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《线性代数》 教 案
编 号：
课时安排： 2 学时
教学课型：理论课√ 实验课□ 习题课□ 其它□
题目： 第一章 行列式
§ 1.1二阶、三阶行列式 § 1.2 n阶行列式
教学目的要求：
使学生掌握二、三阶行列式的定义及计算方法；理解逆序数的定义及计算方法
教学重点、难点：
二、三阶行列式的定义及计算方法；逆序数的计算方法
教学方式、手段、媒介：
讲授，多媒体、板书
教学过程：（含复习上节内容、引入新课、中间组织教学以及如何启发思维等）
导入（10分钟）本章主要内容和知识点
新授课内容（75分钟）
二、三阶行列式的定义
一、二阶行列式的定义
从二元方程组的解的公式,引出二阶行列式的概念。
设二元线性方程组
用消元法,当 时,解得
令 ,称为二阶行列式 ,则

如果将D中第一列的元素, 换成常数项, ,则可得到另一个行列式,用字母表示,于是有

按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和：,这就是公式（2）中的表达式的分子。同理将中第二列的元素a 12,a 22 换成常数项b1,b2 ,可得到另一个行列式,用字母表示,于是有

按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和：,这就是公式（2）中的表达式的分子。
于是二元方程组的解的公式又可写为
其中
例1. 解线性方程组
同样,在解三元一次方程组时,要用到“三阶行列式”,这里可采用如下的定义.

二、三阶行列式的定义
设三元线性方程组
用消元法解得

定义 设有9个数排成3行3列的数表

记 ,称为三阶行列式,则

三阶行列式所表示的6项的代数和,也用对角线法则来记忆：从左上角到右下角三个元素相乘取正号,从右上角到左下角三个元素取负号,即

例2. 计算三阶行列式 .(-14)
例3. 解线性方程组
解 先计算系数行列式

再计算

,,
得 ,,

全排列及其逆序数
引例：用1、2、3三个数字,可以组成多少个没有重复的三位数？
一、全排列
把n个不同的元素排成一列,叫做这个元素的全排列（简称排列）.
可将个不同元素按进行编号,则个不同元素的全排列可看成这个自然数的全排列.
个不同元素的全排列共有种.
二、逆序及逆序数
逆序的定义：取一个排列为标准排列,其它排列中某两个元素的次序与标准排列中这两个元素的次序相反时,则称有一个逆序.
通常取从小到大的排列为标准排列,即的全排列中取为标准排列.
逆序数的定义：一个排列中所有逆序数的总数称为这个排列的逆序数.
逆序数为偶数的排列称为偶排列,逆序数为奇数的排列称为奇排列,标准排列规定为偶排列.
例1: 讨论的全排列.
全排列
123
231
312
132
213
321
逆序数
0
2
2
1
1
3
奇偶性
偶
奇
逆序数的计算：设为的一个全排列,则其逆序数为 .
其中为排在 前,且比大的数的个数.
定理1 任意一个排列经过一个对换后奇偶性改变。
定理2 n个数码（n>1）共有n！个n级排列，其中奇偶排列各占一半。
总结（5分钟）
讨论、思考题、作业：
教学总结：

《线性代数》 教 案
编 号：
课时安排： 2 学时
教学课型：理论课√ 实验课□ 习题课□ 其它□
题目： 第一章 行列式
§ 1.2 阶行列式的定义(续)
教学目的要求：
掌握阶行列式的定义
教学重点、难点：
阶行列式的定义，特殊行列式的计算公式
教学方式、手段、媒介：
讲授，多媒体、板书
教学过程：（含复习上节内容、引入新课、中间组织教学以及如何启发思维等）
复习（5分钟）
新授课内容（80分钟）
回顾二阶,三阶行列式的共同特点.
二阶行列式
.
其中： ① 是 的全排列,②是的逆序数,③是对所有的全排列求和.
三阶行列式

其中:①是的全排列,②是的逆序数,③是对所有的全排列求和.

其中:① 是的全排列,②是的逆序数, ③是对所有的全排列求和.
板书给出阶行列式语言定义和计算定义：

举例进行练习
阶行列式的等价定义为：

阶行列式的等价定义为：

特殊公式1：
,
特殊公式2：
下三角行列式
.

总结（5分钟）
讨论、思考题、作业：
教学总结：

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编 号：
课时安排： 2 学时
教学课型：理论课√ 实验课□ 习题课□ 其它□
题目：第一章 行列式
§ 1.3 行列式的性质
教学目的要求：
掌握阶行列式的性质，会利用阶行列式的性质计算阶行列式的值；
教学重点、难点：
行列式的性质
教学方式、手段、媒介：
讲授，多媒体、板书
教学过程：（含复习上节内容、引入新课、中间组织教学以及如何启发思维等）
复习（5分钟）
新授课内容（80分钟）
转置行列式的定义
记 = ()
行列式称为行列式的转置行列式（依次将行换成列）
一、阶行列式的性质
性质 1：  行列式与它的转置行列式相等.
由此知，行与列具有同等地位.关于行的性质，对列也同样成立，反之亦然.
如:
以r表示第i行，表示第j列.交换两行记为,交换i,j两列记
作.
性质 2： 行列式互换两行（列），行列式变号.
  推论：  行列式有两行（列）相同，则此行列式为零.
性质 3： 行列式的某一行（列）的所有元素乘以数 ,等于用数乘以该行列式.
  推论1：  行列式的某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符号外.
推论2：  行列式中有两行（列）的元素对应成比例，则此行列式为零.
性质 4：  若行列式中某一行（列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式之和.
即若
则 +.
性质 5：  把行列式某一行（列）的元素乘以数再加到另一行（列）上，则该行列式不变.
二、阶行列式的计算：

例1. 计算.
解：
.
例2.

.
(推广至阶，总结一般方法)
例3. 证明：.
证明： 左端

.
例4. 计算阶行列式.

(利用递推法计算)
例5. ，

则 .

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讨论、思考题、作业：
教学总结：

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题目： 第一章 行列式
§ 1.4 行列式按行（列）展开
教学目的要求：
了解余子式和代数余子式的概念；掌握行列式按行（列）展开；
教学重点、难点：
行列式按行（列）展开
教学方式、手段、媒介：
讲授，多媒体、板书
教学过程：（含复习上节内容、引入新课、中间组织教学以及如何启发思维等）
复习（5分钟）
新授课内容（80分钟）
定义 在阶行列式中，把元素所处的第行、第列划去，剩下的元素按原排列构成的阶行列式，称为的余子式，记为；而称为的代数余子式.
引理 如果阶行列式中的第行除外其余元素均为零，即： .则：.
定理  行列式等于它的任意一行（列）的各元素与对应的代数余子式乘积之和，即
按行：
按列：
举例讲解并练习
范德蒙行列式
.
其中，记号“”表示全体同类因子的乘积.
定理的推论  行列式一行（列）的各元素与另一行（列）对应各元素的代数余子式乘积之和为零，即
按列：
结合定理及推论，得
，其中

总结（5分钟）
讨论、思考题、作业：

教学总结：

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题目： 第一章 行列式
§ 1.5 克莱姆法则
教学目的要求：
了解克拉默法则的内容,了解克拉默法则的证明,会利用克拉默法则求解含有个未知数个方程的线性方程组的解；
教学重点、难点：
克拉默法则的应用
教学方式、手段、媒介：
讲授，多媒体、板书
教学过程：（含复习上节内容、引入新课、中间组织教学以及如何启发思维等）
复习（5分钟）
新授课内容（80分钟）
研究对象：含有个未知数的个方程的线性方程组
（1）
与二、三元线性方程组相类似,它的解可以用阶行列式表示.
定理1（Cramer法则）如果线性方程组(1)的系数行列式不等于零 ,即
 ,
则方程组(1)有且仅有一组解：
 , ,… , (2)
其中是把系数行列式中的第列的元素用方程组右端的常数列代替 ,而其余列不变所得到的阶行列式
.

当全为零时,即

称之为齐次线性方程组.显然,齐次线性方程组必定有解(）.
根据克拉默法则,有
1．齐次线性方程组的系数行列式时 ,则它只有零解（没有非零解）
2．反之,齐次线性方程组有非零解 ,则它的系数行列式.
例1．求解线性方程组

解:系数行列式

同样可以计算
 ,  ,
 ,
所以 , , ,.
注意：
1. 克莱姆法则的条件：个未知数 ,个方程 ,且
2. 用克莱姆法则求解方程组运算量大一般不采用它求解方程组。
3. 克莱姆法则具有重要的理论意义。
4. 克莱姆法则说明线性方程组的解与它的系数、常数项之间的依存关系.
例2. 用克拉默法则解方程组

例3. 已知齐次线性方程组

有非零解 ,问应取何值？
解 系数行列式

由： ,得

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讨论、思考题、作业：

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题目： 第二章 矩阵
§ 2.1 矩阵的概念 § 2.2 矩阵的运算 § 2.3 阶矩阵（方阵），方阵的行列式
教学目的要求：
了解矩阵的概念；掌握矩阵的运算
教学重点、难点：
矩阵的概念和矩阵的运算
教学方式、手段、媒介：
讲授，多媒体、板书
教学过程：（含复习上节内容、引入新课、中间组织教学以及如何启发思维等）
导入（10分钟）本章主要内容和知识点
新授课内容（75分钟）
一、矩阵的定义
  称行、列的数表

为矩阵，或简称为矩阵；表示为

或简记为,或或；其中表示中第行，第列的元素。
  其中行列式为按行列式的运算规则所得到的一个数；而矩阵是 个数的整体,不对这些数作运算。
例如，公司的统计报表,学生成绩登记表等,都可写出相应的矩阵。
设，都是 矩阵，当

则称矩阵与相等,记成。
二、特殊形式
阶方阵： 矩阵
行矩阵 ：矩阵（以后又可叫做行向量），记为

列矩阵 ：矩阵（以后又可叫做列向量），记为

零矩阵 ：所有元素为的矩阵,记为
矩阵的运算

一、加法
设，,都是矩阵,则加法定义为

显然,
①，②
二、数乘
  设是数,是矩阵,则数乘定义为

  显然
① ， ②， ③
三、乘法
       设 ，,则乘法定义为

其中

注：两个矩阵相乘要求前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数；乘积矩阵的行数为前一个矩阵的行数,列数为后一个矩阵的列数；乘积矩阵的第行，第列元素为前一个矩阵的第行元素与后一个矩阵的第行元素对应相乘再相加。
例：设 , ，则

例:设，，求及。
解： ，
由此发现：（1），（不满足交换律）
（2），，但却有。
一个必须注意的问题 ：
1．若，, ,则 成立,当 时, 不成立；
2．即使，,则 是阶方阵,而是阶方阵；
3. 如果 , 都是阶方阵,例如，，则 ，而
综上所述,一般 （即矩阵乘法不满足交换率）。
下列性质显然成立：
，②，
,
几个运算结果：
1 . ；
2. ；
3 .若为矩阵,是阶单位阵,则;若是阶单位阵,则；
4．线性方程组的矩阵表示：
,
,,
则
矩阵的幂:.
四、转置
设 ，记
则称是的转置矩阵。
显然，
，② ，③ ，④ 。

五、方阵的行列式
为阶方阵，其元素构成的阶行列式称为方阵的行列式,记为或。
结论 ，② ，③ 。
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题目：第二章 矩阵
§ 2.4 几种特殊的矩阵
教学目的要求：
掌握几个阶特殊矩阵的定义和性质
教学重点、难点：
三角形矩阵和对称矩阵的相关定义和结论
教学方式、手段、媒介：
讲授，多媒体、板书
教学过程：（含复习上节内容、引入新课、中间组织教学以及如何启发思维等）
复习（5分钟）
新授课内容（80分钟）
对角阵 ：对角线元素为,其余元素为的方阵，记为

结论：同阶对角阵的和、数乘、乘积仍是同阶对角矩阵
数量矩阵：
结论：同阶数量阵的和、数乘、乘积仍是同阶数量矩阵
单位阵 ：对角线元素为1，其余元素为0的方阵，记为

三角形矩阵：
上三角形矩阵
下三角形矩阵
同阶同型三角阵的和、数乘、乘积仍是同阶同型三角矩阵
对称矩阵:若矩阵满足（即）,则称是对称阵
结论：设是矩阵,则是阶对称阵,是阶对称阵.
结论：数乘对称矩阵及同阶对称矩阵之和仍为对称矩阵，但是对称矩阵的乘积未必对称。
两个同阶对称矩阵，当且仅当二者可交换时，乘积才是对称矩阵。
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题目：第二章 矩阵
§ 2.5分块矩阵
教学目的要求：
掌握矩阵分块的运算和相关性质
教学重点、难点：
矩阵分块的运算
教学方式、手段、媒介：
讲授，多媒体、板书
教学过程：（含复习上节内容、引入新课、中间组织教学以及如何启发思维等）
复习（5分钟）
新授课内容（80分钟）
引例：设

可按以下方式分块，每块均为小矩阵：
， ，，,
则。
矩阵分块法是用若干条横线和若干条竖线将矩阵分割成几个小矩阵。
矩阵分块法的运算及运算性质：
1．加法：
设，
则.
2．数乘：
设 ，是数，则 .
3．乘法：
设 ，，则
其中，
4．转置：
设，则
5．对角分块的性质：
    设 ，其中均为方阵，则 。几个矩阵分块的应用：
1．矩阵按行分块：
设，记 ,
则
矩阵按列分块：
记
则 。
2．线性方程组的表示：
设
若记 ，，
则线性方程组可表示为 。
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题目： 第二章 矩阵
§ 2.6 逆矩阵
教学目的要求：
掌握逆矩阵、伴随矩阵的定义和性质；能够利用公式计算逆矩阵
教学重点、难点：
逆矩阵概念和计算
教学方式、手段、媒介：
讲授，多媒体、板书
教学过程：（含复习上节内容、引入新课、中间组织教学以及如何启发思维等）
复习（5分钟）
新授课内容（80分钟）
一、逆矩阵定义 设为阶方阵,若存在一个阶方阵，使得
,
则称方阵可逆,并称方阵为的逆矩阵,记作，
若,则
性质1 若存在,则必唯一.
性质2 若可逆，则也可逆，且
性质3 若可逆,则可逆,且
性质4 若同阶方阵、都可逆，则也可逆，且
二、逆阵存在的条件及逆阵的求法
定义. 由的行列式

中元素的代数余子式构成的阶方阵,记作,即 称为的伴随矩阵.
定理 方阵可逆 且
推论 设为阶方阵,若存在阶方阵,使得，(或)，则。

注：求时，只需要验算，计算量减半。
例. 判断下列方阵,是否可逆? 若可逆，求其逆阵。
解：，，所以不可逆，可逆，并且

三、用逆矩阵法解线性方程组
例：解线性方程组

解：其矩阵式为
因 ,
所以
所以其解为
四、分块矩阵的逆矩阵
结论：若 可逆，则
结论： 设，为可逆方阵,则。
总结（5分钟）
讨论、思考题、作业：

教学总结：

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题目： 第二章 矩阵
§ 2.7 矩阵的初等变换
教学目的要求：
了解矩阵的三种初等变换，熟悉初等矩阵的定义，掌握矩阵初等变换与对应初等矩阵运算上的关系，能够将给定的矩阵利用初等变换化简成阶梯形，标准形；掌握利用初等变换求逆矩阵的方法
教学重点、难点：
矩阵的初等变换，利用初等变换求逆矩阵
教学方式、手段、媒介：
讲授，多媒体、板书
在本章的§2.6节中给出了矩阵可逆的充分必要条件，并同时给出了求逆矩阵的一种方法——伴随矩阵法．但是利用伴随矩阵法求逆矩阵，当矩阵的阶数较高时计算量是很大的．这一节将介绍求逆矩阵的另一种方法——初等变换法．为此我们先介绍初等矩阵的概念，并建立矩阵的初等变换与矩阵乘法的联系．
一、初等变换
1) 交换矩阵的某两行的位置；
2) 用一个非零的数去乘矩阵的某一行；
3) 用一个数乘某一行后加到另一行上．
这三种变换称为矩阵的初等行变换．类似地，有
1’ 交换矩阵的某两列的位置；
2’) 用一个非零的数去乘矩阵的某一列；
3’) 用一个数乘某一列后加到另一列上．
1’) ，2’) ，3’)称为矩阵的初等列变换．矩阵的初等行变换和矩阵的初等列变换统称为矩阵的初等变换．
定义1 由单位矩阵I经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵．
显然，初等矩阵都是方阵，并且每个初等变换都有一个与之相应的初等矩阵．
互换矩阵I的第i行(列)与第j行(列)的位置，得
I(i，j)=
用非零数c乘I的第i行(列)，得I(i(c))=
(3)将I的第j行的k倍加到第i行上，得I(i，j(k))=
该矩阵也是I的第i列的k倍加到第j列所得的初等矩阵．
显然，上述三种初等矩阵就是全部的初等矩阵．
初等矩阵具有下列性质：
初等矩阵都是可逆的．这是因为
|I(i，j)|=–1≠0
|I(i(c))|=c≠0
|I(i ， j(k))|=1≠0
初等矩阵的逆矩阵仍是同类型的初等矩阵，且有
I(i，j)–1=I(i，j)
I(i(c))–1=I(i())
I(i，j(k)) –1=I(i，j(–k))
引入初等矩阵后，使得矩阵的初等变换可用初等矩阵与该矩阵的乘积来实现．
定理1 对一个m×n矩阵A施行一次初等行变换就相当于对A左乘一个相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换就相当于对A右乘一个相应的n阶初等矩阵．
这说明：把A的第j行的k倍加到第i行上就相当于在A的左边乘上一个相应的初等矩阵I(i， j(k))．
其它两种初等行变换可类似证明．
二、利用初等变换求矩阵的逆
利用矩阵的初等变换，可以把任一矩阵化为最简单的形式．
定理2 任意一个m×n矩阵A经过一系列初等变换，总可以化成形如=
的矩阵，D称为矩阵A的等价标准形．补充矩阵行阶梯形的定义并讲授如何利用初等行变换化简矩阵为行阶梯形
根据定理1，对于一个矩阵A作初等行(列)变换就相当于用相应的初等矩阵去左(右)乘这个矩阵．
因此，矩阵与它的标准形 D有如下关系：
D=Ps…P2P1AQ1Q2…Qt (1)
其中P1，P2，…，Ps和Q1，Q2，…，Qt是初等矩阵．
由于初等矩阵都是可逆的，所以(1)式又可写成：
A=P1–1P2–1 … Ps–1DQt–1 … Q2–1Q1–1 (2)
推论 n阶方阵A可逆的充分必要条件是A的标准形为单位矩阵I．
定理3 n阶方阵A可逆的充分必要条件是A可以表示成一些初等矩阵的乘积．即
A=Q1Q2 … Qm (3)
这里Q1，Q2，… Qm为初等矩阵．
推论 若n阶方阵A可逆，则总可以经过一系列初等行变换将A化成单位矩阵．
以上的讨论提供了一个求逆矩阵的方法，设A为一个n阶可逆矩阵，由上述推论，存在一系列初等矩阵P1，P2，…Pm，使得
Pm…P2P1A=I (5)
由(5)式右乘A–1得 A–1=Pm…P2P1I (6)
(5)(6)两个式子说明，如果用一系列初等行变换将可逆矩阵A化成单位矩阵，那么同样地用这一系列初等行变换就可将单位矩阵I化成A–1．于是得到了一个求逆矩阵的方法：
作n×2n矩阵(AI)，对此矩阵作初等行变换，使左边子块A化为I，同时右边子块I就化成了A–1．简示为：(AI) ──────→ (IA–1)
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题目： 第二章 矩阵
§ 2.8矩阵的秩
教学目的要求：
掌握矩阵秩的定义,会求矩阵的秩.
教学重点、难点：
求矩阵的秩
教学方式、手段、媒介：
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教学过程：（含复习上节内容、引入新课、中间组织教学以及如何启发思维等）
复习（5分钟）
新授课内容（80分钟）
定义1.在矩阵中任取行列,位于这些行列交叉处的个元素,不改变它们在中所处的位置次序而得到的阶行列式,称为矩阵的阶子式.
矩阵A的k阶子式共个.
定义2 如果在矩阵中有一个不等于零的阶子式 ，且所有的阶子式都等于, 则称 D为的一个最高阶非零子式.数 称为矩阵的秩，矩阵的秩记成. 零矩阵的秩规定为0 .
注解: 1.规定零矩阵的秩规定为0.
2.若称为满秩矩阵.
3.若称为降秩矩阵.
4..
问题：经过初等变换矩阵的秩变吗？
定理 若则.
初等变换求矩阵秩的方法：
把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.
矩阵的秩的性质
(1).
(2).;
(3).若则
(4).若可逆,则.
(5).
(6)..
(7).
(8).若则
求秩方法：用初等变换把矩阵化成行阶梯形矩阵，矩阵的秩 = 此行阶梯形矩阵的秩（据定理1 ）．行阶梯形矩阵的秩 = 其非零行的行数（定义2）
满秩阵

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题目： 第三章 线性方程组
§ 3.1线性方程组的消元解法
教学目的要求：
掌握线性方程组消元与增广矩阵初等行变换化简阶梯形的关系，掌握一般线性方程组解的判别定理；
教学重点、难点：
利用初等变换求线性方程组的解
教学方式、手段、媒介：
讲授，多媒体、板书
教学过程：（含复习上节内容、引入新课、中间组织教学以及如何启发思维等）
导入（10分钟）本章主要内容和知识点
新授课内容（75分钟）
消元法
解二元、三元线性方程组时曾用过加减消元法，实际上这个方法比用行列式求解更具有普遍性，是解一般n元线性方程组的最有效的方法．
通过例子介绍如何用消元法解一般的线性方程组．
消元方法具有一般性，即无论方程组只有一个解或有无穷个解还是没有解，都可用消元法将其化为一个阶梯形方程组，从而判断出它是否有解．
分析一下消元法，不难看出，它实际上是反复地对方程组进行变换，而所作的变换，也只是由以下三种基本的变换所构成：
1.交换方程组中某两个方程的位置；
2.用一个非零数乘某一个方程；
3.用一个数乘某一个方程后加到另一个方程上．
这三种变换称为线性方程组的初等变换．
用消元法解线性方程组的过程就是对线性方程组反复地实行初等变换的过程．

考虑线性方程组
(I)
方程组(I)的全部解称为(I)的解集合．如果两个方程组有相同的解集合，就称它们是同解的或等价的方程组．
下面来说明，如何利用初等变换来解一般的线性方程组．
对于方程组(I)，首先检查x1的系数．如果x1的系数a11， a21， … ， am1全为零，那么方程组(I)对x1没有任何限制，x1就可以任意取值，而方程组(I)可看作x2， …， xn的方程组来解．如果x1的系数不全为零，不妨设a11≠0不等于零，否则可利用初等变换1，交换第一个方程与另一个方程的位置，使得第一个方程中x1的系数不为零．然后利用初等变换3，分别把第一个方程的倍加到第i个(i=2，3，…， m)方程，于是方程组(I)变成
(Ⅱ)
其中
显然方程组(Ⅱ)与(Ⅰ)是同解的．
对方程组(Ⅱ)再按上面的考虑进行变换，并且这样一步一步做下去，必要时改变未知量的次序，最后就得到一个阶梯形方程组．为了讨论方便，不妨设所得到的阶梯形方程组为
(Ⅲ)
其中cii≠0， i=1，2，…，r．方程组(Ⅲ)中“0 = 0”是一些恒等式，可以去掉，并不影响方程组的解．

我们知道，(I)与(Ⅲ)是同解的，根据上面的分析，方程组(Ⅲ)是否有解就取决于第r+1个方程
0 = dr+1
是否矛盾，于是方程组(I)有解的充分必要条件为dr+1= 0．在方程组有解时，分两种情形：
1) 当r=n时，阶梯形方程组为
(Ⅳ)
其中cii≠0， i=1，2，…， n．由克莱姆法则(Ⅳ)有唯一解，从而(I)有唯一解．

(Ⅲ)
其中cii≠0， i=1，2，…，r．方程组(Ⅲ)中“0 = 0”是一些恒等式，可以去掉，并不影响方程组的解．
2) 当 r<n时，这时阶梯形方程组为

其中 cii≠0， i=1，2，…， r， 写成如下形式
(Ⅴ)
由克莱姆法则，当xr+1，…，xn任意取定一组值，就唯一确定出x1，…，xr值，也就是定出方程组(Ⅴ)的一个解，一般地，由(Ⅴ)可以把x1，x2…，xr的值由xr+1，…，xn表示出来．这样表示出来的解称为方程组(I)的一般解，因xr+1，…，xn可以任意取值，故称它们为自由未知量．显然，(Ⅴ)有无穷多个解，即(I)有无穷多个解．
定理：非齐次线性方程组，
• 方程组无解充分必要条件是)
• 方程组有唯一解的充分必要条件是)
• 方程组有无穷多组解的充分必要条件是),且在任 一解中含有个任意常数 .
用消元法解线性方程组的过程，归纳起来就是，首先用初等变换把方程组化为阶梯形方程组，若最后出现一些等式“0 = 0”，则将其去掉．如果剩下的方程当中最后一个方程是零等于一个非零的数，那么方程组无解，否则有解．方程组有解时，如果阶梯形方程组中方程的个数等于未知量的个数，则方程组有唯一解；如果阶梯形方程组中方程个数小于未知量的个数，则方程组有无穷多个解．
当线性方程组(1)中的常数项b1= b2=…= bm= 0时，即
(Ⅵ)
称为齐次线性方程组．显然，齐次线性方程组是一定有解的．因为x1= x2=…= xn=0就是它的一个解．这个解称为齐次方程组的零解．我们所关心的是它除了零解之外，还有没有非零解？把上述对非齐次线性方程组讨论的结果应用到齐次线性方程组，就有如下定理．
定理 在齐次线性方程组(Ⅵ)中，如果m<n，则它必有非零解．
总结（5分钟）
讨论、思考题、作业：
教学总结：

《线性代数》 教 案
编 号：
课时安排： 2 学时
教学课型：理论课√ 实验课□ 习题课□ 其它□
题目：第三章 线性方程组
§ 3.2 向量与向量组的线性组合
教学目的要求：
了解n维向量的基本概念，理解线性组合、线性表示、向量组等价的定义；
教学重点、难点：
线性表示和向量组等价的定义、定理
教学方式、手段、媒介：
讲授，多媒体、板书
教学过程：（含复习上节内容、引入新课、中间组织教学以及如何启发思维等）
复习（5分钟）
新授课内容（80分钟）
一、维向量
定义1 个有次序的数所组成的数组称为维向量, 这个数称为该向量的个分量, 第个数称为第个分量.
维向量可写成一行, 也可写成一列. 按第二章中的规定, 分别称为行向量和列向量, 也就是行矩阵和列矩阵, 并规定行向量与列向量都按矩阵的运算规则进行运算.
因此维列向量与维行向量总看作是两个不同的向量
本书中, 列向量用黑体小写字母等表示, 行向量则用等表示. 所讨论的向量在没有指明是行向量还是列向量时, 都当作列向量.
向量的运算类似于矩阵的运算，也有类似的运算性质
二、向量组的概念
若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所组成的集合叫做向量组.
矩阵与向量组的对应:
一个矩阵的全体列向量是一个含个m维列向量的向量组, 它的全体行向量是一个含m个维行向量的向量组.
.
个维列向量所组成的向量组构成一个矩阵 ;
个维行向量所组成的向量组构成一个矩阵
.
又如线性方程的全体解当时是一个含无限多个维列向量的向量组.
三、向量组的线性组合与线性表示
定义2 给定向量组对于任何一组实数表达式

称为向量组的一个线性组合, 称为这线性组合的系数.
给定向量组和向量，如果存在一组数 使

则向量是向量组的线性组合, 这时称向量能由向量组线性表示.
向量能由向量组线性表示，也就是方程组
有解.
定理1 向量能由向量组线性表示的充分必要条件是矩阵的秩等于矩阵的秩, 即.
四、向量组的等价性
定义3 设有两个向量组及 , 若B组中的每个向量都能由向量组线性表示, 则称向量组能由向量组线性表示. 若向量组与向量组能相互表示, 则称这两个向量组等价.
总结（5分钟）
讨论、思考题、作业：
教学总结：

《线性代数》 教 案
编 号：
课时安排： 2 学时
教学课型：理论课√ 实验课□ 习题课□ 其它□
题目： 第三章 线性方程组
§ 3.3 向量组的线性相关性
教学目的要求：
了 理解向量组的线性相关与线性无关的定义及对应的判定定理
教学重点、难点：
判断给定向量组的线性相关性。
教学方式、手段、媒介：
讲授，多媒体、板书
教学过程：（含复习上节内容、引入新课、中间组织教学以及如何启发思维等）
复习（5分钟）
新授课内容（80分钟）
定义1 对于向量组a1，a2，…，am，如果存在一组不全为零的数k1，k2，…，km，使得
k1a1+ k2a2+…+ kmam=0 (2)
则称向量组a1，a2，…，am是线性相关的．
定义2 一个向量组如果不是线性相关就称为线性无关．也就是当且仅当k1=k2=…=km=0时，才有k1a1+ k2a2+…+ kmam=0成立，则称a1，a2，…，am线性无关．
换句话说，向量组a1，a2，…，am线性无关是指对任意一组不全为零的数k1，k2，…，km 都有 k1a1+ k2a2+…+ kmam≠0．

说向量组线性相关, 通常是指的情形, 但定义也适用于的情形. 当时, 向量组只含一个向量, 对于只含一个向量的向量组, 当时是线性相关的, 当时是线性无关的. 对于含个向量的向量组, 它线性相关的充分必要条件是的分量对应成比例, 其几何意义是两个向量共线. 个向量线性相关的几何意义是三向量共面.
结论：
(1) 一个零向量必线性相关，而一个非零向量必线性无关；
(2) 含有零向量的任意一个向量组必线性相关；
(3) n维基本单位向量组e1， e2，…， en线性无关．
定理1 m个n维向量组
a1=，a2=，…，am=
线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组
(3)
有非零解．
推论1 向量组a1，a2，…，am线性无关的充分必要条件是齐次线性方程组(3)只有零解．
推论2 当m=n时，即n个n维向量
a1=，a2=，…，an=
线性无关的充分条件是行列式D=≠0
推论3 m>n时，任意m个n维向量都线性相关．
即 当向量组中所含向量个数大于向量的维数时，此向量组线性相关．
定理2 向量组a1，a2，…，am(m≥2)线性相关的充分必要条件是其中至少有一个向量可由其余m–1个向量线性表出．
推论 向量组a1，a2，…，am(m≥2)线性无关的充分必要条件是其中每一个向量都不能由其余m–1个向量线性表出．
定理3 若向量组a1，a2，