2023年初中数学竞赛辅导讲义及习题解答由正难则反切入.doc

第二十九讲 由正难则反切入
人们习惯思维方式是正向思维，即从条件手，进行正面推导和论证，使问题得到处理．但有些数学问题，若直接从正面求解，则思维较易受阻，而“正难则反，顺难则逆，直难则曲”是突破思维障碍重要方略．
数学中存在着大量正难则反切入点．数学中定义、公式、法则和等价关系都是双向，具有可逆性；对数学措施而言，特殊与一般、详细与抽象、分析与综合、归纳与演绎，其思索方向也是可逆；作为解题方略，当正向思索困难时可逆向思索，直接证明受阻时可间接证明，探索也许性失败时转向考察不也许性．由正难则反切入详细途径有：
1． 定义、公式、法则逆用；
2．常量与变量换位；
3．反客为主；
4．反证法等．
【例题求解】
【例1】 已知满足，那么值为 ．

思绪点拨 视为整体，防止解高次方程求值．

【例2】 已知实数、、满足，且求值．

思绪点拨 显然求、、值或寻求、、关系是困难，令，则=，原等式就可变形为有关一元二次方程，运用根与系数关系求解．

注：（1）人们总习惯于用凝固眼光看待常量与变量，认为它们泾渭分明，更换不得，实际上将常量设为变量，或将变量临时看作常量，都会给人以有益启示．
（2）人思维活动既有“求同”和“定势”方面，又有“求异”和“变通”方面．求同与求异，定势与变通是人思维个性两极，充足运用知识和措施双向性，是培养思维能力重要途径．
正难则反在详细解题中，还体现为下列多种形式：
(1)不通分母通分子；
(2)不求局部求整体；
(3)不先开方先平方；
(4)不用直接挖隐含；
(5)不算相等算不等；
(6)不求动态求静态等．
【例3】 设、、为非零实数，且，，，试问：、、满足什么条件时，三个二次方程中至少有一种方程有不等实数根．
思绪点拨 如从正面考虑，条件“三个方程中至少有一种方程有不等实数根”所波及状况比较复杂，但从其背面考虑状况却十分简朴，只有一种也许，即三个方程都没有实数根，然后从全体实数中排除三个方程都无实数根、、取值即可．

注：受思维定势消极影响，人们在处理有几种变量问题时，总抓住主元不放，使有些问题处理较为复杂，此时若变换主元，反客为主，问题常常能获得简解．
【例4】 已知一平面内任意四点，其中任何三点都不在一条直线上，试问：与否一定能从这样四点中选出三点构成一种三角形，使得这个三角形至少有一内角不不不不小于45°?请证明你结论．
思绪点拨 结论是以疑问形式出现，不妨先假定是必然，然后推理．若推出矛盾，则阐明结论与否认；若推不出矛盾，则可考虑去证明结论是必然．

【例5】 可以找到这样四个正整数，使得它们中任两个数积与和都是完全平方数吗?若可以，请举出一例；若不可以，请阐明理由．

思绪点拨 先假设存在正整数，，，满足 (，=1，2，3，4，m为正整数)．运用完全平方数性质、奇偶性分析、分类讨论综合推理，若推出矛盾，则原假设不成立．

注：反证法是从待证命题结论背面出发，进行推理，通过导出矛盾来判断待证命题成立措施，其证明基本环节是：否认待证命题结论、推理导出矛盾、必然原命题结论．
宜用反证法三题特性是：
(1)结论波及无限；
(2)结论波及唯一性；
(3)结论为否认形式；
(4)结论波及“至多，至少”；
(5)结论以疑问形式出现等．
学力训练
1．由小到大排列各分数：，，，，，是 ．
2．分解因式= ．
3．解有关方程：(≥)得= ．
4．成果是 ．
5．若有关三个方程，， ，中至少有一种方程有实根，则m取值范围是 ．
6．有甲、乙两堆小球，假如第一次从甲堆拿出和乙堆同样多小球放到乙堆，第二次从乙堆拿出和甲堆剩余同样多小球放到甲堆，如此挪动4次后，甲、乙两堆小球恰好都是16个，那么，甲、乙两堆最初各有多少个小球?

7．求这样正整数，使得方程至少有一种整数解．

8．某班参与运动会19名运动员运动服号码恰是1～19号，这些运动员随意地站成一种圆圈，则一定有顺次相邻3名运动员，她们运动服号码之和不不不小于32，请阐明理由．
9．如正整数和之和是，则可变为，问能不能用这种措施多次，将22变成？

10．证明：假如整系数二次方程a ()有有理根，那么，，中至少有一种是偶数．
11．在ΔABC中与否存在一点P，使得过P点任意一直线都将该ΔABC提成等面积两某些?为何?
12．求证：形如4n+3整数是(n为整数)不能化为两个整数平方和．
13．13位小运动员，她们着装运动服号码分别是1～13号．问：这13名运动员能否站成一种圆圈，使得任意相邻两名运动员号码数之差绝对值都不不不小于3，且不不不不小于5？假如能，试举一例；假如不能，请阐明理由．

14．有12位同学围成一圈，其中有些同学手中持有鲜花，鲜花总数为13束，她们进行分花游戏，每次分花按如下规则进行：其中一位手中至少持有两束鲜花同学拿出两束鲜花分给与其相邻左右两位同学，每人一束．试证：在持续进行这种分花游戏过程中，一定会出现至少有7位同学手中持有鲜花状况．

参照答案