多元线性回归模型.doc

第四章 多元线性回归模型

在一元线性回归模型中，解释变量只有一个。但在实际问题中，影响因变量的变量可能不止一个，比如根据经济学理论，人们对某种商品的需求不仅受该商品市场价格的影响，而且受其它商品价格以及人们可支配收入水平的制约；影响劳动力劳动供给意愿（用劳动参与率度量）的因素不仅包括经济形势（用失业率度量），而且包括劳动实际工资；根据凯恩斯的流动性偏好理论，影响人们货币需求的因素不仅包括人们的收入水平，而且包括利率水平等。当解释变量的个数由一个扩展到两个或两个以上时，一元线性回归模型就扩展为多元线性回归模型。本章在理论分析中以二元线性回归模型为例进行。
一、预备知识
（一）相关概念
对于一个三变量总体，若由基础理论，变量和变量之间存在因果关系，或的变异可用来解释的变异。为检验变量和变量之间因果关系是否存在、度量变量对变量影响的强弱与显著性、以及利用解释变量去预测因变量，引入多元回归分析这一工具。
将给定条件下的均值
（4.1）
定义为总体回归函数（Population Regression Function,PRF）。定义为误差项（error term）,记为，即，这样，或
（4.2）
（4.2）式称为总体回归模型或者随机总体回归函数。其中，称为解释变量（explanatory variable）或自变量（independent variable）；称为被解释变量（explained variable）或因变量（dependent variable）；误差项解释了因变量的变动中不能完全被自变量所解释的部分。
在总体回归模型（4.2）中参数是未知的，是不可观察的，统计计量分析的目标之一就是估计模型的未知参数。给定一组随机样本，对（4.1）式进行估计，若的估计量分别记为，则定义（4.3）式为样本回归函数
（） （4.3）
注意，样本回归函数随着样本的不同而不同，也就是说是随机变量，它们的随机性是由于的随机性（同一组可能对应不同的）、各自的变异、以及之间的相关性共同引起的。定义为残差项（residual term）,记为，即，这样，或
（） （4.4）
（4.4）式称为样本回归模型或者随机样本回归函数。样本回归模型中残差项可视为总体回归模型中误差项的估计量。
（二）多元线性回归模型的矩阵表示
多元线性回归模型的参数估计比一元线性回归模型要复杂得多，为了便于计算和分析，便于将结果由三变量总体推广到一般的多变量总体，引入矩阵这一工具简化计算和分析。
设是取自总体的一组随机样本。在该组样本下，总体回归模型（4.2）式可以写成方程组的形式

利用矩阵运算，可表示为
（4.5）
记，,,
则在该组样本下，总体回归模型的矩阵表示为
（4.6）
记,
则样本回归模型的矩阵表示为
（4.7）
（三）模型假定
假定1 回归模型是参数线性的，并且是设定正确的。
假定2 随机误差项与解释变量不相关。即
，。
如果解释变量是非随机的，则该假设自动满足。
假定3 零均值假定。即
，
假定4 同方差假定。即
，
假定5 无自相关假定。即两个误差项之间不相关
，，
假定6 解释变量与之间不存在完全共线性，即两个解释变量之间无确切的的线性关系。
假定7 正态性假定。即
～，
（四）参数估计与估计量的分布
系数向量的OLS估计为
（4.8）
其中，为的转置矩阵。在随机误差项服从正态分布的假定下，系数向量的估计量也服从正态分布，即
～ （4.9）
记的第j个主对角元素为，则
～ （4.10）
有了系数估计量的分布，就可以对总体参数做假设检验。与双变量总体相同，总体误差是不可观察的，因而其方差是未知的。若用的无偏估计量代替，则OLS估计量服从自由度为的t分布，而不是正态分布，即
～ （4.11）
其中，，。
（五）预测原理
回归分析的目的之一是利用回归模型预测因变量。假设三变量总体的回归模型为（4.2），即
（4.2）
在一组随机样本下，利用OLS求得样本回归函数为（4.3）
（） （4.3）
给定样本外一点，则因变量的点预测为
（4.12）
点预测的标准误为
（4.13）
因变量的置信度为的区间预测为
[, ] （4.14）
二、案例
[案例1] Woody餐馆的选址分析
Woody餐馆是一家价位适中、24小时营业的家庭连锁店，公司邀请你决策下一家连锁店的选址问题。你决定建立一个回归模型来解释每一家连锁餐馆的毛销售额Y（the gross sales volume）,通过文献的阅读，你认为以下变量对毛销售额的影响较大，
N =竞争变量：餐馆位置半径2里以内市场直接竞争者的数量；
P=人口： 餐馆位置半径3里以内人口的数量；
I=收入： 餐馆位置半径3里以内家庭平均收入。
并且通过调研，你获得了33家Woody餐馆连锁店的数据。
[案例2] 经济形势和实际工资对人们工作意愿的影响
在第三章，我们根据劳动经济学理论，分析了经济形势对人们工作意愿的影响存在两种效应：受挫工人效应和增加工人效应；并且利用1980-2002年的数据实证了受挫工人效应占主导地位。
但根据劳动经济学理论，影响人们工作意愿的因素，除了经济形势以外，还有实际的工资水平。从理论上说，实际工资增加对劳动供给具有两种效应：替代效应与收入效应。替代效应趋于使劳动供给增加，而收入效应则趋于使劳动供给降低，两种效应的相对影响取决于家庭的偏好（参考文献[4]，p49）。
本案例考察实际工资对人们工作意愿是否有影响，以及在有影响的情况下，那种效应占优。数据见表3.1。
三、实验目的
[案例1] Woody餐馆的选址分析
1、绘制Y对N、P、I的散点图，并在散点图中附加回归线。
2、建立Y对N、P、I的线性回归模型，并定性分析解释变量N、P、I对Y的影响。
3、利用样本数据及OLS法对回归模型进行估计，并报告回归结果。
4、观察回归系数的显著性和方程的显著性，并解释回归系数的含义。
[案例2] 经济形势和实际工资对人们工作意愿的影响
1、绘制clfpr对ahe82的散点图，并附回归线，观察城市劳动参与率与实际工资之间的线性关系。
2、建立clfpr对ahe82的一元线性回归模型，利用1980-2002年的数据估计模型，并观察回归系数的显著性和方程的显著性。
3、同时考虑经济形势与实际工资对人们工作意愿的影响，建立二元线性回归模型，利用1980-2002年的数据估计模型，观察回归系数的显著性和方程的显著性，并解释回归系数的经济含义。
4、对上面（2）与（3）中估计结果的差别进行解释。
5、模型的选择问题，在以下三个模型之间，哪个模型更好呢？
（Ⅰ）
（Ⅱ）
（Ⅲ）

四、实验原理
五、实验步骤
[案例1] Woody餐馆的选址分析

图4-1 Y对N、P、I的散点图
1、打开Eviews工作文件Woody.wfl，按住Ctrl键，点击工作文件目录中的序列Y、N、P、I图标，点击鼠标右键，点击Open/as Group，出现包含序列Y、N、P、I的组对象窗口。
点击组对象窗口工具栏的View按钮，选择Graph，在Specifi选项中选择Scatter，在Fit lines中选择Regression Line，在Multiple中选择Multiple graphs-First vs.All,设定完毕后点击确定按钮，则出现Y对N、P、I的三张散点图，点击鼠标右键，选择Copy，将散点图复制到Word文档中，如图4-1所示。
2、Y对N、P、I的线性回归模型为
（4.15）
一般来说，人口越多，餐馆的毛销售额越大；人们的收入水平越高，餐馆的毛销售额越大；竞争者的数量越多，餐馆的毛销售额越低。即P和I对Y有正的影响，N对Y有负的影响，从而的预期符号为正，的预期符号为负。图4-1散点图中回归线的斜率与理论的预期是一致的。
3、在文件窗口点击object/new object,在出现的对象类型中选择equation,在对象名中填写eq1,点击OK，出现对话框图4.2

图4.2 回归方程的设定
在估计方法中选择最小二乘法，样本范围填写1到30。设定完毕后点击确定。出现图4.3

图4.3 方程估计的输出
根据图4.3，报告估计结果如下
Y = 102192.4 - 9074.67*N + 0.35*P + 1.29*I
（2052.67） （0.073） （0.54）
t= -4.42 4.87 2.37 =0.58
4、从估计输出结果可知，回归系数的符号方向（正、负）和大小均与理论分析一致，t统计量的值显示也在0.05的显著性水平下显著（这一点也可以从边际概率值观察到），F统计量的值为15.64（相应的概率值为0.000003），表明三个解释变量对被解释变量联合显著。
多元回归系数的含义为，当其他变量（控制变量）不变时，该变量对因变量的边际影响。对于本例各系数的含义为，收入增加一个单位会使餐馆的销售收入增加1.29个单位；人口增加一个单位会使餐馆的销售收入增加0.35个单位；竞争者的数量增加一个单位将使餐馆的销售数量减少9074.67个单位。
[案例2] 经济形势和实际工资对人们工作意愿的影响
在以下操作中，假设包含clfpr、 ahe82和cunr三个序列的Eviews工作文件clfpr.wfl已经存在。
1、打开Eviews工作文件clfpr.wfl，建立包括序列ahe82和clfpr的组对象，点击组对象窗口工具栏的View按钮，选择Graph，在Specifi选项中选择Scatter，在Fit lines中选择Regression Line，设定完毕后点击确定按钮，出现图4.4。

图4.4 clfpr对ahe82的散点图
由散点图可见，clfpr与ahe82之间存在非常弱的线性关系，回归线斜率为负，且接近于水平线。
2、建立一元线性回归模型如下：
（4.16）
用1980-2002年的数据估计上述模型，估计结果如图4.5所示

图4.5 clfpr对ahe82回归的估计结果
从图4.5的t统计量和概率值均可知，实际工资对劳动参与率没有显著影响，拟合优度（0.024118）很低，调整的拟合优度更是为负值，F统计量和概率值也显示方程常数项和解释变量（ahe82）对因变量（clfpr）的联合影响不显著。回归的结果与理论分析相悖。
3、同时考虑经济形势与实际工资对人们工作意愿的影响，建立二元线性回归模型如下
（4.17）
利用1980-2002年的数据估计模型，估计结果如图4.6所示

图4.6 clfpr对ahe82和cunr回归的估计结果
由图4.6中间部分的t统计量和概率值可知，解释变量ahe82和cunr均在0.05的水平上对clfpr有显著影响；调整的拟合优度为0.750205，拟合度较高；F统计量的值为34.03611，相应的概率值为0.000000，表明ahe82和cunr对clfpr的联合影响显著。
解释变量ahe82和cunr的回归系数分别为-1.41和-0.67，它们的经济含义为，在cunr保持不变的条件下，实际小时工资增加1美元，劳动参与率降低1.41个百分点，表明实际工资对劳动供给影响的收入效应占优，即收入效应大于替代效应；在ahe82保持不变的条件下，失业率上升1个百分点，劳动参与率降低0.67个百分点，表明在剔除了实际工资对劳动供给的影响之后，失业率对劳动供给的影响依然是受挫效应占优。
4、在（2）的一元回归模型中，估计的结果表明，ahe82对劳动参与率没有显著的影响，但在引入的解释变量cunr后，即在（3）中的二元回归模型中，ahe82对劳动参与率的影响在0.05的水平下却是显著的，为什么会出现这种差别呢？
为了解释一元回归估计结果与多元回归结果的差别，现来观察clfpr、ahe82与cunr的相关系数矩阵(显示组对象相关系数矩阵的Eviews操作见第二章)，如图4.7所示。

图4.7 clfpr、ahe82与cunr的相关系数矩阵
由图4.7可知，cunr和ahe82与clfpr的相关系数分别为-0.155299和-0.843967，均为负相关。在（2）中的一元回归模型中，ahe82的回归系数-0.884518中包含了cunr通过ahe82对clfpr的间接影响，这种间接的影响是正方向的，使得ahe82对clfpr的影响被高估；而在（3）中的多元回归模型中，因为剔除了这种正方向的间接影响，使得ahe82对clfpr的直接影响增加为-1.41，并且影响由不显著到显著。
另外，也可注意到在（3）中的多元回归模型中，cunr的回归系数-0.671631与clfpr对cunr的一元回归系数（见第三章案例[1]）-0.646948的变化，同样是因为clfpr对cunr的一元回归系数-0.646948中包含了ahe82通过cunr对clfpr的间接影响，同样间接的影响也是正方向的，（3）中的多元回归模型中，cunr的回归系数-0.671631是剔除了这种间接影响之后，cunr对clfpr的直接影响。
5、显然，模型（Ⅲ）最好。首先，模型（Ⅲ）包含了模型（Ⅰ）和模型（Ⅱ）；其次，也是最重要的，模型（Ⅲ）更符合经济学的相关理论，计量分析必须建立在相关的理论基础之上；最后，模型（Ⅲ）的一些统计指标最好，比如，模型（Ⅲ）调整的拟合优度为0.75，是最高的。
六、作业