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第 37 卷 第 1 期2024 年 03 月Vol.37 No.1Mar.2024盐城工学院学报（自然科学版）Journal of Yancheng Institute of Technology(Natural Science Edition)广义Vandermonde行列式及其应用王振，王烜宁（盐城工学院 数理学院，江苏 盐城 224051）摘要：介绍了广义 Vandermonde 行列式的来源、性质，然后利用 Laplace 展开定理得到广义Vandermonde行列式的计算公式，最后给出了广义Vandermonde行列式在行列式计算、多项式计算、向量空间等方面的应用。关键词：Vandermonde行列式；初等对称多项式；Laplace展开定理中图分类号：O151.22 文献标志码：A 文章编号：1671 -5322（2024）01 -0042 -05Vandermonde行列式是一类非常重要的行列式，在数学与其他科学领域均有广泛的应用1-3。近年来许多学者开始研究它的各种推广形式，如缺 行 Vandermonde 行 列 式、固 定 幂 差 的 广 义Vandermonde 行列式等4-5，文献 6 统一了这些推广，研究更一般的广义Vandermonde行列式，即将 Vandermonde 行列式中每行元素的幂次由0，1，2，n-1换为任意的整数p1，p2，pn，并给 出 了 当0 p1 p2 pn时 广 义 Vandermonde行列式的计算公式。本文将继续文献 6的研究，对任意的整数p1，p2，pn，给出对应广义 Vandermonde 行列式的计算公式及其一些应用。1广义Vandermonde行列式的定义及性质一个n阶Vandermonde行列式Dn由n个元素x1，x2，xn生成，它的值可以由这些元素构成的一些差的乘积表示，即Dn=|111x1x2xnxn-11xn-12xn-1n=1 i j n()xj-xi。下 面 给 出 广 义 Vandermonde 行 列 式 的定义6。定义定义1 对于给定的n个元素x1，x2，xn，n个整数p1，p2，pn，n阶广义 Vandermonde 行列式D(x1,x2,xn;p1,p2,pn)=|xp11xp12xp1nxp21xp22xp2nxpn1xpn2xpnn。已知生成元素x1，x2，xn，D(x1，x2，xn；p1，p2，pn)可简记为D(p1，p2，pn)。显然，当p1，p2，pn依 次 取0，1，2，n-1时，D(0，1，n-1)就是n阶 Vandermonde 行列式Dn，因此D(p1，p2，pn)确实是 Vandermonde 行列式的推广。下面给出一些广义Vandermonde行列式的例子，如|xn-11xn-1nxn-21xn-2n11，|11xi-11xi-1nxi+11xi+1nxn1xnn，|11x-11x-1nx-n+11x-n+1n，|22(-3)2522-1(-3)-15-124(-3)454，可 分 别 记 为D(n-1，n-2，0)、D(0，i-1，i+1，n)、D(0，-1，-n+1)、D（2，-3，5；2，-1，4）。对于广义 Vandermonde行列式，有如下一些doi：10.16018/32-1650/n.202401008收稿日期：2023-10-15基金项目：盐城工学院2022年大学生创新创业训练计划项目（2022413）。作者简介：王振（1982），男，安徽泗县人，讲师，博士，主要研究方向为代数学。王振，等：广义Vandermonde行列式及其应用第 1 期性质6。性质性质 1若有某两个生成元素xi，xj相等，或有某两个指数pi，pj相等，则D(p1,p2,pn)=0。性质性质2交换D(p1，p2，pn)中的某两行，则D(p1，p2，pn)变号，即D(p1,p2,pi,pj,pn)=-D(p1,p2,pj,pi,pn)。性 质性 质 3 对 任 一 整 数p，D(p1,p2,pn)=xp1xp2xpnD(p1-p,p2-p,pn-p)，特 别 地，D(p1,p2,pn)=xp11xp12xp1nD(0,p2-p1,pn-p1)。由性质13，任一广义Vandermonde行列式经过调整，总是可以转化为某个D(p1，p2，pn)的常数倍，其中p1，p2，pn互不相等，且0 p1p2 pn。因 此 我 们 对 这 种 特 殊 的 广 义Vandermonde行列式给出定义。定义定义 2 如果p1，p2，pn互不相等，且0 p1 p2 pn，则D(p1，p2，pn)可看作是由普通Vandermonde行列式去掉若干行、若干列得到的，称为缺行Vandermonde行列式。此时，也可用缺失的行的幂次表示该行列式，即若有k个整数q1，q2，qk满 足q1 q2 qk pn，且p1，p2，pnq1，q2，qk=0，1，2，n+k-1，则 也 可 用Dn(q1，q2，qk)表 示D(p1，p2，pn)，如D(0，1，i-1，i+1，n-1，n)可记作Dn(i)。一 般 的 广 义 Vandermonde 行 列 式 与 缺 行Vandermonde行列式之间有如下的关系。引 理引 理 1 对 任 意 的 整 数p1，p2，pn，若p1，p2，pn互不相等，则D(p1,p2,pn)=(-1)(p1,p2,pn)xp1xp2xpn Dn(q1,q2,qk)，其中(p1，p2，pn)表示排列(p1，p2，pn)的逆序 数，p=minp1，p2，pn，q1，q2，qk是p1-p，p2-p，pn-p在0，1，2，n+k-1中 的 补 集，且 满 足0 q1 q2 qkmaxp1-p，p2-p，pn-p。证明：设pi1，pi2，pin是p1，p2，pn的一个重 排，且 满 足pi1 pi2 pin；令p=pi1，设q1，q2，qk是p1-p，p2-p，pn-p在0，1，2，n+k-1中的补集，且满足q1 q2 qk 0。给定n个元素x1，x2，xn，它们的初等对称多项式i=i(x1，x2，xn)定义如下：当1 i n时，令i=i(x1，x2，xn)=1 j1 j2 ji n(xj1 xj2 xji)，如果规定0=1，则由Vieta定理知(y-x1)(y-x2)(y-xn)=0yn-1yn-1+(-1)nn。引理引理261 t s k(ys-yt)=(r1，r2，rk)(-1)(r1，r2，rk)y1r1y2r2ykrk，这里(r1，r2，rk)是0，1，2，k-1的一个排列，对所有k阶排列(r1，r2，rk)的 求 和，(r1，r2，rk)表 示(r1，r2，rk)的逆序数。引理引理361 s k，1 i n(ys-xi)=0 t1，t2，tk n(-1)nk-(t1+t2+tk)n-t1n-t2n-tk y1t1y2t2yktk。下面给出主要结论，即广义 Vandermonde行列式D(p1，p2，pn)的计算公式。由性质 1，我们仅需要讨论p1，p2，pn互不相等的情况。定理定理 1 设p1，p2，pn是互不相等的整数，p=minp1，p2，pn，q1，q2，qk是p1-p，p2-p，pn-p在0，1，2，n+k-1中的补集，且满足0 q1 q2 qk maxp1-p，p2-p，pn-p，则广义Vandermonde行列式D(p1，p2，pn)=(-1)(p1，p2，pn)xp1xp2xpn Dnqj-n rj qj，1 j k(-1)(r1，r2，rk)n+r1-q1 n+r2-q2 n+rk-qk），其中，(r1，r2，rk)是0，1，2，k-1的一个排列，是对所有满足qj-n rj qj(1 j k)的k43第 37 卷盐城工学院学报（自然科学版）阶排列(r1，r2，rk)的求和。证 明：先 假 设D(p1，p2，pn)=Dn(q1，q2，qk)是一个缺行的 Vandermonde 行列式，即满足p1，p2，pn互不相等且0 p1 p2 pn，q1，q2，qk满足q1q2qkpn且p1，p2，pnq1，q2，qk=0，1，2，n+k-1。根 据 Laplace 展 开 定 理，可 将n+k阶Vandermonde行列式D(x1，x2，xn，y1，y2，yk；0，1，n+k-1)按第n+1，n+2，n+k列展开，则其中k阶子式D(y1，y2，yk；q1，q2，qk)=|yq11yq12yq1kyq21yq22yq2kyqk1yqk2yqkk的系数就是它的代数余子式(-1)(n+1)+(n+2)+(n+k)+(q1+1)+(q2+1)+(qk+1)Dn(q1，q2，qk)。再将k阶子式展开，即得D(x1，x2，xn，y1，y2，yk；0，1，2，n+k-1)的 展 开 式。将 这 个 展 开 式 看 作 是 关 于y1，y2，yk的多项式，则其中yq11yqkk项只能来自于k阶子式|yq11yq12yq1kyq21yq22yq2kyqk1yqk2yqkk的展开式。因此在D(x1，x2，xn；y1，y2，yk；0，1，2，n+k-1)的展开式中，yq11yq22yqkk的系数 为(-1)(n+1)+(n+2)+(n+k)+(q1+1)+(q2+1)+(qk+1)Dn(q1，q2，qk)。另一方面，由 Vandermonde行列式的计算公式和引理2、3，可知D(x1，x2，xn；y1，y2，yk；0,1,2,n+k-1)=1 i j n(xj-xi)1tsk(ys-yt)1 s k1 t n(ys-xi)=Dn(-1)(r1，r2，rk)yr11yr22yrkk0t1,t2,tkn(-1)nk-(t1+t2+tk)n-t1n-t2n-tkyt11yt22ytkk。通 过 比 较D(x1，x2，xn；y1，y2，yk；0，1，2，n+k-1)展开式中yq11yq22yqkk项的系数，有(-1)nk+(q1+q2+qk)+(0+1+2+(k-1)Dn(q1,q2,qk)=Dnqj-n rj qj,1 j k(-1)(r1,r2,rk)(-1)nk-(q1+q2+qk)+(r1+r2+rk)n-q1+r1n-q2+r2 n-qk+rk，经整理，得Dn(q1，q2，qk)=Dnqj-n rj qj,1 j k(-1)(r1,r2,rk)n-q1+r1n-q2+r2n-qk+rk。对 于 一 般 的 广 义 Vandermonde 行 列 式D(p1，p2，pn)，由引理1和前面的证明即证。由于初等对称多项式i=i(x1，x2，xn)只有在0 i n时才有定义。在定理1中，为了保 证 公 式 中 的i有 意 义，我 们 加 了qj-n rj qj、1 j k这个条件；如果i n，令i=i(x1，x2，xn)=0，则定理 1 中的公式可以写成一个更简洁的形式。定理定理 2 设p1，p2，pn是互不相等的整数，p=minp1，p2，pn，q1，q2，qk是p1-p，p2-p，pn-p在0，1，2，n+k-1中的补集，且满足0 q1 q2 qk maxp1-p，p2-p，pn-p，则 广 义 Vandermonde行列式 D(p1，p2，pn)=(-1)(p1，p2，pn)xp1xp2xpn Dn|n-q1n-q1+1n-q1+k-1n-q2n-q2+1n-q2+k-1n-qkn-qk+1n-qk+k-1。证明：对于i n，已设i=0，根据定理1，可知 D(p1,p2,pn)=(-1)(p1,p2,pn)xp1xp2xpnDn qj-n rj qj,1 j k(-1)(r1,r2,rk)n+r1-q1 n+r2-q2 n+rk-qk)=(-1)(p1,p2,pn)xp1xp2xpnDn(-1)(r1,r2,rk)n+r1-q1n+r2-q2n+rk-qk=(-1)(p1,p2,pn)xp1xp2xpn ,Dn|n-q1n-q1+1n-q1+k-1n-q2n-q2+1n-q2+k-1n-qkn-qk+1n-qk+k-1，其中，第二行中是对所有k阶排列(r1，r2，rk)的求和。44王振，等：广义Vandermonde行列式及其应用第 1 期证毕。推论推论 对于缺行Vandermonde行列式 Dn(q1，q2，qk)=Dn|n-q1n-q1+1n-q1+k-1n-q2n-q2+1n-q2+k-1n-qkn-qk+1n-qk+k-1。2广义Vandermonde行列式的应用广义Vandermonde行列式的应用范围极其广泛，下面介绍其在行列式计算、多项式、向量空间等方面的一些应用。2.1在行列式计算中的应用例1：计算n阶行列式D=|11.112.n122.n2.12n-2.nn-212n.nn。分析：这是一个缺行Vandermonde行列式，可以通过加边法转化为 Vandermonde 行列式来计算，也可以直接利用推论中的结论进行计算。解：这里的生成元x1=1，x2=2，xn=n，缺失的行数k=1，该行的幂次q1=n-1，所以D=Dn(n-1)=Dn1=1 j i n(i-j)k=1nk=n(n+1)2k=1n-1k！。例2：计算n阶行列式D=|11.112.n123.n3.12n-2.nn-212n.nn。分析：本题中的行列式是一个缺了两行的缺行Vandermonde行列式，可以加两行两列将其转化为Vandermonde行列式进行求解，也可以直接利用推论中的结论进行计算。解：这里的生成元x1=1，x2=2，xn=n，缺失的行数k=2，对应的幂次q1=2，q2=n-1，所以D=Dn(2，n-1)=Dn|n-2n-112。例3：计算4阶行列式D(1，2，-3，5；-2，1，-1，2)=|12-2(-3)-25-212-3512-1(-3)-15-1122(-3)252。分析：这是一个广义Vandermonde行列式，可以通过行变换将其幂次按从小到大的次序排列，再从每一列分别提出常数1，2-2，(-3)-2，5-2，化为一个缺行Vandermonde行列式进行计算，也可以直接利用定理2中的结论进行计算。解：这 里 的 生 成 元x1=1，x2=2，x3=-3，x4=5，幂次p1=-2，p2=1，p3=-1，p4=2，所以(-2，1，-1，2)=1，p=min-2，1，-1，2=-2，缺失的行数k=1，对应的幂次q1=2，所以由定 理 2 可 知D=(-1)12-2(-3)-25-2(2-1)(-3-1)(5-1)(-3-2)(5-2)(5+3)2=1 40815。2.2在多项式计算中的应用例 4：证 明 一 元 函 数f(x)=a0 xk0+a1xk1+anxkn(0 k0 kn)可由其图像上横坐标互不相同的n+1个点唯一确定。证明：设f(x)=a0 xk0+a1xk1+anxkn(0 k0 kn)经 过n+1个 点(xi，yi)，i=1，2，n+1，并且对任意的i j，有xi xj，从而有a0 xk11+a1xk21+anxkn1=y1a0 xk12+a1xk22+anxkn2=y2a0 xk1n+a1xk2n+anxknn=yn+1，此时系数行列式是广义Vandermonde行列式，因为xi xj，由计算公式知是非零的，所以方程组关于(a0，a1，an)的解是唯一的，即f(x)被唯一确定。特别地，当f(x)=a0+a1x+anxn时，此一元n次函数也可被图像上横坐标互不相同的n+1个点唯一确定，从而得到文献 2 中的例子。2.3在向量空间中的应用例5：设V是数域F上的n维向量空间，m是任一大于n的整数，证明V中存在m个向量，使得其中任意n个向量都是线性无关的。证 明：取 数 域F中n个 互 不 相 等 的 数x1，x2，xn，构造m个向量a1=(x1,x2,xn)，45第 37 卷盐城工学院学报（自然科学版）a2=(x21,x22,x2n)，am=(xm1,xm2,xmn)，任 取 其 中n个 向 量ap1，ap2，apn，1 p1p2 pn m，则它们构成的行列式|xp11xp12xp1nxp21xp22xp2nxpn1xpn2xpnn=xp11xp12xp1nDn|n-q1n-q1+1n-q1+k-1n-q2n-q2+1n-q2+k-1n-qkn-qk+1n-qk+k-1 0，其 中，q1，q2，qk是p1-p1，p2-p1，pn-p1在0，1，2，n+k-1中的补集；Dn是由元素x1，x2，xn所确定的Vandermonde行列式。所以向量ap1，ap2，apn线性无关。参考文献：1 赵静，刘合国.关于Vandermonde矩阵及其行列式的注记 J.纯粹数学与应用数学，2023，39（2）：270-287.2 白艳红，胡明，胡劲松.求拉格朗日插值多项式的一种简便方法 J.成都工业学院学报，2020，23（3）：57-60.3 范臣君.范德蒙行列式在构造高阶无穷小的应用 J.吉林师范大学学报（自然科学版），2015，36（1）：84-87 4 宋旭霞.一般广义Vandermonde行列式的直接计算公式 J.数学的实践与认识，2012，42（21）：266-272.5 张宁，彭丽.幂差为t的广义范德蒙行列式的计算 J.兰州工业学院学报，2020，27（4）：79-82.6 尤兰，王振.Vandermonde行列式的一类推广 J.科教文汇（上旬刊），2014（28）：49-50.Generalized Vandermonde Determinants and Its ApplicationsWANG Zhen，WANG Xuanning（College of Mathematics and Science，Yancheng Institute of Technology，Yancheng Jiangsu 224051，China）Abstract:This paper introduces the origin and properties of generalized Vandermonde determinant,and then obtains the calculation formula of generalized Vandermonde determinant by using Laplace expansion theorem.Finally,it gives the application of generalized Vandermonde determinant in determinant calculation,polynomial calculation,vector space and so on.Keywords：Vandermonde determinant；elementary symmetric polynomial；Laplace expansion theorem（责任编辑：李华云）46