资源描述
《高等数学》电子教案完整版
1. 1 函数的概念
教学目标：
（1）掌握函数的概念，分段函数的概念.会求解函数的定义域以及值域；
（2）领会函数的两个要素，掌握判断两个函数是否相同的方法；
（3）了解显函数与隐函数.
教学重点：
函数的概念，函数的定义域，分段函数的概念.
教学难点：
如何求解函数的定义域.
授课时数： 2课时.
教学过程
过程
备注
1.1.1函数的概念：
观察
现实世界中存在着各种各样不停地变化着的量, 它们之间相互依赖、相互联系.
比如，速度与时间的关系，存款的收益与时间，存款的收益与利率，三角形的面积与其高和底的关系等.
我们使用函数来抽象出各个变量之间的依赖关系.函数既是微积分研究的基本对象, 也是高等数学中最重要的概念之一.
导入教学内容
10′
新知识
函数的定义：设某一变化过程有两个变量和，和是给定的两个数集，如果对任一，按照一定对应法则，在中都有唯一确定的与之对应，则称是的函数，记作
其中，称为自变量，称为因变量，为定义域，为值域.
由于值域是由定义域和对应法则决定的.因此，定义域和对应法则是决定函数的两个重要因素.两个函数只有在它们的定义域和对应法则都相同时，才被认为是相同的函数.
教师讲授
18′
知识巩固
例 下列各对函数是否相同？为什么？
，;
，;
，.
解 (1)因为定义域不同,故不是同一函数;
(2)因为对应法则不同,故不是同一函数;
(3)相同函数.
教师讲授
25′
练习
下列各对函数是否相同？为什么？
，;
，.
解 (1)因为定义域不同,故不是同一函数;
(2)相同函数.
学生课上完成，教师讲评
30′
观察
有些变化过程我们无法使用单一的表达式来表述.比如物体在某一个时间点改变了加速度，那么如何表述该过程呢？
导入教学内容
35′
新知识
为了描述函数在不同的标量取值时有不同的关系，我们引入了分段函数的概念.分段函数就是对于自变量不同的取值范围，用不同的分析式进行分段的表示的函数.
教师讲授
40′
知识巩固
例 绘制出绝对值函数的图像：
分段函数的定义域是各段自变量取值集合的并集.
如，绝对值函数的定义域为.
教师引领完成
45′
1.1.2 函数的定义域
观察
在不同函数的表达式中，自变量的一些取值会使得函数表达式没有意义，因此，对于自变量的取值范围进行一些限制是非常有必要的.
导入教学内容
50′
新知识
函数的定义域是指函数的自变量所有可能取到的值的集合，在没有特殊说明的情况下，函数的定义域一般是由其表达式的限制所确定，比如说分母不能够等于0，二次根号下的值不能够小于零等.对于分段函数来说，其定义域就是各段自变量取值集合的并集.
我们有如下的常见的函数定义域的求法：
常见函数定义域的求法
函数
定义域
、
教师讲授
60′
知识巩固
例 确定下列函数的定义域.
(1);
(2);
(3);
(4).
解 (1) ;
(2) ;
(3) ;
(4) .
教师讲授
70′
知识巩固
练习 确定下列函数的定义域.
(1); (2).
解 (1);
(2).
学生
完成
80′
1.1.3显函数与隐函数
观察
自变量与因变量已经明显分离的函数称为“显函数”.如果函数的变量没有明显分离或无法分离，也即这种函数的函数关系“隐藏”在方程之中的函数称为“隐函数”.
教师讲授
83′
新知识
显函数与隐函数的表示形式如下：
显函数：
隐函数：
例如称为显函数,称为隐函数.
教师讲授
88′
小结
概念
函数的概念
函数的定义域
显函数与隐函数
教师总结
90′
作业
1. 梳理本节知识内容;
2. 完成练习题一对应内容.
1.2 函数的几种特性
教学目标：
（1）掌握判断函数奇偶性的方法；
（2）了解函数有界性的概念；
（3）掌握判断函数单调性的方法；
（4）会求解简单的周期函数的周期.
教学重点：
函数的奇偶性，单调性的求解方法.
教学难点：
判断函数的奇偶性.
授课时数： 2课时
教学过程
过程
备注
1.2.1函数的有界性
观察
函数的有界性是主要是用来揭示函数的变化范围，我们遇到的很多函数的变化范围始终是介于某个最大值和最小值之间，比如这样的函数我们称其是有界的.
教师草绘图像，引导学生观察
5′
新知识
函数的有界性有如下定义：
对于定义在定义域内的函数，如果存在一个正数，使得对于定义域内的所有，都有成立，则称在定义域内有界.如果不存在这样的，则称在定义域内无界.
教师结合草绘的图像讲解
10′
知识巩固
常见的有界函数：
注意
1. 的取值不是唯一的
2. 有界性是依赖于区间的
教师引领完成并总结
15′
1.2.2函数的奇偶性概念：
观察
在我们的之前的学习中，我们可以发现有些比较特殊的函数，比如,等等.这些函数关于轴或者坐标原点有一些对称关系，我们称关于轴对称的函数为偶函数，关于坐标原点对称的函数为奇函数，本节我们就将来介绍函数的奇偶性.
教师草绘图像并讲解
20′
新知识
设函数定义在以原点为中心的对称区间内，如果对于任意，都有=成立，则称是奇函数，如；如果对于任意，都有=成立，则称是偶函数，如.
奇函数图像关于原点对称，偶函数图像关于轴对称.
注意：
l 奇+奇=奇; 2.偶+偶=偶; 3.奇+偶=非;
l 奇*奇=偶; 5.偶*偶=偶; 6.奇*偶=奇;
l 奇复奇=奇; 8.偶复偶=偶; 9.奇复偶=偶;
l 奇函数的导数=偶函数; 11.偶函数的导数=奇函数.
教师讲授
40′
知识巩固
例 讨论的奇偶性
解 为奇函数， 为偶函数
例 试讨论的奇偶性
解 ，当为奇数时为奇函数，为偶数时为偶函数.
教师引领完成
45′
例 （1）是奇函数;
（2）为非奇非偶函数;
（3）是偶函数.
例 证明是奇函数
证 设,
故函数是奇函数
学生课上完成,教师讲评
60′
1.2.3函数的单调性概念：
观察
我们可以发现，某些变化过程是一直增加或者一直减少的，为了研究这样的变化过程我们引入了函数单调性的概念，接下来我们介绍函数的单调性.
教师讲授
62′
新知识
设函数定义在区间内，,
若时有,则称在内单调递增，图像上升；
若时有,则称在内单调递减，图像下降.
教师讲授65′
知识巩固
用定义法证明在内单调递增.
证：设且则
, 即在内单调递增.
注意：
1.在整个区间上单调递增或单调递减的函数称为单调函数；
2.判断函数单调性的方法通常有图像法、定义法、判定定理法.
教师引导学生完成并讲解
70’
1.2.4函数的周期性概念：
观察
观察，，以及的图像我们可以发现，他们的图像每经过一个固定的周期就重复一次,这样的周期变化的现象在现实生活中也比较多见，比如月亮的阴晴圆缺，太阳的升起落下等等，为了研究这种周期变化的过程，我们引入了周期函数的概念.
教师讲授
73′
新知识
对于函数，如果存在一个非零常数,对于定义域内的所有,都有,则称为周期函数，使等式成立的最小正数称为函数的周期.
1.，；
2.，；
3.若、的周期均为，则的周期也为；
4.若、的周期分别为、，则的周期为和的最小公倍数.
教师讲授
80′
知识巩固
例. (1)，
解 ；
(2) ，
解 .
教师引导学生完成并总结
82′
练习
例 求以下函数的周期：
（1）;
（2）.
解 （1）;
（2）.
学生课上完成，教师讲解并总结
85′
小结
教师总结90′
作业
1. 梳理本节知识内容;
2. 完成练习题一对应内容.
1.3 反函数与基本初等函数
教学目标：
（1）理解反函数的概念，掌握常见的反三角函数及其定义域与值域，会求解简单的函数的反函数；
（2）掌握基本初等函数及其性质；
（3）掌握函数的复合运算的方法.
教学重点：
（1）求解简单的反函数；
（2）掌握常见的反三角函数及其定义域与值域；
（3）掌握基本初等函数的性质.
教学难点：
（1）求解简单的反函数，基本初等函数的性质.
授课时数： 2课时
教学过程
过程
备注
1.3.1反函数
观察
经过前面的学习，我们知道，函数就是揭示自变量和因变量之间关系的表达式，我们已经掌握了由自变量求因变量的方法，那么如何根据因变量来求自变量呢？这就是我们这一节需要学习的内容，反函数.
教师导入新知识
3′
新知识
设函数的定义域是,值域是,如果对于任意一个，都有唯一的使得成立,这时也是的函数,称它为的反函数,记作,而称为直接函数.习惯上常用表示自变量,表示因变量,因此,经常把反函数写成.
1.反函数的定义域是直接函数的值域,反函数的值域是直接函数的定义域；
2.单调函数必存在反函数；
3.函数与其反函数是互为反函数的关系，且图像关于直线
对称.
4. 求反函数的步骤：①解出 ②互换、 ③写出定义域
教师讲授
15′
知识巩固
例 求函数的反函数.
解 由解得,互换和,得函数的反函数为.
教师引导完成
20′
1.3.2反三角函数
观察
在高等数学的三角函数中，我们是通过角度值来求对应的三角函数值，但是如何通过三角函数值来求对应的角度值呢？这就用到了反三角函数，反三角函数是高等数学中最常见，最常用到的反函数.
教师讲授
23′
新知识
l 正弦函数在区间上的反函数称为反正弦函数,记作.定义域为,值域为,为奇函数.
l 余弦函数在区间上的反函数称为反余弦函数,记作.定义域为,值域为,为非奇非偶函数.
l 正切函数在区间上的反函数称为反正切函数, 记作.定义域为,值域为,为奇函数.
l 余切函数在区间上的反函数称为反余切函数, 记作.定义域为,值域为,为非奇非偶函数.
名称
反正弦函数
反余弦函数
反正切函数
反余切函数
符号
定义域
值域
(主值区间)
有界性
有界
有界
有界
有界
单调性
单调递增
单调递减
单调递增
单调递减
奇偶性
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
非奇非偶函数
教师讲授
并总结
45′
知识巩固
例 求下列反三角函数的值.
（1）;（2）;
（3）；（4）.
解 （1）因为，且，所以；
（2） 因为，且，所以；
（3） 因为，且，
所以;
（4） 因为，且，
所以.
教师引导学生完成
50′
练习
求下列反三角函数的值.
（1）；（2）.
解 （1）因为=，且，所以；
（2）因为，且，所以.
学生课堂完成，教师讲解
55′
1.3.3基本初等函数
观察
回顾之前学到的一些函数，我们可以发现，一些较复杂的函数都是由一些较为基本的，较为简单的函数经过四则运算或者复合运算得到的，我们将这些基本的，简单的函数称为基本初等函数，接下来我们详细介绍高等数学里面的基本初等函数.
教师讲授
57′
新知识
所谓基本初等函数就是指如下函数：
常数函数：(为常数)；
幂函数：；
指数函数：；
对数函数：；
三角函数：
；
反三角函数：
.
教师绘制图像讲解并总结
62′
1.3.4复合函数
观察
在高等数学中，我们常见的函数的自变量都表述为,但是实际上自变量也可以不仅仅是一个单一的字母，也可能是一个表达式，在这种情况下自变量变成了一个表达式的运算结果，也就是另外一个函数的因变量，我们称这种函数为复合函数.
教师讲授
65′
新知识
如果是的函数，又是的函数，即，，且与对应的的值能使有定义，则称通过是的复合函数，记作，其中称为中间变量.
1.复合的前提条件是：内层函数的值域与外层函数的定义域必须有交集.
如：不能将，进行复合.因为的定义域,的值域 .故不能复合.
2.复合次序不能调换.
如.
3.常把复合函数拆成几个简单函数，从而便于研究和计算.复合函数在拆分时一般按照、、、、的字母顺序进行表示.
教师讲授
70′
知识巩固
例 设，，，将表示成的函数.
解
例 试将以下函数进行拆分：
（1）; （2）.
解 （1），;
（2），.
例 试将以下函数进行拆分：
（1）; （2）.
解 （1），，;
（2）.
教师引导学生完成
73′
练习
试将以下函数进行拆分：
（1）;
（2）;
（3）.
解 （1），，;
（2）;
（3）.
试将以下函数进行拆分：
（1） ;
（2） .
解 （1），，;
（2）
学生课堂完成教师讲解
78′
1.3.5初等函数
观察
在学习了基本初等函数和函数的复合运算，以及我们初中时候学习的函数的四则运算之后，我们就得到了初等函数的组成元素和组合方法了，基本初等函数是初等函数的组成元素，复合运算以及四则运算是这些元素的组合方法.
教师讲授
83′
新知识
由基本初等函数经过有限次四则运算或有限次复合所得到的由一个式子表示的函数叫做初等函数.
例如,,都是初等函数.
1.绝对值函数既是初等函数也是分段函数.
2.绝大部分分段函数不是初等函数.如和符号函数都不是初等函数.
教师讲授
88′
小结
教师总结
90′
作业
1. 梳理本节知识内容;
2. 完成练习题一对应内容.
2.1极限的性质与概念
教学目标：
（1）理解极限的概念，以及数列极限与函数极限特点；
（2）理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系；
（3）掌握极限的性质.
教学重点：
理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系；
教学难点：
极限存在与左、右极限之间的关系的理解.
授课时数： 2课时.
教学过程
过程
备注
观察
按照某种规律,以正整数1,2,3,…编号依次排列的一系列数,,,…,,…称为数列,记为.其中的每一个数称为数列的项,称为通项.
教师导入新知识
5′
新知识
对于数列,若当自然数无限增大时,能无限地趋近于一个确定的常数,则称数列为收敛数列, 称为它的极限. 记为
或.
若数列的极限不存在，则称数列发散.
例如数列,,是收敛数列，
教师讲授
15′
知识巩固
例 若将一根长为一尺的木棒,每天截去一半,则这样的过程可以无限制地进行下去.此即我国古代有关数列的例子.早在战国时代哲学家庄周的《庄子·天下篇》中就有“一尺之棰,日取其半,万世不竭”的记载.
如果将每天剩下部分的长度记录,则（单位为尺）
第一天剩下,第二天剩下,第三天剩下,…,第天剩下,….这样就得到一个数列
,,,…,,… 即数列 .
数列的通项随着的无限增大而无限地接近于0,也即无限收敛0.
教师引领学生完成
25′
新知识
定义2.3对于函数,如果当自变量的绝对值无限增大时，函数无限趋近于一个确定的常数，则称常数为函数当时的极限，记为
,或(）.
教师
结合图像说明
33′
知识巩固
例 .
教师引领学生完成
40′
新知识
对于函数,如果当自变量从左右两侧无限趋近于时，函数无限趋近于一个确定的常数，就称函数在处的极限为，记为
，或（）.
注 当时并不要求函数在点处有定义.
教师讲授
47′
知识巩固
当时,函数的极限是1,记作
或
.
教师引领学生完成
53′
新知识
当自变量时，函数无限趋近于一个确定的常数，则称常数为时的左（右）极限，记为
（）.
显然,函数的极限与左、右极限之间有以下结论:
的充分必要条件是
.
即左右极限存在并相等.
教师讲授
65′
知识巩固
例 求当时的极限.
解 ,.
.
故时,函数极限不存在.
教师引领学生完成
75′
例 设；
求当时的极限.
解 ，
，
因为,
所以不存在.
学生课上完成教师讲评
80′
新知识
性质2.1(唯一性）
若,,则.
性质2.2（有界性）
若,则函数有界.
性质2.3(局部保号性）
若,且（或）,
则（或）.
教师讲授
86′
小结
数列极限
极 限
极限的性质
函数极限
总结
90′
作业
1. 梳理本节知识内容;
2. 完成练习题二对应内容
2.1极限的四则运算法则
教学目标：
掌握函数极限的运算法则，并会求简单的函数的极限；
教学重点：
运用函数极限的运算法则求极限；
教学难点：
函数极限法则的运用.
授课时数：2课时.
教学过程
过程
备注
新知识
若,,则
(1)＝=.
(2)＝.
(3)＝.
新知识引入
5′
新知识
推论1 常数可以提到极限号前面，
即（为常数）.
推论2 （为正整数）.
此外，（为常数）.
教师讲授
15′
知识巩固
(1)； (2)；
(3)； (4).
解 (1) ==.
(2).
(3).
(4)=.
教师引领学生完成
45′
新知识
例 设为自然数，则
教师讲授
50′
知识巩固
(1); (2) ;
(3)；(4);
解 (1) ;
(2) =;
(3) =;
(4) .
学生完成教师指导
80′
小结
极限的四则运算法则
极 限
90′
作业
1. 梳理本节知识内容;
2. 完成练习题二对应内容.
2.3两个重要极限
教学目标：
掌握两个重要极限，并使用其求解函数极限；
教学重点：
运用两个重要极限求函数极限
教学难点：
两个重要极限的应用.
授课时数： 2课时.
教学过程
过程
备注
观察
一、极限
我们列表考察当时，的变化趋势.
0.8414709
0.9588511
0.9983342
0.9999833
0.9999998
从表2-1可以看出，当时，的值无限趋近于1，所以
.
新知识导入
5′
知识巩固
例 求极限.
解 .
例 求极限.
解
.
教师
引领
完成
20′
练习 求.
解 .
学生练习,教师讲解
25′
观察
极限
下面列表考察当时，函数的变化趋势.
10
100
1000
10000
100000
1000000
2.59374
2.70481
2.71692
2.71815
2.71827
2.71828
-10
-100
-1000
-10000
-100000
-1000000
2.86797
2.73199
2.71964
2.71842
2.71830
2.71828
从表中可以看出，当或时，的值都无限趋近于一个确定的常数，它是一个无理数，记作.所以
.
若令，则当时，，所以上式也可改写成,也即
.
从而，，.
新知识导入,
35′
知识巩固
例 求极限.
解 ==.
学生完成,教师指导
33′
知识巩固
例 求极限.
解 .
例 求极限.
解
.
练习 求.
解 ＝＝.
练习 求.
解 ＝＝.
学生课上完成,教师讲评
40′
例 求极限.
解 ==
==.
教师讲授45′
练习 计算.
解 令,
则
.
教师引领学生完成
55′
小结
两个重要极限
极 限
45′
作业
1. 梳理本节知识内容;
2. 完成练习题二对应内容.
2.4无穷小量与无穷大量
教学目标：
理解无穷小（大）量及其阶的概念，会利用它们求某些函数的极限；
教学重点：
无穷小（大）量及其阶的概念；
教学难点：
无穷小（大）量及其阶的概念.
授课时数： 2课时.
教学过程
过程
备注
新知识
若，则称为在时的无穷小量,简称无穷小.
例如,函数是当时的无穷小；
函数是当时的无穷小.
所以，我们不能说是无穷小量.
是当时的无穷小量.
新知识导入
5′
知识巩固
例 求极限.
解 .
例 求极限.
解
.
练习 求.
解 .
教师引领完成
15′
观察
极限
下面列表考察当时，函数的变化趋势.
10
100
1000
10000
100000
1000000
2.59374
2.70481
2.71692
2.71815
2.71827
2.71828
-10
-100
-1000
-10000
-100000
-1000000
2.86797
2.73199
2.71964
2.71842
2.71830
2.71828
从表中可以看出，当或时，的值都无限趋近于一个确定的常数，它是一个无理数，记作.所以
.
若令，则当时，，所以上式也可改写成,也即
.
从而，，.
结合课件说明
25′
知识巩固
例 求极限.
解 ==.
教师讲授
33′
知识巩固
例 求极限.
解
.
例 求极限.
解
.
教师讲授
45′
练习 求.
解 ＝＝.
练习 求.
解 ＝＝.
学生课上完成教师讲评
55′
例 求极限.
解 =
=
==.
学生课上完成教师讲评
75′
练习 计算.
解 令,
则
.
教师引领完成
80′
小结
两个重要极限
极 限
总结
90′
作业
1. 梳理本节知识内容;
2. 完成练习题二对应内容.
2.5函数的连续性
教学目标：
（1）理解自变量的增量、函数的增量的概念；
（2）掌握函数在点处连续的两种定义方式；
（3）掌握左(右)连续的概念；
（4）掌握间断的概念，并且会判断函数的间断点；
（5）掌握初等函数的连续性.
教学重点：
函数在点处连续的两种定义方式；
间断的概念.
教学难点：
函数间断点的判断.
授课时数： 2课时.
教学过程
过程
备注
观察
如何定义自变量的增量、函数的增量？
自变量的增量.
函数的增量 .
课件演示图像教师引导学生
5′
新知识
函数在点处连续有哪两种定义方式？
定义2.10 设函数在点及其附近有定义，若自变量在点处的增量趋于零时，对应的函数增量 也趋于零，即
,则称函数在点处连续，点称为函数的连续点.
定义2.11设函数在点及其附近有定义，若，则称函数在点处连续.
.
结合课件说明
15
知识巩固
例1证明函数在点处连续.
证明 因为，
，
即，
所以函数在点处连续.
3. 如何定义函数在点处左(右)连续？
若，则称函数在点处左连续.
若，则称函数在点处右连续.
显然，
函数在点处连续.
例 证明函数
在点处连续.
证明 因为，
即
所以函数在点处连续.
【例题详解】
练习 讨论在点处的连续性.
解 因为,故在点处左连续；因为,故在点处不能右连续.
,所以函数在点处不连续.
教师引领学生完成
25′
注意
1若函数在开区间内每一点都连续，则称函数在开区间内连续;
2一般的,如果函数在某个区间上连续,则函数的图像是一条连续不断的曲线.
教师讲授
33′
新知识
函数的间断点如何分类？
定义 若函数在点处不连续，则称点为函数的间断点.
定义 左右极限都存在的间断点称为第一类间断点；否则就称为第二类间断点.
(1) 若,称为可去间断点;
(2) 若,称为跳跃间断点;
(3) 若,称为无穷间断点;
(4) 若振荡不存在,称为振荡间断点.
即
教师讲授
65′
知识巩固
【例题详解】
例 讨论函数的间断点类型.
解 ,
显然是它的两个间断点.
因为，
所以是第二类间断点，且为无穷间断点.
因为，
所以是第一类间断点，且为可去间断点.
例 讨论符号函数的间断点类型.
解
，
，
因为,
所以是的跳跃间断点.
例 讨论函数的间断点类型.
解 显然是函数 的间断点.
因为当时，函数值在-1与1之间
无限次的振荡变化，
故是的振荡间断点.
练习 判断函数的间断点类型.
解 显然是函数 的间断点.
因为,故是无穷间断点.
练习 判断函数的间断点类型.
解 函数在点处的左右
极限存在但不相等, 故为跳跃间断点.
练习 判断函数的间断点类型.
解 函数在点处有
,
所以是可去间断点.
教师引领
学生完成
75′
新知识
初等函数的连续性
性质 有限个连续函数的和、差、积、商（分母不为零）也是连续函数.
性质 有限个连续函数的复合函数也是连续函数.
性质 单调增（减）的连续函数的反函数也是单调增（减）的连续函数.
应用连续函数的运算法则可以得到：
所有基本初等函数在各自定义域内都是连续函数.
结合课件说明
80′
知识巩固
例 设讨论函数在处的连续性.
分析 由于函数在分段点两侧的表达式不同，因此要考虑在分段点处的左极限与右极限．
解 ,,
所以．
而，即.
所以函数在处连续．
教师引领完成
90′
小结
连 续
间 断
总结
90′
作业
1. 梳理本节知识内容;
2. 完成练习题二对应内容.
3.1导数的概念
教学目标：
（1）了解导数的物理意义，掌握导数的几何意义；
（2）掌握导数的定义；
（3）掌握基本初等函数的导数；
（4）理解连续与可导的关系；
教学重点：
（1）导数的定义；
（2）可导与连续的关系.
教学难点：
导数的定义.
授课时数： 2课时.
教学过程
过程
备注
观察
1.变速直线运动的即时速度
一物体作变速直线运动，从某时刻开始到时刻所经过的路程为，求物体在某时刻的速度．考察在时间段内物体运动的平均速度为
.
如果很小，则物体在时间段内的平均速度就接近它在时刻的即时速度，当时，时间段收缩成一点，因而平均速度的极限就是即时速度.
.
2．曲线的切线
点是曲线上的任意一点，求过该点并与曲线相切的切线方程．
在的邻近取一点，则割线 的斜率为
.
当点沿曲线趋向于，割线的极限位置就是曲线在点的切线．因此，切线的斜率为
.
上述两个具体问题尽管实际背景不一样，但从抽象的数量关系来看却是一样的，都是当自变量的改变量趋于零时，计算函数的改变量与自变量的改变量比值的极限.大量的实际问题都需要计算这种类型的极限，由此我们抽象出导数定义.
新知识导入
10′
新知识
定义 3.1 设函数在点及其附近有定义，当自变量在点处取得增量，相应地，因变量取得增量，如果极限存在，则称函数在点处可导，并称此极限值为函数在点处的导数，记为，
即.
函数在处的导数也可记为，或，并称函数在点处可导；如果不存在，则称函数在点处不可导.
有时为了书写和计算方便，导数也可表示为
及
如果函数在区间内的每一点都可导，则称函数在区间内可导，即对任何，有.
称为的导函数，简称为的导数，且.
教师讲授
20′
知识巩固
例 计算函数在点处的导数.
解 当由变化到时，函数相应的改变量
,
,
从而.
例 若，求=？
解 因为，，
所以.
教师讲授
25′
新知识
函数在点处的左导数与右导数,记作与,即
,
.
左导数与右导数统称为函数的单侧导数.
为了研究可导，有时我们还要用到单侧导数概念.根据函数在点处的导数定义，导数
是一个极限，因此存在即函数在点处可导的充分必要条件是左、右极限
和
都存在且相等.
这两个极限分别称为函数在点处的左导数与右导数，记作与，即
,
.
左导数与右导数统称为函数的单侧导数.
显然，函数在点处可导的充要条件是
函数在点处可导的充要条件是函数在点处的左导数与右导数都存在且相等,即.
它一般用于判断分段函数在分段点处的可导性.
教师讲授
35′
新知识
导数的几何意义
如果函数在点处可导，则在点处的导数值为曲线在点处的切线的斜率，即
.
注意 .
曲线在点处的
切线方程为；
法线方程为.
注意
切线斜率与法线斜率互为负倒，即.
若，表示切线的倾斜角为0；
若，表示切线的倾斜角为.
教师讲授
45′
知识巩固
例 求曲线在处的切线方程和法线方程？
解 ，切点为，
切线方程为:，即.
法线方程为:，即.
教师讲授
50′
练习 求曲线在处的切线方程和法线
方程？
解 ，切点为，
切线方程为:，即.
法线方程为:，
即.
学生完成
55′
新知识
函数可导与连续的关系
设函数在点处可导，则存在，由于分母的极限为0，因此分子的极限必为0.
由此可见，当时，. 这就是说，函数在点处是连续的.
所以可导必连续，但连续却不一定可导.
例如虽然在处连续,
但,显然在处不可导.
教师讲授
60′
知识巩固
例 证明函数在处连续但不可导.
解 ,
故在处连续，又
,
,
左右导数存在但不相等，因此不存在，
故在处不可导．
例 证明函数在处连续但不可导.
解 ，
故在处连续，又
不存在,
因此不存在，故在处连续但不可导．
从导数的几何意义可以看出，函数在某一点连续，只要求函数在该点不间断，而函数在某一点可导，不仅要求函数在该点不间断，而且还要求函数在该点能作出一条唯一的不垂直于轴的切线.
教师讲授
65′
新知识
基本初等函数的导数
(1) (为常数);
(2) (为任意常数),
特别地，,;
(3) ()
特别地， ;
(4) (),
特别地，;
(5) ;
(6) ;
(7) ;
(8) ;
(9) ;
(10);
(11) ;
(12) .
此外，，
.
结合以前知识介绍
75′
知识巩固
例 求出下列函数的导数：
，，，，，.
解 ，，
，，
，.
教师讲授
80′
练习 求出下列函数的导数：
，，，，.
解 ， ，
，，
.
学生完成
85′
小结
导数
连续
教师总结
90′
作业
1. 梳理本节知识内容;
2. 完成练习题三对应内容.
3.2求导法则
教学目标：
掌握复合函数求导法则；
教学重点：
复合函数的求导法则.
教学难点：
复合函数的求导法则.
授课时数： 2课时.
教学过程
过程
备注
新知识
复合函数的求导法则
定理3.3 如果在点可导，在的对应点可导，则复合函数在点可导，且导数为
或 .
这个定理说明，复合函数的导数等于复合函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数.
教师讲授
10′
知识巩固
例 求函数的导数.
解 可看作由，复合而成.因为,
所以.
例 求函数的的导数.
解 可看作由，复合而成.
因为 ,
所以 .
教师讲授
20′
对复合函数的分解比较熟练后,就不必写出中间变量,而采用心里默记复合过程,逐层求导的方法求出导数.
例 求下列函数的导数：
(1) ; (2) ;
(3);(4);
(5); (6) .
解 (1)
.
(2)
.
(3)
.
(4) ,
.
(5)
.
(6),
.
教师讲授
55′
练习 求下列函数的导数：
(1); (2).
解 (1);
(2).
练习 求下列函数的导数：
(3); (4).
解 (3).
(4),
.
练习 求下列函数的导数：
(5); (6).
解 (5).
(6).
学生完成
85′
小结
复合函数求导
求导
教师讲授90′
作业
1. 梳理本节知识内容;
2. 完成练习题三对应内容.
3.2求导法则
教学目标：
（1）掌握隐函数求导法则；
（2）掌握对数函数求导法则；
教学重点：
隐函数求导法则.
教学难点：
隐函数求导法则.
授课时数： 2课时.
教学过程
过程
备注
新知识
隐函数求导
如称为显函数，
如称为隐函数．
一般地，方程可确定一个函数或，称为由方程确定的隐函数．
在实际问题中，我们需要求变量对变量的导数，一般情况下通过方程无法解出或．
隐函数求导数的方法是:
方程的两端同时对求导,遇到含有的项,把看作是的复合函数，先对求导,再乘以对的导数,得到一个含有的方程式,然后从中解出即可.
教师讲授
10′
知识巩固
例 设是由方程确定的隐函数，求
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
