2023年新版全国初中数学竞赛试题及答案.doc

全国初中数学竞赛试题
考试时间 3月17日 9:30-11:30 满分150分
题 号
一
二
三
总 分
1～5
6～10
11
12
13
14
得 分

评卷人

复查人

答题时注意：
1．用圆珠笔或钢笔作答；
2．解答书写时不要超过装订线；
3．草稿纸不上交．
一、选用题（共5小题，每题7分，共35分.每道小题均给出了代号为A，B，C，D四个选项，其中有且只有一种选项是对旳.请将对旳选项代号填入题后括号里，不填、多填或错填都得0分）
1．设非零实数a，b，c，满足则值为（ ）
（A）— （B）0 （C） （D）1
2．已知a，b，c是实常数，有关x一元二次方程ax2+bx+c=0有两个非零实根x1，x2，则下列有关x一元二次方程中，以，为两个实根是（ ）
（A）c2x2+(b2－2ac)x+a2=0 （B）c2x2—(b2－2ac)x+a2=0
（C）c2x2+(b2－2ac)x—a2=0 （D）c2x2—(b2－2ac)x—a2=0
3．如图，在Rt△ABC中，已知O是斜边AB中点，CD⊥AB，垂足为D，DE⊥OC，垂足为E，若AD，DB，CD长度都是有理数，则线段OD，OE，DE，AC长度中，不一定是有理数为（ ）
（A）OD （B）OE （C）DE （D）AC
4．如图，已知△ABC面积为24，点D在线段AC上，点F在线段BC延长线上，且BC=4CF，DCFE是平行四边形，则图中阴影某些面积为（ ）
（A）3 （B）4 （C）6 （D）8
5．对于任意实数x，y，z，定义运算“*”为：=，
且，则值为（ ）
（A） （B） （C） （D）
二、填空题（共5小题，每题7分，共35分）
6．设a=，b是a2小数某些，则(b+2)3值为____________．
7．如图，点D，E分别是△ABC边AC，AB上点，直线BD与CE交于点F，已知△CDF，△BFE，△BCF面积分别为3，4，5，则四边形AEFD面积是____________．
8．已知正整数a，b，c满足a+b2—2c—2=0，3a2—8b+c=0，则abc最大值为__________．
9．实数a，b，c，d满足：一元二次方程x2+cx+d=0两根为a，b，一元二次方程x2+ax+b=0两根为c，d，则所有满足条件数组（a，b，c，d）为___________________________________．
A
B
C
E
D
（第7题)
A
B
C
F
D
E
（第4题)
10．小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，圆珠笔每支售7元．开始时她有铅笔和圆珠笔共350支，当日虽然笔没有卖完，不过她销售收入恰好是元，则她至少卖出了__________支圆珠笔．
A
B
C
O
D
E
（第3题)

三、解答题（共4题，每题20分，共80分）
11．如图，抛物线y=ax2+bx—3，顶点为E，该抛物线与轴交于A，B两点，与轴交于点C，且OB=OC=3OA，直线y=—x2+1与轴交于点D，求∠DBC－∠CBE．
A
D
B
C
O
y
x
E

12．设△ABC外心，垂心分别为O，H，若B，C，H，O共圆，对于所有△ABC，求∠BAC所有也许度数．

13．设a，b，c是素数，记x=b+c－a，y=c+a－b，z=a+b－c，当z2=y，－=2时，，，能否构成三角形三边长？证明你结论．

14．假如将正整数M放在正整数m左侧，所得到新数可被7整除，那么称M为m“魔术数”（例如，把86放在415左侧，得到数86415能被7整除，因此称86为415魔术数）．求正整数n最小值，使得存在互不相似正整数a1，a2，…，an，满足对任意一种正整数m，在a1，a2，…，an中都至少有一种为魔术数．

全国初中数学竞赛试题参照答案
一、选用题
1．【答案】A
【解答】由已知得，故．于是，因此．
2．【答案】B
【解答】由于是有关一元二次方程，则．由于，，且，因此，且 ，，
于是根据方程根与系数关系，以，为两个实根一元二次方程是，即．

（第3题）
3．【答案】D
【解答】
（第3题答题）
因AD，DB，CD长度都是有理数，因此，OA＝OB＝OC＝是有理数．于是，OD＝OA－AD是有理数．
由Rt△DOE∽Rt△COD，知，都是有理数，而AC＝不一定是有理数．

（第4题）
4．【答案】C
【解答】由于DCFE是平行四边形，因此DE//CF，且EF//DC．

（第4题答题）
连接CE，由于DE//CF，即DE//BF，因此S△DEB = S△DEC，
因而本来阴影某些面积等于△ACE面积．
连接AF，由于EF//CD，即EF//AC，因此S△ACE = S△ACF．
由于，因此S△ABC = 4S△ACF．故阴影某些面积为6．
5．【答案】C
【解答】设，则
，
于是．

二、填空题
6．【答案】
【解答】由于，故，因而．
7．【答案】
【解答】如图，连接AF，则有：

（第7题答题）
，
，
解得，．
因此，四边形AEFD面积是．
8．【答案】
【解答】由已知，消去c，并整顿得
．由a为正整数及≤66，可得1≤a≤3．
若，则，无正整数解；
若，则，无正整数解；
若，则，于是可解得，．
（i）若，则，从而可得；
（ii）若，则，从而可得．
综上知最大值为．
9． 【答案】，（为任意实数）
【解答】由韦达定理得
由上式，可知．
若，则，，进而．
若，则，有（为任意实数）．
经检查，数组与（为任意实数）满足条件．
10．【答案】207
【解答】设x，y分别体现已经卖出铅笔和圆珠笔支数，则
因此，
于是是整数．又，
因此，故y最小值为207，此时．

三、解答题

（第11题）
11．如图，抛物线，顶点为E，该抛物线与轴交于A，B两点，与轴交于点C，且OB＝OC＝3OA．直线与轴交于点D．
求∠DBC-∠CBE．
【解答】将分别代入，知，D(0，1)，C(0，)，
因此B(3，0)，A(，0)．直线过点B．

（第11题答题）
将点C(0，)坐标代入，得．

抛物线顶点为(1，)．于是由勾股定理得
BC＝，CE＝，BE＝．
由于BC2＋CE2＝BE2，因此，△BCE为直角三角形，．
因而tan==．又tan∠DBO=，则∠DBO＝．
因此，．

12．设△外心，垂心分别为，若共圆，对于所有△，求所有也许度数．
【解答】分三种状况讨论．
（i）若△为锐角三角形．
由于，
因此由，可得，于是．

（第12题答题（ii））

（第12题答题（i））

（ii）若△为钝角三角形．
当时，由于，
因此由，可得，于是。

当时，不妨假设，由于，
因此由，可得，于是．

（iii）若△为直角三角形．
当时，由于为边中点，不也许共圆，
因此不也许等于；
当时，不妨假设，此时点B与H重叠，于是总有共圆，因而可以是满足所有角．
综上可得，所有也许取到度数为所有锐角及．

13．设，，是素数，记，当时，，，能否构成三角形三边长？证明你结论．
【解答】不能．
依题意，得．
由于，因此．
又由于为整数，为素数，因此或，．

当时，．进而，，，与，是素数矛盾；

当时，，因此，，不能构成三角形三边长．

14．假如将正整数M放在正整数m左侧，所得到新数可被7整除，那么称M为m“魔术数”（例如，把86放在415左侧，得到数86415能被7整除，因此称86为415魔术数）．求正整数n最小值，使得存在互不相似正整数，满足对任意一种正整数m，在中都至少有一种为m魔术数．
【解答】若n≤6，取1，2，…，7，根据抽屉原理知，必有中一种正整数M是≤＜≤7公共魔术数，即7|()，7|()．则有7|()，但0＜≤6，矛盾．
故n≥7．

又当为1，2，…，7时，对任意一种正整数m，设其为位数（为正整数）．则（…，7）被7除余数两两不一样．若否则，存在正整数，≤＜≤7，满足7|[(，即，从而7|，矛盾．
故必存在一种正整数≤≤7，使得7|(，即为m魔术数．
因此，n最小值为7．