微分方程建模中的若干问题市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

微分方程建模中若干问题微分方程建模中若干问题 数模竞赛辅导札记数模竞赛辅导札记 第1页 1.微分方程建模中假设微分方程建模中假设 提出提出 与与 修改修改 问题问题 “商品价格改商品价格改变变两大特点两大特点”：平衡价格平衡价格应应是是 商品供需平衡商品供需平衡 价位；价位；趋趋于于过过程程应应含有含有惯惯性特征：展性特征：展现现 阻尼震阻尼震荡荡 过过程特征程特征 建立在建立在 市市场经济场经济 下下 价格价格变动变动模型模型 详细问题详细问题：试图试图建立一个建立一个 数学模型数学模型，描，描绘绘在健全市在健全市场场 经济经济框架下，商品价格受市框架下，商品价格受市场场机制机制调调整，偏高或偏低整，偏高或偏低 价格将会价格将会 自自动趋动趋于平衡于平衡。建模目建模目标标：建立一个价格随：建立一个价格随时间时间演演变变,以以 阻尼振阻尼振荡荡 方式方式 逐步逐步趋趋于理性于理性 商品供需平衡价格商品供需平衡价格 模型。模型。第2页 (3)商品价格改变速度商品价格改变速度 p(t)与市场与市场 过剩需求过剩需求 D(t)S(t)相关相关.假定它们之间成假定它们之间成 正比正比 :(2)商品供给商品供给 S(t)随价格随价格 p(t)增大而上升增大而上升.假定它们之间关系也近似为假定它们之间关系也近似为 线性关系线性关系;建模假建模假设设：(1)商品需求商品需求 D(t)随价格随价格 p(t)增大而下降增大而下降.假定它们之间关系近似为假定它们之间关系近似为 线性关系线性关系:第3页 模型建立：模型建立：第4页 模型分析：模型分析：当当 时时,当当时时,结论未能达到建模目！说明商品价格是说明商品价格是 单调单调 地趋向平衡价格地趋向平衡价格.第5页 建模假设建模假设 修改修改：(3)*商品价格改变速度商品价格改变速度 p(t)与市场与市场 过剩需求过剩需求 D(t)S(t)对时间对时间 t 累积量相关累积量相关(即考虑过剩即考虑过剩 需求时间滞后效应需求时间滞后效应).(2)商品供给商品供给 S(t)随价格随价格 p(t)增大而上升增大而上升.假定它们之间关系也近似为假定它们之间关系也近似为 线性关系线性关系;(1)商品需求商品需求 D(t)随价格随价格 p(t)增大而下降增大而下降.假定它们之间关系近似为假定它们之间关系近似为 线性关系线性关系:假定它们之间成假定它们之间成 正比正比 :第6页 模型再建立：模型再建立：商品价格随时间演变而处于商品价格随时间演变而处于 等幅震荡等幅震荡 之中。之中。结论还未能达到建模目！第7页 建模假设建模假设 再次修改再次修改：假假设设(1)、(2)不不变变；(3)*商品价格改变速度商品价格改变速度 p(t)不但与市场过剩需求不但与市场过剩需求 D(t)S(t)对时间对时间 t 累积量相关累积量相关,还与当初价格与平衡价格还与当初价格与平衡价格 p*偏差程度偏差程度 相关相关 (即考虑健全市场有政府宏观调控原因即考虑健全市场有政府宏观调控原因),假定它们之间也成假定它们之间也成 正比正比，且百分比系数且百分比系数 仍假定它们之间仍假定它们之间 成成 正比正比;(强调政府宏观调控只是微调强调政府宏观调控只是微调)。第8页 模型又一模型又一 次建立：次建立：商品价格随时间演变而展现商品价格随时间演变而展现 阻尼震荡阻尼震荡 现象现象 。该结论达到建模目！模型可采用 第9页 2.微分方程模型在微分方程模型在 模型分析模型分析 中主要问题之一中主要问题之一 稳定性分析稳定性分析 用微分方程方法建立动态模型问题用微分方程方法建立动态模型问题 模型分析模型分析 中一个中一个 主要问题是：主要问题是：当初间充分长后当初间充分长后，动态过程，动态过程 改变趋势改变趋势 是什么？是什么？微分方程模型中微分方程模型中,方程方程(组组)+初始条件初始条件 解解 初始条件作用在于确定解初始条件作用在于确定解,它它微小改变会产生不一样微小改变会产生不一样 解，换言之，对解发展性态改变解，换言之，对解发展性态改变,往往含有影响作用往往含有影响作用.问题问题是是这这种种对对解解发发展性展性态态影响作用是影响作用是 长长久存在久存在 ,还还是当初是当初间间充分大以后充分大以后,影响作用会影响作用会 “消逝消逝”?（1）微分方程模型稳定性及其实际意义 第10页 有有时时候候,初始条件微小改初始条件微小改变变会造成解性会造成解性态态随随时间变时间变 大后大后,产产生生显显著差异著差异,这时这时称称 系系统统是不是不稳稳定定 ;有有时时候候,初始条件改初始条件改变变造成解性造成解性态态差异会随差异会随时间变时间变大大 后而消失后而消失,这时这时称称该该 系系统统是是稳稳定定.在在实际问题实际问题中中,初始状初始状态态不能准确地而只能近似地确定不能准确地而只能近似地确定,所以所以稳稳定性定性问题问题研究研究对对于用微分方程方法建立模型于用微分方程方法建立模型 含有十分主要含有十分主要实际实际意意义义。也就是说，在含有稳定性特征微分方程模型中也就是说，在含有稳定性特征微分方程模型中,久远久远 来看来看,最终发展结果与准确初始状态终究怎样最终发展结果与准确初始状态终究怎样,二者二者 之间没有多大关系之间没有多大关系,初始状态刻画得准确不准确是无关初始状态刻画得准确不准确是无关 紧要。紧要。第11页 微分方程稳定性理论微分方程稳定性理论 能够使我们在很多情况下不求解能够使我们在很多情况下不求解 方程便可直接得到微分方程模型描绘系统是方程便可直接得到微分方程模型描绘系统是 稳定稳定 或或 不稳定不稳定 结论。结论。研究者对于微分方程稳定性理论研究兴趣往往大于研究者对于微分方程稳定性理论研究兴趣往往大于 该方程解有没有解析表示式研究兴趣。该方程解有没有解析表示式研究兴趣。在数学建模竞赛活动中，很多问题中包括到微分方在数学建模竞赛活动中，很多问题中包括到微分方 程是一类称为程是一类称为 自治系统自治系统 方程方程。自治方程自治方程 是指方程中不显含自变量是指方程中不显含自变量 t 微分方程，比如微分方程，比如第12页 自治方程自治方程 中解随时间不停变大如有稳定改变趋势，中解随时间不停变大如有稳定改变趋势，则这个解则这个解 最终趋势值最终趋势值 只能是该方程只能是该方程 平衡点平衡点。平衡点平衡点 是指代数方程是指代数方程 根根 （可能不止一个根）（可能不止一个根）；平衡点平衡点 是是指代数方程组指代数方程组 解解 （可能不止一组解）。（可能不止一组解）。假如存在某个邻域，使微分方程解假如存在某个邻域，使微分方程解 x(t)从这个邻域从这个邻域 内某个点内某个点 x(0)出发出发，满足满足:则称微分方程则称微分方程 平衡点平衡点 是是 稳定稳定；第13页 假如存在某个邻域，使微分方程解假如存在某个邻域，使微分方程解 x(t)，y(t)从这个邻域内某个点从这个邻域内某个点 x(0)，y(0)出发出发，满足满足:则称微分方程则称微分方程 平衡点平衡点 是是 稳定稳定。上述上述 一阶自治方程一阶自治方程 和和 二阶自治方程组二阶自治方程组 解解 稳定性理论稳定性理论 结果可介绍以下：结果可介绍以下：第14页 非线性方程非线性方程(一个方程一个方程 )情况情况 形式形式:x(t)=f(x(t)平衡点平衡点:解 f(x)=0,得 x=x0.注意:有时该方程 根不止一个.稳定意义稳定意义:当当 t 时时,如如 x x0,则称则称 x0 是稳定是稳定 平衡点平衡点;不然称不然称 x0 是不稳定平衡点是不稳定平衡点.第15页 由此由此,当当 f(x0)0 时时,x x0;当当 f(x0)0 时时,x +.(c)一阶一阶非非线线性性问题稳问题稳定性定性结论结论:依据相关数学理依据相关数学理论论,一阶一阶非非线线性性问题稳问题稳定性在非定性在非临临界情况下，与界情况下，与一阶一阶 线线性性问题结论问题结论完全相同完全相同.研究方法研究方法:(a)作作 f(x)线性替换线性替换(利用一元函数泰勒展开式利用一元函数泰勒展开式):f(x)f(x0)(x-x0)+f(x0)=f(x0)(x-x0);(b)线性问题研究线性问题研究:求解求解 x=f(x0)(x x0),解得解得 第16页非线性方程非线性方程(两个方程两个方程 )组情况组情况 平衡点平衡点:解解 f(x,y)=0,得得 x=x 0 g(x,y)=0,y=y 0 .y(t)=g(x(t),y(t)形式形式:x(t)=f(x(t),y(t),稳稳定意定意义义:当当 t +时时,如如 x x0,y y0,则则称称 (x0,y0)是是稳稳定平衡点定平衡点;不然称不然称 (x0,y0)是不是不稳稳定平衡点定平衡点.上面方程上面方程组组有有时时可能不止一可能不止一组组解解.第17页 研究方法研究方法:(a)作作 f(x,y)与与 g(x,y)线线性替性替换换（利用二元函数（利用二元函数(b)泰勒展开式）泰勒展开式）:f(x,y)fx(x0,y0)(x-x0)+f y(x0,y0)(y-y0);g(x,y)g x(x0,y0)(x-x0)+g y(x0,y0)(y-y0).(b)线线性性问题问题研究研究:记记 a1=f x(x0,y0),a2=f y(x0,y0),b1=g x(x0,y0),b2=g y(x0,y0),p=-(a1+b2),q=a1 b2-a2 b1,并无妨并无妨设设 x0=0,y0=0;第18页求解求解 其中其中 1 ,2 为为特征方程特征方程 r 2+p r+q=0 两根两根.这里这里 1+2=-p,1 2 =q 或写为或写为 第19页 (1)当当 p 0,q 0 时时,假如假如 p2 4q 0，由，由 1+2=-p,1 2 =q,推得推得 1 与与 2 均为负数均为负数，故当故当 t +时，时，e 1 t 与与 e 2 t 均趋于零均趋于零，系统稳定系统稳定;假如假如 p2 4q 0，由，由 1+2=-p,k=i 中中 为负数为负数（k =1，2），故当故当 t +时，时，ek t=et（sint cost）（k =1，2）也均趋于零也均趋于零，系统仍为稳定系统仍为稳定；第20页 (2)当当 p 0 时时,假如假如 p2 4q 0，由，由 1+2=-p,可推出可推出 1 与与 2 中最少有一个为正数，中最少有一个为正数，故当故当 t +时，时，e1 t 与与 e2 t 中最少有一个中最少有一个 趋于趋于 +，系统不稳定系统不稳定;假如假如 p2 4q 0，仍由，仍由 1+2=-p,可推出可推出 k=i （k =1，2）中中 为正数为正数，故当故当 t +时时,ek t=et（sint cost）（k =1，2）趋于趋于+，仍可推出，仍可推出 系统不稳定系统不稳定。第21页 (3)当当 q 0 时时,此时必定有此时必定有 p2 4q 0，此时此时 系统也必不稳定系统也必不稳定。由由 1 2 =q,可推出可推出 1 与与 2 中最少有一个为中最少有一个为 正数，正数，故当故当 t +时，时，e1 t 与与 e2 t 中最少有一个趋于中最少有一个趋于 +，第22页 当当 p 0,q 0 时时,对应平衡点是稳定；对应平衡点是稳定；当当 p 0 或当或当 q 0 时时,对应平衡点是不稳定。对应平衡点是不稳定。综述之，在线性方程组非临界（综述之，在线性方程组非临界（p 0)情况中情况中 第23页 (C)非线性问题非线性问题 稳定性结论稳定性结论:(i)若对应线性问题是若对应线性问题是 稳定稳定 ,则对应非线性问题也则对应非线性问题也 是是 稳定稳定 ；(ii)若对应线性问题是若对应线性问题是 不稳定不稳定,则对应非线性问题则对应非线性问题 也是也是 不稳定不稳定.在非临界情况下在非临界情况下（p 0)，第24页 微分方程稳定性理论微分方程稳定性理论 应用实例应用实例 渔场预防捕捞过渡问题渔场预防捕捞过渡问题 建模目建模目标标：建立一个在有捕：建立一个在有捕捞捞情况下，情况下，渔场渔场中中鱼鱼量量 随随时间时间改改变变数学模型数学模型，藉此研究，藉此研究鱼鱼量数量数 随随时间时间改改变发变发展展趋势趋势。建模假设：建模假设：(1)在无捕在无捕捞捞条件下，条件下，鱼鱼量数量数 x(t)增加服从增加服从 Logistic 规律：规律：(2)有捕有捕捞时捞时，单单位位时间时间捕捕捞捞量量 h 与与渔场鱼渔场鱼量成正比：量成正比：第25页 模型建立与分析：模型建立与分析：令令 当当 k r 时时,f(x1)=-r+k 0,x2 为为不不稳稳定点定点；当当 k r 时时,f(x1)=-r+k 0,x1 为为不不稳稳定点定点，f(x2)=r k 0 ,q 2 0 ;q 3 0 ;(x2,k2)是是稳稳定定，(x3,k3)是不是不稳稳定定 ；第29页 当当 p N c 时时,q 2 0 ,q 3 0 ;(x 2 ,k 2)是不是不稳稳定定，(x 3 ,k 3)是是稳稳定定 ；第30页 3.偏微分方程偏微分方程 建模问题建模问题 休渔期鱼群分布规律模型休渔期鱼群分布规律模型 建立实施休渔政策下近海鱼群分布情况数学模型。建立实施休渔政策下近海鱼群分布情况数学模型。建模假设：建模假设：(1)海岸线近似为直线；鱼群只沿垂直于海岸海岸线近似为直线；鱼群只沿垂直于海岸 线方向向外游动；故问题空间维数可取为一维；线方向向外游动；故问题空间维数可取为一维；海岸 0 外海 x (2)要求休渔区域在沿海要求休渔区域在沿海 l l 公里以内；休渔边界公里以内；休渔边界 x=l l 外，鱼群将全部被外海渔船打尽；外，鱼群将全部被外海渔船打尽；(3)任何地点任何地点 x、任何时刻、任何时刻 t 鱼群密度分布函数鱼群密度分布函数 u(x,t)为可微函数；为可微函数；第31页(4)初始时刻鱼群密度分布函数初始时刻鱼群密度分布函数 u(x,0)为已知函数为已知函数 u 0(x)；(5)t 时刻时刻、x 处鱼群处鱼群密度密度 u(x,t)增加速度为增加速度为 已知函数已知函数 f(u);(6)t 时刻时刻、x 处鱼群数向外游动扩散量处鱼群数向外游动扩散量 (x,t)与与 u x(x,t)成正比成正比，百分比系数为常数，百分比系数为常数 a 2 ：这个假设类似于热量扩散问题中这个假设类似于热量扩散问题中 Fourier 法则法则。第32页建模过程建模过程 单位时间里单位时间里，a,b 段段上鱼群数改变量为：上鱼群数改变量为：这个改变量可分为两项之和，一项为单位时间里，残留这个改变量可分为两项之和，一项为单位时间里，残留 在在 a,b 段内鱼群数：段内鱼群数：另一项为单位时间里，另一项为单位时间里，a,b 段内新生鱼群数：段内新生鱼群数：第33页 其中初边值其中初边值 条件为：条件为：第34页0l lxt 这个偏微分方程初、边值问题是这个偏微分方程初、边值问题是 适定适定，即问题解是即问题解是 存在、唯一存在、唯一，且，且 连续依赖连续依赖 于初边值数据。于初边值数据。第35页 4.自由边界问题自由边界问题 自由边界问题是一类较为复杂偏微分方程问题，这种自由边界问题是一类较为复杂偏微分方程问题，这种 类型问题在各种各样应用中非常频繁地出现，比如类型问题在各种各样应用中非常频繁地出现，比如 它可出现在物相改变过程、化学反应过程、生物扩散它可出现在物相改变过程、化学反应过程、生物扩散 过程、土壤冻过程等等物理、化学现象之中，甚至过程、土壤冻过程等等物理、化学现象之中，甚至 还出现在金融衍生物价格计算、抵押贷款评定研究等等还出现在金融衍生物价格计算、抵押贷款评定研究等等 经济现象之中。经济现象之中。（1）一相一相 Stefan 问题问题 考虑一根套在与四面完全绝缘隔热管子中而正在融考虑一根套在与四面完全绝缘隔热管子中而正在融 化细冰棍；其右端为冰，左端为融化而成水。拟化细冰棍；其右端为冰，左端为融化而成水。拟 建立一个融化水区域上任意点处温度随时间演变模型。建立一个融化水区域上任意点处温度随时间演变模型。第36页 建模假设：建模假设：（1）假定冰区域温度恒等于零度；）假定冰区域温度恒等于零度；（2）假定水区域中热量传导服从）假定水区域中热量传导服从 Fourier 定律定律，即，即 单位时间中高温点到低温点热流量大小与两点单位时间中高温点到低温点热流量大小与两点 之间温差成正比；之间温差成正比；由此可推出以下等式：由此可推出以下等式：（3）假定水密度）假定水密度、比热、比热 c、热传导系数、热传导系数 k 和和 为了融化冰为水潜热为了融化冰为水潜热 L 均为常数均为常数。第37页 取细棍一小段取细棍一小段 x,x+x ,设细棍截面积为设细棍截面积为 s 0 厘米厘米2；记记 q(x,t)为热流密度（卡为热流密度（卡/秒秒 厘米厘米2,单位时间内经过单位时间内经过 单位面单位面积积 热量），热量），则在则在 t 时间内，沿时间内，沿 x 方向流入小段方向流入小段 x,x+x 总热量数近似为：总热量数近似为：q(x,t)s 0 t（卡）（卡）,流出小段流出小段 x,x+x 总热量数近似为：总热量数近似为：q(x+x,t)s 0 t（卡）（卡）,流入小段与流出小段热量差使得小段中水温度升流入小段与流出小段热量差使得小段中水温度升 高，这个热量差能够依据下式计算：高，这个热量差能够依据下式计算：（x s 0）c u(x,t+t)u(x,t)（卡）（卡），第38页 这么便可得：这么便可得：依据依据 Fourier 定律，有：定律，有：这个方程称为这个方程称为热传导方程热传导方程第39页 在融化而成水域里在融化而成水域里，水温度，水温度 u(x,t)服从服从 热传导热传导 方程方程：u t=a2 uxx ,x (0,s0),t (0,+).为求解这个为求解这个偏微分方程偏微分方程，还需知道，还需知道左、右边界值左、右边界值和和初值初值。在在 左边界上左边界上 水温为已知函数：水温为已知函数：u(0,t)=u 1(t)0;假定水温假定水温 初值初值 为已知函数为已知函数：u(x,0)=u 0(x)；因为右边界端处因为右边界端处 热传导热传导，冰在不停融化，故水域，冰在不停融化，故水域 右边界是一条右边界是一条 移动边界移动边界，或称为，或称为 自由边界自由边界。这条这条 自由边界自由边界 本身也是需要求解本身也是需要求解 未知一元函数未知一元函数！第40页0L冰冰水水xts0 x=s(t)易知，在移动右边界易知，在移动右边界 s(t)上水温函数应满足：上水温函数应满足：u(s(t),t)=0 ；为了决定为了决定 自由边界自由边界 位置，还需导出边界上位置，还需导出边界上另一个条件另一个条件。t1t2t3t4第41页 设在设在 t 时段内，移动边界向右移动了一段旅程时段内，移动边界向右移动了一段旅程 x ，x为了融化边界移动中消失冰，为了融化边界移动中消失冰，需要一份热量，其数量应是：需要一份热量，其数量应是：在在 t 时段内，从边界左边水域中传入阴影冰区域内时段内，从边界左边水域中传入阴影冰区域内 总热量依据总热量依据 Fourier 定律定律，应是：，应是：二者应该相等：二者应该相等：第42页 令令 t 0，可得：可得：于是，融化水区域上任意点处温度于是，融化水区域上任意点处温度 u(x,t)随时间随时间 t 演变模型为：演变模型为：xtx=s(t)0s0 偏微分方程理论研究证实了这个问题也是偏微分方程理论研究证实了这个问题也是 适定适定 。第43页（2）两相两相 Stefan 问题问题 假如冰区域温度不恒等于零度，该区域中也有热传导假如冰区域温度不恒等于零度，该区域中也有热传导 过程，则一相过程，则一相 Stefan 问题就变成了两相问题就变成了两相 Stefan 问题。问题。xtx=s(t)0s0L这个问题这个问题 适定性适定性 也已取得证实也已取得证实。第44页（3）细胞体内氧气扩散与吸收问题细胞体内氧气扩散与吸收问题 细胞体内氧气会向周围细胞体内氧气会向周围 扩散扩散，在在 扩散扩散 同时，细胞同时，细胞 体也在体也在 吸收吸收 氧气以维持生命氧气以维持生命；假如细胞得不到氧气；假如细胞得不到氧气 供给将会死亡。建立一个描绘该供给将会死亡。建立一个描绘该 扩散扩散 吸收吸收 过程数过程数 学模型。学模型。为简单计，以下只考虑一个一维细胞体模型。为简单计，以下只考虑一个一维细胞体模型。第45页 建模假设：建模假设：（1）假定氧气在细胞体中从氧气浓度大左边）假定氧气在细胞体中从氧气浓度大左边 扩散扩散 至至 浓度小右边；在扩散中，浓度小右边；在扩散中，扩散流量扩散流量 q 大小与大小与 左、右两点氧气浓度左、右两点氧气浓度 c 差成正比；即：差成正比；即：（2）假定任何时刻，每单位立方体细胞体）假定任何时刻，每单位立方体细胞体 吸收吸收 氧气氧气 速度为一常数速度为一常数 D；（3）某一时刻起，断绝氧气供给；缺乏氧气细胞体）某一时刻起，断绝氧气供给；缺乏氧气细胞体 即行死亡，即行死亡，不再参加氧气扩散过程不再参加氧气扩散过程。（k 为扩散为扩散系数系数）第46页细胞体末端细胞体末端氧气氧气 考虑细胞体在位置考虑细胞体在位置 x 处、长为处、长为 x 一段细胞上扩散一段细胞上扩散 和吸收氧气情况。和吸收氧气情况。在在 t 时段内，时段内，经扩散进入这段细胞内氧气数量是经扩散进入这段细胞内氧气数量是:经扩散流出这段细胞内氧气数量是经扩散流出这段细胞内氧气数量是:这段细胞内氧气改变量是：这段细胞内氧气改变量是：这段细胞氧气吸收量是：这段细胞氧气吸收量是：第47页 进入量、流出量、改变量和吸收量之间应相关系：进入量、流出量、改变量和吸收量之间应相关系：依据假设（依据假设（1），），氧气扩散、吸收方程氧气扩散、吸收方程 第48页0 xts0 在细胞体左端，在在细胞体左端，在 t=0 起断绝氧气输入，故有：起断绝氧气输入，故有：在细胞体右末端在细胞体右末端 x=s 处，一直有条件：处，一直有条件：伴随氧气缺乏，伴随氧气缺乏，右末端细胞逐步右末端细胞逐步死亡，故有末端死亡，故有末端位置随时间而变动，位置随时间而变动，形成一条形成一条 自由边界自由边界：x=s(t).第49页 氧气扩散、吸收问题氧气扩散、吸收问题：寻求未知函数对：寻求未知函数对：c(x,t)，s(t)，使得它们满足：使得它们满足：第50页 在初边至充分光滑情况下，这个问题在初边至充分光滑情况下，这个问题 适定性适定性 也可证实。也可证实。实际上，若该问题充分实际上，若该问题充分 光滑解为光滑解为 c(x,t)，令令 u(x,t)=c t(x,t),则有则有第51页0 xts0 关于关于 u(x,t),s(t)自由边界问题，本质自由边界问题，本质 上便化成为一个上便化成为一个 Stefan 问题了。问题了。第52页