颗粒土中剪切带临界状态数学描述及其完全解.pdf

应用数学和力学编委会，：颗粒土中剪切带临界状态数学描述及其完全解黄文雄，崔 贤（河海大学 力学与材料学院，南京）摘要：为正确模拟土体涉及剪切带演化的后失效力学响应，需采用包含细观特征长度的高阶连续介质力学模型 笔者利用前期所建立的微极亚塑性模型，对颗粒土中剪切带的发展过程进行了分析推导，得到了剪切带临界状态条件下关键变量所满足的非线性微分方程 该文展示了上述非线性微分方程的简要推导，重点讨论了该非线性微分方程的主要性质、主要参数变化范围和求解途径；通过对剪切带进一步的力学分析补充建立了一个能量方程，使问题具有确定解 在此基础上，应用数值积分求出了剪切带厚度因子和剪切内应力、变形率分布及剪切速度分布的完全解 其中剪切带厚度因子对于微极亚塑性模型细观参数的确定具有重要作用 关 键 词：剪切带；微极亚塑性模型；临界状态；非线性常微分方程；完全解中图分类号：文献标志码：，（，）：，：；应用数学和力学 卷 期 年 月 ，收稿日期：；修订日期：基金项目：国家自然科学基金（）作者简介：黄文雄（），男，教授，博士，博士生导师（通讯作者：）引用格式：黄文雄，崔贤 颗粒土中剪切带临界状态数学描述及其完全解 应用数学和力学，（）：引 言临界状态在土力学中指土体剪切失效时所趋近的无剪胀塑性流动状态 土体的临界状态只与土的物理特性及作用于土体的平均压力有关，不依赖土体的初始密度，因此是建立土体本构模型的重要参考状态 土体均匀趋于临界状态的失效模式只是一种理想的情形，实际土体破坏往往伴随着剪切带的发展 这种集中于带状区域的应变局部化的形成和演化是认识土体结构失效与破坏的关键，也一直是土力学与颗粒材料力学所关注的研究课题 相对于土体结构的宏观尺度，剪切带的厚度是很小的，实验所观察到的剪切带厚度约为土体颗粒平均粒径的 倍左右 因此，剪切带两侧有限的相对剪切位移就可在带内引起较大的剪切变形，使得带内材料很快达到临界状态 经典连续介质本构模型不包含任何与材料细观结构相关的特征长度，预测的剪切带理论厚度为零 因此，常规的土体本构模型只能预测剪切带的产生，一般不能规范剪切带的厚度并正确预测土体涉及剪切带演化的后失效行为 在采用有限元等方法分析土体的后失效行为时，数值解具有网格尺寸依赖性 为克服上述困难，可采用高阶连续介质力学理论，如微极场理论、高阶梯度理论等 高阶连续介质力学模型允许引入材料细观特征长度，可以在一定程度上刻画材料中应力和变形在细观尺度上的变化 其中 介质属于微极连续介质力学理论中较简单的一种，通过在连续体中引入质点的转动自由度和偶应力，可以在一定程度上描述材料细观尺度上的应力和变形的变化，从而能恰当模拟剪切带的发展 和 采用 介质弹塑性模型讨论了土体中剪切带厚度与颗粒平均粒径的关系；研究了颗粒材料细观结构、偶应力与剪切带的关系；等基于 介质理论，将 和 所建立的模拟砂土等颗粒土的亚塑性模本构型推广为微极亚塑性模型，并用于砂土中局部化应变发展模式的数值分析 基于文献建立的微极亚塑性模型，和其合作者分析了颗粒材料在平面 剪切中，条形区域内的应变局部化的形成与演化机制，并且针对充分发展的平直剪切带，推导得到了临界状态下的控制方程，但针对该控制方程并未得到完全解 本文主要目的是在前期工作的基础上，探讨剪切带在临界状态下的关键变量，即 转动角速度所满足的非线性常微分方程的主要特性及求解途径，并给出问题的完全解 微极亚塑性模型简述 介质或微极连续介质的宏观质点包含平动和转动自由度 若用矢量，分别表示 介质质点的运动速度和微转动（转动）速率矢量，则这种连续介质的变形速率可用下列几何关系所确定的应变率张量 和微曲率率张量 描述：，（）介质中的应力张量 和偶应力张量 满足平衡方程：，（）其中，为体力矢量；代表矢量和张量的梯度运算，代表散度运算；为置换符号；点乘积运算代表两个张量相邻的一对下标的缩并，双点积运算代表两个张量前后两对对应下标的缩并 式（）和（）也表明 介质中的应力、偶应力、应变率和微曲率率张量在一般情况下是非对称的 和 以 应力 和孔隙比 为状态变量，建立了一个有效实用的临界状态亚塑性模型（模型），能较好地模拟砂土等无黏性颗粒土的力学响应 为了能客观模拟颗粒土中剪切带的形成与发展，等基于 介质理论将 模型推广为微极亚塑性模型，用下列张量方程描述 应力及偶应力张量的客观时间导数与应变率、微曲率率张量之间的关系：（），（）其中，（），分别为正则化应力、偏应力、偶应力和微曲率率张应 用 数 学 和 力 学 年 第 卷量；运算符 代表求张量的迹；，（）；和 分别称为刚度因子和密度因子，是平均应力 和孔隙比 的标量函数，因在本文的讨论中不重要，略去具体的表达式，感兴趣的读者可参考文献；代表颗粒土平均粒径，为材料细观长度参数，为强度参数 上述微极亚塑性模型将颗粒土渐近失效的临界状态或无剪胀流动状态条件推广为变形继续发展，但应力、偶应力和体变不再变化 根据 ，和体积应变率 的条件，从本构模型可以得到 以及应力和应变率满足的条件：，（），（）（）式（）和（）实际为建立模型时预设的临界状态流动法则和强度条件 剪切带内临界状态的数学描述图、所示为土体中剪切带脱离体及质点平面运动自由度正向示意图，其中，和 分别代表剪切带边界外土体对剪切带作用的法向、切向分布力和分布力偶 文献基于上述微极亚塑性模型，按平面应变问题给出了临界状态的具体数学描述，并分析了剪切带内的应力分量及应变率分量所满足的条件，具体如下 图 剪切带脱离体及受力示意图及坐标系选取 图 平面应变条件下 介质质点自由度 建立如图 所示坐标系，轴沿剪切带中间层面，垂直于剪切方向 图 指出在此坐标系中 介质质点运动自由度的正向 剪切带上、下边界之外土体仅作刚体运动 为简化分析，不妨以 轴为运动参照，即以 轴为水平速度零点，剪切带上部、下部边界相对 轴分别向右、向左作反对称水平向运动，相对剪切速度为 按剪切带受力和变形特点知，剪切带内各变量只是坐标 的函数，对 的偏导数应为零 由此可以确定剪切带内部非零应力、偶应力、应变率和微曲率率分量分别为 ，；，这里为简化符号表达用 代表 转动角速度 根据剪切带的几何特性、坐标选取和各物理及几何量的正负号规定知，应为 的偶函数，为 的奇函数 在此条件下，忽略体力的作用，平衡方程（）只包含以下 个独立的分量等式：，（），（）其中 代表剪切带的厚度 平衡方程前两式表明在剪切带内，和 为常量 并且根据 处边界条件知，（）本文所要研究的是土体中理想化的剪切带临界状态数学描述，忽略体力可以极大地简化数学描述 第 期 黄文雄，等：颗粒土中剪切带临界状态数学描述及其完全解根据上述应力状态，剪切带内临界状态强度条件（）简化为 ，（）令 （），流动法则（）可写成 ，（）这里引入了无量纲长度因子 ，并记 ，其中（）称为材料的细观特征长度，它与土体平均粒径 呈正比，并与材料细观和宏观强度参数之比相关 将流动法则（）代入平衡方程（）的第三式，可得到关于 的控制方程（参考附录）：，（）其中，为剪切带厚度的无量纲参数或剪切带的厚度因子；（），（）剪切带临界状态完全解上节推导表明，微极亚塑性模型所模拟颗粒土中的剪切带趋于临界状态（无剪胀流动状态）时，带内质点的 转动角速度 满足非线性常微分方程（）本文的主要目标是通过求解方程（）获得剪切带厚度因子及带内各变量的分布规律 具体讨论如下 方程的特点本文所要求解的控制方程（）具有以下几个主要特点：）方程（）是关于函数变量 的二阶常微分方程 由于方程中包含了函数 及其导数，且 是 及其导数的非线性函数，因此方程（）具有强烈非线性特性，对基本变量 直接的解析积分存在困难）方程（）关于基本变量 具有齐次性，若（）是方程的解，则对于任意常数，（）也是方程的解）剪切带的基本特征是其内部材料处于流动状态，外部材料作不变形的刚性运动，因此在剪切带内部，在边界 处应有 因此剪切带的厚度因子 由 的一个完整变化周期决定，并且与 的绝对值无关 问题的形式解为求解方程（），引入如下的变量替换：，（）容易验证 （），考虑先在半带厚（）内求解 和其余变量，再利用对称性和反对称性获得完全解 根据图 坐标系选择及剪切带中各变量正负号规定，应有 ，因此有 ，从而 ，（）此外，在剪切带中心和边界处分别有 ：，；：，（）将替换变量（）和（）代入式（），问题归结为在半带厚内求解 （），满足方程应 用 数 学 和 力 学 年 第 卷 ，（）中间变量 （）应对式（）直接积分获得 另一中间变量 （）可按式（）求出 同时，利用 处边界条件可得厚度因子表达式：（）求得中间变量（）和（）后，利用流动法则（）可求出正则化的应力和偶应力分量：，（），（）（）进一步，利用关系（）（）积分，可得到下列表达式：（）（）（），（）（）（）（），（）（）（），（）其中记 ，；代表 在 处的值 在此基础上可得到剪切带中正则化的应变率与微曲率率分量表达式：（），（），（）（）此外，根据几何关系 ，可得到剪切带内速度分布：（）()（）令 ，可以得到剪切带中心 转动角速度与边界处剪切速率的线性关系式：（）此式表明 转动角速度 以及其他变形速率分量的绝对值大小与剪切速率 成正比 这是率无关本构模型应有的结果 参数的确定和问题的完全解由于未能求出式（）的解析积分，上述剪切带中各变量的表达式仅是问题的形式解 本文中拟采用数值积分求出 关系及其余各变量的数值解 为此，需要确定方程（）中参数 的具体数值 根据第 节的分析，偶应力 为 的奇函数，并且在剪切带边界 处，因此在剪切带中间 处，根据强度条件（），：（）根据平衡方程（）的第三式知，（）（）若令剪切带中间处剪应力分量之比值 （），则 利用这一条件并注意 以及 的表达式（），由式（）可得到 ，（）上述分析虽然给出了参数 的范围，但尚不能确定 的具体值 通过假定（或）的不同值，按数值解可求得半剪切带厚度因子 的对应值 结果表明（如图 所示），剪切带厚度因子 对参数（或）具有强烈的依赖关系 为确定参数 或 的具体数值，还需要建立一个补充条件 为此，将图 中剪切带上半部分作为脱离体分析其能量耗散关系 本构关系不包含任何热能相关物理量，隐含了将材料变形过程看作一个热力学等温过程，系统的能量守恒简化为机械能守恒，即剪切带流动中材料的内能变化率等于剪切带外部作功功率：第 期 黄文雄，等：颗粒土中剪切带临界状态数学描述及其完全解 对于当前考虑的剪切带上半部分脱离体，（）外部对剪切带作功功率为脱离体上、下边界处切向、法向分布力和分布力偶与相应位移速率和转动速率乘积：（）（）注意在 处 ，在边界 处 ，而脱离体上、下边界相对剪切速率为 因此有 （）（）上式两边同除因子 ，并注意 以及等式（）：，可得到 （）与式（）联立消去 后可得到 （）此式为假定的参数 值提供了一个后验条件 正确的结果应使 的后验值与通过设定 得到的设定值相等，据此确定参数从而获得问题的完全解 图 所示为根据一系列设定的 按式（）计算的 先验值，以及根据假设值求解问题后按式（）计算得到的 后验值 要求二者相等求得 ，对应 通过数值积分求解得到的剪切带厚度因子，对应剪切带内主要变量的数值解如图 所示 其中图、分别展示的是中间变量（）和（）、变量（），（）和（）在剪切带半厚度内的变化规律；图、分别展示的是正则化的应力和偶应力、正则化的应变率、微曲率率以及剪切速率在整个剪切带厚度内的分布规律 这些结果展示了在剪切带厚度这样较小尺度范围内，各应力和应变变分量连续而剧烈的变化以及显著的 效应，即存在 转动、偶应力以及两个剪应力分量不相等，在剪切带边缘处这种 效应尤为显著 图 剪切带厚度因子 对参数 的依赖关系 图 对应 设定值参数 的先验和后验值 剪切带厚度因子的作用 介质模型常被用于研究材料的和应变局部化及细观结构有关的尺寸效应 这类模型往往包含一个细观特征长度和 或其他细观材料参数 本文采用的微极亚塑性模型，以颗粒土平均粒径 作为材料细观特征长度的参考值，材料的剪切带厚度则由式（）所表达的特征长度 所规范 其中 是体现材料细观结构影响的关键参数，该参数的直接实验测定存在困难 另一方面，剪切带的厚度却可以通过简单剪切或双轴压缩等实验中测定 在求出剪切带厚度因子 后，按式（）可以给出一个细观强度 参数与剪切带厚度 的关系：（）在颗粒土平均粒径 和土体宏观强度参数 已经确定的条件下，此式为细观材料参数 的确定提供应 用 数 学 和 力 学 年 第 卷了一种有效途径 因此，剪切带厚度因子对于材料模型细观参数的确定具有重要作用 图 半带厚内（）和（）（）（）图 半带厚内（），（）和（）（），（）（）图 剪切带内正则化应力、偶应力分布 图 剪切带内正则化应变率、微曲率率和剪切速率分布 ，注 为了解释图中的颜色，读者可以参考本文的电子网页版本 结 论剪切带的厚度具有土体颗粒粒径尺度相近的量级，带内变形量的剧烈变化只有采用高阶连续介质力学模型才能恰当模拟 采用笔者先期提出的微极亚塑性模型模拟的理想颗粒土，剪切带的临界状态（无剪胀流动状态）可以通过一组流动法则、强度条件和关于 转动角速度的一个非线性常微分方程描述 该方程的解析求解具有难度 笔者在本文中结合剪切带的基本特征，讨论了该微分方程的一些主要特点和关键参数的取值范围，通过应用能量守恒关系补充完备了求解条件，从而能够利用数值积分的方法求出剪切带厚度因子及带内应力、变形率各分量的分布规律等完全解 这一解答揭示了颗粒土失效时凝聚在小尺度范围内的材料剪切流动机制，而剪切带厚度因子与细观特征长度对于本构模型中细观强度参数的确定具有重要作用 此外，形如式（）这样有趣的非线性常微分方程也值得应用数学研究者们的关注 附录 方程（）的推导平衡方程（）第三式两边同除常量 并注意 （），方程可写成（）（）将流动法则（）代入其中，并注意 （），得到第 期 黄文雄，等：颗粒土中剪切带临界状态数学描述及其完全解()，（）其中 （），（）上式两边乘方后可求得 的下列表达式：（）代入式（）后得到关于 的常微分方程（）参考文献（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：应 用 数 学 和 力 学 年 第 卷