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课 次
1
学时数
2
授课形式
（请打√）
纯理论√ 纯实践□ 理实一体化□ 习题课□ 其他□
授课题目
第一章 函数
1.1函数的概念与特性
教学目的
掌握函数定义域的求法；知道函数的几种特性
教学重点
熟练掌握各种函数的定义域、值域；掌握函数的特性
教学难点
函数的有界性
使用的教具/多媒体/仪器/仪表/设备等
PPT; Flash，计算机；Mathematica 软件
教学方法
图示法；演示法；练习法；讲授法；讨论法；
教学过程
设计意图
教学流程设计
一、 复习导入
复习中学数学知识，引入新课题
二、讲授新内容
（一）、函数的有关概念
1、函数的定义：
例1 我国银行2015年3月1日开始实施的整存整取的基准利率见表1-1
表1-1
时间
3个月
6个月
1年
2年
3年
5年
年利率
2.10
2.30
2.50
3.10
3.75
4.00
时间和年利率都是变量，并且年利率是依赖于时间这个变量的，当存款的时间确定时，其存款的年利率就随之确定。
定义 设在某一个变化过程中有两个变量x和y，且x的变域为非空集D，如果当x在变域D的每一个值，按照一定的对应法则f，变量y都有唯一确定的值与它对应，那么，就称y是x的函数，并记作：
y=f(x)，x∈D.
其中x叫做自变量，y叫做因变量或函数.自变量x的变域D叫做函数的定义域，可记作D(f)。和x的值对应的y值叫做函数值，而函数值的集合（变域）叫做函数的值域，一般记作M(f)，即：
M(f)={ f(x) | x ∈ D}.
例2：求
解：（略）
例3：已知函数，
解：
课堂练习：1、求下列函数的定义域.
（1）； （2）.
解 （1）当且仅当且时，才有意义，即，所以函数的定义域是.
（2）当且仅当且时，才有意义，即且，所以函数的定义域是.
2、 已知，求,,.
解；；
2、分段函数
表示函数的方法通常有公式法（解析法）、列表法和图像法三种．
用公式表示函数时，一般用一个式子表示一个函数，但有时需要用几个式子分段表示一个函数，即对于自变量不同的取值范围，函数采用不同的表达方式，这种函数叫做分段函数.
例如
都是分段函数。
对于分段函数，要注意以下几点：
(1)分段函数是由几个公式合起来表示一个函数，而不是几个函数．
(2)分段函数的定义域是各段自变量取值集合的并集．
例4：境内跨县区普通函件的收费标准如表1-2所示
表1-2
20g及20g以下
1.20元
60g以上至80g
4.80元
20g以上至40g
2.40元
80g以上至100g
6.00元
40g以上至60g
3.60元
试求邮资与信函质量的函数关系式、函数的定义域、并画出其图像，同时求当信函分别是38g与88g时，应付多少邮资？
解：（略）。
3、显函数和隐函数
有些函数的因变量y可以用含自变量x的一个明显的表达式表达，例如，
等等，这样的函数称为显函数。由函数y=2x+1可得方程2x-y+1=0，由函数
可得方程， 所以方程也可以确定函数的关系。
用二元方程F(x,y)=0的形式确定y是x的函数，称这种函数为隐函数。
例如
等等，有的隐函数可以化为显函数，如中可解出；但有些隐函数化为显函数是困难的，甚至是不可能的。
（二）、函数的几个特性
1、函数的单调性
定义1.2 设函数y=f(x)定义在区间(a,b)内，如果对于(a,b)内的任意两点都有成立，则称函数y=f(x)在区间(a,b)内单调增加（单调减少）。函数在区间(a,b)内单调增加（单调减少）的性质，称为函数的单调性。而称区间(a,b)为单调增加（单调减少）区间。
2、函数的奇偶性
定义1.3 设函数y=f(x)的定义域D(f)是关于原点O对称的数集，如果对于任意的都有
f(-x)=-f(x)
成立，则称f(x)为奇函数；如果对任意的都有f(-x)=f(x)
成立，则称为f(x)偶函数。
由上述的定义可知，奇函数的图像是关于原点对称的，而偶函数的图像关于y轴对称。函数定义域D(f)关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。
例如，是偶函数，但在[-3,5]内就是非奇非偶。一般的，判断函数的奇偶性，可先求它的定义域D(f).
例5 判断下列函数的奇偶性：
解：（1）奇函数；（2）偶函数；
（3）既不是奇函数也不是偶函数。
3、函数的周期性
定义1.4 对于函数y=f(x)，如果存在一个常数T(T 0),使得对于其定义域内的所有x，都有
f(x+T)=f(x)
成立，那么称函数y=f(x) 是周期函数，而称T为这个函数的周期。周期函数f(x)的周期不是唯一的，如果在所有的周期中，存在一个最小的正周期T,则称T为周期函数的最小正周期。通常，我们把函数的最小正周期简称为周期。
例如，函数y=sinx和y=cosx都是以为周期的周期函数；函数y=tanx和y=cotx都是以为周期的周期函数；而 和是以为周期的周期函数。
周期函数f(x)不一定存在最小正周期，如常数函数f(x)=c(c为常数)，任何正常数都是它的周期，而正常数中没有最小的正数，所以它不存在最小正周期。
4、函数的有界性
定义1.5 对于定义在（a,b）内的函数y=f(x),如果存在一个正数M，使得对于(a,b)内的所有x，都有
|f(x)|M
成立，则称y=f(x)在(a,b)内是有界的。如果这种M不存在，则称y=f(x)在(a,b)内是无界的。
例如函数在区间内，对于任意的x，恒有，所以，函数在内是有界的，而函数在（0,2）内是无界的，因为不存在这样的正数M，使得对于(0,2)内的所有x都成立；而同样的函数在（1,2）内是有界的，因为存在这样的正数M（例如M=1），使得对于(1,2)内的所有x都成立。
三、小结
本次课主要讲述了函数的定义及函数的有关性质，它的一些基本性质是什么？ 明确一个函数、二个要素、三种表示法、四个几何特性。
四、布置作业
P21:1，2，3.4，5
设置问题情境，引入如何用数学式子表示量与量之间的关系，为给出变量之间的函数关系做准备。
函数定义中的两个要素：定义域、值域，用于判断两个函数是否相同。
利用函数定义判断给出新函数表示形式——分段函数。
通过例子加深理解分段函数概念。
引入函数的四个几何特性
总结课堂内容，加深所学知识
通过完成作业，巩固所学内容。
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第一章 函数
1.2几种常用的函数及其图像1.3反函数1.4复合函数与初等函数
教学目的
掌握常用的函数及其图像；知道反函数的概念，会求一个函数的反函数；深刻理解复合函数的概念，懂得复合函数的复合过程。
教学重点
熟练掌握几种函数及其图像性质
教学难点
复合函数的分解
使用的教具/多媒体/仪器/仪表/设备等
PPT; Flash，计算机；Mathematica 软件
教学方法
图示法；演示法；练习法；讲授法；讨论法；
教学过程
设计意图
教学流程设计
二、 复习导入
复习中学几种常用函数引入新课题
二、讲授新内容
（一）、几种常用的函数及其图像
幂函数：（为常数）．
指数函数：(，且，a为常数) ．
对数函数：(，且，a为常数) ．
三角函数：，，，，，
幂函数： 指数函数 对数函数
常用对数函数，以10为底
自然对数函数，以无理数e为底1、幂函数
（二）、反函数
求反函数的步骤是从中解出x，得到，再将x和y互换即可．
例如求的反函数．解 由得，互换字母x，y得所求反函数为．函数对应关系必须一一对应
（三）、复合函数与初等函数
一、基本初等函数与函数的四则运算
（1）、基本初等函数：下列6类函数统称为基本初等函数：
常数函数：（c为常数）．
幂函数：（为常数）．
指数函数：(，且，a为常数) ，特别当a=e时，．
对数函数：(，且，a为常数) ，特别当a=e时，函数为自然对数函数．
三角函数：，，，，，
反三角函数：，，，
基本初等函数是人们长期从生产实践和科学实验中总结出的最基本、最常用、最重要的一些函数，所以我们要牢记它们的图像与性质。
2、函数的四则运算
若函数f(x)与g(x)的定义域分别是D(f)和D(g)，且D(f)∩D(g)≠∅，则f(x)与g(x)的和函数F1(x)定义为
对任意数x∈D(f)∩D(g)有
F1(x)=f(x)+g(x).
同理，函数f(x)与函数g(x)的差函数，积函数，商函数分别是：
F2(x)=f(x)-g(x),x∈D(f)∩D(g);
F3(x)=f(x)·g(x),x∈D(f)∩D(g);
F4(x)=，x∈D(f)∩D(g)且x∉﹛x|g(x)=0﹜.
如在1.2节中所提到多项式函数
就是由幂函数x,x2,…xn和常数a0,a1,…,an经过加、乘这两种运算构成的.
二、复合函数
在研究函数的时候，常会遇到有两个以上的函数合成的函数。
例如，某商店经营一种商品，若不考虑其他因素，那么利润L是经营额q的函数，而营业额q又是价格P的函数。因此对于在确定范围内的每一个价格P，经过q都是唯一确定的L与之对应，这样，也可以把L看成P的函数。
定义 1.7：设y是u的函数，即y=f(u)，而u又是x的函数，即u=g(x)，若，则称函数y=f[g(x)]为x的复合函数，x叫做自变量，u叫做中间变量。
例如，
y=u3+1,u=cosx[D(f)=R,M(g)=[-1,1]],则y=cos3x+1就是x的复合函数；又如y=eu,u=x2-1[D(f)=R,M(g)=[-1,+∞)],则y=ex2-1就是x的复合函数。
注意：不是任意两个函数都能复合成一个复合函数的，因为它必须满足定义域中的y=f(u)的定义域D（f）与u=g(x)的值域M（g）的交集是非空集[D(f)∩M(g)≠∅]这个条件，才能复合成复合函数，例如，由y=arcsinu,u=x2+2就不能复合成一个复合函数，因为y=arcsinx的定义域D（f）=[-1,1],而函数u=x2+2的值域M（g）=[2,+∞),D(f)∩M(g)=∅.
复合函数的中间变量可以不止一个，例如y=sinu,u=，V=lnα,α=2x-1,则复合函数y=sin就是u，υ，α这3个中间变量。
同时，还必须注意，“复合函数”这个名称仅仅表示函数的一种表达式，而不是一类新的函数，尽管它可以构成大量的复杂的函数，但对于我们来说，更重要的是要把一个复合函数“分解”成几个简单的函数（如基本初等函数及多项式函数等）。
例 1 下列函数是由哪些简单复合而成的？
（1） y=2sinx; (2)y=ln(1-x2); (3)y=sin(cosx2).
解（1）函数y=2sinx是由基本初等函数y=2u，u=sinx复合而成的。
（2）函数y=ln(1-x2)是由基本初等函数y=lnu及简单函数u=1-x2复合而成。
（3）函数y=sin(cosx2)是由基本函数y=sinu,u=cosυ,υ=x2复合而成。
例2 下列函数能否构成复合函数？若能构成复合函数，则写出y=f[g(x)]，并求其定义域：(1) (2)y=arccosu,u=2x-1.
解 （1）因为函数y=的定义域D(f)=(－∞,o],而函数u=x2+1的值域M（g）=[1,＋∞).
所以D（f）∩M(g)=∅,故y=,u=x2不能复合成一个函数。
（2） 因为函数y=arccosu的定义域D（f）=[-1,1],而函数u=2x－1的值域M（g）=(－∞,＋∞),故D（f）∩M(g)=[-1,1]≠∅.
所以y=arccosu，u=2x-1可以复合成函数y=arccos（2x－1）.
要使函数y=arccos（2x－1）有意义，只要|2x－1|≤1,即－1≤2x-1≤1,解不等式组，得0≤x≤1,
因而复合函数y=arccos（2x－1）的定义域是[0,1].
课堂练习：指出下列复合函数的复合过程．
（1） （2）
解 （1）是由，，和复合而成．
（2）是由，，，复合而成，其中是简单函数．
三、初等函数
由基本初等函数经过有限次的四则运算或者有限次的函数复合所构成的，并能用一个解析式表示的函数称为初等函数。
例如,y=ln(2x+)，y=+cosx等都是初等函数。而,及函数就不是初等函数了，因为前者不是“有限次四则运算”，而后者不满足“可用一个式子表示”的条件。
但不是所有的分段函数都不是初等函数，如是分段函数，但它可以看成是由函数y=，u=x2复合而成的一个复合函数，即y==|x|,因此它是初等函数，不能用一个解析表示的分段函数不是初等函数。
(四)、小结
本次课主要讲解常见的函数以及复合函数。特别是指数函数与对数函数在经济生活中应用非常广泛，如我们需求函数等，对这四函数重点掌握。对常见的基本初等函数也要掌握，特别是复合函数的分解过程要熟练掌握应用。
（五）、布置作业
P21:16，17,18,19
画出具体函数图像
从具体到抽象，降低学习难度，使学生很自然地学习了新的知识，达到了突破难点的目的。引导学生得出几种常用函数的图像性质。
难点是求反函数
例子引导学生得出复合函数的概念。
复合函数的概念
通过例子加深理解复合函数
注意：复合函数定义域有要求
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第一章 函数
1.5常用经济函数
教学目的
1）掌握需求函数、供给函数，并了解供需平衡价格和平衡数量；2）掌握成本函数、收益函数、利润函数，并深刻了解三者之间的关系，了解平均成本、平均收益和平均利润函数，了解盈亏平衡点。
教学重点
成本、收益和利润函数的关系
教学难点
函数关系的建立
使用的教具/多媒体/仪器/仪表/设备等
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教学方法
图示法；演示法；练习法；讲授法；讨论法；
教学过程
设计意图
教学流程设计
一、复习导入
复习中学数学知识，介绍经济数学的特点，引入新课题
二、讲授新内容
（一）、常用经济函数
1、成本、收益和利润函数
一般地，成本包含固定成本与可变成本两部分，固定成本与产量或销售量无关，即包括设备的固定费用和其他管理费用。而可变成本是随产量（或销售量）的不同而不同的。
如果产量（或销售量）为q，固定成本为c0，
可变成本为C１ ，则产量（或销售量）成本函数是
C(q)=c0+C１(q)
即总成本=固定成本+可变成本
平均单位成本函数函数：
例1某粮油加工厂，加工大米日产能力是40t，固定成本为2000元，每加工1t大米，成本增加100元，试求出每日的成本与日产量的函数关系，并分别求当日产量是20t,25t时的总成本及平均单位成本。
解：（略）
2、收益函数：
收益函数是描述收入、单价和销售量之间相依关系的表达式，一般有下列表示法：
设q代表销售量、P是价格，R是收益
例 2某商品的价格为60元/件时，月销售量为10000件，当价格提高2元/件时，月销售量就会减少200件。在不考虑其他因素时，
（1）试求这种商品月销售量与价格之间的函数关系，并求其定义域；
（2）当价格提高到多少元时，这种商品就会卖不出去？
解：（略）
3、利润函数：收益与成本之差
（即利润L可以表示为产量q的函数）
（1）L(q)>0盈利，（2）L(q)<0亏损，（3）L(q)=0盈亏平衡
满足L(q)=0的q0称为盈亏平衡点（又称保本点）．
例3、生产某种产品的固定成本为1000元，每件产品的可变费用为10元，若此产品的出售价为15元/件。求
（1）盈亏转折点的产量
（2）盈亏转折量
解：（略）
2、需求、供给函数
需求量Q就是价格p的函数,称为需求函数。
（1）、需求函数：
需求量Q就是该商品价格p的函数，称为需求函数。
对应法则f在不同的情况下，又有各种各样的形式，常见的有线性需求函数，
二次需求函数，
还有幂需求函数，指数需求函数等，它们有一个共同的特点：即商品的价格低，则商品的需求量大，反之，商品的价格高，则需求量小，所以需求函数是价格的单调减函数。
例4某种型号的电冰箱，当每台价格为1000元时，日需求量为20台，如果每台电冰箱打9折促销，即降价到900元，则日需求量为30台.若需求量与价格之间是线性关系，求电冰箱的日需求量Q与价格p之间的函数关系。
（2）、供给函数：供给量与价格之间的函数就称为供给函数。
同样，在经济学中，对应法则f也是多种多样的，但是从供给的特征来看，供给函数一般是增函数，即商品的价格低，生产者不愿意生产，供给量就少，反之，商品的价格高，则供给量就多。
从图形上看，需求函数是一条单调下降的直线，供给函数是一条单调上升的直线。我们把这两条曲线放在同一个坐标系中，就会发现有这样的关系，两条直线交于一点，这一点的含义是，在价格为时，产品的需求量与供给量是相同的，即供需达到了平衡。这一点称为供需平衡点。价格超过时，供过于求；价格低于时，供不应求。在经济分析中，供需平衡点所对应的价格，称为市场均衡价格；它所对应的需求量或供给量称为市场均衡数量。
三、小结
本次课主要讲述常用的经济函数。通过学习了解经济应用中常用的需求函数、供给函数之间的关系，会求简单的函数关系式；熟练掌握经济应用中常用的成本函数、收益函数和利润函数之间的关系，会求它们及它们平均函数的关系式。
四、布置作业
P23:21，22,23,24，25
设置问题情境，引入如何用数学式子表示量与量之间的关系，为给出变量量之间的函数关系做准备。
仔细讲解解题的步骤和认知过程，突出重点，培养学生分析问题和解决问题的能力
通过说明，慢慢引导学生分析得出另一级常用经济应用函数。
给出常用模型，降低学习难度，给学生一定的理解空间。
总结课堂内容，加深所学知识
通过完成作业，巩固所学内容。
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§2.1 极限的概念
教学目的
理解函数极限的思想，会通过观察图像判别数列或者函数在自变量指定的变化方向上的变化极限；
教学重点
极限的概念
教学难点
左右极限的概念
使用的教具/多媒体/仪器/仪表/设备等
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教学方法
图示法；演示法；练习法；讲授法；讨论法；
教学过程
设计意图
一、知识回顾
复习数列知识
二、情境引入
引例 ：
一对年轻的夫妻，在孩子出生之时，用1万元作为初始投资。如果投资按10%的连续复利计算，到孩子20岁生日时，估计能拿到多少元的成长金？若继续做投资，到孩子28岁生日时，能拿到多少元的婚嫁金？
（一）、数列的极限
极限的概念来源于实践，我国古代早就有极限概念的萌芽，“一尺之锤，日取其半，万事不竭。”这句话的意思是：一尺长的一根木棒，第一天截取它的一半，剩下尺，第二天取剩下的一半，还剩尺，第三天取剩下的一半，还剩尺，…….，第n天还剩尺，当n无限增大时，无限减小，但并不是0，却与0无限接近。
剩下的木棒长度按天数的顺序就构成数列
｛｝：
定义2.1: 对于无穷数列｛｝，如果当n无限增大时，无限趋近于一个确定的常数A，则称当n趋于无穷大时，数列｛｝以A为极限，记作或
数列｛｝以常数A为极限，亦称数列收敛于A；如果数列｛｝没有极限，就称数列｛｝是发散的。例如，上面数列就收敛于0，即 =0，而数列=就是发散的。
从极限的定义可知：
（1）收敛数列的极限是唯一的。
（2）收敛数列一定是有界数列。
（二）、函数的极限
1)x→∞时，函数 y=f(x)的极限
考察函数f(x)=, 当自变量X取正值且无限增大时(记作x→+∞)，函数f(x)= 无限趋近于常数0，此时称0为f(x)=，当x→+∞时的极限。
同样，当自变量X取负值而绝对值无限增大(记作x→-∞)时，函数f(x)=也无限趋近于常数0，此时，称0为f(x)=，当x→-∞时的极限。
定义2.2：对于函数y=f(x)，如果当自变量x的绝对值无限增大时，函数f(x)无限趋近于某个确定的常数A，则常数A称为函数f(x)当x→∞时的极限，记作：或
注：“x的绝对值无限增大”可记为“|x|→+∞”或“x→∞”因此，“x →∞”应包括“x→+∞”或“x→-∞”两种情况。
2) x→ 时，函数 y=f(x)的极限
观察x→1时，函数f(x)=x+1的变化趋势，(见教材P26图2.3所示)，无论x从大于1的一侧趋近于1，还是从小于1的一侧趋近于1，函数f(x)=x+1的值无限趋近于2，这时，我们说函数f(x)=x+1当x→1时以常数2为极限。
定义2.3：对于函数y=f(x)，如果当自变量x无限趋近于定值，即x→（x可以不等于）时，函数f(x)无限趋近于某个确定的常数A，则常数A称为函数f(x)当x→时的极限，记作
说明:如果当x从的左侧无限趋近于（通常记作x→）时，函数f(x)以A为极限，则称A为函数f(x)当x→ 时的左极限，记作
如果当x从的右侧无限趋近于（通常记作x→ ）时，函数f(x)以A为极限，则称A为函数f(x)当x→ 时的右极限，记作
左极限、右极限统称为单侧极限.
定理2.1： 成立的充分必要条件是:
这个定理常用来判定函数在一点的极限是否存在。
例1：
作图并求函数f(x)= 当x→1时的左右极限，并说明是否存在 ？
解 ：的图象（如教材P27图2-4所示），从图中可以看出，当x<1且无限趋近于1时，函数的值无限地趋近于常数1，即函数的左极限存在，且有==1 ；当x>1且无限趋近于1时，函数的值无限地趋近于常数2，即函数的右极限存在，且有==2。
由于在x→1的左、右极限不相等，所以，当X → 1时，函数的极限不存在。
例2：求下列函数当时的左极限与右极限，并说明当时，的极限是否存在．
（1） ， （2）
解 （1）作出函数图象，如下图，
, ，
因，所以.
（2）作出函数图象，如下图，
， ，
因，所以不存在.
二、课堂练习：
求下列函数当时的左极限与右极限，并说明当时，的极限是否存在．
（1） （2）
三、小结：
理解极限的思想，会通过函数图像求函数的极限；在讨论函数极限时，一定离不开自变量的变化趋势；是否存在和在点处有无定义无关；极限是一种函数的变化趋势，是动态变化过程中考查出来的，而不是一个点一个点的函数值算出来的。
四、作业：P38:1（1）（2）（3）
通过实际生活中的案例，引起学生学习的兴趣。
设置问题情境，引入极限的思想。
从具体到抽象，从特殊实例归纳函数极限的定义，降低学习难度，使学生很自然地学习了新的知识，达到了突破难点的目的。
把数列极限概念推广时的函数极限。给出时函数极限的定义。
进一步推广时的函数极限。导出时函数的极限定义。
在时函数极限定义下，说明单侧极限概念。
通过学与做的课堂活动，引导学生形成 “自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式
整理总结，理清思路，形成牢固的知识链和知识体系。
通过完成作业，巩固所学内容。
教 案
授课时间
班
周星期 第 节
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课 次
1
学时数
2
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§2.2 极限的运算法则
教学目的
1）熟练掌握极限的四则运算法则，特别注意法则的条件是在各自极限存在情况下展开计算； 2）熟练计算由多项式组成的分式函数的极限。
教学重点
极限的运算法则
教学难点
极限的计算
使用的教具/多媒体/仪器/仪表/设备等
PPT; Flash，计算机；Mathematica 软件
教学方法
图示法；演示法；练习法；讲授法；讨论法；
教学过程
设计意图
一、知识回顾
极限概念复习
二、新授
1.学习新知
（一）、极限的运算法则：
设当x→ (或x →∞)时， =A, =B(此处省略了自变量x的变化趋势，下同)，则有下列极限的运算法则成立。
法则2.1 lim[f(x)±g(x)]=f(x)±
g(x)=A±B
法则2.2 [f(x)g(x)]=f(x)*g(x)=AB
法则2.3
注 ：上列法则对于有限个函数的情况同样成立
由法则2.2可得以下推论：
推论1：
推论2：
推论3：
利用极限运算法则，可以进行极限的运算.
例1 求：
解：因为
例2 求：
解：
例3求：
解：因为x→0时，分子分母极限均为零，不能直接用商的极限法则，可先对分子有理化，然后再求极限
例4求：
解：
课堂练习 求.
解： 由于，所以不能直接利用法则求极限，考虑到分子和分母都有公因子，可以先约去公因子，再求极限，即
.
例5 求：
解：
例6 求：
解：
三、课堂练习：
求下列函数的极限：
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
四、小结：
理解极限的思想，会利用极限四则运算法则求简单函数的极限。
五、作业：P38: 2（1）（3）（4）（6）
（9）（10）（13）（14）
引导学生有目的地复习，为后面的学习做准备
给出极限四则运算法则，注意说明法则中的条件和推广只能是有限个函数。
利用约分方法来满足法则的前提条件。
利用分子分母同除以x在分子分母最高次幂，来适应法则的前提条件。
教 案
授课时间
班
周星期 第 节
班
周星期 第 节
班
周星期 第 节
课 次
1
学时数
2
授课形式
（请打√）
纯理论√ 纯实践□ 理实一体化□ 习题课□ 其他□
授课题目
§2.3 两个重要极限
教学目的
掌握两个重要极限，会运用两个重要极限求极限
教学重点
两个重要极限，理解复利与贴现的意义，会求某些简单的复利与贴现的计算题。
教学难点
两个重要极限的应用；
使用的教具/多媒体/仪器/仪表/设备等
PPT; Flash，计算机；Mathematica 软件
教学方法
图示法；演示法；练习法；讲授法；讨论法；
教学过程
设计意图
一、复习引入
考察极限
对x任取一系列趋于零的数值时，经计算可得 的一系列对应值，如表2-1所示。
从上表可以看出，当x无限趋近于0时，的值无限
x
1
0.7
0.5
0.3
0.1
0.01
...
0.9585
0.9983
0.9996
0.9997
0.9998
0.9999
...
趋近于1，
即=1
二、讲授新课
（一）、两个重要极限
1、 =1
特点：①它是“”型 ② （三角形代表同一变量）
思考：吗？
例1：求：
解：
例2：求：
解：
例3：求：
解：
例4：求：
解：
例5：求：
解：
例6：求：求
解： ==1
2、考察极限（1+）
观察：当时函数的变化趋势。如表2-2所示
表2-2
x
…
-1000000
-1000
-10
10
1000
...
…
2.71830
2.71964
2.86797
2.59374
2.71692
...
当时，函数的值都无限趋近于一个确定的常数e＝2.718281828459045...．
记作e．
因此有：（1+） = e
特点：（１） (1+无穷小) ，即1型；
（２）“无穷小”与“无穷大”的解析式互为倒数，
推广：① ②
例7：求：
解：
例8：求：
解：
例9：（1）
解：原式=[1+（）]= [1+]=
例10：求：
解：
例11：求：
解：
例12：（）
解：原式=（）=(1)=(1+)
=(1+)(1+)= e
例13:
关于利息（复利）的计算问题
设初始投资（本金），年利率为p，若每年结算一次，则一年的本利和为（1+p）.如果第二年以第一年末的本利和为本金计算，则到第二年末，本利和为.照此方法计息，则第n年末的本利和为，这种计息方法为复利。
如果一年结算m次，且每次结算后的利息都以计入本金，则每期利率为，一年后的本利和为，第n年末的本利和为。如果结算次数无限增多，即m→∞，则有：
所以，本金为，按年利率p不断计算复利，则n年后的本利和
上述极限称为连续复利公式，式中的n可视为连续变量.上述公式是一个理论公式，仅作为投资较长情况下的一种近似估计。
解答本章引言中所提出的问题：已知 =10000元，按年利率10%的连续复利计算，到孩子20岁生日时，能拿到本利和为：
若继续投资，到孩子20岁生日时，能拿到本利和为：
三、课堂练习：
求下列式子的极限：
（1+）
（1+）
四、小结：
掌握两个重要极限，并运用两个重要极限求极限计算，理解复利与贴现的意义，理解简单的复利与贴现等金融操作的数学意义；并会解决类似的简单案例题。
五、作业：P38：3（2）（4）（5）（7）（8）（9），4（1）（2）（3）（4）（5）
通过计算引入第一个重要极限
讲解第一个重要极限
举例讲解加深学生的理解
通过列表数据，引导学生观察结果，引入第二个重要极限
得出第二个重要极限
举例加深学生对于极限公式的理解
引导学生利用所学知识解决实际经济问题
通过学与做的课堂活动，引导学生形成良好的学习方式
教 案
授课时间
班
周星期 第 节
班
周星期 第 节
班
周星期 第 节
课 次
1
学时数
2
授课形式
（请打√）
纯理论√ 纯实践□ 理实一体化□ 习题课□ 其他□
授课题目
§2.4 无穷小量与无穷大量
教学目的
理解高阶、低阶、同阶及等价无穷小量的定义；掌握判定等价无穷小量的充要条件及常用等价无穷小量；会运用等价无穷小量求函数的极限
教学重点
无穷小量与无穷大量
教学难点
等价无穷小量的判定及其在极限运算中的应用
使用的教具/多媒体/仪器/仪表/设备等
PPT; Flash，计算机；Mathematica 软件
教学方法
图示法；演示法；练习法；讲授法；讨论法；
教学过程
设计意图
一、复习引入
极限的概念
二、无穷小量与无穷大量
1、无穷小量
（1）、无穷小量的概念
定义2.4 如果当x→（或x →∞ ）时，函f(x)的极限 为零，则称f(x)当x→（或x →∞ ）时是无穷小量，简称无穷小。
例如，当x→0时， 2x、、sinx都是无穷小量
注意
1）说f(x)是无穷小，必须指明x的变化趋势，如当x →∞ 时1/x是无穷小。而当
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