非线性方程组的数值解法省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

第二章第二章 非线性方程数值解法非线性方程数值解法/*Numerical Solutions of Nonlinear Equations*/本章主要内容：本章主要内容：1 1、二分法、二分法2 2、不动点迭代结构及其收敛性判定、不动点迭代结构及其收敛性判定（重点）（重点）3 3、Steffensen迭代迭代4 4、Newton迭代迭代（重点）（重点）5 5、割线法割线法第1页历史背景历史背景 代数方程求根问题是一个古老数学问题。理论上，代数方程求根问题是一个古老数学问题。理论上，次代次代数方程在复数域内一定有数方程在复数域内一定有 个根个根(考虑重数考虑重数)。早在。早在1616世纪就找世纪就找到了三次、四次方程求根公式，但直到到了三次、四次方程求根公式，但直到1919世纪才证实大于等于世纪才证实大于等于5 5次普通代数方程式不能用代数公式求解，而对于超越方程就次普通代数方程式不能用代数公式求解，而对于超越方程就复杂多，假如有解，其解可能是一个或几个，也可能是无穷多复杂多，假如有解，其解可能是一个或几个，也可能是无穷多个。普通也不存在根解析表示式。所以需要研究数值方法求得个。普通也不存在根解析表示式。所以需要研究数值方法求得满足一定精度要求根近似解。满足一定精度要求根近似解。第2页求方程求方程 几何意义几何意义abx*三个基本问题三个基本问题存在性？假如有根,有几个?怎样求根？假如函数假如函数 在在 上连续，且上连续，且则最少有一个数则最少有一个数 使得使得 ，若同时，若同时 一阶导一阶导数数 在在 内存在且保持定号，即内存在且保持定号，即 (或或 )则这么则这么 在在 内唯一。内唯一。基本定理基本定理第3页例1 求方程 有根 区间解：0 1 2 3 4 5 6-+-+有根区间 1,2，3,4，5,6。第4页1 1 二分法二分法 /*Bisection Method*/原理：原理：若若 f Ca,b，且，且 f(a)f(b)0，则，则 f 在在(a,b)上最少有一实根。上最少有一实根。基本思想：基本思想：逐步将区间分半，经过判别区间端点函数值符号，深逐步将区间分半，经过判别区间端点函数值符号，深入搜索有根区间，将有根区间缩小到充分小，从而求入搜索有根区间，将有根区间缩小到充分小，从而求 出满足给定精度根出满足给定精度根 近似值。近似值。以这类推以这类推第5页终止法则？终止法则？abx1x2abWhen to stop?或或不能确保不能确保 x 精度精度x*2xx*第6页3、由二分法过程可知：由二分法过程可知：4、对分次数计算公式：对分次数计算公式：1、2、令令误差误差 分析分析第7页解解：例例2 2：用二分法求方程用二分法求方程 在区间在区间 上根，上根，要求保留三位有效数字。要求保留三位有效数字。第8页第9页简单简单;对对f(x)要求不高要求不高(只要连续即可只要连续即可).无法求复根及无法求复根及偶重根偶重根收敛慢收敛慢 注：注：注：注：用二分法求根，最好先给出用二分法求根，最好先给出 f(x)草图以确定根大约草图以确定根大约位置。或用搜索程序，将位置。或用搜索程序，将a,b分为若干小区间，对每一分为若干小区间，对每一个满足个满足 f(ak)f(bk)0 区间调用二分法程序，可找出区区间调用二分法程序，可找出区间内多个根，且无须要求间内多个根，且无须要求 f(a)f(b)0。优点优点缺点缺点第10页2 迭代法理论迭代法理论 /*Theory of Iteration Method*/f(x)=0 x=g(x)（迭代函数）（迭代函数）等价变换等价变换思思绪绪从一个初值从一个初值 x0 出发，计算出发，计算 x1=g(x0),x2=g(x1),xk+1=g(xk),若若 收敛，即存在收敛，即存在 x*使使得得 ，且，且 g 连续，则由连续，则由 可可知知 x*=g(x*)，即，即x*是是 g 不动点，也就是不动点，也就是f 根。根。看起来很简单，令人看起来很简单，令人有点不相信，那么问有点不相信，那么问题是什么呢？题是什么呢？怎样判定这种方怎样判定这种方法是收敛呢？法是收敛呢？f(x)根根g(x)不动点不动点一、不动点迭代一、不动点迭代 /*Fixed-Point Iteration*/第11页xyy=xxyy=xxyy=xxyy=xx*x*x*x*y=g(x)y=g(x)y=g(x)y=g(x)x0p0 x1p1 x0p0 x1p1 x0p0 x1p1x0p0 x1p1几何意义几何意义第12页例例3：已知方程已知方程 在在 上有一个根（正根）上有一个根（正根）能够选取能够选取5 5种迭代格式：种迭代格式：1 1、即即2 2、即即3 3、即即4 4、即即5 5、即即第13页取取计算结果以下：计算结果以下：法法1 1法法4 4法法3 3法法2 2法法5 5第14页三个基本问题三个基本问题怎样结构适当？满足什么条件 收敛？收敛速度，误差预计。怎样加速 收敛？第15页Lipschitz条件成条件成立充分条件立充分条件考虑方程考虑方程 x=g(x),若若(I)当当 x a,b 时，时，g(x)a,b；(II)0 L 1 使得使得 对对 x a,b 成成立。立。则任取则任取 x0 a,b，由，由 xk+1=g(xk)得到序列得到序列 收敛收敛于于g(x)在在a,b上唯一不动点。而且有误差预计式：上唯一不动点。而且有误差预计式：(k=1,2,)第16页证实：证实：g(x)在在a,b上存在不动点？上存在不动点？令令有根有根 不动点唯一？不动点唯一？反证：若不然，设还有反证：若不然，设还有 ，则则在在和和之间。之间。而而 当当k 时，时，xk 收敛到收敛到 x*？第17页可用可用 来来控制收敛精度控制收敛精度 L 越越 收敛越快收敛越快小小注注注注1 1：定理条件中定理条件中(II)，可改为，可改为g(x)在在a,b 满足满足Lipschitz条件条件,定理结论依然成立。定理结论依然成立。注注2：若若 ，对，对 有有 ，则，则 发散。发散。第18页例例4 4：已知方程已知方程 在在1.51.5附近有根，把方程写成三附近有根，把方程写成三种不一样等价形式种不一样等价形式(1)(1)对应迭代格式对应迭代格式 ；(2)(2)对应迭代格式对应迭代格式 ；(3)(3)对应对应迭代格式迭代格式 ;判断迭代格式在判断迭代格式在 收敛性，选收敛性，选一个一个收敛格式收敛格式计算，准确到小数点后计算，准确到小数点后第二位第二位。解：解：取 邻域1.3,1.6来考查。第19页第20页 总而言之，方法1和方法2均收敛，但第二种迭代格式中L较小，所以第二种迭代格式收敛较快，选取第二种方法计算。第21页 例5：证实：第22页（收敛阶收敛阶/*the order of Convergence*/)设序列设序列 收敛到收敛到 ，若存在实数，若存在实数 及常及常数数 ，使，使 则称序列则称序列 是是 阶收敛，阶收敛，称为渐近误差常数。当称为渐近误差常数。当 且且 时，时，称为线称为线性收敛，性收敛，为超线性收敛，为超线性收敛，时为平方或二次收敛时为平方或二次收敛.注注注注:大小反应了迭代法收敛快慢，是收敛速度大小反应了迭代法收敛快慢，是收敛速度 一一 种度量种度量.第23页第24页证实：第25页例6：解：第26页第27页