1、1第三章 矩阵初等变换与线性方程组 一,矩阵初等变换第四章 线性方程组和非线性方程组迭代法 第一节 引言是一个向量序列,定义:与第二章单个方程想法类似,我们按某种方式结构一个序列,使这个序列 收敛到准确解.因为方程组解是一个向量,所以现在要结构是一个向量序列,而且还包括向量序列收敛问题.则称向量序列收敛,记为第第1页页2定义:是一个向量,是一个实值函数,记为 假如这个函数满足以下三条:范数是绝对值概念一个推广则称 为 范数,上述三个条件又称范数公理.三种惯用向量范数:第第2页页3定理:定义:A是n阶方阵,是A一个非负实值函数,记为则称 为 范数.三种惯用矩阵范数:假如满足以下范数公理称列范数称
2、行范数第第3页页4定义:A是n阶方阵,x是n维列向量，假如满足 则称这种矩阵范数和向量范数是相容。这么矩阵范 数称为矩阵自然范数。上述三种惯用矩阵范数都是自然范数。定义:A是n阶方阵，A特征值为：称为A谱半径。定理：对任意方阵A必有第第4页页5第二节 迭代法基本概念和收敛条件 线性方程组迭代法基本思想与第二章单个方程迭代法类似首先将f(x)=Ax b=0转化为等价方程组 x=Bx+d，这里B是一个常数矩阵，称为迭代矩阵，x是一个常向量。对于给定初始向量 ，由迭代格式：定义1(初等变换)就能够结构出一个向量序列 使之收敛于方程组准确解。线性方程组迭代法收敛定理：定理:对于方程组x=Bx+d,假如
3、 则有以下结论:(1)该方程组有唯一解;(2)对于任意给定初始向量 ,由上述迭代格式 结构向量序列 收敛于方程准确解 ;(3)有误差预计式:第第5页页6注意：这个定理条件是收敛充分条件,不是充要条件.与单个方程结论类似 越小,收敛越快.矩阵等价定理:由上述迭代格式结构序列收敛 同理,越小,收敛越快.充要条件第第6页页7第三节 解线性方程组迭代法取初值:行最简形,标准形,等价类一 Jacobi迭代法先看一个例子:第第7页页8由此可得到Jacobi迭代法:行最简形,标准形,等价类 Jacobi迭代法普通形式在实际计算时经常采取其分量形式:第第8页页9二,初等矩阵 定义4(初等矩阵)由上述迭代矩阵结
4、构能够看出,对于Jacobi 迭代收敛问题有比较简单判别法:假如方程组系数矩阵A是严格主对角占优,则Jacobi 迭代法对于任意初始向量都是收敛.这个条件等价于 第第9页页10取初值:行最简形,标准形,等价类二 Gauss-Seidel迭代法把Jacobi迭代稍做改进得:Gauss-Seidel迭代法是充分利用了有效信息,以改进计算效果Jacobi 迭代需要两套储存单元,而G-S迭代只需一套储存单元.第第10页页11行最简形,标准形,等价类 G-S迭代法普通形式其分量形式:第第11页页12 对于G-S 迭代收敛问题也有比较简单判别法:假如方程组系数矩阵A是严格主对角占优,则 G-S 迭代法对于
5、任意初始向量都是收敛.假如方程组系数矩阵正定,则 G-S 迭代法对于任意初始向量都是收敛.注意:上述条件都是收敛充分条件第第12页页13行最简形,标准形,等价类三 松弛迭代法这是在G-S迭代基础上一个加速方法,它分为迭代和加速两个过程迭代:加速:第第13页页14 第四节 解非线性方程组迭代法一 普通迭代法 与单个非线性方程迭代法类似,先化为等价方程组第第14页页15 由此就能够建立一个迭代格式:普通迭代法收敛条件与单个方程迭代法收敛条件很类似称为迭代向量函数第第15页页16Th1定理 设D是n 维空间一个连通区域,若迭代向量函数g(x)满足:(1)(2)g(x)全部一阶偏导数在D上连续,且一阶
6、偏导数矩阵范数小于1,即:则对于任意给定D中初始向量,该迭代法都收敛于方程组准确解.且范数越小收敛越快.第第16页页17Th5及推论二 Seidel迭代法 Seidel迭代法是普通迭代法一个改进,其迭代格式为:普通地第第17页页18利用初等变换求逆矩阵第五节 矩阵条件数和病态方程 组处理第第18页页19例由此可见方程组系数矩阵或常数向量有很小误差时,有可能引发解很大误差,所以需要讨论它们之间关系.设理论方程为Ax=b,若A是准确,b有一个偏差方程成为第第19页页20利用初等变换求A-1B若b是准确,A有一个偏差方程成为定义:A是n阶方阵,正实数 称为A条件数,记为cond(A)当条件数很大时,称这个方程组病态,不然称良态.条件数与范数相关,但只有量关系,没有质关系.对于病态方程组处理:(1)加大字长,降低舍入误差;(2)改进算法.第第20页页21利用初等变换求CA-1迭代改进算法:设 是方程组Ax=b一个近似解令:再求解方程组再令:如此重复,直到 充分小.这个算法称为迭代改进方法.另外我们利用方阵条件数,还能够得到一个关于解“相对误差”预计式:第第21页页
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