两角和与差的三角函数市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

第1页一、两角和与差三角函数一、两角和与差三角函数二、二倍角公式二、二倍角公式(升幂公式升幂公式)(降次公式降次公式)sin()=sin cos cos sin cos()=cos cos sin sin-+tan()=tan tan 1 tan tan -+asin+bcos=a2+b2 sin(+)cos2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2 sin2=2sin cos tan2=2tan 1-tan2 sin2=1-cos2 2 cos2=1+cos2 2 第2页三、半角公式三、半角公式四、万能公式四、万能公式五、其它公式五、其它公式sin3=3sin-4sin3;cos3=4cos3-3cos;sin(60-)sin sin(60+)=sin3;14cos(60-)cos cos(60+)=cos3.14sin =1-cos 2 2 cos =1+cos 2 2 tan =1-cos 1+cos 2 =sin 1+cos=1-cos sin sin=2tan 2 1+tan2 2 tan=2tan 2 1-tan2 2 cos=1-tan2 2 1+tan2 2 第3页公式选择公式选择1.从函数名称考虑从函数名称考虑 切割化弦切割化弦(有时也可考虑有时也可考虑“弦化切弦化切”),异名化同名异名化同名(使函使函数名称尽可能统一数名称尽可能统一);2.从角特点考虑从角特点考虑 异角化同角异角化同角,抓住角之间规律抓住角之间规律(如互余、互补、和倍关系如互余、互补、和倍关系等等等等);3.从变换需要考虑从变换需要考虑 达到分解、化简或将条件与结论挂钩等目;4.尽可能避开讨论尽可能避开讨论 第4页惯用技巧与方法惯用技巧与方法1.变换常数项变换常数项 将常数变换成三角函数将常数变换成三角函数;2.变角变角 对命题中一些角进行分拆，从而使命题中角尽可能统一对命题中一些角进行分拆，从而使命题中角尽可能统一;3.升幂或降次升幂或降次 利用倍、半角公式进行升幂或降次变换利用倍、半角公式进行升幂或降次变换,从而改变三角函从而改变三角函数式结构数式结构;4.利用代数变换中惯用方法利用代数变换中惯用方法 因式分解、配方、凑项、添项、换元等等因式分解、配方、凑项、添项、换元等等.第5页三角函数式化简目标三角函数式化简目标1.项数尽可能少项数尽可能少;2.三角函数名称尽可能少三角函数名称尽可能少;3.角尽可能小和少角尽可能小和少;4.次数尽可能低次数尽可能低;5.分母尽可能不含三角式分母尽可能不含三角式;6.尽可能不带根号尽可能不带根号;7.能求出值求出值能求出值求出值.第6页经典例题经典例题 1.求求 sin220+cos250+sin20cos50 值值.思维精析思维精析 从幂入手从幂入手,用降幂公式用降幂公式.解法解法1 原式原式=+(sin70-sin30)1+cos100 21-cos40 212=-sin70sin30+sin70 1234=.34思维精析思维精析 从形入手从形入手,配成完全平方配成完全平方.=.3412解法解法2 原式原式=(sin20+cos50)2+cos250 3412=sin(50-30)+cos502+cos250 34=(sin50cos30)2+cos250 34思维精析思维精析 从角入手从角入手,化异角为同角化异角为同角.=.34解法解法3 原式原式=sin2(50-30)+cos250+sin(50-30)cos50=(sin50cos30-cos50sin30)2+cos250 +(sin50cos30-cos50sin30)cos50=(sin250+cos250)34第7页思维精析思维精析 从式入手从式入手,结构对偶式结构对偶式.解法解法4 设设 x=sin220+cos250+sin20cos50,=.34思维精析思维精析 从三角形入手从三角形入手,结构图形结构图形,利用正余弦定理利用正余弦定理.解法解法5 设设 ABC 外接圆半径为外接圆半径为 1,A=20,B=40,y=cos220+sin250+cos20sin50.则则 x+y=2+sin70 ,x-y=-cos40+cos100-sin30 .x=(2+sin70-cos40+cos100-sin30)12=(+sin70-2sin70sin30)1232则则 C=120.由正余弦定理知由正余弦定理知:原式原式=sin220+sin240+sin20sin40 =sin220+sin240-2sin20sin40cos120 =sin2120=.34得得:2+sin220+cos250+sin20cos50 值为值为 .341.求求 sin220+cos250+sin20cos50 值值.第8页 2.已知已知 ,cos(-)=,sin(+)=-,求求 sin2 值值.2 43 131235解解:,2 43 0-,+0,cos(+)0,第9页3.已知已知sin+cos=2sin,sin cos=sin2,求证求证:2cos2=cos2.4.已知已知 sin=msin(2+),其中其中 m 0,2+k(k Z),求证求证:tan(+)=tan.1-m 1+m 证证:sin+cos=2sin,(sin+cos)2=4sin2.1+2sin cos=2(1-cos2).sin cos=sin2,1+2sin2=2(1-cos2).1+1-cos2=2(1-cos2).2cos2=cos2.证证:sin=msin(2+),m=.sin sin(2+)=tan(+).tan=tan 1-m 1+m sin(2+)+sin sin(2+)-sin =tan 2sin(+)cos 2cos(+)sin tan(+)=tan.1-m 1+m 第10页另证另证:sin=msin(2+),sin(+)-=msin(+)+.sin(+)cos-cos(+)sin 整理得整理得(1-m)sin(+)cos=(1+m)cos(+)sin.=msin(+)cos+cos(+)sin.tan(+)=tan.1-m 1+m 4.已知已知 sin=msin(2+),其中其中 m 0,2+k(k Z),求证求证:tan(+)=tan.1-m 1+m 第11页 5.已知已知 tan,cot 是关于是关于 x 方程方程 x2-kx+k2-3=0 两实根两实根,且且 3 0.3 0,tan 0,(0,),0 ,.2 2 -0,-.2 -2-0.2-=-.43 由由 tan(2-)=1 知知 注注 亦可由亦可由 tan 1 得得 0 .4 02 .2 -2-0.第13页7.计算计算 -+64sin220.sin220 3cos220 1sin220cos220 3cos220-sin220解解:原式原式=+64sin220sin220cos220(3cos20+sin20)(3cos20-sin20)=+64sin220 sin240 16sin80sin40=+64sin220=32cos40+64sin220=32(1-2sin220)+64sin220=32.第14页 8.已知已知 sin2=(-(-)-),函数函数 f(x)=sin(-x)-sin(+x)+2cos.(1)求求 cos 值值;(2)若若 f-1(x)表示表示 f(x)在在-,上反函数上反函数,试求试求 f-1(-)值值.342 352 2 1010 2 解解:(1)-,-2-.3432cos 0,cos2 0.由已知可得由已知可得 cos2=-.45故由故由 cos2=2cos2-1 得得 cos=-.1010(2)f(x)=sin(-x)-sin(+x)+2cos=-2cos sinx+2cos =-2cos(sinx-1)=(sinx-1).10 5 1010 由由 (sinx-1)=-得得 10 5 sinx=.122 2 x-,x=.6 6 f-1(-)=.1010 第15页解法解法1 sin22+sin2 cos-cos2=1,4sin2 cos2+2sin cos2=2cos2.1.已知已知 sin22+sin2 cos-cos2=1,(0,),求求 sin,tan 值值.2 cos2(2sin2+sin-1)=0cos2(2sin-1)(sin+1)=0.(0,),2 cos2 0,sin+1 0.2sin-1=0.sin=.12=.6 tan=.33故故 sin,tan 值分别为值分别为 和和 .3312解法解法2 sin22+sin2 cos-cos2=1,sin2 cos-cos2=1-sin22=cos22.2sin cos2=2cos2 cos2.(0,),2 cos2 0.sin=cos2.即即 cos(-)=cos2.2 -(0,),2 (0,),且且 y=cosx 在在(0,)内是减函数内是减函数,2 2 -=2.2 =.6 sin=,tan=.1233课后练习课后练习第16页解法解法3 由已知由已知 sin22+sin2 cos-cos2-1=0,可看作关于可看作关于 sin2 一元二次方程一元二次方程.解这个解这个一元二次方程得一元二次方程得:sin2=-cos cos2+4(1+cos2)2=.-cos 3cos 2 (0,),2 sin2=cos.即即 2sin cos=cos.=.6 tan=.33sin=.12 1.已知已知 sin22+sin2 cos-cos2=1,(0,),求求 sin,tan 值值.2 故故 sin,tan 值分别为值分别为 和和 .3312第17页 2.已知已知 cos=-,cos(+)=,且且 (,),+(,2),求求 .131226 17 2 23 23 23 23 解解:(,),+(,2),(0,).26 7 2 又由已知得又由已知得 sin=-,sin(+)=-,135cos=cos(+)-=cos(+)cos+sin(+)sin =(-)+(-)(-)131213526 17 2 26 7 2 =-.22=.43 第18页 3.已知已知 tan(+)+tan=a,cot(+)+cot=b,求证求证:ab(ab-4)=(a+b)2.4 4 证证:a=cos(+)cos sin(+)4 4 =,cos(+)cos sin(+2)4 4 b=.sin(+)sin sin(+2)4 4 4 sin(+)sin cos(+)cos sin2(+2)4 4 ab=2 sin(+2)sin2 21-cos(+4)2 cos2 sin2 2(1+sin4)sin4 4(1+sin4)=.ab-4=.sin4 4 sin24 16(1+sin4)ab(ab-4)=.4 4 又又a+b=tan(+)+cot(+)+tan+cot =+2 sin(+2)2 sin2 2 cos2 2=+sin2 2 sin4 4(sin2+cos2)=,第19页(a+b)2=sin24 16(sin2+cos2)2 sin24 16(1+sin4)=.ab(ab-4)=(a+b)2.4.已知已知 sin(+2)sin(-2)=,(,),求求 2sin2+tan -cot-1 值值.2 4 4 144 解解:由已知由已知 =sin(+2)sin(-2)144 4 =sin(+2)cos(+2)4 4 =sin(+4)2 12=cos4.12cos4=.12 (,),4 2 =.12 5 2sin2+tan-cot-1=-cos -2cot 65 65=-cos2-2cot2 =+2 3 32=3.52=cos +2cot6 6 第20页 5.设设 ,是锐角是锐角,且且 tan =tan3 ,tan=tan.求证求证:,成等差数列成等差数列.2 2 12证证:由已知由已知tan=tan 12tan 1-tan2 2 2 =tan (1+tan2 )(1-tan2 )(1+tan2 )2 2 =2 2 2 tan +tan 1-tan tan 2 2 =2 2 +=tan .,是锐角是锐角,都是锐角都是锐角.2 +2 +=tan 故由故由 tan 知知:=.2 +,成等差数列成等差数列.tan +tan3 1-tan tan3 2 2 =2 2 第21页 6.已知已知 tan(+)=.(1)求求 tan 值值;(2)求求 值值.sin2-cos2 1+cos2 124 12解解:(1)tan(+)=,且且 tan(+)=,4 4 1+tan 1-tan 1+tan 1-tan 12 =.解得解得 tan=-.13(2)原式原式=2sin cos-cos2 1+2cos2-1 2sin-cos 2cos =12=tan-13=-12=-.56第22页 7.已知已知 6sin2+sin cos-2cos2=0,),求求sin(2+)值值.2 3 解解:6sin2+sin cos-2cos2=0,(3sin+2cos)(2sin-cos)=0.3sin+2cos=0 或或 2sin-cos=0.又由已知得又由已知得 cos 0,2 .2 (,),从而从而 tan 0.tan=-.23sin(2+)=sin2 cos +cos2 sin 3 3 3 =sin cos+(cos2-sin2)32sin cos cos2+sin2 cos2-sin2 cos2+sin2 =+32=+tan 1+tan2 1-tan2 1+tan2 32=-+3.136265第23页 8.已知函数已知函数 f(x)=-,(1)将将 f(x)表示成表示成 cosx 整式整式;sin2sin25x 2x 12 (2)若若 y=f(x)与与 y=g(x)=cos2x+a(1+cosx)-cosx-3 图象在图象在(0,)内最少有一个公共点内最少有一个公共点,试求试求 a 取值范围取值范围.sin -sin2sin25x 2x 12解解:(1)f(x)=-=sin2sin25x 2x 2x 2cos sinx2sin23x2x=2cos cos23x2x=cos2x+cosx =2cos2x+cosx-1.第24页解解:由由 f(x)=g(x)得得 2cos2x+cosx-1 即即 a(1+cosx)=cos2x+2cosx+2 x(0,),01+cosx2.a=1+cosx+2.1+cosx 1仅当仅当 1+cosx=,即即 cosx=0,亦即亦即 x=时取等号时取等号.2 1+cosx 1故故 a 取值范围是取值范围是 2,+).(2)若若 y=f(x)与与 y=g(x)=cos2x+a(1+cosx)-cosx-3 图象在图象在(0,)内最少有一个公共点内最少有一个公共点,试求试求 a 取值范围取值范围.=cos2x+a(1+cosx)-cosx-3.=(1+cosx)2+1.第25页