高等数学章节练习题及答案第五章.doc

高等数学章节练习题及答案第五章1指出下列点在空间直角坐标系的位置（1） ； （2） ； （3） ； （4） ；（5） ； （6） ；（7） ； （8） 解 （1）点在轴的正半轴上； （2）点在坐标面上；（3）点在轴的负半轴上； （4）点在轴的正半轴上；（5）点在第六卦限内； （6）点在第四卦限内；（7）点在第五卦限内； （8）点在第七卦限内2已知点。（1）求出点在轴上的投影点坐标及点到轴的距离；解 点在轴上的投影点坐标为，点到轴的距离为 ；（2）求点在坐标面上的投影点的坐标及点到坐标面的距离；解 点在坐标面上的投影点的坐标为，点到坐标面的距离为 ；（3）求点到坐标原点的距离及点到点的距离解 点到坐标原点的距离为 ，点到点的距离为 3已知，求线段的中点的坐标解 段的中点的坐标为4求空间内两个点与之间的距离.解 .5. 求空间内的点分别关于坐标平面、坐标平面、坐标平面对称的点的坐标，并且指出这些点分别在哪一个卦限.解 点分别关于坐标平面对称的点的坐标为 ，在第二卦限；点分别关于坐标平面对称的点的坐标为 ，在第七卦限；点分别关于坐标平面对称的点的坐标为 ，在第六卦限1.填空题（1）向量是 的量；解 向量是具有大小和方向的量。（2）表示起点为 ，终点为 的有向线段；解 表示起点为，终点为的有向线段。（3）已知点、，则的坐标为 ，的坐标为 ；解 的坐标为，的坐标为。（4）向量的模 ，单位向量 ，其方向余弦 ， ， 。解 ，.2.在下列三组数中，哪一组的三个数可以作为一个向量的方向余弦？（1）； （2）； （3）.解 第一组，因为.3设力的大小为，其方向角，求力在各坐标轴的投影解 ，4已知空间两点与，求向量的坐标、模、方向余弦及单位向量e. 解 ，.1 判断题（1）；（ ）（2）；（ ）（3）；（ ）（4）；（ ）（5）若，则；（ ）（6）若，且，则；（ ）（7）设为向量的三个方向角，则（ ）解 （1）（2）（6）错误，（3）（4）（5）（7）正确2设点，求（1）； （2）；（3）； （4）解 ，所以（1）； （2）；（3）；（4）.3设向量，求（1）； （2）；（3）； （4）（5）解 （1）；（2）；（3）； （4）；（5）e1 判断题（1）；（ ） （2）若，则或；（ ）（3）若，且，则；（ ） （4）若，则必有；（ ）（5）若，则必有；（ ）（6）；（ ） （7）若，且，则；（ ）（8）；（ ） （9）若，则；（ ）解 （1）（2）（3）（4）（5）（6）错误，（7）（8）（9）正确2设，求（1）； （2）； （3）； （4）； （5） 解 （1）；（2）；（3）； （4）； （5）3已知三个顶点坐标分别为、，求（1）； （2）； （3）； （4）的面积；（5）以、为邻边的平行四边形的面积解 （1）， ， ；（2）； （3）； （4）；（5）以、为邻边的平行四边形的面积为1求满足下列条件的平面方程：（1）过点，垂直于向量的平面；解 （1），即 ；（2）过点， 与轴垂直的平面； 与轴垂直的平面； 与轴垂直的平面。解 取 ，则平面方程为 ，即 ； 取 ，则平面方程为 ，即 ； 取 ，则平面方程为 ，即 .2求满足下列条件的平面方程：（1）过原点且与向量垂直的平面；解 （1），即 ；（2）过原点并与过两点、的向量垂直的平面；解 取 ，则平面方程为，即 。（3）过原点且与平面平行的平面解 取 ，则平面方程为，即 .1说出下列平面的特征（1）； （2）； （3）；（4）； （5）； （6）解 （1）过原点； （2）平行于轴； （3）过轴； （4）平行于坐标面； （5）平面； （6）平行于轴2填空题（1）点到平面的距离为 ；（2）若平面与平面垂直，则 _ ；（3）平面与三个坐标平面围成的空间立体的体积为 _ 解 （1）；（2）由 ，有 ，所以 ；（3）原方程可化为 ，于是 （立方单位）3求（1）过点及轴的平面；解 设所求平面为 ，因为过点，即 ，于是所求平面为 ，即 ；（2）过点且平行于平面的平面；解 设所求平面为 ，因为过点，所以 ，即 ，于是所求平面为 ；（3）过点、和的平面；解 设所求平面为 ，则有 ，于是所求平面为 ；（4）过点和，并与轴平行的平面；解 取 ，于是所求平面为 （5）过点，且在轴上的截距相等的平面解 设所求平面为 ，因为过点，所以 ，即 ，于是所求平面为 1填空题（1）过点，与向量平行的直线方程为 ；（2）若直线与平面垂直，则 ， ；（3）若直线与平面平行，则 ；（4）直线的一个方向向量为 ；解 （1）所求直线方程为 ；（2），因为直线垂直于平面，所以，于是有 ，故 ，；（3），因为直线平行于平面，所以，于是有 ，故 ；（4），则 2求满足下列条件的直线的方程：（1）过点和的直线；（2）过点并与平面垂直的直线；（3）过点且与直线平行的直线；（4）过点且与直线（为参数）平行的直线；（5）过点且同时平行于两平面与的直线解 （1）取，则所求直线方程为 ；（2）取，则所求直线方程为 ；（3）取，则所求直线方程为 ；（4）取， ；（5），取 ，故则所求直线方程为 1判别下列各对直线的位置关系：（1）与；（2）与；（3）与解 （1），因为 ，所以 ；（2）可化为 ，则 ，因为 ，所以 ；（3），因为与既不平行也不垂直，但与过同一点，所以与相交但不垂直。2判别直线与下列平面的位置关系：（1）； （2）解 （1），因为 ，即，所以；（2），因为 ，所以1求下列各对直线的夹角：（1）与；解 ，因为，所以两条直线的夹角为 （2）与解 ，因为，所以两条直线的夹角为 * 2求直线与平面的夹角及交点。解 ，因为，所以该直线与该平面的夹角为 ；设 ，即 代入平面方程，得，解得 ；故交点为。1填空题（1）球面的球心坐标为： ，半径_；（2）抛物柱面的准线方程为： ，母线平行于_轴；（3）准线为母线平行于轴的柱面方程为_，准线为母线平行于轴的柱面方程为_ ；（4）旋转曲面是由曲线 或曲线 ，绕 轴旋转所得，此曲面称为 ； （5）旋转曲面是由曲线 或曲线 ，绕 轴旋转所得，此曲面称为 解 （1）原方程可化为 ，所以该球面的球心坐标为，半径为；（2）抛物柱面的准线方程为：，母线平行于轴；（3）准线为母线平行于轴的柱面方程为：，准线为母线平行于轴的柱面方程为：；（4）旋转曲面是由曲线 或曲线 ，绕轴旋转所得，此曲面称为“单叶旋转双曲面”；（5）旋转曲面是由曲线或曲线，绕轴旋转所得，此曲面称为“双叶旋转双曲面”2说出下列方程表示的曲面名称，如果是柱面，请说明它们的特征；如果是旋转曲面，请说明它们是如何形成的（1）； （2）； （3）；（4）； （5）； （6）；（7）； （8） 解 （1）曲面是平行于轴的圆柱面；（2）曲面是平行于轴的抛物柱面； （3）曲面是平行于轴的双曲柱面； （4）曲面是椭球面； （5）曲面是旋转抛物面，是由曲线或绕轴旋转而成； （6）曲面是旋转双曲面（单叶），是由曲线或绕轴旋转而成； （7）曲面是旋转椭球面，是由曲线或绕轴旋转而成；（8）曲面是旋转双曲面（双叶），是由曲线或绕轴旋转而成1填空题（1）球面被平面截得的交线方程为_；（2）椭球面， 被平面截得的交线方程为_， 被平面截得的交线方程为_， 被平面截得的交线方程为_解 （1）球面被平面截得的交线方程为或；（2） 椭球面， 被平面截得的交线方程为，或 ； 被平面截得的交线方程为，或； 被平面截得的交线方程为，或2说明下列的方程组各表示什么曲线（1）； （2）； （3）；（4）； （5）解 （1）该方程组表示平面上的双曲线 ，也是双曲抛物面与平面的交线； （2）该方程组表示坐标面上的椭圆 ；（3）该方程组表示平面上的圆 ；（4）该方程组表示平面上的椭圆 ；（5）该方程组表示平面上的双曲线 3化下列参数方程为普通方程（1）（为参数）； （2）（为参数） 解 （1）原方程可化为 ，故为所求；（3） 原方程可化为 ，故为所求4求面上的椭圆分别绕轴和绕轴旋转所形成的曲面方程解 绕轴旋转一周，所得旋转面的方程为；绕轴旋转一周，所得旋转面的方程为