数学史选讲解读市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

数学史选讲解读第一讲第一讲 早期算术与几何早期算术与几何 第二讲第二讲 古希腊数学古希腊数学第三讲第三讲 中国古代数学瑰宝中国古代数学瑰宝第四讲第四讲 平面解析几何产生平面解析几何产生 第五讲第五讲 微积分诞生微积分诞生第六讲第六讲 近代数学两巨星近代数学两巨星第七讲第七讲 千古谜题千古谜题第八讲第八讲 对无穷深入思索对无穷深入思索第1页数学史选讲补充材料浙江师范大学教师教育学院 徐元根第2页第一讲第一讲 早期早期算术与几何算术与几何埃及和巴比伦数学埃及和巴比伦数学中国早期数学中国早期数学第3页纸草书 纸草书是研究古埃及数学主要起源 莱因德纸草书：最初发觉于埃及底比斯古都废墟，1858年为苏格兰收藏家莱因德购得，现藏于伦敦大英博物馆又称阿姆士纸草书，阿姆士在公元前1650年左右用僧侣文抄录了这部纸草书，据他加序言知，所抄录是一部已经流传了两个世纪著作含84个数学问题莫斯科纸草书：又称戈列尼雪夫纸草书，1893年由俄国贵族戈列尼雪夫在埃及购得，现存于莫斯科博物馆产生于公元前1850年前后，含有25个数学问题第4页古埃及计算技术含有迭加特征，乘除法运算，往往用连续加倍来完成因为方法较为繁复，古埃及算术难以发展到更高水平相对于算术，古埃及几何含有更高成就古代埃及人留下了许多气势宏伟建筑，能够说明古埃及几何学发达 第5页埃及几何埃及几何产生于土地测量，是一个实用几何对面积、体积计算，他们给出了一些计算法则，有准确也有粗略在莫斯科纸草书中有一个正四棱台体积计算所用公式，用现在符号表示是 这是埃及几何中最出众成就之一 第6页巴比伦数学六十进制位值制记数法。长于计算，编制了许多数表：乘法表、倒数表、平方表、立方表、平方根表、立方根表、甚至有特殊指数（对数）表。能解二次方程。第7页中国早期数学中国早期数学 中国古代数学起源能够上溯到公元前数千年史记中记载，夏禹治水，“左规矩，右准绳”这能够看作是中国古代几何学起源在殷商甲骨文中已经使用了完整十进制记数法，春秋战国时代又出现了十进位值制筹算记数法而战国时代考工记、墨经、庄子等著作中则探讨了许多抽象数学概念，并记载了大量实用几何知识第8页周易中数学 周易是中国古代专讲卜筮书，也能够看作是古人探索自然朴素哲学著作，约成书于殷商时期。周易由易经和易传两部分组成，先有易经，后有易传，两部分成书时间相距七八百年。易经包含古代占卜卦辞及爻辞，易传由系辞、说卦等十篇文章组成，是对易经中卦辞及爻辞解释。第9页卜筮是原始人类共有社会现象。中国古代惯用龟甲和兽骨作为占卜工具，以决定事情吉凶。筮，是按一定规则得到特定数字，并用它来预测事情吉凶。周礼称：“凡国之大事，先筮后卜。”史记龟策列传则说：“王者决定诸疑，参加卜筮，断以蓍龟，不易之道也。”筮工具起初是竹棍（以后出现筹算数码则形成了中国古代用竹棍表示数字传统），以后改用蓍草-一个有锯齿草本植物。第10页在中国古代众多儒、道典籍中，周易是包含数学内容最丰富著作，因而对中国古代数学家产生了极大影响。比如，刘徽在九章算术注序中就写道：“昔伏羲氏始作八卦，以通神明之德，以类万物之情。作九九之数，以合六爻之变。”实际上就把数学方法与周易中六爻、八卦等内容联络起来了。第11页八卦 乾 巽 离-艮-坤 -震-坎 兑 -第12页计算机创造与周易中八卦有着十分亲密联络。众所周知，当代电子计算机最基本数学基础是二进制数。二进制符号是德国数学家莱布尼茨（Leibniz，16461716）创造。莱布尼茨于1679年撰写了二进制算术，阐述了二进制理论。莱布尼茨自称，他之所以会想到二进制数，就是因为受到了八卦符号启发。他还说：“能够让我加入中国籍了吧”。第13页太极图周易中另一主要概念是太极。周易中写道：“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦。”太极即太一，这段话讲是八卦产生原理，也试图解释天地造分，化成万物原理。后经宋代陈抟发展，便有了太极图。第14页周易中另一个与数学相关内容是“河图洛书”。周易中有“河出图，洛出书，圣人则之”记载。以后，孔安国等人又把河图洛书与八卦及九数联络起来。孔安国认为：“河图者，伏羲氏王天下，龙马出河，遂则其文以画八卦。洛书者，禹治水时，神龟负文，而列于背，有数至九，禹遂因而第之，以成九类。”也就是说，在古人看来，八卦与九数实出于河图洛书河图洛书。第15页宋代陈抟所作“洛书图”（九宫图）492357816第16页 数概念产生数概念产生 数和形是数学最早研究对象，考古研究发觉，人类在5万年前就已经有了一些计数方法。当代人研究认为，人类数概念发展过程是，先有原始数感，再形成一一对应计数方法，最终经过集合等价关系建立抽象数概念。第17页记数符号产生记数符号产生 易系辞中载：“上古结绳而治，后世圣人易之以书契”。结绳记数，是指在绳子上打一个结表示一个数或一件事，绳结多少，依据事物多少而定。而所谓“书契”，就是刻划，“书”是划痕，“契”是刻痕。古人经常在各种动物骨头、金属、泥版上刻痕记数。如中国殷商时期常将文字刻划在牛肩胛骨或龟甲上，故称甲骨文。第18页从刻划记数，人类很自然地过渡到刻出数符号，并进而创造出第一批数字。古代中国、古埃及、巴比伦等民族，均在公元前50前后就有了记数符号。因为古人用手指作为计数参考物十分方便，因而许多民族都不约而同地使用了十进制计数法。当然也存在着少许其它进位制，如5进制、12进制、16进制、20进制、60进制等。第19页公元前5左右战国时代，中国人创造了含有十进位值制特征筹算数码。筹算数字摆放方法要求，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，万位又用纵式，如此纵横相间，以免发生误会。并要求用空位表示零。到了13世纪，中国数学家又明确地用“”表示零，从而使中国记数法完全位值化。第20页拉普拉斯对十进位值制评价这是一个深远而又主要思想，它今天看来如此简单，以致我们忽略了它真正伟绩。但恰恰是它简单性以及对一切计算都提供了极大方便，才使我们算术在一切有用创造中列在首位；而当我们想到它竟逃过了古代最伟大两位人物阿基米德和阿波罗尼奥斯天才思想关注时，我们更感到这成就伟大。第21页第二讲第二讲 古希腊数学古希腊数学 希腊数学普通指从公元前6至公元6间，活动于希腊半岛、爱琴海区域、马其顿与色雷斯地域、意大利半岛、小亚细亚以及非洲北部数学家们所创造数学。希腊早期文明中心在雅典；公元前338年希腊诸帮被马其顿控制，文明中心转到亚历山大城（埃及）；公元前30年左右，罗马帝国完全控制希腊各国，文明中心转到罗马（意大利）。公元640年前后，阿拉伯民族征服东罗马，希腊文明落下帷幕。第22页古希腊数学与哲学交织 古希腊早期自然科学往往是与哲学交织在一起，古希腊自然哲学乃是古代自然科学一个特殊形态，即使有许多错误东西，但也有不少合理知识和包含着合理成份猜测恩格斯说：“在希腊哲学各种多样形式中，差不多能够找到以后各种观点胚胎、萌芽所以，假如理论自然科学想要追溯自己今天普通原剪发生和发展历史，它就不得不回到希腊人那里去”第23页古希腊数学表现出很强理性精神，追求哲学意义上真理在公元前3、4百年时候，他们数学思想中就已经包括到了无限性、连续性等深刻概念经过古埃及和巴比伦人长久积累数学知识萌芽时期以后，古希腊人把数学推进到了一个崭新时代古希腊数学不但有十分辉煌研究结果，而且提出了数学基本观点，建立数学理论方法，给以后数学发展提供了坚实基础 第24页泰勒斯确定了几条最早几何定理 等腰三角形两底角相等 假如两个三角形有一边及这边上两个角对应相等，那么这两个三角形全等 直角彼此相等 两条直线相交时，对顶角相等 圆直径平分圆周 第25页万物皆数毕达哥拉斯学派认为世界万物都是数，最主要数是1、2、3、4，而10则是理想数；对应地，自然界由点（一元）、线（二元）、面（三元）和立体（四元）组成。他们认为自然界中一切都服从于一定百分比数，天体运动受数学关系支配，形整天体友好。第26页理论算术（数论雏形）完全数、过剩数（盈数）、不足数（亏数）分别表现为其因数之和等于、大于、小于该数本身（要求因数包含1但不包含该数本身）。他们发觉前几个完全数是6=1+2+3，28=1+2+4+7+14，496。而220和284则是一对亲和数，因为前者因数和等于284，后者因数和等于220。第27页以后，在数学中寻找完全数就成为一项任务来研究.在前八千多正整数中只有4个完全数,6、28、496、8128,第五个完全数在1538年才找到:33550336,50年后发觉第六个完全数:8589869056.年发觉第42个梅审素数，从而有了第42个完全数。第28页几何成就 使几何学从经验上升到理论关键性贡献应归功于毕达哥拉斯学派。他们基本上建立了全部直线形理论，包含三角形全等定理、平行线理论、三角形内角和定理、相同理论等。第29页正多边形和正多面体毕达哥拉斯学派掌握了正多边形和正多面体一些性质。他们发觉，同名正多边形覆盖平面情况只有三种：正三角形、正方形、正六边形，而且这些正多边形个数之比为6：4：3，边数之比则为3：4：6。毕达哥拉斯学派另一项几何成就是正多面体作图，他们称正多面体为“宇宙形”。三维空间中仅有五种正多面体：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。第30页正五边形与五角星在五种正多面体中，除正十二面体外，每个正多面体界面都是三角形或正方形，而正十二面体界面则是正五边形。正五边形作图与著名“黄金分割”相关。五条对角线中每一条均以特殊方式被对角线交点分割。听说毕达哥拉斯学派就是以五角星作为自己学派标志。第31页勾股数毕达哥拉斯数：普通形式之一：第32页无理数发觉毕达哥拉斯学派信条是“万物皆数”，这里数实际上是指正有理数。传说，毕达哥拉斯学派组员希帕苏斯（Hippasus，公元前470年左右）发觉了“不可公度比”现象，并在一次航海时公布了他想法，结果被恐慌毕达哥拉斯学派其它组员抛进了大海。项武义教授一项研究认为，希帕苏斯首先发觉是正五边形边长与对角线长不可公度。第33页第一次数学危机不可公度比发觉使毕达哥拉斯学派对许多定理证实都不能成立。例：假如两个三角形高相同，则它们面积之比等于两底边之比。ABCDE第34页新百分比论100多年后，欧多克斯（Eudoxus,408-355）提出了“新百分比论”，才用回避方法暂时消除了“第一次危机”。新百分比定义：设A、B、C、D是任意四个量，其中A和B同类（即均为线段、角或面积），C和D同类，若对任意两个（正）整数m和n，mA与nB大小关系，取决于mC与nD大小，则称A：B=C：D。第35页柏拉图学园柏拉图（Plato，公元前427-347年）是当初最著名希腊哲学家之一，即使他不是数学家，但热心于数学科学，在柏拉图学园门口挂着牌子：“不懂几何者免进”。值得注意是，公元前四世纪主要数学工作几乎都是柏拉图朋友和学生做。与柏拉图学园有联络欧多克斯（Eudoxus，公元前408-355年）是这一时期最大数学家，他在几何学上研究结果，以后有些收入了欧几里得几何原本。第36页亚里士多德亚里士多德（Aristotle，公元前384-322年）是柏拉图学生和同事，相处达之久，公元前335年成立了自己学派，以后曾是马其顿王亚列山大老师。他是古典希腊时期最伟大思想家，他一些思想在数学史上影响很大。第37页形式逻辑建立亚里士多德不象柏拉图那样只崇尚思辨，而是重视观察、分析和试验性活动（如解剖）。亚里士多德是古希腊学者中最博学人，是古代百科全书式自然科学家，也是对近代自然科学影响最大古代学者。他著作甚多，在自然科学方面主要有物理学、论产生和毁灭、天论、气象学、动物历史、论动物结构等。第38页形式逻辑建立亚里士多德创建了以三段论为中心形式逻辑系统。他认为科学需要归纳，由特殊事例过渡到普通命题，更需要用逻辑推理由前提演绎出它推论。亚里士多德逻辑学著作以后被汇编为工具论，对阿基米德、欧几里得等人研究有主要影响。古典希腊时期希腊人已经掌握了大量初等几何性质，加上亚里士多德建立了形式逻辑，这些都为形成一门独立初等几何理论科学作好了充分准备。第39页亚历山大时期数学 从公元前330年左右到公元前30年左右，希腊数学中心从雅典转移到了埃及亚历山大城。亚历山大帝国一分为三后，托勒密帝国统治希腊埃及，其首都亚历山大城成为希腊文化中心。托勒密一世曾经是亚里士多德学生，他在执政后修建了缪斯艺术宫，这实际上是一个大博物馆，收藏图书和手稿听说有5070万卷。当初许多著名学者都被请到亚历山大里亚，用国家经费供养着。第40页这一时期思辩猜测已不盛行，观察、计算及定量分析方法开始流行。天文学家阿利斯塔克（公元前310230），经过对日、月、地体积和相对距离观察和计算作出了日心说猜测。他经过测量角度推算出太阳直径比地球大六、七倍，并断定小天体（地球等）应围绕大天体（太阳）旋转。尽管他计算很不准确，但思维方式是主要。著名天文地理学家、数学家埃拉托色尼（约公元前284192）依据太阳在两个地方投影角之差，计算出地球周长是24662英里（现在算出经过地球南北极周长为24819英里），他绘制了世界地图，并标明了经纬线以及寒带、热带和温带。第41页欧几里得与几何原本 欧几里得（约公元前330260），应托勒密一世之邀到亚历山大，成为亚历山大学派奠基人。欧几里得系统地整理了以往几何学成就，写出了13卷原本，欧几里得工作不但为几何学研究和教学提供了蓝本，而且对整个自然科学发展有深远影响。爱因斯坦说：“西方科学发展是以两个伟大成就为基础，那就是：希腊哲学家创造形式逻辑体系（在欧几里得几何学中），以及经过系统试验发觉有可能找到因果关系（在文艺复兴时期）。”第42页公理化方法公理化方法：从一些基本概念和公理出发，利用纯逻辑推理方法，把一门学科建立成演绎系统方法。以后许多著作都仿照这种格式写成，如牛顿自然哲学数学原理等。第43页几何原本影响几何原本对以后数学思想有主要影响。其一：公理化思想；其二：几何直观与严格逻辑推理结合使欧几里得几何长久被认为是最正宗数学知识，笛卡儿在创造了解析几何后仍坚持对每一个几何作图给出综合证实，牛顿在第一次公开他微积分创造时也要对这一算法作出几何解释；其三：造成非欧几何诞生。第44页阿基米德数学成就 阿基米德（Archimedes，公元前287-212）出生于西西里岛叙拉古，曾在亚历山大跟欧几里得学生学习过，离开亚历山大后仍与那里师友保持联络，他许多结果都是经过与亚历山大学者通信而保留下来。所以，阿基米德通常被看成是亚历山大学派组员。阿基米德著作很多，内容包括数学、力学及天文学等。第45页“穷竭法”与“平衡法”穷竭法是安蒂丰首先使用，并被古希腊数学家普遍用来证实面积和体积方法。穷竭法能够用来严格证实已经猜测出来命题，但不能用来发觉新结果。阿基米德创造了求面积和体积“平衡法”，求出面积或体积后再用“穷竭法”加以证实。阿基米德“平衡法”与“穷竭法”结合是严格证实与创造技巧相结合典范。第46页球体积阿基米德用“平衡法”推导了球体积公式。刻在阿基米德墓碑上几何图形代表了他所证实一条数学定理：以球直径为底和高圆柱，其体积是球体积3/2，其表面积是球面积3/2。第47页阿基米德“平衡法”，将需要求积量分成一些微小单元，再与另一组微小单元进行比较，而后一组总和比较轻易计算。所以，“平衡法”实际上表达了近代积分法基本思想，是阿基米德数学研究最大功劳。不过，“平衡法”本身必须以极限论为基础，阿基米德意识到了他方法在严密性上不足，所以他用平衡法求出一个面积或体积后，必再用穷竭法加以严格证实。第48页用平衡法求球体积球切片体积锥切片体积柱切片体积左力矩=右力矩=左力矩=4右力矩P球锥切片xN第49页用平衡法求球体积将球、圆锥、圆柱均完全分割成厚度为x薄片，并将全部球与圆锥薄片都挂到P点，圆柱薄片都留在原处。左力矩和=（球体积+锥体积）2R 右力矩和=柱体积R（球体积+锥体积）2R=4柱体积R球体积=2柱体积锥体积第50页与欧几里得相比，阿基米德能够说是一位应用数学家。在论浮体中叙述了浮力原理、在论平面图形平衡或其重心中叙述了杠杆原理。曾设计了一组复杂滑车装置，使叙拉古国王亲手移动了一只巨大三桅货船，他说：“给我一个支点，我能够移动地球”。在保卫叙拉古战斗中创造了许多军械如石炮、火镜等。后被罗马士兵杀害，死时75岁。传说曾下令不要杀死阿基米德罗马主将马塞吕斯事后特意为阿基米德建墓。第51页阿波罗尼奥斯与圆锥曲线论 阿波罗尼奥斯（Apollonius，公元前262-190）出生于小亚细亚（今土尔其一带），年轻时曾在亚历山大城跟随欧几里得学生学习，后到小亚细亚西岸帕加蒙王国居住与工作，晚年又回到亚历山大。阿波罗尼奥斯主要数学成就是在前人工作基础上创建了相当完美圆锥曲线理论，编著圆锥曲线论。第52页圆锥曲线论 全书共8卷，含487个命题。在阿波罗尼奥斯之前，希腊人用三种不一样圆锥面导出圆锥曲线，阿波罗尼奥斯则第一次从一个对顶圆锥得到全部圆锥曲线，并给它们以正式名称：亏曲线、齐曲线、盈曲线（李善兰翻译时取意译名椭圆、抛物线、双曲线）。圆锥曲线论能够说是希腊演绎几何最高成就。几何学新发展要到17世纪笛卡儿等人解析方法出现后才得以降临。第53页阿波罗尼奥斯用统一方式引出三种圆锥曲线后，便展开了对它们性质广泛讨论，内容包括圆锥曲线直径、公轭直径、切线、中心、双曲线渐进线、椭圆与双曲线焦点以及处于不一样位置上圆锥曲线交点数等。圆锥曲线论中包含了许多即使按今天眼光看也是很深奥问题。第5卷中关于定点到圆锥曲线最长和最短线段探讨，实质上提出了圆锥曲线法线包络即渐屈线概念，它们是近代微分几何微分几何课题。第3、4卷中关于圆锥曲线极点与极线调和性质叙述，则包含了射影几何学射影几何学萌芽思想。第54页罗马时期数学成就 海伦（Heron，前1世纪公元1世纪）推导出求三角形面积海伦公式。托勒密（Ptolemy约100170）地球中心学说。托勒密利用大量观察资料，进行浩繁计算，写出八卷本大综合论，详细叙述了太阳系和宇宙以地球为中心学说。在托勒密地心说中，行星是绕着一个数学上点（本轮中心）运动，而这些点又位于均轮上围绕地球运转。托勒密地心说即使不反应宇宙实际结构，不过依据上述数学图解却比较完满地解释了当初所观察到行星运动情况。第55页托勒密将圆周分成360度，角度量采取60进制，还应用托勒密定理（圆内接四边形中，两条对角线长乘积等于两对对边长乘积之和）造出了一张正弦表。梅涅劳斯（Menelaus，约公元1世纪）球面学是球面三角学开山之作。第56页该时期希腊数学一个主要特征是突破了以几何学为中心传统，使算术和代数成为独立学科。丢番图（Diophantus）算术用纯分析路径处理数论与代数问题（包含不定方程），能够看作是希腊算术与代数最高成就。第57页丢番图墓志铭关于丢番图生平没有什么记载，大约公元250年前后活动于亚历山大城，他活了84岁则能够从他墓志铭中算出：丢番图童年占一生1/6，今后过了一生1/12开始长胡子，再过一生1/7后结婚，婚后5年生了个孩子，孩子活到父亲二分之一年纪，孩子死后4年父亲也逝世了。第58页数学汇编 该时期最终一位主要数学家是帕波斯（Pappus，约公元300-350），著作数学汇编是一部总结前人结果经典著作，在数学史上有特殊意义，有许多古代希腊数学宝贵资料就是因为有数学汇编记载才得以保留下来。第59页周髀算经是我国最早天文著作，系统地记载了周秦以来适应天文需要而逐步积累科技结果。该书主要内容是周代传下来相关测天量地理论和方法。周髀算经也是中国最古算书，成书确切年代没有定论，普通认为在公元前2、3世纪。李约瑟认为：“最妥善方法是把周髀算经看作含有周代骨架加上汉代皮肉。”第三讲第三讲 中国古代数学瑰宝中国古代数学瑰宝第60页周髀算经中勾股定理 周公问商高关于计算问题，商高答曰：“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩，认为勾广三，股修四，径隅五。”荣方与陈子一段对话中，则包含了勾股定理普通形式。陈子曰：“若求邪至日者，以日下为勾，日高为股。勾、股各自乘，并而开方除之，得邪至日，”第61页周髀算经还记载了商高用矩之法：“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩认为圆，合矩认为方。”第62页九章算术九章算术 九章算术成书于公元前后，是我国最主要、影响最深远一本数学著作。后世不少人，如刘徽、祖冲之、李淳风等人均对九章算术作过注。尤其是刘徽注，加进了不少自己精辟看法，阐述了主要数学理论。九章算术注是九章算术得以流芳百世主要补充和媒介。第63页对九章算术评价对九章算术评价日本数学家小苍金之助把九章算术说成是中国几何原本。吴文俊教授也认为，九章算术和刘徽九章算术注，在数学发展历史中含有高尚地位，足可与希腊几何原本东西辉映，各具特色。1968年德国沃格尔（Vogel）把九章算术译成德文出版时加评论认为：“在古代算术中，包含如此丰富246个算题，现存埃及和巴比伦算题与之相比，真望尘莫及。以希腊而论，所保留古算题为我们所熟知者，也属于希腊化时代。”第64页第一章“方田”讲述相关平面图形（土地田亩）面积计算方法，包含分数算法，38个问题。一今有田广十五步，从十六步，问为田几何？答曰：一亩。二又有田广十二步，从十四步，问为田几何？答曰：一百六十八步。方田术曰：广从步数相乘得积步，以亩法二百四十步除之，即亩数，百亩为一倾。第65页五今有十八分之十二，问约之得几何？答曰：三分之二。六又有九十一分之四十九，问约之得几何？答曰：十三分之七。约分术曰：可半者半之，不可半者，副置分母子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。第66页第二章“粟米”讲述相关粮食交换中百分比问题。书中“今有术”给出百分比式中已知三数求第四数方法，欧洲迟至15世纪才出现。第三章“衰分”讲述配分百分比和等差、等比等问题。第四章“少广”讲述由田亩面积求边长，由球体积求经长算法，这是世界上最早多位数开平方、开立方法则记载。第67页开方术今有积五万五千二百二十五步，问为方几何？答曰：二百三十五步。开方术曰：置积为实，借一算步之，超一等。议所得，以一乘所借一算为法，而以除，除已，倍法为定法。其复除，折法而下。复置借算步之如初，以复议一乘之。所得副之，以加定法，以除，以所得副从定法。复除折下如前。第68页第五章“商功”讲述各种土木工程中体积计算。我国自远古以来，对筑城、挖沟、修渠等土建工程积累了丰富经验，创造了许多相关土方体积计算和估算方法，本章即为经验和方法理论总结，诸如长方体、台体、圆柱体、锥体等体积计算公式都与现在一致，只是圆周率取3，误差较大。第69页第六章“均输”讲述纳税和运输方面计算问题，实际上是比较复杂百分比计算问题。第七章“盈不足”讲述算术中盈亏问题解法。盈不足术实际上是一个线性插值法。该方法经过丝绸之路传入阿拉伯国家，受到尤其重视，被称为“契丹算法”。以后传入欧洲，13世纪意大利数学家斐波那契算经一书中专门有一章讲“契丹算法”。第70页第八章“方程”讲述线性方程组解法，还论及正负数概念及运算方法。中算方程，本意是指多元一次方程组（线性方程组）。刘徽在九章算术注中指出：“程，课程也。群物总杂，各列有数，总言其实。令每行为率，二物者再程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程。”第71页方程术例题今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗；问上、中、下禾实一秉各几何？第72页正负术李文林在数学史教程中指出：“对负数认识是人类数系扩充重大步骤。假如说古希腊无理量是演绎思维发觉，那么中算负数则是算法思维产物。中算家们心安理得地接收并使用了这一概念，并没有引发震撼和迷惑。”国外首先认可负数是7世纪印度数学家婆罗门及多，欧洲16世纪时韦达等数学家著作还回避使用负数。第73页勾股术第九章“勾股”在周髀算经中勾股定理基础上，形成了应用问题“勾股术”，从此它成了中算中主要传统内容之一。今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？答曰：水深一丈二尺；葭长一丈三尺。术曰：半池方自乘，以出水一尺自乘，减之。余，倍出水除之，即得水深。加出水数，得葭长。第74页刘徽数学成就刘徽数学成就刘徽九章算术注包含了他本人许多创造，其中最突出成就是“割圆术”和求积理论。若设圆面积为 ，内接正n边形边长为 ，面积为则OABCD第75页圆周率刘徽用“割圆术”从圆内接正六边形出发，算到圆内接正192=625边形，得到“徽率”3.14。推测祖冲之可能也是沿用了“割圆术”，计算到圆内接正24576=6212边形，即可得祖冲之结果。第76页刘徽求积理论刘徽面积、体积理论建立在一条简单而又基本原理之上，这就是“出入相补原理”。刘徽用这条原理成功地证实了九章算术中许多面积公式。刘徽在推证九章算术中一些体积公式时，灵活地使用了两种无限小方法：极限方法与不可分量方法。比如，“阳马”体积公式便是用极限方法推导出来，而球体积公式推导则使用了不可分量方法。为计算球体积，刘徽提出“牟合方盖”。第77页算经十书算经十书 出于官方数学教育需要，唐高宗亲自下令对以前数学著作进行整理。公元656年由李淳风负责编定了算经十书：周髀算经、九章算术、孙子算经、五曹算经、张邱建算经、夏侯阳算经、缉古算经、海岛算经、五经算术和缀术，后因缀术失传，而以数术记遗替换。第78页孙子算经 鸡兔同笼鸡兔同笼今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足。问雉、兔各几何？答曰：雉二十三，兔一十二。术曰：上置头，下置足，半其足，以头除足，以足除头，即得。物不知数物不知数今有物，不知其数。三三数之，剩二；五五数之剩三；七七数之，剩二。问物几何？答曰：二十三。第79页孙子歌 明代数学家程大位算法统宗中所载“孙子歌”以诗歌形式介绍了物不知数问题解法：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆整半月，除百零五便得知。”这一问题解法后经秦九韶推广到普通情形，被称为“孙子定理”，又称为“中国剩下定理”。第80页宋元数学宋元数学 宋元时期（960-1368）出色数学家秦九韶、杨辉、李冶、朱世杰被称为“宋元四大家”。宋元时期数学代表著作有数书九章（秦九韶）、详解九章算法（杨辉）、益古演段（李冶）和四元玉鉴（朱世杰）等 第81页大衍总数术大衍总数术 问题：求满足 最小自然数N。设 ，求乘率 使 则总数第82页中国剩下定理中国剩下定理秦九韶算法非常严密，但他并没有对这一算法给出证实。到18、19世纪欧拉（1743）和高斯（1801）分别对一次同余式组进行了详细研究，重新独立地取得了与秦九韶“大衍术”相同定理，并对模数两两互素情形给出了严格证实。高斯结果是最完整，他还处理了模不是两两互素时情形。1876年德国人马蒂生首先指出秦九韶算法与高斯算法是一致，所以关于这一算法被称作“中国剩下定理”。第83页第四讲 平面解析几何产生16世纪之前数学基本上是常量数学，而近代数学本质却是变量数学。16世纪，对运动与改变研究已经变成自然科学中心问题，这就需要有一个新数学工具，从而造成了变量数学也就是近代数学诞生。变量数学第一个里程碑是解析几何创造，然后就是微积分创造。第84页笛卡儿解析几何笛卡儿于1637年发表了著名哲学著作更加好地指导推理和寻求科学真理方法论，该书有三个附录几何学、屈光学、气象学，解析几何创造包含在几何学这篇附录中。笛卡儿在另一部较早哲学著作指导思维法则中了普通某种普通方法，其思绪是：任何问题任何问题数学问题数学问题代数问题代数问题方程问题方程问题。第85页笛卡儿创建解析几何传说一个传说讲，笛卡儿终生保持着在耶酥会学校读书时养成“晨思”习惯，在一次晨思时，看见一只苍蝇正在天花板上爬，他突然想到，假如知道了苍蝇与相邻两个墙壁距离之间关系，就能描述它路线，这使他头脑中产生了关于解析几何最初闪念。另一个传说是，16冬天，笛卡儿随军队驻扎在多瑙河畔一个村庄，在圣马丁节前夕（11月10日），他作了三个连贯梦，从而揭示解析几何发觉。第86页笛卡儿笛卡儿出生于法国贵族家庭，早年受教于耶酥会学校，曾于16和16两次从军，离开军营后，旅行于欧洲，他学术研究是在军旅和旅行中作出。笛卡儿对许多学科领域都有主要贡献。古今数学思想对笛卡儿有这么一个评价：“他是第一个出色近代哲学家，是近代生物学奠基人，是第一流物理学家，但只偶然是个数学家。”第87页费马猜测费马大定理：时，方程 没有正整数解。费马小定理：p为素数，则第88页第五讲 微积分诞生17世纪最伟大数学成就是微积分创造。微积分是描述运动过程数学，它产生为力学、天文学以及以后电磁学等提供了必不可少工具。微积分产生前提有两个：几何坐标和函数概念。而这两个方面因为笛卡儿和费马等人工作，其基础已基本具备。第89页当代科技推进力对微积分创造起了直接推进作用是当代科技发展。17世纪，开普勒提出行星运行定律，从数学上推证这些定律成了当初自然科学中心课题，伽利略自由落体定律、动量定律、抛物体运动性质等也激起了人们用数学方法研究动力学热情。凡此一切都归结为以下一些基本问题：确定非匀速运动物体速度和加速度需要研究瞬时改变率问题；望远镜设计需要确定透镜曲面上任一点法线因而需要研究曲线切线问题；确定炮弹最大射程等需要研究最大、最小值；确定行星运行旅程、向径扫过面积等又需要计算曲线长、曲边图形面积等。这一切都需要有一个新计算工具诞生。第90页牛顿、莱布尼茨之前微积分方法 微积分理论建立聚集了许许多多数学家努力，如：开普勒求积术卡瓦列里不可分量原理笛卡儿求切线方程“圆法”费马求极大、极小值方法巴罗“微分三角形”沃利斯“无穷算术”第91页流数术处理基本问题牛顿在流数简论中提出并处理了以下基本问题：（1）设有两个或更多个物体在同一时间内描画线段x，y，z，已知表示这些线段关系方程，求它们速度p，q，r，。（2）已知表示线段x和运动速度之比p/q关系方程式，求另一线段y。第92页微积分基本定理这两个问题实际上是对微积分可处理一些特殊问题普通化，如求瞬时速度、切线斜率就可归结为第一问题，而第二问题显著是第一问题逆运算。牛顿把他问题（2）看成问题（1）逆运算，并给出了标准解法。流数简论讨论了怎样借助于逆运算来求面积，从而建立了“微积分基本定理”。第93页牛顿诞生伽利略逝世那一年，牛顿诞生了。牛顿（16431727）时代，正是科学在英国兴起时代。1662年，英国皇家学会成立，以其为中心出现了一大批热心科学研究和技术创造人，他们许多新发觉和创造使英国成了当初欧洲科学技术中心。第94页牛顿学习生涯牛顿出生在一个中等农户家庭，是个遗腹子，而且早产，出生后勉强活了下来。中课时学习成绩并不突出，但十分喜欢做机械玩具和模型。17岁时，他母亲把他从当初就读中学召回田庄务农，但牛顿不喜欢干农活。在牛顿舅舅和格兰瑟姆中学校长尽力劝说下，他母亲才在九个月后允许牛顿返校学习。当初史托克斯校长对牛顿母亲说：“在繁杂农活中埋没这么一位天才，对世界来说将是多么巨大损失。”以后牛顿在他舅舅支持下就读于剑桥大学三一学院。第95页牛顿成为卢卡斯教授1665-1666年，牛顿为躲避伦敦瘟疫而回到故乡爱尔索普。这期间他发觉了二项式定理和流数法，进行了颜色试验，并开始思索万有引力问题。1667年回到剑桥被选为三一学院研究员，1669年接替巴罗成为数学卢卡斯教授。1670年起，在剑桥大学正式开课，但因为过于艰深，他讲课没能受到学生欢迎。第96页从光学研究到引力研究1670年起，牛顿主要研究光学，制造反射望远镜，发觉了太阳光合成性质，并被选为皇家学会会员。正是在光学领域中发生了他与胡克（R.Hooke，16351703）争吵，既影响了科学研究气氛，也影响了牛顿健康。经过近十年中止，1679年底牛顿注意力重新集中于引力研究，并于80年代上半期全力写成了自然哲学数学原理。第97页自然哲学数学原理1687年，哈雷（天文学家，皇家学会会员，发觉了著名哈雷彗星，约76年出现一次，是太阳系一个组员）用自己钱资助，出版了牛顿著作自然哲学数学原理。这本书被公认为科学史上最伟大著作（爱因斯坦称赞为“无比辉煌演绎成就”）。它成了理论力学、天文学、宇宙学能够补充但不可超越理论基石。全书关键是力学三定律（惯性定律、加速度定律、作用与反作用定律）和万有引力定律。第98页对宇宙认识波兰青年哥白尼（14731543）于1496年到意大利波伦亚大学求学。在意大利游学了后，哥白尼回到了波兰，一边行医、一边担负着教会一些工作，同时开始构思和撰写天文学著作天体运行论。这本书从开始写作到修改定稿共用了36年时间，直到1543年，作者在弥留之际才将其付印出版，哥白尼在见到自己著作后很快便与世长辞了。但这本书却引发了一场巨大学术革命，使人类开始重新认识宇宙、地球以及物体运动。第99页哥白尼天文学体系哥白尼天文学体系在数学形式方面比托勒密体系要简单得多，他第一次正确地描述了水星、金星、地球和月亮、火星、土星、木星轨道实际相对于太阳次序位置，指出它们轨道大致在一个平面上，公转方向也是一致，月球是地球卫星，和地球一起绕太阳旋转。第100页布鲁诺意大利哲学家布鲁诺（15481600）大力宣传哥白尼学说，而且比哥白尼更激进，他认为太阳不是宇宙中心，无垠宇宙没有中心。他最先在巴黎大学、牛津大学讲课时宣传空间无限大和地动说，批判亚里士多德和托勒密学说，新教和天主教会均不能接收他观点。1592年他回到意大利，被宗教裁判所监禁。假如他放弃自己观点就能够被释放，但他却选择了坚持自己观点。16，布鲁诺被烧死在罗马鲜花广场。第101页第谷布拉赫在哥白尼逝世后三年出生丹麦人第谷布拉赫（15461601）是一位著名天文学家。听说他14岁在哥本哈根大学读书时就预见了一次日食，这使他名声大振，以后成为宫廷天文学家。第谷并没有接收哥白尼学说，但他在一个天文台细心观察天象达20多年，作了详细统计，并把前人星表中错误一个个纠正过来。晚年收德国人开普勒为（15711630）为弟子。第102页开普勒研究开普勒是哥白尼学说信仰者，在与第谷合作后，总算找到了发觉机会。开普勒先从第谷留给他火星资料开始研究，发觉没有任何一个圆复合轨道能与其相符。经过大量尝试和计算后，终于发觉火星轨道是一个椭圆。开普勒在欣喜之余把这一发觉推广到了全部行星。得到这一结果，开普勒花费了时间，在16他公布了行星运行三大定律前两条，16公布了最终一条。第103页行星运行三大定律轨道定律：行星绕太阳运行轨道是椭圆，太阳在一个焦点上。面积定律：从太阳中心到行星中心联线（向径）在相等时间里，扫过面积相等。周期定律：行星绕太阳一周时间平方与他们到太阳平均距离立方成正比。第104页伽里略天文望远镜伽里略最初科学生涯主要是对力学研究。16，荷兰一个眼镜制造商汉斯利佩希在偶然创造并开始制造望远镜。10个月后，伽里略听到了这个消息，便自己动手制造了一架天文望远镜，并把它对准星空。伽里略这一举动标志着天文学研究从肉眼观察进入了望远镜观察时代。他看到了激感人心景象：月球表面山丘和凹坑、木星四颗卫星、太阳黑子和自转、茫茫银河中无数行星等。他发觉公布后，轰动了学术界，人们说：哥伦布发觉了新大陆，伽里略发觉了新宇宙。第105页牛顿万有引力定律这实际上是对全部地上物体和天上物体运动基本规律发觉，它历史意义是伟大：哥白尼提出了一个正确太阳系结构假说；伽利略发觉了一些地上物体运动基本规律，并以观察事实支持了哥白尼；开普勒发觉了天空中行星运行真实情况；而牛顿则把他们全部伟大成就统一了起来，并回答了物体为何会这么运动问题。他在书中所说明基本定律成了全部力学基本出发点，他用万有引力定律解释了潮汐现象，并预言地球是赤道部分略为突出椭球。第106页万有引力定律万有引力定律是从开普勒行星运行三大定律中用数学方法推导出来，其公式是 它是一个普遍公式。牛顿万有引力定律使日心说得意被人们所广泛接收。而推导这一公式数学工具正是微积分方法。第107页光学自原理出版后，牛顿几乎停顿了自然科学方面研究工作。到17，胡克逝世后，他发表了光学，把自己三四十年前对光学研究工作加以整理出版，其中包含了对光反射、折射、色散研究。原理和光学是牛顿两部基本著作。第108页皇家学会会长、造币局局长长1693年，牛顿精神分裂症症状日见严重，于是离开了剑桥大学，1695年任造币局督办，169