三角函数的积化和差与和差化积一素质教育目标市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

34 三角函数积化和差与和差化积三角函数积化和差与和差化积 一、素质教育目标一、素质教育目标(一)知识教学点1三角函数积化和差2三角函数和差化积 第1页(二)能力训练点1三角函数积化和差与和差化积，这两种互化，对于求三角函数值、化商三角函数式及三角函数式恒等变形，都有主要作用，它们作用和地位在三角函数值变形中是十分主要2积化和差与和差化积公式推导过程本身也利用了许多主要教学思想和方法，在课堂教学中应作为主要一环给予足够重视(三三)德育渗透点德育渗透点数学学习中，处处充满辩证法，和差化积与积化和差看似是一对矛盾，但它们又处于对立统一体中，这些公式中，从左到右为积化和差，而从右到左则成为和差化积在实际应用，他们又是相辅相成，经过这一内容教学，使学生受到一次辩证法实例教育，不失为一个好时机第2页二、教学重点、难点二、教学重点、难点1教学重点：理顺三角公式变换相互关系，掌握积化和差与和差化积公式推导过程，并能用它们处理一些实际问题，以及用好用活2教学难点：(1)公式推导(2)公式应用(3)三角式恒等变换普通规律三、课时安排三、课时安排4课时四、教与学过程设计四、教与学过程设计第3页第一课时第一课时 三角函数积化和差三角函数积化和差(一)复习和、差角正弦与余弦公式师：前阶段我们已学习了和差、倍、半角三角函数公式，请问学生回想一下这些三角公式推导，变换过程生：全部这些三角公式都是从一个公式演化而来，主要是证实了两角和余弦函数公式之后，利用换元法以及诱导公式，同角三角函数之间关系等而导出一系列公式来，他们相互之间是有紧密关系师：和、差、倍、半角三角函数是一组十分主要公式，它们在处理三角恒等变换等方面有许多主要应用不过，光是这些关系还不足以处理问题，今天我们还要深入把握它们内在联络，寻求新关系式(二)引入新课请学生说出正、余弦和差角公式(板书)第4页sin(+)=sincos+cossin(1)sin(-)=sincos-cossing(2)cos(+)=coscos-sinsin(3)cos(-)=coscos+sinsin(4)师：请同学们注意观察这四个公式，考虑一下能否利用这些公式得出一些新关系来生1：把(1)式与(2)式相加可得sin(+)+sin(-)=sincos生2：把(1)式与(2)式相减可得sin(+)-sin(-)=cossin师：(3)、(4)两式作类似加、减还能够得到：cos(+)+cos(-)=2coscos，cos(+)-cos(-)=-2sinsin师：若把这四个关系式整理一下，即可得到第5页以上这四个公式特征是把三角函数积形式转化为三角函数和、差形式，我们把上述公式称为三角函数积化和差公式积化和差公式功效能够把三角函数一个形式(积形式)转化为另一个形式(和差形式)，这种转化能够使得一些我们无法处理问题变成可能处理问题，它们在三角式变换中有很主要作用现在请同学们先翻开书本P227，先看看这段课文，尤其是注意公式函数，函数名、角形式等特征，记好这四个公式(五分钟阅读，让学生记忆)第6页师：现在暂停读书，这几个公式形式比我们过去学过其它三角公式要复杂一些，记好用好这些公式得有一段过程，当然，千万不要死记硬背，适当做一些练习，掌握这些公式实际应用，是能够逐步掌握它们让我们看看以下例题例题 求sin75cos15值请同学们想想有什么方法能够处理这个问题？生1：考虑到7515都是特殊角，所以想到使用积化和差公式处理之 师：很好，用我们刚才学过积化和差公式能够很方便地处理这个问题，请大家想想是否还有其它解法？生2：因为75与15互为余角，所以能够采取以下解法第7页生3：因为75与15能够由45与30组合而成，所以只要用到和差角三角函数公式就能够处理了师：从这个例题几个解法，我们能够看出，三角函数求值或恒等变换，往往能够从不一样角度考虑，进而使用不一样三角公式，取得问题处理，可谓殊途同归，不过我们考虑问题时，一定要依据条件及结论、选择适当方法，以求问题处理现在，请同学们取出课堂练习本，完成以下几个练习(三)课堂练习1求sin20cos70+sin10sin50值，2求cos37.5cos22.5值，第8页学生练习、教师巡视、答疑，对一些有困难学生作些提醒，适当初候，安排几个学生作板演练习题解法：1sin20cos70+sin10sin502 cos37.5cos22.5第9页而sin20sin40sin80第10页(四)课堂小结本节课，我们学习了三角函数积化和差公式，即使这些公式是新出现，但它和过去学习一些三角公式有亲密关系，所以首先应理清他们内在联络，这组公式功效能够把三角函数积形式转化为和差形式，经过例解及课堂练习，同学们也开始发觉这组公式作用，希望同学们在今后学习中记好、用好这一组公式五、作业五、作业P231中3；P236中1、2六、板书设计六、板书设计第11页第12页第二课时第二课时 三角函数和差化积三角函数和差化积 一、教与学过程设计(一)复习积化和差公式1请学生复述积化和差公式，教师板书2部分作业选讲 证实 cos2cossin5sin2=cos4cos3利用积化和差公式，可得第13页 求cos20、cos40、cos80值解法一第14页师：我们知道，每个数学公式都有两方面应用，即正用与逆用积化和差公式也不例外，那么，积化和差公式逆用应怎么称呼呢？生：应称为三角函数和差化积公式师：确实如此，这节课，我们就来学习三角函数和差化积公式(二)引入新课由三角函数积化和差公式逆用，我们可得以下几个公式：sin(+)+sin(-)=2sincos；sin(+)-sin(-)=2cossin；cos(+)+cos(-)=2coscos；cos(+)-cos(-)=-2sinsin为了突出这组公式是三角函数和差化积公式并能方便地记忆，可作以下换元：第15页这么我们就得到以下三角函数积化和差公式和差化积公式与积化和差公式相反，它能够把三角函数和差形式转化为积形式，从而取得问题处理如前面评讲作业，也能够一直由等式左边一直推到等式右边第16页例1 求sin42-cos12+sin54值分析：这是三角中常碰到问题，因为原题是三个三角函数和差形式，自然想到要使用和差化积公式，因为上述问题中现成同名角函数为sin42、sin54，因而普通做法是将这二个函数做和差化积(稍停顿)但本题若采取此法则无后续伎俩，问题处理将十分困难应该说这种思索方向是正确，但我们不是为和差化积而和差化积，而是为问题处理而和差化积，普通地说出现多个三角函数和差时，应选择能出现特殊角一组进行鉴于此，本题应采取下面解法解：原式=sin42-sin78+sin54=-2cos60sin18+sin54=cos54-sin18=2sin36sin18第17页师：进行到此，本题化简能进行下去吗？生：可试着使用正弦函数倍角公式化简2cos36sin18师：本题与前面例题形式上是差不多，请大家想一想该怎么解？生：(议论)用和差化积公式化简应是可行，因为本题三个函数都是余弦，而任两角和、差都不为特殊角，所以可任选其中两个先作和差化积 第18页提问一个学生，可得以下变形师：到此，下一步比较关键(指导学生讨论)，逐步统一到以下解法：第19页师：本题对初学和积互化关系式中是比较困难，采取一样方法也能够对1、3两项或2、3两项先使用和差化积公式，再利用余弦倍角深入完成本题本题还能够采取积化和差方法处理之第20页(三)小结和差化积公式左边全是同名函数和或差，只有负数绝对值相同同名函数和与差才能直接利用公式化成积形式，假如是一个正弦与一余弦和或差必须先用诱导公式化成同名函数后，再利用积化和差公式化成积形式不论是和差化积还是积化和差中“和差”与“积”，都是指得三角函数间关系，并不是角关系，这是必须十分清楚三角函数和差化积所要求最终结果，只要是三角函数积形式就能够了，不求形式上一致第21页碰到三个或三个以上三角函数和差化积或积化和差，能够先在其中二个函数中进行(碰到这种情况多半会组合出特殊角)，然后再与其它三角函数继续进行下去今天课上例2第二种解法主要适合用于三角函数式中角是等差，通常分子分母上同乘以公差二分之一正弦二、板书设计二、板书设计第22页第三课时第三课时 习题课习题课 三角函数是中学数学一个很主要学习内容，这二章(第三章与第四章)从介绍三角函数定义、性质、图象开始逐步深入，学习进程高潮迭起，尤其是从和、差、倍、半角三角函数直到三角函数和差化积与积化和差，既充分揭示了三角函数内在关系，且每组公式又都有它本身使用范围，另外三角函数这块内容又是学习其它数学分支主要工具，在函数研究、立体几何、代数及解析几何中都有广泛应用，学好三角函数是学好其它数学分支主要基础因为三角公式相当多，所以记忆和应用就显得十分主要，安排两节习题课目标，就是希望经过练习及比较，使学生能熟练掌握进行三角恒等变换普通方法(一)复习和差化积与积化和差公式(二)作业评讲1求cos20+cos100+cos140第23页=cos40+cos140=02ABC中，求证cos2A+cos2B+cos2C=-1-4cosAcosBcosC证实：A、B、C为ABC三内角A+B+C=，即C=-(A+B)原式左边=2cos(A+B)cos(A-B)+2cos2C-1=2cos(A+B)cos(A-B)+2cos2(A+B)-1=2cos(A+B)cos(A+B)+cos(A-B)-1=4cos(A+B)cosAcosC-1=-1-4cosAcosBcosC(三)范例选解例1 求sin220+cos250+sin20cos50值分析：本题有两个平方式，碰到三角函数平方式(包含三次，四次式等)，常利用余弦倍角公式作降次处理第24页(当然也能够把它们视为二个三角函数积做积化和差)作了以下处理后，即成为三角函数一次式和差了，自然做和差化积若又注意到本题结构，以下解法也是能够考虑原式=(sin20+sin40)2-sin20cos50=2sin30cos102-sin20cos50第25页当然，也能够这么配方原式=(sin20-sin40)2+3sin20cos50例题2 求ctg70+4cos70值分析：因为本题余切函数与余弦函数共存，首先应化切为弦，接着自然是要做通分，最终再考虑分子化简，因为分子三角函数系数不一样，一拆为二就是必定了第26页习题课上，教师主要讲以上二例，虽为例解，但应注意调动学生主动思索，注意学生提出问题以及学生提出处理方法，若方向对头应给予必定，若方法不妥也应帮助分析原因以下几个练习主要由学生完成，练习题预先写在幻灯片上，适时安排学生板演，习题课形式是讲讲、议议、练练(四)练习题第27页3tg10+sec50课堂练习题分析及解法：2类似本题条件，有两条路可供选择，其一是将两式两边分别平方后再相加，但这么处理所能得到是cos(-)值，但采取这么方法于事无补另一条路是把两个某式左边三角函数分别作和差化积可得到以下关系：第28页3本题若只是简单处理，可能会做不下去到此或许许多人就束手无策了，当然，这么做假如处理得法，还是会最终得到正确结果，不过计算太大了若注意到10、50分别与80、40互为余角，利用诱导公式可得以下解法第29页(四)小结三角函数恒等变换，因为三角公式较多、用起来也较活，所以应该掌握变形普通规律，而普通规律取得主要靠自己实践以及理性上升华。经过一个阶段学习与练习，应是有一定体会普通说三角变换问题，首先要关注问题中角，尤其是角和、差、倍、半关系，当然这些关系也不是一成不变，如适当初候，我们也能够把看作是第30页说三角函数恒等变换惯用规则是：化繁为简、化高为低(降次)，化复合角为单角(和差角公式)，化切割为弦，化大角为小角，和差化积，积化和差。全部这些希望同学们经过自己实践慢慢揣摸，它功效能够把任意函数而同角正、余弦函数转化为只含有一个函数形状，这个变换对于函数三角函数性质，诸如确定三角函数周期、最值、划分单调区间等都是十分有用，掌握好这个公式在一些看似困难问题都能巧妙地处理，所以书本P234中例12内容单独安排一节课思索：把以下各式化为只含有一个三角函数形式第31页(ii)-sinx+cosx，(iii)asinx+bcosx原式=cos60sinx-sin60cosx=sin(x-60)师：很好，象这么问题只要利用三角函数和差角公式即可了，和正弦，那么函数能分别看作正弦、余弦应具备什么条件？生：函数平方和必须为1师：那么，函数平方和不是1情况应怎样操作？后面练习将第32页这么这道题也能够这么处理：原式=sin30sinx-cos30cosx=-(cos30cosx-sin30sinx)=-cos(x+30)即使这两种做法最终结果形式也有差异，但它们实质也是相等，这两种解法结论都符合题意弦因为余弦值为正号、正弦值为负号，这么角终边位置在第四象限 第33页原式=sinxcos300-cosxsin300=sin(x+300)最终提及处理方法是处理这类问题通法，请同学们观察这种解法几何特征，希望大家在处理同类问题时统一地用这种解法现在再请一位同学提出第二题处理方法生2：因为本题函数平方和不为1，为了能将它们转化为正、余弦值，应考虑到(-1)2+12=2能够这么处理之师：很好，应该说你们已揣摸出解这类题真谛了，现在看看更普通形式，即练习3(继续请学生回答下列问题)生3：模仿练习二作法第34页第35页本，做以下几个练习，巩固公式变形，体会这个公式应用练习题：学生做练习，教师巡视、答疑、提醒，用时约15分钟，并请一些学生板演练习题解答第36页特殊角一次换式，很快可取得原题解答2求y=(1+sinx)(1+cosx)值域分析：首先去括号是必定，注意到(sinx+cosx)2=1+2sinxcosx原式可作以下转化，y=1+(sinx+cosx)+sinxcosx令sinx+cosx=t第37页t2(1+3y)+2t+1-y=0tR，=4-4(1-y)(1+3y)0可得3y2-2y0第38页另一个解法则是利用一次换式，简捷地处理问题解：由已知得2ycosx-y=sinx+1，sinx-2ycosx=-y-1y2+2y+11+4y2得 3y2-2y0，第39页(三)作业1读书P234中例12P2362书面作业P236中4，P238中7补充作业(3)半圆O直径为2，A是直径延长线上一点，OA=2，B是半圆上任一点，以AB为一边作正三角形ABC设AOB=，四边形OACB面积为S()，(1)求S()解析式(2)问B在什么位置时，四边形OACB面积最大并求最大面积第40页