2022年概率论与数理统计第二学期期末考试卷及答案.doc

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大 学 试 卷
学年第二学期期末考试
《 概率论与数理统计（54学时）》（A卷）
（本次考试允许使用计算器）
班级 学号 姓名 总分
题 目
一
二

得 分

阅卷人

， ， ， ，
, ,，,
,
一、填空题（共5题，每题4分，共20分）请将正确答案写在题目后面的横线上。
1. 设为随机事件,则 .
2. 设随机变量相互独立，均服从正态分布，则_______.
3. 设二维随机变量(X,Y)在区域D上服从均匀分布, D由曲线及直线所围成, 则(X,Y)关于X的边缘概率密度在点的值为 .
4. 设随机变量X的数学期望EX=100,方差DX=10,则由切比雪夫不等式, .
5. 设总体X服从正态分布,而是来自总体X的简单随机样本,则随机变量Y=服从 分布,参数为 .

二、计算题（共7题，共80分）请将正确答案写在每小题后。
1. （12分）有三个盒子, 甲盒中装有2只红球, 4只白球; 乙盒中装有4只红球, 2只白球; 丙盒中装有3只红球, 3只白球. 设从三个盒中取球的机会相等.
(1) 任取一球, 求该球是红球的概率.
(2) 任取一球, 若已知取到红球, 求该球是取自甲盒的概率.

2. （12分）设连续型随机变量的概率密度函数为,
求: (1) 的概率密度函数; (2) .

3．（15分）设为两个随机事件，且
令
求：（1）（）的联合概率分布;
（2） 的相关系数；
（3）

4.（12分）某出口商品的重量服从正态分布,经随机抽查6个商品,测得重量(千克)如下: 14.9, 14.8, 15.1, 14.6, 15.2, 15.1. 求在以下两种情况下,这批商品重量均值的置信区间: (1)已知; (2)未知

5. （10分）某种内服药有使病人血压增高的副作用，已知血压的增高服从方差为的正态分布.现研制出一种新药品，测试了10名服用新药病人的血压，记录血压增高的数据如下：18, 27, 23, 15, 18, 15, 18, 20, 17, 8. 试用所给数据检验新药导致血压增高的方差是否有显著变化.

6. （12分）设随机变量为未知参数,
为来自总体的简单随机样本.
（1）求的矩估计量；
（2）求的最大似然估计量.

学年第二学期期末考试
《 概率论与数理统计（54学时）》（A卷）
一、填空题（共5题，每空4分，共20分）请将正确答案写在题目后面的横线上。
1. 设为随机事件,则 0.6 .
2. 设随机变量相互独立，均服从正态分布，则_3/4___.
3. 设二维随机变量(X,Y)在区域D上服从均匀分布, D由曲线及直线所围成, 则(X,Y)关于X的边缘概率密度在点的值为 1/2e .
4. 设随机变量X的数学期望EX=100,方差DX=10,则由切比雪夫不等式, 39/40 .
5. 设总体X服从正态分布,而是来自总体X的简单随机样本,则随机变量Y=服从 F 分布,参数为 (10,5) .
二、计算题（共8题，共80分）请将正确答案写在每小题后。
1. （12分）有三个盒子, 甲盒中装有2只红球, 4只白球; 乙盒中装有4只红球, 2只白球; 丙盒中装有3只红球, 3只白球. 设从三个盒中取球的机会相等.
(1) 任取一球, 求该球是红球的概率?
(2) 任取一球, 若已知取到红球, 求该球是取自甲盒的概率?
解:
解: 设A表示取到第i盒(i=1,2,3),B表示取到红球,则所求概率分别为
（1）; ------------（6分）
（2）. ------------（6分）
2. （12分）设连续型随机变量的概率密度函数为,
求: (1) 的概率密度函数; (2) .
解：（1）

即 ------------（8分）

（2） ---------（4分）
3．（15分）设为两个随机事件，且
令
求：（1）（）的联合概率分布;
（2） 的相关系数；
（3）
解：（1）由已知：

,
= ,
，
.
即X,Y的联合概率分布为 ：
Y
X
1
0
1
1/12
1/6
0
1/12
2/3
-----(8分)
(2)

-----(4分)

(3) -----(3分)
4.（12分） 某出口商品的重量服从正态分布,经随机抽查6个商品,测得重量(千克)如下: 14.9, 14.8, 15.1, 14.6, 15.2, 15.1. 求在以下两种情况下,这批商品重量均值的置信区间: (1)已知; (2)未知.
解：
(1) 此题属于,已知估计.
所以的置信度为=0.95的置信区间为,代入观测值即为. ------------（6分）

（2）此题属于,未知,估计.
所以的置信度为=0.95的置信区间为
. ------------（6分）
5.（10分）某种内服药有使病人血压增高的副作用，已知血压的增高服从方差为的正态分布.现研制出一种新药品，测试了10名服用新药病人的血压，记录血压增高的数据如下：18,27,23,15,18,15,18,20,17,8.试用所给数据检验新药导致血压增高的方差是否有显著变化.
解: (1)提出假设 ;
(2) 确定统计量:;
分位数:
, ;
拒绝域：
(3)由样本值算得: ;
(4) 结论：∵，落在拒绝域内。
∴拒绝，即认为方差有显著变化.
6.（12分） 设随机变量为未知参数,
为来自总体的简单随机样本.
（1）求的矩估计量；
（2）求的最大似然估计量.
解: (1) 矩法:
. ------------（6分）

（2）最大似然估计法: 似然函数为 :

,
令, 求得. ------------（6分）
7. （7分）在豌豆试验中，用高茎豌豆与矮茎豌豆1:1进行杂交，子二代中，高茎豌豆与矮茎豌豆分别为787, 277. 问是否符合孟德尔遗传规律3:1？
解：符合孟德尔遗传规律3:1 (n=1064)

Ai
fi
pi
npi

高茎
787
3/4
798
0.152
矮茎
277
1/4
266
0.455
对于显著性水平，查表得
而
故接受，即认为符合孟德尔遗传规律3:1.

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大 学 试 卷
学年第二学期期末考试
《 概率论与数理统计（54学时）》（B卷）
（本次考试允许使用计算器）
班级 学号 姓名 总分
题 目
一
二

得 分

阅卷人

， ， ,
，, ,
一、填空题（共5题，每题4分，共20分）请将正确答案写在题目后面的横线上。
1. 已知P(A)=0.4,P(B)=0.3,P(A－B)=0.2, 则P(A+B)= .
2. 若随机变量,且P(2<X<4)=0.3, 则P(X<0)= .
3. 设随机变量X服从参数为 (2, p) 的二项分布, 随机变量Y服从参数为(3, p)的二项分布, 若, 则 .
4. 设DX=2,则根据切比雪夫不等式估计 .
5.设总体X服从, 为来自总体X的样本, 则
.

二、计算题（共8题，每题10分，共80分）请将正确答案写在每小题后。
1. 100台电视机中有三台次品,其余都是正品,无放回地依次从中取出2台, 试求:
(1) 两次都取得正品的概率;
(2) 第二次才取得正品的概率.

2. 设连续型随机变量X的分布函数为
, 其中,
求: (1) A和B; (2) 概率密度.

3. 设随机变量Z在[-2,2]上服从均匀分布, , .
求： X和Y的联合概率分布;

4. 设二维随机变量(X,Y)在区域:内服从均匀分布.
求: (1) X的边缘概率密度函数; (2) D(2X+1).

5. 设总体为来自X的一个简单随机样本.
求的最大似然估计.

6. 铅的密度测量值服从正态分布,如果测量16次,算得,试求铅的平均密度的置信度为95%的置信区间.

7. 某工厂生产的商品重量为随机变量, 今抽测10件, 得数据(克重): 578, 572, 570, 568, 572,570, 570, 572, 596, 584. 能否认为这批商品重量的方差为64(). (

8. 在豌豆试验中，用高茎豌豆与矮茎豌豆1:1进行杂交，子二代中，高茎豌豆与矮茎豌豆分别为756, 268. 问是否符合孟德尔遗传规律3:1？

学年第二学期期末考试
《 概率论与数理统计（54学时）》（B卷）
一、填空题（共5题，每空4分，共20分）请将正确答案写在题目后面的横线上。
1. 0.5 ; 2. 0.2 ; 3. 19/27 ; 4. 1/2 ; 5.

二、计算题（共8题，每题10分，共80分）请将正确答案写在每小题后。
1. 100台电视机中有三台次品,其余都是正品,无放回地依次从中取出2台,试求:
(1) 两次都取得正品的概率;
(2) 第二次才取得正品的概率.
解:
设表示第i次取得正品, . 则
;
.

2. 设连续型随机变量X的分布函数为
, 其中,
求: (1) A和B; (2) 概率密度.
解：
(1) 应在处连续
,解得,;
(2)
3．设随机变量Z在[-2,2]上服从均匀分布, , .
求： X和Y的联合概率分布;
解： ,
= ,
, .
即X,Y的联合分布为 ：
Y
X
-1
1
-1
1/4
0
1
1/2
1/4

4. 设二维随机变量(X,Y)在区域:内服从均匀分布.
求: (1) X的边缘概率密度函数; (2) D(2X+1).

解：(1) 这时 ,
.

(2) , 而
,
.
5. 设总体为来自X的一个简单随机样本.
求的最大似然估计.
解: ,
,
令
即为的最大似然估计量.

6. 铅的密度测量值服从正态分布,如果测量16次,算得,试求铅的平均密度的置信度为95%的置信区间.
解: 置信区间为
.
7. 某工厂生产的商品重量为随机变量, 今抽测10件, 得数据(克重): 578, 572, 570, 568, 572,570, 570, 572, 596, 584. 能否认为这批商品重量的方差为64(). (
解: (1)提出假设;
(2)确定统计量:;
分位数:
;
(3)由样本值算得: ;
(4)结论：∵，∴接受.
8. 在豌豆试验中，用高茎豌豆与矮茎豌豆1:1进行杂交，子二代中，高茎豌豆与矮茎豌豆分别为756, 268. 问是否符合孟德尔遗传规律3:1？
解：符合孟德尔遗传规律3:1 (n=1024)

Ai
fi
pi
npi

高茎
756
3/4
768
0.1875
矮茎
268
1/4
256
0.5625
对于显著性水平，查表得
而
故接受，即认为符合孟德尔遗传规律3:1.

7. （7分）在豌豆试验中，用高茎豌豆与矮茎豌豆1:1进行杂交，子二代中，高茎豌豆与矮茎豌豆分别为787, 277. 问是否符合孟德尔遗传规律3:1？

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