2023年新版全国初中数学竞赛试题及答案.doc

全国初中数学竞赛试题考试时间 3月17日 9:30-11:30 满分150分题 号一二三总 分156101112 1314得 分评卷人复查人 答题时注意：1用圆珠笔或钢笔作答；2解答书写时不要超过装订线；3草稿纸不上交一、选用题（共5小题，每题7分，共35分.每道小题均给出了代号为A，B，C，D四个选项，其中有且只有一种选项是对旳.请将对旳选项代号填入题后括号里，不填、多填或错填都得0分）1设非零实数a，b，c，满足则值为（ ） （A） （B）0 （C） （D）12已知a，b，c是实常数，有关x一元二次方程ax2+bx+c=0有两个非零实根x1，x2，则下列有关x一元二次方程中，以，为两个实根是（ ） （A）c2x2+(b22ac)x+a2=0 （B）c2x2(b22ac)x+a2=0 （C）c2x2+(b22ac)xa2=0 （D）c2x2(b22ac)xa2=03如图，在RtABC中，已知O是斜边AB中点，CDAB，垂足为D，DEOC，垂足为E，若AD，DB，CD长度都是有理数，则线段OD，OE，DE，AC长度中，不一定是有理数为（ ） （A）OD （B）OE （C）DE （D）AC4如图，已知ABC面积为24，点D在线段AC上，点F在线段BC延长线上，且BC=4CF，DCFE是平行四边形，则图中阴影某些面积为（ ） （A）3 （B）4 （C）6 （D）85对于任意实数x，y，z，定义运算“*”为：=， 且，则值为（ ） （A） （B） （C） （D）二、填空题（共5小题，每题7分，共35分）6设a=，b是a2小数某些，则(b+2)3值为_7如图，点D，E分别是ABC边AC，AB上点，直线BD与CE交于点F，已知CDF，BFE，BCF面积分别为3，4，5，则四边形AEFD面积是_8已知正整数a，b，c满足a+b22c2=0，3a28b+c=0，则abc最大值为_9实数a，b，c，d满足：一元二次方程x2+cx+d=0两根为a，b，一元二次方程x2+ax+b=0两根为c，d，则所有满足条件数组（a，b，c，d）为_ABCED（第7题)ABCFDE（第4题)10小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，圆珠笔每支售7元开始时她有铅笔和圆珠笔共350支，当日虽然笔没有卖完，不过她销售收入恰好是元，则她至少卖出了_支圆珠笔ABCODE（第3题)三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11如图，抛物线y=ax2+bx3，顶点为E，该抛物线与轴交于A，B两点，与轴交于点C，且OB=OC=3OA，直线y=x2+1与轴交于点D，求DBCCBEADBCOyxE12设ABC外心，垂心分别为O，H，若B，C，H，O共圆，对于所有ABC，求BAC所有也许度数13设a，b，c是素数，记x=b+ca，y=c+ab，z=a+bc，当z2=y，=2时，能否构成三角形三边长？证明你结论14假如将正整数M放在正整数m左侧，所得到新数可被7整除，那么称M为m“魔术数”（例如，把86放在415左侧，得到数86415能被7整除，因此称86为415魔术数）求正整数n最小值，使得存在互不相似正整数a1，a2，an，满足对任意一种正整数m，在a1，a2，an中都至少有一种为魔术数全国初中数学竞赛试题参照答案一、选用题1【答案】A 【解答】由已知得，故于是，因此2【答案】B 【解答】由于是有关一元二次方程，则由于，且，因此，且 ，于是根据方程根与系数关系，以，为两个实根一元二次方程是，即（第3题）3【答案】D 【解答】（第3题答题）因AD，DB，CD长度都是有理数，因此，OAOBOC是有理数于是，ODOAAD是有理数由RtDOERtCOD，知，都是有理数，而AC不一定是有理数（第4题）4【答案】C 【解答】由于DCFE是平行四边形，因此DE/CF，且EF/DC（第4题答题）连接CE，由于DE/CF，即DE/BF，因此SDEB = SDEC，因而本来阴影某些面积等于ACE面积连接AF，由于EF/CD，即EF/AC，因此SACE = SACF由于，因此SABC = 4SACF故阴影某些面积为65【答案】C 【解答】设，则，于是二、填空题6【答案】 【解答】由于，故，因而7【答案】 【解答】如图，连接AF，则有：（第7题答题），解得，因此，四边形AEFD面积是8【答案】 【解答】由已知，消去c，并整顿得由a为正整数及66，可得1a3若，则，无正整数解；若，则，无正整数解；若，则，于是可解得，（i）若，则，从而可得；（ii）若，则，从而可得综上知最大值为9 【答案】，（为任意实数）【解答】由韦达定理得由上式，可知若，则，进而若，则，有（为任意实数）经检查，数组与（为任意实数）满足条件10【答案】207 【解答】设x，y分别体现已经卖出铅笔和圆珠笔支数，则因此，于是是整数又，因此，故y最小值为207，此时三、解答题（第11题）11如图，抛物线，顶点为E，该抛物线与轴交于A，B两点，与轴交于点C，且OBOC3OA直线与轴交于点D求DBC-CBE【解答】将分别代入，知，D(0，1)，C(0，)，因此B(3，0)，A(，0)直线过点B（第11题答题）将点C(0，)坐标代入，得抛物线顶点为(1，)于是由勾股定理得BC，CE，BE由于BC2CE2BE2，因此，BCE为直角三角形，因而tan=又tanDBO=，则DBO因此，12设外心，垂心分别为，若共圆，对于所有，求所有也许度数【解答】分三种状况讨论（i）若为锐角三角形由于，因此由，可得，于是（第12题答题（ii）（第12题答题（i）（ii）若为钝角三角形当时，由于，因此由，可得，于是。 当时，不妨假设，由于，因此由，可得，于是（iii）若为直角三角形当时，由于为边中点，不也许共圆，因此不也许等于；当时，不妨假设，此时点B与H重叠，于是总有共圆，因而可以是满足所有角综上可得，所有也许取到度数为所有锐角及13设，是素数，记，当时，能否构成三角形三边长？证明你结论【解答】不能依题意，得由于，因此又由于为整数，为素数，因此或，当时，进而，与，是素数矛盾；当时，因此，不能构成三角形三边长14假如将正整数M放在正整数m左侧，所得到新数可被7整除，那么称M为m“魔术数”（例如，把86放在415左侧，得到数86415能被7整除，因此称86为415魔术数）求正整数n最小值，使得存在互不相似正整数，满足对任意一种正整数m，在中都至少有一种为m魔术数【解答】若n6，取1，2，7，根据抽屉原理知，必有中一种正整数M是7公共魔术数，即7|()，7|()则有7|()，但06，矛盾故n7又当为1，2，7时，对任意一种正整数m，设其为位数（为正整数）则（，7）被7除余数两两不一样若否则，存在正整数，7，满足7|(，即，从而7|，矛盾故必存在一种正整数7，使得7|(，即为m魔术数因此，n最小值为7