发展型p-Laplace方程第三边界条件下最优控制的存在性和稳定性.pdf

收稿日期:基金项目:吉林省大学生创新创业计划项目(S )作者简介:杜润梅(),女,汉族,吉林长春人,长春工业大学讲师,博士生导师,主要从事应用数学方向研究,E m a i l:d u r u n m e ic c u t e d uc n 通信作者:朱爱成(),男,汉族,安徽蚌埠人,主要从事应用数学方向研究,E m a i l:q q c o m第 卷 第期 长 春 工 业 大 学 学 报 V o l N o 年 月 J o u r n a l o fC h a n g c h u nU n i v e r s i t yo fT e c h n o l o g y A p r D O I:/j c n k i c n /t 发展型p L a p l a c e方程第三边界条件下最优控制的存在性和稳定性杜润梅,朱爱成,张瀛月(长春工业大学 数学与统计学院,吉林 长春 )摘要:研究了发展型p L a p l a c e方程的第三边值问题的最优控制的存在性及稳定性问题.首先利用索伯列夫空间上的紧嵌入定理分析极小化序列的收敛性,以此证明该问题的解存在唯一性;其次利用成本泛函的弱下半连续性证明最优控制函数的存在性;最后讨论了控制函数在扰动下的稳定性.关键词:发展型的p L a p l a c e方程;最优控制;边界控制;稳定性中图分类号:O 文献标志码:A文章编号:()E x i s t e n c ea n ds t a b i l i t yo f t h eo p t i m a l c o n t r o l f o r t h ee v o l u t i o np L a p l a c ee q u a t i o nw i t h t h e t h i r db o u n d a r yc o n d i t i o nDUR u n m e i,Z HU A i c h e n g,Z HAN GY i n g y u e(S c h o o l o fM e c h a t r o n i c&E n g i n e e r i n g,C h a n g c h u nU n i v e r s i t yo fT e c h n o l o g y,C h a n g c h u n ,C h i n a)A b s t r a c t:W e s t u d i e d t h ee x i s t e n c ea n ds t a b i l i t yo f t h eo p t i m a l c o n t r o l f o r t h e t h i r db o u n d a r yp r o b l e mo f t h ee v o l u t i o np L a p l a c ee q u a t i o n F i r s t l y,b yu s i n gt h ec o m p a c te m b e d d i n gt h e o r e m o nS o b o l e vs p a c e,w ea n a l y z et h ec o n v e r g e n c eo ft h e m i n i m i z e ds e q u e n c e,a n dt h e np r o v et h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so f t h e s o l u t i o no f t h ep r o b l e m N e x t,w eu s e t h ew e a ks e m i c o n t i n u i t yo f t h e c o s t f u n c t i o nt op r o v e t h ee x i s t e n c eo f t h eo p t i m a l c o n t r o l f u n c t i o n F i n a l l y,w ed i s c u s s t h es t a b i l i t yo f t h ec o n t r o lf u n c t i o nu n d e rd i s t u r b a n c e K e yw o r d s:e v o l u t i o np L a p l a c ee q u a t i o n s;o p t i m a l c o n t r o l;b o u n d a r yc o n t r o l;s t a b i l i t y 引言发展型的p L a p l a c e方程是一类非牛顿渗流方程,其在生物、物理、化学、医学等领域都有广泛应用.在实际运用中,许多学者对方程解的性质作了研究,文献 研究了p L a p l a c e方程的最优控制问题;文献 研究了带有分数阶的pL a p l a c e存 在 性 问 题;文 献 研 究 了p L a p l a c e解的存在性问题.文中根据文献 研究了第三类边值条件下,当uL(),c(x,t)L(QT)时,问题()()的最优控制问题;当uH()时,可以得到关于utL(QT)的估计,而该估计在uL()时不成立,因此文中讨论比utL(QT)弱的估计,证明解的最优控制存在性,以及控制函数的稳定性.文中研究对象为发展型p L a p l a c e方程的第三边值条件问题:u td i v(|u|p u)c(x,t)u,(x,t)QT(,T),()|u|p una(x,t)ug(x,t),(x,t)(,T),()u(x,)u(x),x,()其中,是RN中一个有界闭集,是光滑的,n是 上的 单位外 法 向 量,cL(QT),aL(QT),gL(QT),aa,p,uL()是一个非负有界函数,g是控制函数.定义成本泛函为J(g)QT(uZd)dxdtT gdSdt(),gUM,其中,ZdL()是期望的温度分布,是相应成本的系数,UMg|gM,gL(,T),为允许控制集.文中主要证明方程解的存在唯一性,以及最优控制的存在性及稳定性.预备引理设VW,p(),V是V的 对 偶 空 间.u,v,uV,vV是VV的对偶积.定义称非负函数uC(,T;L()LP(,T;V)为问题()()的弱解,若C(,T;L()LP(,T;V)L(,T;V),满足下列积分等式:u(x,)(x,)dx Q|u|p udxdt a(s,t)u(s,t)(s,t)g(s,t)(s,t)dSdtQc udxdtu(x)(x,)dxt,udt,其中,(,T).引理(A u b i n L i o n s引理)若B,B,B是自反的B a n a c h空间,并且BBB,则有uLp(,T;B)|utLq(,T;B)Lp(,T;B),p,q,uLq(,T;B)L(,T;B)|utL(,T;B)Lp(,T;B),pq.引理 设X是自反的B a n a c h空间,Y是B a n a c h空间,XY,Y可分且在X中稠密,且序列uk 满足ukL(,T;X),tfnLp(,T;Y),p,ukL(,T;X),tukLp(,T;Y)C,k,则uk在C(,T,Xw)中是列紧的.引理对任意u,vLP(,T;W,P(),下列不等式成立Q(|u|p u|v|p v)(uv)dxdt.适定性这里我们证明问题()()的解存在唯一性.定理对任意非负函数uL(),gUM.问题()()存在唯一弱解u,并且u满足如下估计:)uL(,T;L()uLP(Q;Rn)C(uL()M),其中C是与u和M无关的常数;)utL(,T;V)C,其中,C是依赖于u和M的常数.证明首先证明问题()()的弱解的存在性.分析如下问题 uk td i v|uk|kp ukckuk,(x,t)QT(,T),()|uk|kp uknak(x,t)ukgk(x,t),长 春 工 业 大 学 学 报 第 卷(x,t)(,T),()uk(x,)u,k(x),x,()其中ckC(QT),akC(,T),gkC(,T),u,kC(),满足ck在L(QT)中 弱收 敛 于c,ak在L(,T)中弱收敛于a,gk在L(,T)中弱收敛于g,并且ckL(QT)cL(QT),akL(,T)aL(,T),gkL(,T)gL(,T),u,kL()uL().由经典理论,问题()()存在唯一解ukC(QT).在式()两边同乘uk,对任意(,T),在Q上积分得Q uk tuk|uk|k()p|uk|ckuk()dxdt(akukgkuk)dSdt,由分部积分公式得uk(x,)dxu,k(x)dx Q|uk|kp|uk|ckukdxdt(akukgkuk)dSdt,则uk(x,)dxQ|uk|pdxdtu,k(x)dxCQukdxdtC a ukdSdtCM.()由G r n w a l l不等式,有uk(x,)dxCu(x)dxM().()由式()和式(),可得uk(x,)dxQ|uk|pdxdtCu(x)dxM(),()其中,C,C是与u和M无关的常数.由于uk是问题()()的解,因此L(,T;V),(uk)tdxdtQd i v|uk|kp ukdxdtQckukdxdtQ|uk|kp ukdxdtQckukdxdt(akukgk)dSdtCQ|uk|p|dxdtCkp Q|uk|dxdtCQ|uk|dxdtC ukdSdtCML()dtCukp Lp(Q)Lp(Q)CkpukLp(Q)Lp(Q)CukLp(Q)Lp(Q)CukL(,T)L(,T)CMH()dtCL(,T;W,p(),其中,C为与u和M有关的常数.则(uk)tL(,T;V)C.()由R e l l i c h k o n d r a c h o v定理可知,W,p()LP()V,W,p()H()V.结合引理、引理和式()、式()可知,存在uk 的子列,仍记为它本身,以及函数uL(,T;L()LP(,T;W,p(),且满足utL(,T;V),使得uku强收敛于Lp(QT),uku弱收敛于C(,T;L();uku强收敛于L(,T),uku弱收敛于LP(QT;RN);|uk|kpuk|u|p弱收敛于Lpp(QT;RN);(uk)tut弱收敛于L(,T;V).由式()、式()和范数的弱下半连续性,有u(x,)dxQ|u|pdxdt第期 杜润梅,等:发展型p L a p l a c e方程第三边界条件下最优控制的存在性和稳定性Cu(x)dxM()()和utL(,T;V)C.()由于uk是式()式()的弱解,对于C(,T;L()LP(,T;V)LP(,T;V),uk(x,)(x,)dx Q|uk|kp ukdxdtQckukdxdt(akukgk)dSdtu,k(x)(x,)dxQuk(x,t)t(x,t)dxdt.令k,利用uk的收敛性,得u(x,)(x,)dx Q|u|p udxdt Qc udxdt(a ug)dSdtu(x)(x,)dxt,udxdt,由此可知,u是问题()()的弱解.下面证明问题()()的弱解的唯一性.假设u,u为问题()()的两个解,由弱解的定义,有Q(|u|p u|u|p u)dxdtQ(uu)tdxdt a(uu)dSdtQc(uu)dxdt(u(x,)u(x,)(x,)dx,()对于所有(,T),令uu,Q(|u|p u|u|p u)(uu)dxdt a(uu)dSdtQc(uu)dxdtQ(uu)(uu)tdxdt(u(x,)u(x,)dx.由于对所有(,T),有Q(|u|p u|u|p u)(uu)dxdt,则 a(uu)dSdt(uu)(x,)dxQc(uu)dxdt,即(uu)(x,)dxCQ(uu)dxdt.由G r n w a l l不等式,有(uu)(x,)dx,即u(x,t)u(x,t),a e(x,t)QT.再结合式()和式()得到定理,证毕.最优控制的存在性及稳定性下面证明使泛函达到最小值的控制函数的存在性及稳定性.定理若ZdL(QT),uL(),满足兼容性条件|u|p una ug(x,),x,则存在一个最优控制gUM,使得成本泛函J(g)最小.证明由于J(g),J(g)必有下确界.设gk 为UM中的极小化序列,即l i mkJ(gk)i n fgUMJ(g).由于gkUM,存在(gk 的子列,为方便起见,仍 记 为 它 本 身 和gUM,使 得gk在L(,T)中弱收敛于g.由定理问题()(),当ggk时,存在唯一弱解ug.由定理,ukL(,T;L()ukLP(QT;Rn)(uk)tL(,T;V)C,其中C是一个常数.由定理证明,存在uk 的子列,仍记为它本身,以及函数uL(,T;L()LP(,T;W,p(),且满足utL(,T;V),使得uku强收敛于Lp(QT),uku弱收敛于C(,T;L();uku强收敛于L(,T),uku弱收敛于LP(QT;RN);|uk|puk|u|pu弱收敛于Lpp(QT;RN).由于uk是()()的弱解,对于任意C(QT),长 春 工 业 大 学 学 报 第 卷uk(x,)(x,)dx Q|uk|p ukdxdtQc ukdxdtu(x)(x,)dx(akukgk)dSdxQuk(x,t)t(x,t)dxdt.()令式()中k,由uk的收敛性,得u(x,)(x,)dx Q|u|p udxdt (aug)dSdtQc udxdtu(x)(x,)dxQu(x,t)t(x,t)dxdt.因此,u是问题()()当gg时的弱解.由J(g)的弱下半连续性,有J(g)QT(uZd)dxdtT(g)dSdt()l i m i n fkQT(ukZd)dxdtT(gk)dSdt()l i mkJ(gk)i n fgUMJ(g).所以,g是J(g)在UM上的最优控制.定理设g,lUM,令uu(g)和uu(g l)分别是问题()()对应g和g l的解,那么uuL(QT)o(),.证明由问题()()解的定义,知u和u满足积分等式(),取式()中uu,令uu,uu,有(u(x,T)u(x,T)dx Q|u|p u(uu)dxdt T a(uu)dSdtQ|u|p u(uu)dxdtQ(uu)dxdtT l(uu)dSdt.由引理得Q(uu)dxdt lT(uu)dSdtC.证毕.参考文献:Y i nJX,H u a n gW M O p t i m a l b o u n d a r yc o n t r o l o fn o n l i n e a rd i f f u s i o ne q u a t i o nJA p p l i e d M a t h e m a t i c sE N o t e s,:K o g u tPI,K u p e n k oOP O na p p r o x i m a t i o no fa no p t i m a l c o n t r o lp r o b l e mf o rI l l p o s e ds t r o n g l yn o n l i n e a r e l l i p t i c e q u a t i o n w i t h p L a p l a c e o p e r a t o rC/M o d e r n M a t h e m a t i c sa n d M e c h a n i c s C h a m:S p r i n g e r :W a n gCP,Y i nJX,W e n M F P e r i o d i co p t i m a lc o n t r o l f o r ad e g e n e r a t en o n l i n e a rd i f f u s i o ne q u a t i o nJC o m p u t a t i o n a l M a t h e m a t i c sa n d M o d e l i n g,():C a s a sE,K o g u t P I,L e u g e r i n gG A p p r o x i m a t i o n o f o p t i m a l c o n t r o lp r o b l e m si nt h ec o e f f i c i e n tf o rt h ep L a p l a c ee q u a t i o n I c o n v e r g e n c er e s u l tJ S I AMJ o u r n a lo nC o n t r o l a n dO p t i m i z a t i o n,():李小平,李辉来带p L a p l a c e算子分数阶微分方程边值问题正解的存在性J吉林大学学报:理学版,():G i a c o m o n iJ,G o u a s m i aA,M o k r a n eA E x i s t e n c ea n dg l o b a lb e h a v i o ro fw e a ks o l u t i o n st oad o u b l yn o n l i n e a re v o l u t i o nf r a c t i o n a lp L a p l a c i a ne q u a t i o nJ E l e c t r o n i cJ o u r n a lo fD i f f e r e n t i a lE q u a t i o n s,():高娟娟,张争争,李解,等一类具有R o b i n边值条件的p L a p l a c e方程解的存在性J内江师范学院学报,():罗健强P L a p l a c e方程非平凡解的存在性与非存在性J华南理工大学学报:自然科学版,():田元生,刘春根带p L a p l a c e算子三点奇异边值问题对称正解的存在性J数学物理学报,():苗春梅非线性项变号的一维p L a p l a c e方程混合边值问题的正解J吉林大学学报:理学版,():L iBY,S u n W W,W a n gY G l o b a le x i s t e n c eo fw e a ks o l u t i o nt ot h eh e a ta n d m o i s t u r et r a n s p o r ts y s t e mi nf i b r o u sp o r o u sm e d i aJ J o u r n a l o fD i f f e r e n t i a lE q u a t i o n s,():L i o n sPL M a t h e m a t i c a l t o p i c s i n f l u i dm e c h a n i c s,v o l I,i n c o m p r e s s i b l e m o d e l sM N e w Y o r k:C l a r e n d o nP r e s s,第期 杜润梅,等:发展型p L a p l a c e方程第三边界条件下最优控制的存在性和稳定性