1、 数学物理方程数学物理方程主讲:吴建成第第1页页第第2页页 Ch1 Ch1 绪绪 论论第第3页页1 基本概念第第4页页一、基本概念与定义一、基本概念与定义偏微分方程:偏微分方程:指含有未知函数以及未知函数一些偏指含有未知函数以及未知函数一些偏导数等式导数等式(描述自变量、未知函数及其偏导数之间关描述自变量、未知函数及其偏导数之间关系系);PDF阶:阶:出现在出现在PDF中最高阶偏导数阶数;中最高阶偏导数阶数;普通形式为普通形式为 。注:注:F能够不显含自变量和未知函数,但必须含有未能够不显含自变量和未知函数,但必须含有未知函数某个偏导数。知函数某个偏导数。第第5页页微分方程分类:微分方程分类:
2、1、假如方程关于未知函数及其各阶偏导数是线性、假如方程关于未知函数及其各阶偏导数是线性 ,则称此方程为,则称此方程为线性方程线性方程,反之称为,反之称为非线性方程;非线性方程;2、如非线性方程对未知函数、如非线性方程对未知函数全部最高阶偏导数总全部最高阶偏导数总 体体来说是线性,则称它为来说是线性,则称它为拟线性方程拟线性方程;3、如非线性方程中方程对未知函数最高阶偏导、如非线性方程中方程对未知函数最高阶偏导 数不是线性,则称它为数不是线性,则称它为完全非线性方程完全非线性方程;4、对线性偏微分方程而言,将方程中不含未知函数、对线性偏微分方程而言,将方程中不含未知函数及其偏导数项称为及其偏导数
3、项称为自由项自由项。当自由项为零时,该方程。当自由项为零时,该方程称为称为齐次方程,齐次方程,不然称为不然称为非齐次方程。非齐次方程。第第6页页例1 判断以下方程类型:一阶线性一阶线性一阶拟线性一阶拟线性三阶拟线性三阶拟线性一阶非线性一阶非线性二阶拟线性二阶拟线性第第7页页微分方程解:微分方程解:形式解形式解:未经过验证解为形式解。:未经过验证解为形式解。特解特解:经过定解条件确定了解中任意常数后得到解。:经过定解条件确定了解中任意常数后得到解。通解通解:解中含有相互独立和偏微分方程阶数相同任意:解中含有相互独立和偏微分方程阶数相同任意常数解。常数解。古典解古典解:假如将某个函数:假如将某个函
4、数 u 代入偏微分方程中,能使代入偏微分方程中,能使方程成为恒等式,则这个函数就是该偏微分方程解。方程成为恒等式,则这个函数就是该偏微分方程解。第第8页页例2 验证是方程是方程解,其中解,其中f,g是任意两个二阶是任意两个二阶连续可微函数,连续可微函数,a为正常数。为正常数。解:解:故故移项即证。移项即证。第第9页页 2 三类经典方程导出第第10页页一、一、弦振动方程 十八世纪达朗贝尔十八世纪达朗贝尔(DAlembert)(DAlembert)等人首先讨论了等人首先讨论了以下弹性弦振动问题。以下弹性弦振动问题。设有一根均匀柔软细弦,平衡时沿直线拉紧,而设有一根均匀柔软细弦,平衡时沿直线拉紧,而
5、后以某种方法激发,使弦在铅直平面内作微小振动。后以某种方法激发,使弦在铅直平面内作微小振动。求弦上各点运动规律。求弦上各点运动规律。将实际问题归结为数学模型时,必须作一些理想化将实际问题归结为数学模型时,必须作一些理想化假设,方便抓住问题最本质特征。在考查弦振动问题假设,方便抓住问题最本质特征。在考查弦振动问题时基本假设为时基本假设为:1.均匀细弦了解为弦直径与弦长度相比能够忽略,均匀细弦了解为弦直径与弦长度相比能够忽略,以至能够将弦视为一条曲线,它线密度以至能够将弦视为一条曲线,它线密度为常数。为常数。第第11页页2.2.弦在一平面内作微小横振动,即弦位置一直在一平弦在一平面内作微小横振动,
6、即弦位置一直在一平面内一条直线段附近,且弦振动幅度及弦在任意位面内一条直线段附近,且弦振动幅度及弦在任意位置处切线倾角都很小。置处切线倾角都很小。3.3.柔软弦能够假设为弦在形变时不抵抗弯曲,弦上各柔软弦能够假设为弦在形变时不抵抗弯曲,弦上各质点间张力方向与弦切线方向一致,而弦伸长形变质点间张力方向与弦切线方向一致,而弦伸长形变与张力关系服从胡克与张力关系服从胡克(Hooke)(Hooke)定律定律.我们取弦平衡位置为我们取弦平衡位置为x x轴,建立如图所表示坐标系。轴,建立如图所表示坐标系。设设 u(x,t)u(x,t)是坐标为是坐标为x x弦上一点在弦上一点在t t时刻时刻(横向横向)位移
7、,在弦上任取一位移,在弦上任取一小段小段x,x+xx,x+x,这一段弧长为:,这一段弧长为:第第12页页由假设由假设2 2可知,可知,很小,于是很小,于是 与与1 1相比能够忽略相比能够忽略不计,不计,从而从而弧段弧段NMNM在在x轴方向受力总和为轴方向受力总和为 。因为弦只作横向振动,所以因为弦只作横向振动,所以 。因为弦作微小振动,依据假设因为弦作微小振动,依据假设2 2知知 都很小,从而都很小,从而 所以能够近似地得到所以能够近似地得到 。弧段弧段NMNM在在u u轴方向受力总和为轴方向受力总和为 第第13页页注意到注意到 都很小,所以都很小,所以 且弧段且弧段NMNM在在u方向时刻方向
8、时刻t运动加速度为运动加速度为 ,小弧,小弧段质量为段质量为 ,所以所以即即也就是也就是第第14页页当当 时取极限,得时取极限,得 即即 普通说来,张力较大时弦振动速度改变较快,即普通说来,张力较大时弦振动速度改变较快,即 要比要比 g大得多,所以又能够把大得多,所以又能够把g略去。经过这么逐略去。经过这么逐步略去一些次要量,抓住主要量。最终得到步略去一些次要量,抓住主要量。最终得到 u(x,t)应近应近似地满足方程似地满足方程 这里这里 。(1)式称为一维波动方程式称为一维波动方程第第15页页 假如弦还在横向假如弦还在横向(位移位移 u方向方向)受到外力作用。受到外力作用。设在时刻设在时刻
9、t弦上弦上 x点处外力密度为点处外力密度为 F(x,t)。仿照前面。仿照前面推导,有推导,有 这里这里 。方程方程(2)与与(1)差异在于差异在于(2)右端多了一个与未知函数右端多了一个与未知函数u(x,t)无关项,这个项称为自由项。我们把含有自由无关项,这个项称为自由项。我们把含有自由项方程称为非齐次方程。自由项恒等于项方程称为非齐次方程。自由项恒等于0方程称为齐方程称为齐次方程。次方程。(1)为齐次一维波动方程,为齐次一维波动方程,(2)为非齐次一维为非齐次一维波动方程。波动方程。第第16页页 类似地,能够推出均匀薄膜横振动满足二维波动方类似地,能够推出均匀薄膜横振动满足二维波动方程程其中
10、其中 是薄膜在时刻是薄膜在时刻t和和 处位移;处位移;,T为张力,为张力,为薄膜面密度;为薄膜面密度;表示表示t时刻、单位质量膜在时刻、单位质量膜在处所受垂直处所受垂直为为Oxy平面平面上有界区域。有界区域。方向外力;方向外力;第第17页页 依据电磁场理论中麦克斯韦方程,能够推出电场依据电磁场理论中麦克斯韦方程,能够推出电场E和磁场和磁场H满足三维波动方程满足三维波动方程 其中其中c是光速。是光速。第第18页页二、热传导方程二、热传导方程 当一个物体内部各点温度分布不均匀时,热量当一个物体内部各点温度分布不均匀时,热量会从温度高地方向温度低地方流动,这种现象称会从温度高地方向温度低地方流动,这
11、种现象称为热传导。因为热传导过程总是表现为温度随时间和为热传导。因为热传导过程总是表现为温度随时间和未知变量而改变,所以处理热传导问题,归结为求未知变量而改变,所以处理热传导问题,归结为求物体内温度分布问题。物体内温度分布问题。在物体在物体中任取一小区域为中任取一小区域为V,它外,它外表曲面为表曲面为 ,如图所表示。,如图所表示。热场热场第第19页页 假设区域假设区域V内点内点M(x,y,z)处于时刻处于时刻 t 温度为温度为 u(x,y,z,t),n为曲面元素为曲面元素dS单位外法向量。由热传导学中单位外法向量。由热传导学中Fourier试验定律知:物体在无穷小时间试验定律知:物体在无穷小时
12、间dt内流过一个内流过一个无穷小面积元无穷小面积元dS热量热量dQ与时间与时间dt,热流经过面积,热流经过面积dS及及u沿沿dS法向方向导数法向方向导数 成正比,即成正比,即 其中其中k=k(x,y,z)称为物体在点称为物体在点M(x,y,z)处热传导系数处热传导系数,取正值。上式负号表示热流流向是温度梯度相,取正值。上式负号表示热流流向是温度梯度相反方向。反方向。第第20页页 当物体均匀且各向同性时,可令热传导系数当物体均匀且各向同性时,可令热传导系数k,物物体密度体密度,比热,比热c都为常数。利用上面关系,在时间段都为常数。利用上面关系,在时间段 内,经过曲面内,经过曲面 流入区域流入区域
13、V V 全部热量为:全部热量为:依据散度定理得,依据散度定理得,假如物体内有热源,设在单位时间内单位体积假如物体内有热源,设在单位时间内单位体积所产生热量为所产生热量为F(x,y,z,t),),则在则在 内热源放出热量内热源放出热量为:为:第第21页页 流入热量和物理内部热源产生热量使流入热量和物理内部热源产生热量使V内温度发生内温度发生改变。区域改变。区域V在时间间隔在时间间隔 内各点温度从内各点温度从 改变到改变到 。于是在。于是在 内内V内温度升内温度升高所需热量为:高所需热量为:由能量守恒定律,有由能量守恒定律,有 ,即,即第第22页页 因为时间间隔因为时间间隔 及区域及区域V都是任意
14、都是任意,而且被积,而且被积函数都是连续,所以函数都是连续,所以 令令 ,得得称(称(6)为三维热传导方程。假如物体内部没有热源)为三维热传导方程。假如物体内部没有热源,即,即 f 0,则得齐次热传导方程则得齐次热传导方程 第第23页页注注1 1:在前面所讨论热传导问题中,作为特例,如在前面所讨论热传导问题中,作为特例,如果所考虑物体是一根细杆或一块薄板,或者即使不果所考虑物体是一根细杆或一块薄板,或者即使不是细杆或薄板,而其中温度是细杆或薄板,而其中温度u只与只与x和和t,或只与,或只与x,y和和t相关,则方程(相关,则方程(7 7)就变成一维热传导方程)就变成一维热传导方程 或二维热传导方
15、程或二维热传导方程注注2:即使我们习惯上称式(即使我们习惯上称式(7)为热传导方程,但在)为热传导方程,但在生产实际中还有很多现象都能够用这种方程来描述。生产实际中还有很多现象都能够用这种方程来描述。比如在电学中,海底电缆电压比如在电学中,海底电缆电压 e 也满足方程也满足方程 第第24页页其中其中 k=RC,R为电阻,为电阻,C为电容。又如导电线圈在为电容。又如导电线圈在所围柱体内磁场所围柱体内磁场H满足方程满足方程 其中其中 ,c为光速,为光速,为磁导率,为磁导率,为电容率。为电容率。在研究物质在液体中扩散现象时,扩散物质在研究物质在液体中扩散现象时,扩散物质浓度浓度N(单位体积中扩散物质
16、含量单位体积中扩散物质含量)也满足方程也满足方程 其中其中D D是扩散系数,所以也称热传导方程为扩散方程。是扩散系数,所以也称热传导方程为扩散方程。第第25页页三、三、Laplace方程方程 在上面研究温度分布问题中,假如经过相当长时间后,区域内各点温度随时间改变所发生改变已不显著,在数学上可近似看作 ,这时我们说温度分布趋于定常,则此时热传导方这时我们说温度分布趋于定常,则此时热传导方程变为程变为上式称为三维上式称为三维Laplace方程。方程。若记若记Hamilton算子为算子为第第26页页 波动方程,热传导方程和波动方程,热传导方程和Laplace方程是我们今后方程是我们今后着重研究三类
17、方程,许多物理现象可归结为这三类着重研究三类方程,许多物理现象可归结为这三类经典方程。经典方程。称称 为为Laplace算符,则上式变为算符,则上式变为记记称方程 为三维泊松方程。在电学中,该方程为电位满足方程,其中在电学中,该方程为电位满足方程,其中 ,为电荷密度。为电荷密度。第第27页页 3 定解条件与定解问题第第28页页 其中其中 为已知函数。我们称(为已知函数。我们称(1 1)为)为 应满足初始条件。应满足初始条件。一、弦振动问题定解条件一、弦振动问题定解条件1 1、初始条件、初始条件 方程(方程(1 1)或()或(2 2)描述了弦振动普通规律,但)描述了弦振动普通规律,但是弦振动详细
18、情况还与弦两端约束情况以及弦上是弦振动详细情况还与弦两端约束情况以及弦上各点在初始时刻位移和速度相关,即还需附加边界各点在初始时刻位移和速度相关,即还需附加边界条件和初始条件。条件和初始条件。设弦在开始时刻位于点设弦在开始时刻位于点x x位移为位移为 ,初速度为,初速度为 。即。即 第第29页页 普通地,一个方程假如其关于时间导数最高普通地,一个方程假如其关于时间导数最高阶导数为阶导数为n n,则对应初始条件需要给出未知函数关,则对应初始条件需要给出未知函数关于时间直到于时间直到n-1n-1阶导数全部初始时刻值。阶导数全部初始时刻值。2 2、边界条件、边界条件 (1 1)为了确定弦运动还需给出
19、边界条件。最简为了确定弦运动还需给出边界条件。最简单边界条件为已知端点位移规律,即单边界条件为已知端点位移规律,即 其中其中 为两个已知函数。这种边界条件被称为两个已知函数。这种边界条件被称为狄利克雷为狄利克雷(Dirichlet)边界条件(也称为第一类边边界条件(也称为第一类边值条件)。值条件)。第第30页页 尤其地,假如在整个振动过程中弦两端保持固定尤其地,假如在整个振动过程中弦两端保持固定,即,即 都恒为都恒为0 0时,称为第一类齐次边值条件时,称为第一类齐次边值条件。也就是。也就是 (2)在前面所讨论弦振动问题中,若弦一段在前面所讨论弦振动问题中,若弦一段(比如(比如x=0)在)在u轴
20、方向上自由滑动,且不受垂直方轴方向上自由滑动,且不受垂直方向外力。这种边界称为自由边界。因为在向外力。这种边界称为自由边界。因为在 x=0处处张力分量为张力分量为 ,于是,于是 第第31页页 若边界张力沿若边界张力沿u方向分量是关于时间方向分量是关于时间t一个已一个已知函数知函数w(t),则对应,则对应 边界条件为边界条件为 这种类型边界条件称为诺伊曼(这种类型边界条件称为诺伊曼(Neumann)边)边界条件,也称为第二类界条件,也称为第二类 边界条件。边界条件。(3)若弦一端束缚在与若弦一端束缚在与Ox轴垂直弹簧上,弹轴垂直弹簧上,弹簧弹性系数为簧弹性系数为k。u在在 x=l值表示该弹性支承
21、在该值表示该弹性支承在该点伸长。点伸长。弦在支承拉力垂直方向分为弦在支承拉力垂直方向分为 。第第32页页由由Hooke定律,有定律,有 所以在弹性支承情况下,边界条件归结为所以在弹性支承情况下,边界条件归结为 其中其中 为已知函数。为已知函数。在数学中还能够考虑更普遍边界条件在数学中还能够考虑更普遍边界条件 其中其中h(t)为已知函数。为已知函数。(6)(7)(6)(7)称为第三类边界条件,称为第三类边界条件,也称洛平也称洛平(Robin)边界条件。边界条件。第第33页页 边界条件和初始条件统称为定解条件,其中边界条件和初始条件统称为定解条件,其中(2)(2)(5)(7)(5)(7)称为非齐次
22、边界条件,称为非齐次边界条件,(3)(4)(6)(3)(4)(6)称为齐次边称为齐次边界条件。一个偏微分方程及其附加定解条件组成界条件。一个偏微分方程及其附加定解条件组成一个定解问题。在以后讨论中,我们把定解问题一个定解问题。在以后讨论中,我们把定解问题中方程有时也称为泛定方程。中方程有时也称为泛定方程。第第34页页二、热传导方程定解条件二、热传导方程定解条件 显然与弦振动问题类似,单靠一个微分方程还不足显然与弦振动问题类似,单靠一个微分方程还不足以完全确定一个特定物理过程。我们知道,对于一个以完全确定一个特定物理过程。我们知道,对于一个物体,在一个确定传热过程中,它温度分布依赖于开物体,在一
23、个确定传热过程中,它温度分布依赖于开始时刻温度和物体表面上温度,所以还须对方程附加始时刻温度和物体表面上温度,所以还须对方程附加对应初值条件和边值条件。对应初值条件和边值条件。初始条件初始条件下能够写成:下能够写成:其中其中 为已知函数,它描述物体在为已知函数,它描述物体在 t=0=0 时刻时刻温度分布。温度分布。关于关于边界条件边界条件,从物理现象发生过程来看有三种,从物理现象发生过程来看有三种情况:情况:第第35页页情形情形1 1:若物体若物体 表面表面 温度分布已知,这时温度分布已知,这时可归结为第一类边界条件:可归结为第一类边界条件:其中其中 是给定在是给定在 上已知函数。上已知函数。
24、情形情形2:若已知物体若已知物体 表面上每一点热流密度表面上每一点热流密度q,也就,也就是经过边界曲面是经过边界曲面 上单位面积单位时间内热量已知,上单位面积单位时间内热量已知,这实际上表示温度这实际上表示温度 u 沿边界曲面沿边界曲面 法向导数是已知,法向导数是已知,这时能够归结为第二类边界条件:这时能够归结为第二类边界条件:其中其中 是给定在是给定在 上已知函数。上已知函数。第第36页页 尤其,如物体尤其,如物体 边界是绝热,即物体与周围介质无边界是绝热,即物体与周围介质无热交换,于是热交换,于是 ,这时归结为第二类齐次边界,这时归结为第二类齐次边界条件:条件:情形情形3:若已知经过若已知
25、经过 与周围介质发生热量交换。与周围介质发生热量交换。不妨设周围介质在物体表面温度为不妨设周围介质在物体表面温度为 ,则,则物体物体 和外部介质温度差为:和外部介质温度差为:此时会产生热量流动。依据牛顿热交换定律:在无穷此时会产生热量流动。依据牛顿热交换定律:在无穷小时段内,经过物体小时段内,经过物体 表面无穷小面积表面无穷小面积 dS流出流出第第37页页(入)到周围介质中热量和物体与介质在接触面上(入)到周围介质中热量和物体与介质在接触面上温度差成正比。即温度差成正比。即 这里这里 为热交换系数。为热交换系数。由傅里叶定律,应有由傅里叶定律,应有 。依据热量守恒定律,得依据热量守恒定律,得
26、即即 其中其中 。第第38页页 对于拉普拉斯方程和泊松方程,因为是描述稳恒状态,与时间无关,所以不提初始条件,只提边界条件,其边界条件与前面两类方程类似。三、三、Laplace方程定解条件方程定解条件四、定解问题四、定解问题 把某种物理现象满足偏微分方程和其对应定解条件把某种物理现象满足偏微分方程和其对应定解条件结合在一起,就组成了一个结合在一起,就组成了一个定解问题定解问题。(1)初始问题:只有初始条件,没有边界条件定解(2)问题;(2)边值问题:没有初始条件,只有边界条件定解 问题;第第39页页(3)混合问题:现有初始条件,也有边界条件定解 问题。例:无限长弦振动定解问题热传导方程定解问题
27、拉普拉斯方程和泊松方程拉普拉斯方程和泊松方程定解问题只提边值问题定解问题只提边值问题第第40页页 4 定解问题适定性第第41页页 任何一个定解问题,尤其是从一些物理过程引发任何一个定解问题,尤其是从一些物理过程引发定解问题,应该含有一定现实性、确定性以及迫近定解问题,应该含有一定现实性、确定性以及迫近性。所谓现实性,指这个问题有解存在;所谓确定性性。所谓现实性,指这个问题有解存在;所谓确定性,指这个问题不至于有没有穷多解,通常只要求唯一,指这个问题不至于有没有穷多解,通常只要求唯一解;所谓可迫近性,指这个问题可借助于较可行方解;所谓可迫近性,指这个问题可借助于较可行方法近似求解,因为附加条件数
28、据普通只能近似法近似求解,因为附加条件数据普通只能近似给出。从数学上看,判断一个定解问题是否合理,既给出。从数学上看,判断一个定解问题是否合理,既是否能够描述给定物理状态,普通来说有以下三个是否能够描述给定物理状态,普通来说有以下三个标准:标准:(1)(1)解存在性解存在性(existence):所给定定解问题最少存:所给定定解问题最少存 在一个解;在一个解;(2)(2)解唯一性解唯一性(uniqueness):所给定定解问题至:所给定定解问题至 多存在一个解多存在一个解 ;第第42页页 定解问题存在性、唯一性和稳定性统称为定解定解问题存在性、唯一性和稳定性统称为定解问题问题适定性适定性。一个
29、定解问题若存在唯一、稳定。一个定解问题若存在唯一、稳定解,则称该问题是适定;不然是不适定。解,则称该问题是适定;不然是不适定。(3)(3)解稳定性解稳定性(stability):当给定条件以及方程中系数:当给定条件以及方程中系数有微小变动时,对应解也只有微小变动。有微小变动时,对应解也只有微小变动。解稳定性也称为解关于参数连续依赖性。解稳定性也称为解关于参数连续依赖性。Hadamard例例(1930年代年代)这个初始问题有解这个初始问题有解此定解问题是适定此定解问题是适定不适定问题求解是不适定问题求解是当前一个研究课题,当前一个研究课题,有很主要应用。有很主要应用。第第43页页 5 线性叠加原
30、理第第44页页 物理上,几个不一样原因综合所产生效果等于这些不一样原物理上,几个不一样原因综合所产生效果等于这些不一样原因单独产生效果累加。比如几个外力作用在一个物体上所产生因单独产生效果累加。比如几个外力作用在一个物体上所产生加速度能够用单个外力各自单独作用在该物体上所产生加速度加速度能够用单个外力各自单独作用在该物体上所产生加速度相加而得到。此原理称为相加而得到。此原理称为叠加原理(叠加原理(Superposition Superposition PrinciplePrinciple)。叠加原理对于用线性方程和线性定解条件描述物。叠加原理对于用线性方程和线性定解条件描述物理现象来说,都是成
31、立。理现象来说,都是成立。对于线性算子对于线性算子L,以下叠加原理成立。,以下叠加原理成立。定理定理1.1.若若 满足线性方程满足线性方程 则它们线性组合则它们线性组合 满足方程满足方程第第45页页 定理定理1.2.1.2.若若 满足线性方程满足线性方程 且且 收敛。且算子收敛。且算子L中出现偏导数与求和能够交换次序中出现偏导数与求和能够交换次序(如如 这些偏导这些偏导数连续,数连续,且对应无穷级数一致收敛,则求导与求无穷和可交换次序且对应无穷级数一致收敛,则求导与求无穷和可交换次序),那么,那么u 满足方程满足方程 尤其地,若尤其地,若 满足齐次方程(满足齐次方程()或齐次定解条)或齐次定解
32、条件(件(),则,则 也满足该齐次方程或齐次定也满足该齐次方程或齐次定解条件。解条件。以上两个叠加原理证实是任意,只需把微分算子与求和运以上两个叠加原理证实是任意,只需把微分算子与求和运算交换次序即可。算交换次序即可。第第46页页练习练习1、偏微分方程与、偏微分方程与 结合在一起,称为初值问题;结合在一起,称为初值问题;2、定解问题称为适定,若它、定解问题称为适定,若它 ;3、设弦一端在、设弦一端在x=0处固定,另一端在处固定,另一端在x=l处做自由运处做自由运动。则弦振动问题边界条件为动。则弦振动问题边界条件为 。答案答案1、初始条件;、初始条件;2、存在唯一且稳定解;、存在唯一且稳定解;3、。第第47页页