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江西省南昌市2015-2016学年度第一学期期末试卷
（江西师大附中使用）高三理科数学分析

一、整体解读

试卷紧扣教材和考试说明，从考生熟悉的基础知识入手，多角度、多层次地考查了学生的数学理性思维能力及对数学本质的理解能力，立足基础，先易后难，难易适中，强调应用，不偏不怪，达到了“考基础、考能力、考素质”的目标。试卷所涉及的知识内容都在考试大纲的范围内，几乎覆盖了高中所学知识的全部重要内容，体现了“重点知识重点考查”的原则。
1．回归教材，注重基础
试卷遵循了考查基础知识为主体的原则，尤其是考试说明中的大部分知识点均有涉及，其中应用题与抗战胜利70周年为背景，把爱国主义教育渗透到试题当中，使学生感受到了数学的育才价值，所有这些题目的设计都回归教材和中学教学实际，操作性强。
2．适当设置题目难度与区分度
选择题第12题和填空题第16题以及解答题的第21题，都是综合性问题，难度较大，学生不仅要有较强的分析问题和解决问题的能力，以及扎实深厚的数学基本功，而且还要掌握必须的数学思想与方法，否则在有限的时间内，很难完成。
3．布局合理，考查全面，着重数学方法和数学思想的考察
在选择题，填空题，解答题和三选一问题中，试卷均对高中数学中的重点内容进行了反复考查。包括函数，三角函数，数列、立体几何、概率统计、解析几何、导数等几大版块问题。这些问题都是以知识为载体，立意于能力，让数学思想方法和数学思维方式贯穿于整个试题的解答过程之中。

二、亮点试题分析

1．【试卷原题】11.已知是单位圆上互不相同的三点，且满足，则的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．

【考查方向】本题主要考查了平面向量的线性运算及向量的数量积等知识，是向量与三角的典型综合题。解法较多，属于较难题，得分率较低。
【易错点】1．不能正确用，，表示其它向量。
2．找不出与的夹角和与的夹角的倍数关系。
【解题思路】1．把向量用，，表示出来。
2．把求最值问题转化为三角函数的最值求解。
【解析】设单位圆的圆心为O，由得，，因为，所以有，则

设与的夹角为，则与的夹角为2
所以，
即，的最小值为，故选B。
【举一反三】
【相似较难试题】【2015高考天津，理14】在等腰梯形中,已知 ,动点和分别在线段和上,且,则的最小值为 .

【试题分析】本题主要考查向量的几何运算、向量的数量积与基本不等式.运用向量的几何运算求，体现了数形结合的基本思想，再运用向量数量积的定义计算，体现了数学定义的运用，再利用基本不等式求最小值，体现了数学知识的综合应用能力.是思维能力与计算能力的综合体现.
【答案】
【解析】因为，，
，，

当且仅当即时的最小值为.
2．【试卷原题】20. （本小题满分12分）已知抛物线的焦点，其准线与轴的交点为，过点的直线与交于两点，点关于轴的对称点为．
（Ⅰ）证明：点在直线上；
（Ⅱ）设，求内切圆的方程.
【考查方向】本题主要考查抛物线的标准方程和性质，直线与抛物线的位置关系，圆的标准方程，韦达定理，点到直线距离公式等知识，考查了解析几何设而不求和化归与转化的数学思想方法，是直线与圆锥曲线的综合问题，属于较难题。
【易错点】1．设直线的方程为，致使解法不严密。
2．不能正确运用韦达定理，设而不求，使得运算繁琐，最后得不到正确答案。
【解题思路】1．设出点的坐标，列出方程。
2．利用韦达定理，设而不求，简化运算过程。
3．根据圆的性质，巧用点到直线的距离公式求解。
【解析】（Ⅰ）由题可知，抛物线的方程为
则可设直线的方程为，，
故整理得，故
则直线的方程为即
令，得，所以在直线上.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，所以，
又，
故，
则，故直线的方程为或
，
故直线的方程或，又为的平分线，
故可设圆心，到直线及的距离分别为-------------10分
由得或（舍去）.故圆的半径为
所以圆的方程为
【举一反三】
【相似较难试题】【2014高考全国，22】 已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝|PQ|.
（1）求C的方程；
（2）过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求l的方程．
【试题分析】本题主要考查求抛物线的标准方程,直线和圆锥曲线的位置关系的应用,韦达定理,弦长公式的应用,解法及所涉及的知识和上题基本相同.
【答案】（1）y2＝4x.
（2）x－y－1＝0或x＋y－1＝0.
【解析】（1）设Q(x0，4)，代入y2＝2px，得x0＝，
所以|PQ|＝，|QF|＝＋x0＝＋.
由题设得＋＝×，解得p＝－2(舍去)或p＝2，
所以C的方程为y2＝4x.
（2）依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为x＝my＋1(m≠0)．
代入y2＝4x，得y2－4my－4＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.
故线段的AB的中点为D(2m2＋1，2m)，
|AB|＝|y1－y2|＝4(m2＋1)．
又直线l ′的斜率为－m，
所以l ′的方程为x＝－y＋2m2＋3.
将上式代入y2＝4x，
并整理得y2＋y－4(2m2＋3)＝0.
设M(x3，y3)，N(x4，y4)，
则y3＋y4＝－，y3y4＝－4(2m2＋3)．
故线段MN的中点为E，
|MN|＝|y3－y4|＝.
由于线段MN垂直平分线段AB，
故A，M，B，N四点在同一圆上等价于|AE|＝|BE|＝|MN|，
从而|AB|2＋|DE|2＝|MN|2，即
4(m2＋1)2＋＋＝
，
化简得m2－1＝0，解得m＝1或m＝－1，
故所求直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.

三、考卷比较

本试卷新课标全国卷Ⅰ相比较，基本相似，具体表现在以下方面：
1. 对学生的考查要求上完全一致。
即在考查基础知识的同时，注重考查能力的原则，确立以能力立意命题的指导思想，将知识、能力和素质融为一体，全面检测考生的数学素养，既考查了考生对中学数学的基础知识、基本技能的掌握程度，又考查了对数学思想方法和数学本质的理解水平，符合考试大纲所提倡的“高考应有较高的信度、效度、必要的区分度和适当的难度”的原则．
2. 试题结构形式大体相同，即选择题12个，每题5分，填空题4 个，每题5分，解答题8个（必做题5个），其中第22，23，24题是三选一题。题型分值完全一样。选择题、填空题考查了复数、三角函数、简易逻辑、概率、解析几何、向量、框图、二项式定理、线性规划等知识点，大部分属于常规题型，是学生在平时训练中常见的类型．解答题中仍涵盖了数列，三角函数，立体何，解析几何，导数等重点内容。
3. 在考查范围上略有不同，如本试卷第3题，是一个积分题，尽管简单，但全国卷已经不考查了。

四、本考试卷考点分析表（考点/知识点，难易程度、分值、解题方式、易错点、是否区分度题）

题号
*考点
*试题难度
*分值
*解题方式
*易错率
区分度
1
复数的基本概念、复数代数形式的混合运算
易
5
直接计算
25%
0.85
2
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换、函数的图象与图象变化
中
5
数形结合
65%
0.60
3
定积分、定积分的计算
易
5
正面解
30%
0.75
4
条件语句、选择结构
中
5
正面解
55%
0.50
5
裂项相消法求和、等差数列与等比数列的综合
难
5
归纳推理
85%
0.40
6
其它不等式的解法、不等式的综合应用
难
5
数形结合
综合法
80%
0.45
7
棱柱、棱锥、棱台的体积、简单空间图形的三视图、由三视图还原实物图
中
5
数形结合
85%
0.40
8
求二项展开式的指定项或指定项的系数、等差数列的基本运算、数列与其它知识的综合问题
中
5
运用公式计算
70%
0.45
9
不等式恒成立问题、不等式与函数的综合问题
中
5
化归与转化
综合法
70%
0.50
10
双曲线的几何性质、直线与双曲线的位置关系、圆锥曲线中的范围、最值问题
难
5
数形结合
代数运算
演绎推理
85%
0.40
11
向量在几何中的应用、平面向量数量积的运算、向量的线性运算性质及几何意义
难
5
数形结合
分析法
88%
0.35
12
指数函数综合题、指数函数单调性的应用、指数型复合函数的性质及应用
难
5
数形结合
综合法
分析法
90%
0.30
13
导数的几何意义
易
5
正面解
30%
0.70
14
两角和与差的正弦函数、同角三角函数基本关系的运用、三角函数的恒等变换及化简求值
中
5
正面解
70%
0.40
15
古典概型的概率、点与圆的位置关系、两条直线平行的判定
难
5
化归与转化
代数运算
85%
0.35
16
向量在几何中的应用、平面向量的综合题、三角形中的几何计算
难
5
数形结合
化归与转化
建坐标系法
90%
0.30
17
等差数列与等比数列的综合、等差数列的性质及应用、等比数列的性质及应用、函数y＝Asin(ωx＋φ)的应用、两角和与差的正切函数
易
12
直接解法
数形结合
逻辑推理

30%
0.75
18
离散型随机变量的分布列的性质、概率的应用、离散型随机变量及其分布列、均值与方差
中
12

分析法
代数计算
70%
0.55
19
平面与平面垂直的判定与性质、直线与平面垂直的判定与性质、线面角和二面角的求法
中
12
数形结合
逻辑推理
70%
0.45
20
抛物线的定义及应用、直线、圆及圆锥曲线的交汇问题、圆方程的综合应用
难
12
数形结合
等价变换
代数运算
83%
0.40
21
导数的运算、不等式恒成立问题、函数的最值及其几何意义、不等式与函数的综合问题
难
12
分析法
数形结合
演绎推理
97%
0.26
22
圆的切线的性质定理的证明、与圆有关的比例线段
中
10
数形结合
逻辑推理
70%
0.45
23
直线的参数方程、简单曲线的极坐标方程
中
10
数形结合
等价转化
70%
0.40
24
绝对值不等式、不等式的基本性质
中
10
分析法
70%
0.45

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