概率论与数理统计教师用教案概率统计教案3章习题课三.pdf

概率论与数理统计教案 第三章习题课三 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版第 概率论与数理统计教案 第三章习题课三 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版第 126 页页 题目 与 课时题目 与 课时 第三章多维随机变量及其概率内容习题课课时：2 教学目的 教学目的(1)熟练计算二维离散型随机变量及其概率分布问题；(2)熟练计算二维连续型随机变量及其概率密度问题；熟练计算二维连续型随机变量及其概率密度问题；(3)熟练计算二维随机变量的分布函数；(4)熟练计算二维随机变量函数的概率分布问题.内容 内容 二维离散型随机变量、连续型随机变量及其概率分布问题.教学重点 教学重点 解决办法 解决办法 加强二维离散型随机变量、连续型随机变量及其概率分布问题的讲评，加大例题讲解力度，布置作业训练巩固.内容 内容 随机变量的条件概率分布和独立性.教学难点 教学难点 解决办法 解决办法 讲清条件概率分布和独立性的关系，加大例题讲解力度.教学辅助 教学辅助 利用多媒体课件，板书配合分析习题布置 习题布置 P99：A 组：1、3、4、6.P101：B 组：1、3、4、5.参考文献 参考文献 1 郑一,王玉敏,冯宝成.概率论与数理统计.大连理工大学出版社，2015 年 8 月.2 郑一,戚云松,王玉敏.概率论与数理统计学习指导书.大连理工大学出版社，2015 年 8 月.3 郑一,戚云松,陈倩华,陈健.光盘：概率论与数理统计教案、作业册与考试试卷及答案、数学实验视频.大连理工大学出版社，2015 年 8月.4 王玉敏,郑一,林强.概率论与数理统计教学实验教材.中国科学技术出版社，2007 年 7 月.联系方式： 概率论与数理统计教案 第三章习题课三 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版第 概率论与数理统计教案 第三章习题课三 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版第 127 页页 教 学 内 容 教学笔记教 学 内 容 教学笔记 内容简介内容简介我们归纳了第三章的概念、理论与方法等内容，并对关键而又容易出错的地方作了讲评.分三块讲解，一是“主要内容归纳”，二是“例题分类解析”，三是“学习与研究方法”总结.在“例题分类解析”部分，讲解了：1.二维随机变量及其分布的概念及性质；2.二维离散型随机变量的分布律；3.二维连续型随机变量的分布函数；4.边缘分布律与条件分布律；5.随机变量落入平面区域内的概率计算；6.两个随机变量的独立性的判定；7.两个随机变量函数的概率分布.该章内容在历年考研题目中，占有比例较大.预备知识 预备知识 二维随机变量及其分布的相关知识.第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布一、一、主要内容归纳主要内容归纳1.分布函数分布函数 F(x,y)及其性质及其性质表表 3-1 二维随机变量二维随机变量(X,Y)的分布函数的分布函数 F(x,y)及其性质及其性质 设(X,Y)是二维随机变量,对任意实数 x,y,二元函数 F(x,y)=PXx,Yy称为二维随机变量(X,Y)的分布函数,或称为随机变量 X 和 Y 的联合分布函数.分布函数 F(x,y)具有性质：(1)0F(x,y)1;(2)F(x,y)是 x 或 y 的不减函数，并且(,)0,(,)0,(,)0,(,)1;FyF xFF (3)F(x,y)关于 x 右连续,关于 y 右连续,即 F(x,y)=F(x+0,y),F(x,y)=F(x,y+0);(4)121222122111,(,)(,)(,)(,)P xXxyYyF xyF x yF xyF x y,讲评讲评 并不是所有的二元函数都可以成为某个二维随机变量的分布函数,它必须要满足上表中的(1)(4)条性质.反过来我们也常利用这四条性质来确定分布函数中的某些待定参数.2.二维离散型随机变量及其性质二维离散型随机变量及其性质表表 3-2 二维离散型随机变量及其性质二维离散型随机变量及其性质 二维离散型随机变量(X,Y)的分布律为,(,1,2,)ijijP Xx Yypi j.性质:(1)ijp0;(2)1ijijp.分布函数:(,)ijijxxyyF x yp.讲评讲评 若一个二维离散型随机变量的分布律不能满足性质(2),那么这个分布律的计算显然是错误的.概率论与数理统计教案 第三章习题课三 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版第 概率论与数理统计教案 第三章习题课三 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版第 128 页页 3.二维连续型随机变量及其性质二维连续型随机变量及其性质表表 3-3 二维连续型随机变量及其性质二维连续型随机变量及其性质 设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y).性质:(1)f(x,y)0;(2)(,)d d1f x yx y;(3)2(,)Ff x yx y,(x,y)为f(x,y)的连续点;(4)(,)(,)d dGPX YGf x yx y.分布函数:(,)(,)d dxyF x yf s ts t.讲评讲评 二维连续型随机变量的性质(2)常用来确定概率密度中的待定参数,而据性质(3)在已知联合分布函数时通过求偏导可求得联合概率密度.性质(4)常用于计算点(X,Y)落在给定平面区域 G 中的概率,本质上这是一个二重积分计算问题,但须仔细处理有效的积分区域和概率密度f(x,y)的分段表达式.4.二维随机变量的边缘分布二维随机变量的边缘分布表表 3-4 边缘分布边缘分布 离散型随机变量离散型随机变量二维随机变量(X,Y)关于X的边缘分布律为(1,2,)iijjiPP Xxpi.二维随机变量(X,Y)关于Y的边缘分布律为(1,2,)jijijPP Yypj.二维随机变量(X,Y)关于X的边缘分布函数().iiXijxxjixxFxpp 二维随机变量(X,Y)关于Y的边缘分布函数().jiYijyyijyFyppy 连续型随机变量连续型随机变量二维随机变量(X,Y)关于X的边缘概率密度为()(,)dXfxf x yy.二维随机变量(X,Y)关于Y的边缘概率密度为()(,)dYfyf x yx.二维随机变量(X,Y)关于X的边缘分布函数为()(,)dd()d.xxXXFxf x yyxfxx 二维随机变量(X,Y)关于Y的边缘分布函数为()(,)dd()d.yyYYFyf x yxyfyy讲评讲评 对于离散型随机变量而言,边缘分布律的计算是十分容易的,只需将联合分布律表格中的数据横向或纵向相加写在相应的边框上.对于连续型随机变量,很多时候需要将联合概率密度 f(x,y)的定义域进行划分后再积分求得,其边缘分布函数多为分段函数，计算比较难，应引起读者重视.5.二维随机变量的条件分布二维随机变量的条件分布 概率论与数理统计教案 第三章习题课三 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版第 概率论与数理统计教案 第三章习题课三 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版第 129 页页 表表 3-5 条件分布条件分布 离散型随机变量离散型随机变量二维随机变量(X,Y)在条件jYy下X的条件分布律为,|(1,2,)ijijijjjP Xx YypP XxYyiP Yyp.二维随机变量(X,Y)在条件iXx下Y的条件分布律为,|(1,2,)ijijjiiiP Xx YypP YyXxjP Xxp.连续型随机变量连续型随机变量二维随机变量(X,Y)在条件Y=y下X的条件概率密度为|(,)(|)()X YYf x yfxyfy,条件分布函数为|(,)d(|)(|)d()xxX YX YYf x yxFxyfxyxfy.二维随机变量(X,Y)在条件X=x下Y的条件概率密度为|(,)(|)()Y XXf x yfyxfx,条件分布函数为|(,)d(|)(|)d()yyY XY XXf x yyFyxfyxyfx.讲评讲评 为了求得条件分布律或条件概率密度，必须事先求得相应的边缘分布律或边缘概率密度.6.随机变量的独立性随机变量的独立性3-6 随机变量的独立性随机变量的独立性 定义定义若对任意的数x,y,满足F(x,y)=FX(x)FY(y),则称随机变量X与Y相互独立.其中F(x,y),FX(x),FY(y)分别是(X,Y)的分布函数及边缘分布函数.离散型随机变量离散型随机变量随机变量X与Y相互独立的充分必要条件是:,ijijP Xx YyP Xx P Yy,对于(X,Y)的所有可能取值(xi,yj)均成立.连续型随机变量连续型随机变量随机变量X与Y相互独立的充分必要条件是:f(x,y)=fX(x)fY(y)在平面上几乎处处成立,其中f(x,y),fX(x),fY(y)分别是(X,Y)的概率密度和边缘密度.讲评讲评 随机变量的独立性是一个非常重要的概念，也是一种非常实用的方法.在 实 际 的 应 用 中 ,对 于 离 散 型 随 机 变 量，我 们 只 要验 证,ijijP Xx YyP Xx P Yy对于(X,Y)的所有可能取值(,)ijx y都成立;对连续型随机变量，只要验证 f(x,y)=fX(x)fY(y)在平面上几乎处处成立.这样处理往往比利用独立性定义更简便.7.简单随机变量函数的分布简单随机变量函数的分布表表 3-7 常见两个随机变量函数的分布常见两个随机变量函数的分布 概率论与数理统计教案 第三章习题课三 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版第 概率论与数理统计教案 第三章习题课三 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版第 130 页页,ijkkijxyzP ZzP Xx Yy,ikiiP Xx Yzx 或,kjkjjP ZzP XzyYy.设X,Y为连续型随机变量,Z=X+Y的分布函数为()ZFzP ZzP XY(,)d dxyzzf x yx yd(,)dd(,)d.zxzyxf x yyyf x yxZ=X+Y的概率密度为()(,)d(,)d.Zfzf x zxxf zy yy (*)若X,Y相互独立,则有卷积公式()()()d()()d.ZXYXYfzfzyfyyfxfzxx (*)M=maxX,Y M的分布函数为max()()()XYFzFzF z,其中X,Y相互独立.N=minX,Y N的分布函数为min()11()1()XYFzFzF z,其中X,Y相互独立.讲评讲评 这里罗列了三种常见的二维随机变量函数的分布.Z=X+Y 的概率密度公式(*)和(*)要非常熟悉.对于随机变量 X,Y,若熟悉其分布函数,则M=maxX,Y和 N=minX,Y的分布函数将易于求得.这三种分布,在研究元件的可靠性分析中,常分别用于描述元件备用联接、并联和串联时的系统寿命.8.重要结论重要结论表表 3-8 重要结论重要结论(1)二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布,而且都不依赖于参数.(2)一般地,单由关于X和Y的边缘分布不能确定X和Y的联合分布.(3)对于二维正态随机变量(X,Y),X和Y相互独立的充要条件是参数=0.(4)有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布.讲评讲评 这些结论要非常熟悉.9.重要二维分布及其性质重要二维分布及其性质表表 3-9 重要二维分布及其性质重要二维分布及其性质 均匀分布均匀分布二维随机变量(X,Y)的概率密度为 1,(,),(,)0,.Gx yGSf x y其它其中SG表示平面区域G的面积.正态分布正态分布二维随机变量(X,Y)的概率密度为 2211222221212()()()()122(1)2121(,)e21xxyyf x y ,其中12,0,|1.记作122221(,)(,)X YN.二维正态分布的性质:1.211(,)XN,222(,)YN;Z=X+Y 设X,Y为离散型随机变量,Z=X+Y的分布律为 概率论与数理统计教案 第三章习题课三 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版第 概率论与数理统计教案 第三章习题课三 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版第 131 页页 2.2212112211221212(,2)C XC YN CCCCC C.讲评讲评 不论是一维，还是二维，均匀分布和正态分布是两个常见的分布,尤其对于二维正态分布的这些运算性质要熟悉.二、例题分类解析二、例题分类解析1.二维随机变量及其分布的概念和性质例二维随机变量及其分布的概念和性质例 1 设二维随机变量(X,Y)的分布函数为(,)(arctan)(arctan)23xyF x yA BC.求:(1)常数 A,B,C;(2)(X,Y)的概率密度.分析分析 (X,Y)的分布函数中的待定参数可以利用分布函数的性质来确定;已知分布函数求概率密度,通过计算偏导求得.解解 (1)由分布函数的性质有(,)()()122FA BC ,(,)(arctan)()022xF xA BC,(,)()(arctan)023yFyA BC.令 x=0,y=0,由此解得21,22ABC.故有21(,)(arctan)(arctan)2223xyF x y.(2)(X,Y)的概率密度为 2222(,)6(,)(4)(9)F x yf x yx yxy.讲评讲评 本题考查了分布函数的性质在确定其表达式中待定参数的应用,考查了分布函数和概率密度之间的运算关系.扩展扩展 求分布函数表达式中的待定常数是一个常见问题.此例的解法具有通用性.2.二维离散型随机变量的分布律例二维离散型随机变量的分布律例 2 甲、乙两人独立地各进行两次射击.假设甲的命中率为 0.2,乙的命中率为 0.5,以 X 和 Y 分别表示甲和乙的命中次数.试求 X 和 Y 的联合概率分布.分析分析 由于X和Y相互独立,所以,P Xi YjP Xi P Yj.此题目用到二项分布.解解 X 服从参数为 n=2,p=0.2 的二项分布,Y 服从参数为 n=2,p=0.5 的二项分布.它们的概率分布分别为 X0 1 2PX=i 0.64 0.32 0.04 概率论与数理统计教案 第三章习题课三 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版第 概率论与数理统计教案 第三章习题课三 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版第 132 页页 Y 0 1 2 PY=j 0.25 0.5 0.25 由于 X 和Y的独立,得到,P Xi YjP Xi P Yj.可知 X 和Y的联合概率分布为 Y X 01200.160.320.1610.080.160.0820.010.020.01讲评讲评 本题考查了二项分布和随机变量的独立性性质.扩展扩展 在 X 和 Y 相互独立的情况下,本题中 X 和 Y 服从的二项分布可换成其它分布.3.连续型随机变量的分布函数例连续型随机变量的分布函数例 3 已知随机变量 X 和Y的联合概率密度为 4,01,01,(,)0,xyxyf x y 其它.求 X 和 Y 的联合分布函数 F(x,y).分析分析 本题涉及联合分布函数为分段函数形式的计算,即计算二重积分(,)ds(,)dxyF x yf s tt.在计算中应注意区域的划分和 f(x,y)的分段表达式.解解 根据定义 X 和 Y 的联合分布函数(,)d(,)dxyF x ysf s tt.(1)当 x0 或 y1 且 y1 时,有(,)1F x y;(3)当 0 x1 且 0y1 时,有2200(,)d4 d;xyF x ysstx yt(4)当 0 x1 且 y1 时,有1200(,)d4 d;xF x yst txs(5)当 x1 且 0y1 时,有1200(,)d4 d.yF x ysstyt 故 X 和 Y 的联合分布函数为 22220,00,01,01,(,),01,1,1,01,1,1,1.xyx yxyF x yxxyyxyxy或 讲评讲评 二维连续型随机变量的联合分布函数的计算本质上就是计算二重积分(,)d(,)dxyF x ysf s tt.由于被积函数仅在有限块区域取非零值,因此积分结果是一个分段函数.概率论与数理统计教案 第三章习题课三 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版第 概率论与数理统计教案 第三章习题课三 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版第 133 页页 扩展扩展 (1)此题目解法具有通用性,要求读者熟练掌握其解法;(2)为了提高此类问题的计算速度和准确性,应该通过画草图的方式辅助确定积分限.请读者画出 f(x,y)0 的区域，分析多种情形的积分限.4.边缘分布律和条件分布律边缘分布律和条件分布律 例例 4（99 年考研数学一，十二）年考研数学一，十二）设随机变量 X 和 Y 相互独立,下表列出了二维随机变量(X,Y)的分布律及其关于X和Y的边缘分布律中的部分数值,试将其余数值填入表中空白处.X Y x1 x2 ijP Yypy11816y2 18y3 iiP Xxp 1分析分析 在上表中很容易得到11111,6824P Xx Yy.据此再利用独立性和边缘分布律的性质可依次填充所缺数值.解解 首先,由于 11121,P YyP Xx YyP Xx Yy,所以有11121111,6824P Xx YyP YyP Xx Yy.在此基础上利用 X 和 Y 的独立性,有 11111,124146P Xx YyP XxP Yy.于是21131144P XxP Xx .再次,利用 X 和 Y 的独立性,有 12211,18124P Xx YyP YyP Xx.于是31211111623P YyP YyP Yy .最后,利用 X 和 Y 的独立性,有 2222313,428P Xx YyP XxP Yy;2323311,434P Xx YyP XxP Yy;概率论与数理统计教案 第三章习题课三 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版第 概率论与数理统计教案 第三章习题课三 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版第 134 页页 1313111,4312P Xx YyP Xx P Yy.因此得到下表X Y y1 y2 ijP Yypy1 1241816y2 183812y3 1121413iiP Xxp 14341 讲评讲评 本题综合考查了随机变量独立性的性质和边缘分布的性质以及对立事件的概率公式等知识.扩展扩展 对于离散型随机变量,其分布律中部分数据确定后,事实上其它的数据也就被唯一地确定下来.如本例中,考虑一下最少需要几个数据来唯一确定整个概率分布.5.随机变量落入平面区域内的概率例随机变量落入平面区域内的概率例 5 已知随机变量 X 和 Y 的联合概率密度为()e,0,0,(,)0,xyxyf x y其它,求 PXY.分析分析 本题涉及由概率密度求概率的计算公式(,)(,)d dDPX YDf x yx y.解解 由概率密度求概率的计算公式,可得()00(,)d ddedyxyx yP XYf x yx yyx01e(1e)d2yyy.讲评讲评 (1)本题考查随机变量关系式的概率的计算，或者说随机变量落入某区域的概率.随机变量关系式 XY 对应积分区域 xy;(2)在积分区域 x0,y0 的交集上计算关于概率密度的二重积分()00dedyxyyx.扩展扩展 计算P XY与 的关系式这类概率本质上就是考虑在适当的区域上关于概率密度的二重积分.这里适当的区域是指 X 与 Y 的关系式确定的区域和Df的交集,其中 Df表示 f(x,y)取非零值的区域.练习:用此题的方法计算概率 P2X+1Y,PX+Y1.6.两个随机变量的独立性的判定例两个随机变量的独立性的判定例 6 设(X,Y)的分布律为 概率论与数理统计教案 第三章习题课三 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版第 概率论与数理统计教案 第三章习题课三 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版第 135 页页(X,Y)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)Pij 161911813 问当,取何值时,X 与 Y 相互独立?分析分析 离散型随机变量的独立性，需要考虑充要条件,ijP Xx Yy ijP Xx P Yy 对所有的 i,j 都要成立.因此又涉及计算边缘分布律.解解 首先,由分布律求得边缘分布律 Y X 123pi.1 1619118132 13 13+p.j12+19+1181 由于边缘分布满足23111,1ijijpp,又 X,Y 相互独立的等价条件为pij=pi.p.j(i=1,2;j=1,2,3).故可得方程组21,3111().939解得29,19.经检验,当29,19时,对于所有的 i=1,2;j=1,2,3 均有 pij=pi.p.j成立.因此当29,19时,X 与 Y 相互独立.讲评讲评 本题考查了离散型随机变量的独立性和边缘分布律的性质.扩展扩展 随机变量的独立性是一个非常重要的概念.强调指出:这里检验是 必须的,因为,仅根据两个方程解得.对于离散型随机变量,其独立性就意味着,ijP Xx Yy ijP Xx P Yy要对所有的 i,j 都要成立.判定连续型随机变量的独立性可采用检验分布函数关系式 F(x,y)=FX(x)FY(y)是否成立,也可以采用检验概率密度关系式 f(x,y)=fX(x)fY(y)是否成立.7.两个随机变量函数的分布例两个随机变量函数的分布例 7 设随机变量 X 与 Y 相互独立,X 服从正态分布2(,)N,Y 服从区间,上的均匀分布,试求 Z=X+Y 的概率密度(计算结果用标准正态分布函数 概率论与数理统计教案 第三章习题课三 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版 第 概率论与数理统计教案 第三章习题课三 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版 第 136 页页 (Z)表示).分析分析 随机变量和 Z=X+Y 的分布是一种非常重要的函数关系分布.因 X与 Y 相互独立,故可使用卷积公式直接计算其概率密度.本题目还需熟悉均匀分布和正态分布的概率密度.解解 由题意知,X 的概率密度为 22()21()e,2xXfxxR.Y 的概率密度为 1,()20.Yyfy，其它 由卷积公式知,Z 的概率密度为 22()211()()()ded22zyZXYfzfzy fyyy.作变量代换zyt，可得 22111ed()d222()tzzzzZftttz 1,2zzzR.讲评讲评 本题考查了卷积公式()()()dZXYfzfzy fyy.扩展扩展 本题可拓展到 Y 服从其它连续型分布,如另一个正态分布,或者指数分布;也可拓展求形如 Z=2X-Y 的概率密度.小 结 与 思 考 小 结 与 思 考 二、释疑解惑二、释疑解惑(1)关于正态分布有关问题(i)二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布;(ii)正态分布的联合概率密度与参数 有关,而边缘概率密度不依赖参数,可见两个边缘概率密度不能唯一确定联合概率密度.(2)联合分布唯一确定边缘分布,反之不真.一个条件分布和对应的边缘分布能唯一确定联合分布.