
⎝
⎛
∀ ⎟⎠
⎞ ⎜⎝⎛
− + +
−
或⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
−
= ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜
⎝
⎛
⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜ ⎝
⎛
−
′
2 4 2
6 2 0
1
2
1
T ，算子对向量的作用以相应的矩阵对向量的左乘表达。］

第三部分
1. 高等代数基本定理
设K 为数域。以K[x] 表达系数在K 上的以x 为变元的一元多项式的全体。假如
( ) ...... [ ], ( 0) 0
1
0 1 f x = a x + a x − + + a ∈K x a ≠ n
n n ，则称n 为f (x)的次数，记为deg f (x)。
定理（高等代数基本定理） C[x]的任一元素在C中必有零点。
命题设( ) ...... , ( 0 1) 0
1
0 1 f x = a x + a x − + + a a ≠ n ≥ n
n n ， 是C上一个n 次多项式，a 是
一个复数。则存在C 上首项系数为0 a 的n − 1次多项式q(x)，使得
f (x) = q(x)(x − a) + f (a)
证明对n 作数学归纳法。
推论0 x 为f (x)的零点，当且仅当( ) 0 x − x 为f (x)的因式（其中deg f (x) ≥1）。
命题（ 高等代数基本定理的等价命题） 设n
f (x) = a x n + a x n−1 + ...... + a
0 1
( 0 1) 0 a ≠ ，n ≥ 为C上的n 次多项式，则它可以分解成为一次因式的乘积，即存在n 个复数
n a ,a ,......, a 1 2 ，使
( ) ( )( )......( ) 0 1 2 n f x = a x −α x −α x −α
证明运用高等代数基本定理和命题1.3，对n 作数学归纳法。
2．高等代数基本定理的另一种表述方式
定义设K 是一个数域， x 是一个未知量，则等式
...... 0 1
1
0 1 + + + + = −
−
n n
a x n a x n a x a （1）
（其中, ,......, , 0 0 1 0 a a a ∈K a ≠ n ）称为数域K 上的一个n 次代数方程；假如以x =α ∈K 带
入（1）式后使它变成等式，则称α 为方程（1）在K 中的一个根。
定理（高等代数基本定理的另一种表述形式） 数域K 上的n (≥1) 次代数方程在复数域C
内必有一个根。
命题n 次代数方程在复数域C 内有且恰有n 个根（可以反复）。
命题（高等代数基本定理的另一种表述形式）给定C 上两个n 次、m 次多项式
( ) ...... ( 0) 0 1 = + + + ≠ n
n
n f x a a x a x a ，
( ) ...... ( 0) 0 1 = + + + ≠ m
m
m g x b b x b x b ，

假如存在整整数l ,l ≥m, l ≥ n ,及l + 1个不同的复数1 2 1 , ,......, , l l + β β β β ，使得
f ( ) = g ( ) (i =1,2,......, l + 1) i i β β ，
则f (x) = g (x)。
1.2.2 韦达定理与实系数代数方程的根的特性
设1
0 1 ( ) n n
n f x = a x +a x − +L+a ， 其中0 , 0 i a ∈K a ≠ 。设f (x) = 0 的复根为
1 2 , , , n α α L α （也许有反复），则
1 2
0 1
1
1 2 1 2
1 ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) .
n
i n
i
n n
n n
f x x x x x
a
x x
α α α α
α α α α α α
=
−
= − = − − −
= − + + + + +
Π L
L L L
所以
( 1) ( ) 1 2
1
0
1
n a
a = − α +α +L+α ；
Σ
≤ ≤ ≤
= −
i i n
i i a
a
1 2
1 2
0
2
0
2 ( 1) α α ；
LLLLLLLL
( 1) . 1 2
0
n
n n
a
a = − α α Lα
我们记
( , , , ) 1 0 1 2 = n σ α α L α ；
n n σ 1 α1 α 2 L α =α1 +α 2 +L+α ( , , , ) ；
LLLLLLLL
Π
≤ ≤ ≤ ≤ ≤
=
i i i n
r n i i i
r
r
L
L L
1 2
1 2
0
1 2 σ (α ,α , ,α ) α α α ；
LLLLLLLL
n n n σ α1 α 2 L α α1α 2Lα ( , , , ) =
（ 1 2 , , , n σ σ L σ 称为1 2 , , , n α α L α 的初等对称多项式）。于是有
定理2.5 (韦达定理) 设1
0 1 ( ) n n
n f x = a x +a x − +L+a ，其中0 , 0 i a ∈K a ≠ 。设f (x) = 0
的复根为1 2 , , , n α α L α 。则

( 1) ( , , , ) 1 1 2
1
0
1
n a
a = − σ α α L α ；
( 1) ( , , , ) 2 1 2
2
0
2
n a
a = − σ α α L α ；
LLLLLLLL
( 1) ( , , , ). 1 2
0
n n
n n
a
a = − σ α α L α
命题给定R 上n 次方程
...... 0 1
1
0 1 + + + + = −
−
n n
a x n a x n a x a ， 0 0 a ≠ ，
假如α = a + b i是方程的一个根，则共轭复数α = a − b i 也是方程的根。
证明由已知，
1
0 1 1 n n ...... 0
n n a α a α − a α a
− + + + + = .
两边取复共轭，又由于∈ n a ,a ,......, a 0 1 R，所以
1
0 1 1 n n ...... 0
n n a α a α − a α a
− + + + + = .
高等代数试题
设σ ∈L(V ),ξ ∈V ，并且α ，σ (α )，…，σ k −1 (α )都不等于零，但σ k (α ) = 0，证明：α ，
σ (α )，…，σ k −1 (α )线性无关
答案：按线性无关的定义证明
2、令F [x] n 表达一切次数不大于n 的多项式连同零多项式所成的向量空间，
σ : f (x)a f ' (x)，求σ 关于以下两个基的矩阵：
（1）1，x ，x 2，…，x n ，
（2）1，x −c ，
2!
(x −c)2
，…，
!
( )
n
x − c n
，c ∈F

答：（1）
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎣
⎡
0 0 0 0
0 0 0
0 0 2 0
0 1 0 0
L
L
L L L L L
L
L
n
（2）
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎣
⎡
0 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0
L
L
L L L L L
L
L
3、F 4表达数域F 上四元列空间取
⎥ ⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎣
⎡
−
−
−
− −
=
1 3 9 7
3 1 8 1
1 1 2 3
1 1 5 1
A 对于ξ ∈F 4，令σ (ξ ) = Aξ
求dim(ker(σ ))，dim(Im(σ ))
解：R(A) = 2，取F 4的一个基（如标准基），按列排成矩阵B，矩阵AB 的列向量恰是这
个基的象。又B ≠ 0，所以R(AB)＝R（A）＝2 所以dim(Im(σ ))＝2
dim(ker(σ )) =解空间的秩= 4 − R(A) = 2
4、设F 上三维向量空间的线性变换σ 关于基{ } 1 2 3 α ,α ,α 的矩阵是
⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢ ⎢
⎣
⎡
−
−
−
8 7 6
20 15 8
15 11 5
，求σ 关于基
3 1 2 3
2 1 2 3
1 1 2 3
2 2
3 4
2 3
β α α α
β α α α
β α α α
= + +
= + +
= + +
的矩阵
⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢ ⎢
⎣
⎡
= − =
3
2
1
B T 1AT
⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢ ⎢
⎣
⎡
=
1 1 2
3 4 2
2 3 1
T
5、令σ 是数域F 上向量空间V 的一个线性变换，并且满足条件，证明：（1）
ker(σ ) = {ξ −σ (ξ )ξ ∈V } （2）V = ker(σ )⊕ Im(σ )
证明：（1）∀α ∈{ξ −σ (ξ )ξ ∈V }，则
σ (α ) =σ (ξ −σ (ξ )) =σ (ξ ) −σ 2 (ξ ) =σ (ξ ) −σ (ξ ) = 0，α ∈Ker (σ )
反之，β ∈Ker (σ )，σ (β ) = 0，β = β −σ (β )∈{ξ −σ (ξ )ξ ∈V }
于是ker(σ ) = {ξ −σ (ξ )ξ ∈V }

∀α ∈V ,α = ξ −σ (ξ ) +σ (ξ )，即V = ker(σ ) + Im(σ )
设β ∈ ker(σ ) ∩ Im(σ ) 由β ∈ Im(σ ) ， 有ν ∈V ， 使得
σ (ν ) = β ,σ 2 (ν ) = σ (β ),因σ 2＝σ，所以σ（ν）＝σ（β）又β ∈ ker(σ )，所以
σ（β）＝0，于是σ（ν）＝0，即β＝0 所以ker(σ ) ∩ Im(σ )＝0
6、设
⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢ ⎢
⎣
⎡
− −
= − −
3 6 1
3 5 0
4 6 0
A ，求A10
解：特性值λ1＝λ2＝1，λ3＝− 2
特性向量ξ1＝（0，0，1）T ξ 2＝（− 2，1，0）T ，ξ3＝（−1，1，1）T
P＝（ξ1，ξ 2，ξ3）则P −1AP = Λ，A10 = PΛ10P−1