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概率论与数理统计教案 第四章习题课四 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版 第概率论与数理统计教案 第四章习题课四 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版 第 163 页页 题目 与 课时题目 与 课时 第四章随机变量的数字特征问题内容习题课 课时：2 教学目的 教学目的(1)熟练计算离散型随机变量的数字特征问题；(2)熟练计算连续型随机变量的数字特征问题；(3)会计算随机变量函数的数字特征问题会计算随机变量函数的数字特征问题.内容 内容 离散型随机变量、连续型随机变量的数字特征问题.教学重点 教学重点 解决办法 解决办法 加强离散型随机变量、连续型随机变量的数字特征问题的理论与方法的讲评，加大例题讲解力度，布置作业训练与巩固.内容 内容 随机变量函数的数字特征问题.教学难点 教学难点 解决办法 解决办法 讲情随机变量函数的数字特征计算公式，加大例题讲解力度.教学辅助 教学辅助 利用多媒体课件，板书配合分析 习题布置 习题布置 P128：A 组：2、5、6、9、10.P129：B 组：1、2、5、7、8、9.参考文献 参考文献 1 郑一,王玉敏,冯宝成.概率论与数理统计.大连理工大学出版社，2015 年 8 月.2 郑一,戚云松,王玉敏.概率论与数理统计学习指导书.大连理工大学出版社，2015 年 8 月.3 郑一,戚云松,陈倩华,陈健.光盘：概率论与数理统计教案、作业册与考试试卷及答案、数学实验视频.大连理工大学出版社，2015 年 8月.4 王玉敏,郑一,林强.概率论与数理统计教学实验教材.中国科学技术出版社，2007 年 7 月.联系方式： 概率论与数理统计教案 第四章习题课四 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版 第概率论与数理统计教案 第四章习题课四 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版 第 164 页页 教 学 内 容 教学笔记教 学 内 容 教学笔记 内容简介内容简介 我们归纳了第四章的概念、理论与方法等内容，并对关键而又容易出错的地方作了讲评.分三块讲解，一是“主要内容归纳”，二是“例题分类解析”，三是“学习与研究方法”总结.在“例题分类解析”部分，讲解了：1.直接按定义计算随机变量的数学期望；2.利用数学期望的性质及常见分布的期望进行计算.3.直接按定义计算随机变量的方差；4.利用方差的性质及常见分布的数字特征进行计算；5.对较复杂的随机变量进行分解，化为简单随机变量之和进行计算；6.一维随机变量函数的数字特征；7.二维随机变量及其函数的数字特征；8.相关性与独立性问题；9.有关数字特征的证明问题.预备知识 预备知识 随机变量的数学期望的定义及其性质，方差及其性质，相关系数.第一节第一节 内容归纳与例题分类解析内容归纳与例题分类解析 一、主要内容归纳一、主要内容归纳 1.一维随机变量的数学期望一维随机变量的数学期望 表表 4-1 一维随机变量的数学期望一维随机变量的数学期望 离散型随机变量 离散型随机变量(1)若X的分布律为,2,1,ipxXPii,则1)(iiipxXE.(2)若随机变量函数为)(XgY,则1)()(iiipxgYE.连续型随机变量 连续型随机变量(1)若X的概率密度为)(xf,则()()E Xxf x dx.(2)若随机变量函数为)(XgY,则()()()E Yg x f x dx.数学期望性 质 数学期望性 质(1)CCE)(C为常数);(2)()(XCECXE;(3)CXECXE)()(;(4)()()(YEXEYXE;(5)若 X 与 Y 相互独立,则)()()(YEXEXYE.讲评讲评 要注意掌握上面随机变量函数)(XgY 的数学期望的计算公式)()(XgEYE.这个公式的作用在于,当我们求函数期望)(YE时,不必求函数)(XgY的分布律或概率密度.要特别注意性质(5)的独立性前提条件.2.一维随机变量的方差一维随机变量的方差 概率论与数理统计教案 第四章习题课四 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版 第概率论与数理统计教案 第四章习题课四 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版 第 165 页页 表表 4-2 一维随机变量的方差一维随机变量的方差 离散型 离散型 若 X的分布律为,2,1,ipxXPii,则 21()()iiiD XxE Xp.连续型 连续型 若 X的概率密度为)(xf,则2()()()D XxE Xf x dx.方差性 质 方差性 质(1)222)()()()(XEXEXEXEXD;(2)0)(CD(C为常数);(3)()(2XDCCXD;(4)()(XDCXD;(5)若X与Y相互独立,则)()()(YDXDYXD.讲评讲评 在实际计算方差时,常利用公式 22()()()D XE XE X.还有,X 与 Y 相互独立仅是()()()D XYD XD Y成立的充分条件.3.二维随机变量的数学期望与方差二维随机变量的数学期望与方差 表表 4-3 二维随机变量的数学期望与方差二维随机变量的数学期望与方差 数 学 期 望数 学 期 望(1)设),(YX的分布律为,2,1,jipyYxXPijji,则 111()iiiijiijE Xx px p,111()jjjijjijE Yy py p.(2)二维离散型随机变量),(YX函数),(YXg的数学期望等于 11(,)(,)ijijijE g X Yg x yp.离 散 型随机变量离 散 型随机变量 方差 方差 211()()iijijD XxE Xp,211()()jijijD YyE Yp.数学期望 数学期望(1)设),(YX的概率密度为),(yxf,则 ()()(,)XE Xxfx dxxf x y dxdy,()()(,)YE Yyfy dyyf x y dxdy.(2)二维连续型随机变量函数),(YXg的数学期望等于 (,)(,)(,)E g X Yg x y f x y dxdy.连 续 型随机变量连 续 型随机变量 方差 方差 22()()()()(,),XD XxE Xfx dxxE Xf x y dxdy 22()()()()(,).YD YyE Yfy dyyE Yf x y dxdy 讲评讲评 二维连续型随机变量的数学期望和方差的计算,本质上就是二重概率论与数理统计教案 第四章习题课四 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版 第概率论与数理统计教案 第四章习题课四 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版 第 166 页页 积分的计算,要特别注意积分限的确定和积分表达式分段形式的正确处理.4.协方差和相关系数 4.协方差和相关系数 表表 4-4 协方差和相关系数协方差和相关系数 协方差 协方差(1)Cov(,)()()()()()X YEXE XYE YE XYE X E Y;(2)Cov(,)()X XD X;(3)Cov(,)Cov(,)Y XX Y;(4)Cov(,)Cov(,)aX bYabX Y;(5)1212Cov(,)Cov(,)Cov(,)XXYX YXY.相关 系数相关 系数 Cov(,)()()()()()()()XYX YE XYE X E YD XD YD XD Y(1)1XY1;(2)若YX,相互独立,则0XY;(3)|1 Y与X以概率1线性相关,即存在常数ba,使 1P YaXb.讲评 讲评 注意随机变量的独立性和不相关性的关系.5.矩和协方差矩阵5.矩和协方差矩阵 表表 4-5 矩和协方差矩阵矩和协方差矩阵 离 散 型 X的k阶原点矩1()kkkiiiAE Xx p.X的k阶中心矩1()()kkkiiiBE XE XxE Xp.矩 矩 连 续 型 X的k阶原点矩()()kkkAE Xx f x dx.X的k阶中心矩()()()kkkBE XE XxE Xf x dx.协方差矩阵 协方差矩阵),(YX的协方差矩阵22211211ccccC,其中)(211XEXEc,)()(12YEYXEXEc,)()(21XEXYEYEc,)(222YEYEc.讲评讲评 事实上,随机变量 X 的数学期望 E(X)就是 X 的一阶原点矩一阶原点矩,方差D(X)就是 X 的二阶中心矩二阶中心矩,而协方差Cov(,)X Y是随机变量 X 和随机变量 Y二阶混合中心矩二阶混合中心矩.6.常用分布的数学期望和方差6.常用分布的数学期望和方差 表表 4-6 常用分布的数学期望和方差常用分布的数学期望和方差 分 布 分布律或概率密度 期望方差 分 布 分布律或概率密度 期望方差 两点分布 两点分布 kkppkXP1)1(,1,0k,10 p.p pq 二项分布 二项分布 knkknppCkXP)1(,nk,2,1,0,10 p.np npq 泊松分布 泊松分布 e!kP Xkk,2,1,0k0 概率论与数理统计教案 第四章习题课四 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版 第概率论与数理统计教案 第四章习题课四 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版 第 167 页页 正态分布 正态分布 22()21()2xxe,0,x.2 均匀分布 均匀分布 1,()0,axbf xba其它.2ba 12)(2ab 指数分布 指数分布,0,()0,xexf x其它.1 21 几何分布 几何分布 ppkXPk 1)1(,2,1,0k 10p.p1 21pp 讲评讲评 (1)上述七种分布的数学期望和方差是我们计算随机变量函数的数字特征的基础,一定要非常熟悉.(2)注意指数分布的概率密度也有形式 1,0,()0,xexf x其它.这种形式的数学期望和方差分别为,2.审题时一定要分清概率密度形式.一般说，随机变量服从参数为 的指数分布,其概率密度是指表 4-6 中的形式.7.重要结论和常用公式7.重要结论和常用公式 表表 4-7 重要结论和期望、方差计算时常用公式重要结论和期望、方差计算时常用公式 重 要 结 论重 要 结 论(1)()()()2Cov(,)D XYD XD YX Y,特别地,当X与Y独立时)()()(YDXDYXD.(2)Cov(,)0(,)0()()()X YX YE XYE X E Y ()()()D XYD XD Y.(3)X与Y独立0XY,但反过来不成立.(4)若),(YX服从二维正态分布,则X与Y独立X与Y不相关.常 用 公 式常 用 公 式(1)ppppn1112 )10(p;(2)212)1(1321pnpppn )10(p;(3)21e2!nn;(4)-函数的性质:)()1(,其中10()xxxe d (0);(5)2202xxed.讲评讲评 在计算离散型随机变量函数的数字特征时,往往会涉及数项级数的求和问题.当然,上面我们仅给出了常用的情形.必要时通过考虑适当的幂级数，并利用幂级数的分析性质求得所需数项级数之和.二、例题分类解析二、例题分类解析 概率论与数理统计教案 第四章习题课四 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版 第概率论与数理统计教案 第四章习题课四 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版 第 168 页页 1.直接按定义计算随机变量的数学期望直接按定义计算随机变量的数学期望 例例1 设从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗,又设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,其概率均为25.试求途中遇到红灯次数的数学期望.分析分析 本题涉及离散型随机变量的数学期望的计算.注意到2(3,)5XB.解解 令X表示途中遇到红灯的次数,由题意知2(3,)5XB.即X的分布律为 X 0 1 2 3 P 27125 54125361258125从而3127543686()01231251251251255kE XkP Xk .讲评讲评 因没有直接给出随机变量的分布,所以必须先由试验写出分布律,而后计算期望.扩展扩展 本题可扩展成考虑“途中经过n个交通岗,遇到红灯的概率为p”.2.利用数学期望的性质及常见分布的期望进行计算利用数学期望的性质及常见分布的期望进行计算 例例 2 已知随机变量 X 服从参数为 2 的泊松分布,即22e!kP Xkk,0,1,2,k.则随机变量32ZX的数学期望()E Z _.分析分析 本题涉及泊松分布的数学期望和数学期望的运算性质.解解 由于(2)XP,所以()2E X.因此 42232)(3)23()(XEXEZE.讲评讲评 利用(2)XP,()2E X 和期望的线性性质大大地简化了计算，不必求32ZX的具体概率分布.扩展扩展 常用分布的期望和方差一定要非常熟悉.3.直接按定义计算随机变量的方差直接按定义计算随机变量的方差 例例 3 对某目标进行射击,直到击中为止.若每次命中概率为 p(0p1),求射击次数的期望和方差.分析分析 这里由于未给出分布律,所以须先由试验写出分布律,然后计算.解解 以 X 表示射击的次数,则 X 的分布律为 X 1 2 3 n P p(1)pp 2(1)pp 1(1)npp因此 21()12(1)3(1)(1)nE Xpppppnpp 2121112(1)3(1)(1)1(1)npppnpppp.又 2222221()12(1)3(1)(1)nE Xpppppnpp 2222212212(1)3(1)(1)nppppnpp.概率论与数理统计教案 第四章习题课四 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版 第概率论与数理统计教案 第四章习题课四 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版 第 169 页页 故有 22222211()()()ppD XE XE Xppp.讲评讲评 熟悉表 4-7 中的常用公式可简化我们的计算工作.为了求得如本例中数项级数的和，需要借助幂级数的求和技巧.所以要熟悉形如12111,nnnnnxn x(|1x)这样的幂级数求和问题.扩展扩展 此题型成为“几何分布”，又叫“成功模型”.4.利用方差的性质及常见分布的数字特征进行计算利用方差的性质及常见分布的数字特征进行计算 例例 4 设随机变量123,XXX相互独立,其中1X在0,6上服从均匀分布,2X服从正态分布2(0,2)N,3X服从参数为3的泊松分布.记1YX22X 33X,求()E Y和()D Y.分析分析 本题涉及几种常用分布的期望、方差和由它们所构成的线性函数的方差问题.解解 由题设知 21122(60)()3,()3,()0,()4,12E XD XE XD X332331111(),()39E XD X.由期望的性质可得 123123()(23)()2()3()132034.3E YE XXXE XE XE X 由于123,XXX相互独立,所以 123123()(23)()4()9()1344920.9D YD XXXD XD XD X 讲评讲评 本题考查了均匀分布、正态分布、泊松分布的期望与方差及其性质.扩展扩展 若缺少独立性条件,随机变量函数的方差的计算是较繁杂的.切记 X 和 Y 独立仅是()()()D XYD XD Y成立的充分条件.5.一维随机变量函数的数字特征一维随机变量函数的数字特征 例例 5 设随机变量 X 服从参数为 1 的指数分布,求2(e)XE X.分析分析 本题涉及一维随机变量的函数的数学期望的计算.解解 由题设可知 X 的概率密度,0,()0,xxf x.e其它 于是1)(XE.因此 22220()()()1()1XXxxxE XE XEf xxx eeedee d 30141133xx ed.讲评讲评 本题主要考查随机变量函数的期望公式 22()()XxEf xxeed.概率论与数理统计教案 第四章习题课四 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版 第概率论与数理统计教案 第四章习题课四 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版 第 170 页页 再次强调指出,书写时不要出现类似 222()()XxxxEf xxxeedee d 这样的低级错误.扩展扩展 随机变量X函数()Yg X的数学期望为()()E YE g X,使我们可以直接计算Y的期望,而不必求其分布.6.二维随机变量及其函数的数字特征二维随机变量及其函数的数字特征 例例 6 设 X 和 Y 是相互独立且服从正态分布1(0,)2N的两个随机变量,则(|)EXY_，(|)DXY_.分析分析 注意到相互独立的正态随机变量的线性组合仍服从正态分布,因此XY的分布是确定的.解解 记UXY,则()()()0,()()()1E UE XE YD UD XD Y.由此可知 (0,1)UN.于是 2222012(|)(|)|eded2xxEXYE Uxxxx 2202ex 2.22222222(|)(|)(|)2()2()()()2()()0()()112002221.DXYEXYEXYE XE X E YE YD XE XD YE Y 讲评讲评 类似本题这样的问题利用正态随机变量的良好性质可以简化计算.扩展扩展 本题可扩展成考虑更为一般的期望问题,形如(|)EaXbY和(|)D aXbY.7.相关性和独立性问题相关性和独立性问题 例例 7 设随机变量 X 和 Y 的方差存在且不等于 0,则()()D XYD X()D Y是X和Y().(A)不相关的充分条件,但不是必要条件.(B)独立的充分条件,但不是必要条件.(C)不相关的充分必要条件.(D)独立的充分必要条件.分析分析 两个随机变量不相关的充要条件是它们的相关系数为零,而后者只是两个随机变量独立的必要条件.解解 因为 1Cov(,)()()()2X YD XYD XD Y,Cov(,)()()XYX YD XD Y,概率论与数理统计教案 第四章习题课四 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版 第概率论与数理统计教案 第四章习题课四 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版 第 171 页页 所以 X 和 Y 不相关的充分必要条件是Cov(,)0X Y,即)()()(YDXDYXD.故选项(C)正确.讲评讲评 注意随机变量X和Y的独立性仅是)()()(YDXDYXD的充分条件.扩展扩展 事实上Cov(,)00()()()XYX YE XYE X E Y ()()()D XYD XD Y.8.应用题应用题 例例 8 假设由自动生产线加工的某种零件的内径 X(单位:mm)服从正态分布(,1)N,内径小于 10 或大于 12 为不合格品,其余为合格品.销售每件合格品获利,销售每件不合格品亏损.已知销售利润 T(单位:元)与销售零件的内径X 有如下关系:1,10,20,1012,512.XTXX 问平均内径取何值时,销售一个零件的平均利润最大?并求出平均利润的最大值.分析分析 本题是一道综合题.既涉及到随机变量的数学期望的计算,又要用到导数求最值.解解 由于(,1)XN,所以 11010(10),P TP XP X 1020PTPX12(12)(10),5121(12)P TP X .销售一个零件的平均利润为 5)5(20201)1()(TPTPTPTE (10)20(12)(10)51(12)25(12)21(10)5.因为 22(12)(10)22d()25(12)21(10)d1125e21e22E T ,令d()0dE T得(22 2)21e25,解得9.102521ln2111.容易验证2521ln2111是)(TE的最大值点,即当9.10mm 时,销售一个零件的平均利润最大,最大值为 10.9()25(12 10.9)21(10 10.9)5E T 74.125)8159.01(218643.025(元).讲评讲评 本题考查的是离散型随机变量的数学期望的计算.由于数学期望的计算结果是函数()x,因此需要利用导数来确定极值点和最值.扩展扩展 本问题可以扩展到X服从其它的连续型分布,如指数分布等.概率论与数理统计教案 第四章习题课四 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版 第概率论与数理统计教案 第四章习题课四 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版 第 172 页页 小 结 与 思 考 小 结 与 思 考 二、释疑解惑二、释疑解惑(1)柯西分布的数学期望 E(X)不存在,进而方差 D(X)也不存在.柯西分布的概率密度为 21()(1)f xxx ,.柯西分布的分布函数为 F(X)=12+1arctan x,-x+.(2)若随机变量X与Y独立,则X与Y不相关,即0XY.但是,若 X 与 Y 不相关,推不出 X 与 Y 独立.(3)若(X,Y)服从二维正态分布,那么 X 与 Y 相互独立的充要条件是 X与 Y 不相关,即0XY.