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<近世代数复习题>

一、定义描述（8’）
1、群：设G是一个非空集合， 是它的一个代数运算。如果满足以下条件：
（1）结合律成立，即对G中任意元素a，b，c都有（a b） c = a （b c）.
（2）G中有元素e.叫做G的左单位元，它对G中每个元素a都有e a = a .
（3）对G中每个元素a，在G中都有元素a-1，叫做a的左逆元，使a-1 a = e .
则称G对代数运算 做成一个群。
2、正规子群：设N是群G的一个子群，如果对G中每个元素a都有 aN=Na，即 aNa-1=N ，则称N是群G的一个正规子群（或不变子群）。
3、环：设非空集合R有两个代数运算，一个叫做加法并用加号 + 表示，另一个叫做乘法用乘号表示，如果：
（1）R对加法作成一个加群；
（2）R对乘法满足结合律：（ab）c = a（bc）；
（3）乘法对加法满足左右分配率：a（b+c）= ab + ac ，（b+c）a = ba + ca .
其中a，b，c为R中任意元素，则称R对这两个代数运算作成一个环。
4、极大理想：设N是环R的一个理想，且N≠R .如果除R和N外，R中没有包含N的其它理想，则称N为环R的一个极大理想。
5、惟一分解整环：设K是有单位元的整环。如果K中每个既不是零又不是单位的元素都能惟一分解，则称K为惟一分解整环。整数环Z及域F上多项式环F[ x ]都是惟一分解整环。
6、欧氏环：设K是一个有单位元的整环，如果
（1）有一个从K的非零元集K – { 0}到非负整数集的映射ψ存在；
（2）这个ψ对K中任意元素a及b≠0，在K中 有元素q，r使a=bq + r，r=0
或ψ（r）＜ψ（b），则称R关于ψ作成一个欧氏环。-------------
7、素理想：设R是一个交换环，P ◁ R .如果ab∈P => a∈P或b∈P，其中a，b∈R，则称P是R的一个素理想。
显然，环R本身是R的一个素理想；又零理想{ 0}是R的素理想当且仅当R无零因子，
亦即R是一个整环。
8、主理想：设R是一个环，任取a∈R，R中包含a的全部理想的交也是R的一个理想，且是R的包含元素a的最小理想，并称其为R的由a生成的主理想，记为< a > .

9、理想：设N是环R的一个子加群，即对N中任意元素a，b，差a-b仍属于N，如果又有 r∈R，a∈N => ra∈N，则称N是环R的一个左理想；
如果 r∈R，a∈N => ar∈N，则称N是环R的一个右理想；
如果N既是R的左理想又是右理想，则称N是环R的一个双边理想，简称理想，并用
符号N ◁ R表示。否则记为N ◁ R .
10、商群：群G的正规子群N的全体陪集对于陪集的乘法作成一个群，称为G关于N的商群，记为G/N .
11、主理想环：设K是一个有单位元的整环。如果K的每一个理想都是一个主理想，则称K是一个主理想整环。整数环和域F上的多项式环F[ x]都是主理想整环。但是，整数环Z上的多项式环Z[ x]不是一个主理想整环。

二、填空（30’）
1、集合M的一个分类决定M的一个等价关系。
2、集合M的一个等价关系决定M的一个分类。
3、设G是一个半群，则G作为成群的充要条件是，对G中任意元素a、b，
方程ax=b , ya=b在G中都有解。
4、群G的一个非空子集H作成子群的充要条件是：
（1）a，b∈H => ab∈H ;
（2）a∈H => a-1∈H.
5、设H,k是群G的两个子群，则HK≤G ó HK=KH.
6、整数加群Z是无限循环群。
7、无限循环群<a>有两个生成元，即a与a-1；n阶循环群有ψ（n）个生成元，
其中ψ（n）为Euler函数。
例如，4、5、6阶循环群分别有ψ（4）=2 ，ψ（5）=4 ，ψ（6）=2 个生成元。
8、设<a>是任意一个循环群。
（1）若|a|=∞，则<a>与整数加群Z同构；
（2）若|a|=n，则<a>与n次单位根群Un 同构。
9、循环群的子群仍为循环群。
10、不相连循环相乘时可以交换。
11、k—循环的阶为k；不相连循环乘积的阶为各因子的阶的最小公倍。
12、（J.L.Lagrange，1736—1813）设H是有限群G的一个子群，则|G|=|H|（G：H）.从
而任何子集的阶和指数都是群G的阶的因数。
13、有限群中每个元素的阶都整除群的阶。
14、左陪集的重要性质
（1）a∈aH . （2）a∈H ó aH=H . （3）b∈aH ó aH=bH .
（4）aH=bH，即a与b同在一个左陪集中 ó a-1b∈H（或b-1a∈H）。
（5）若aH∩bH≠φ，则aH=bH .对任二陪集来说，要么相等要么无公共元素。
15、循环群的商群也是循环群。
16、（第一同构定理）设ψ是群G到G的一个同态满射，又Kerψ N ◁ G，N=ψ（N），
则G/N ≌ G/N .
17、（第二同构定理）设G是群，又H≤G，N ◁ G .则H∩N ◁ H，并且HN/N≌H/(H∩N) .
18、（第三同构定理）设G是群，又N ◁ G，H≤G/N .则
（1）存在G的惟一子群H N，且H=H/N ；
（2）又当H ◁ G/N时，有惟一的H ◁ G使H=H/N且G/H≌G/N／H/N .
19、设G是一个群，a∈G，则
（1）σa：x —> axa-1 （x∈G）是G的一个自同构，称为G的一个内自同构；
（2）G的全体内自同构作成一个群，称为群G的内自同构群，记为Inn G；
（3）Inn G ◁ Aut G .
20、环R的非空子集S作成子环的充要条件是：
a，b∈S => a - b∈S ， a，b∈S => ab∈S .
21、如果p是素数，则环Zp是一个域；如果n是合数，则环Zn有零因子，从而不是域。
22、（环同态基本定理）设R与R是两个环，且R ~ R . 则
（1）这个同态核N，即零元的全体逆象，是R的一个理想；
（2）R/N ≌R．
23、设P是交换环R的一个理想。则P是R的素理想的充分与必要条件是，商环R/P无
零因子，即为整环。
24、整数环Z的理想N是Z的极大理想，当且仅当N是由素数生成的理想。
25、整环K中的元素一定是不可约元。
26、设K是任意一个惟一分解整环。则p是K的元素当且仅当p是K的不可约元。
27、设K是有单位元的整环。如果
（1）K中每个既不是零又不是单位的元素都可分为不可约元的乘积；
（2）K中的不可约元都是素元；
则K是一个惟一分解整环。
28、Gauss整环Z[ i]是主理想整环。
29、整数环Z是欧氏环。
30、域F上多项式环F[ x]是一个欧氏环。
31、欧氏环必是主理想环，因而是惟一分解整环。（反之不成立）
32、主理想整环是惟一分解整环。（反之不成立）
33、群G中关于子群H的互异的左（或右）陪集的个数，叫做H在G里的指数，记（G：H）.
34、设p∈K .p≠0，且p不是单位。如果p|ab就必有p|a或p|b，则称p是K的一个元素。
35、同态：反身、传递 （不满足对称） ； 同构：反身、传递、对称。

例一、设σ=（14）（235），τ=（153）（24）. 求στσ-1 =？
解：由定理可知：
στσ-1 = （σ（1）σ（5）σ（3））（σ（2）σ（4））
= （425）（24）.

例二、证明：K={（1），（12）（34），（13）（24），（14）（23）} 作成交代群A4 的一个交换子群。这个群（以及与其同构的群）称为Klein（C.L.Klein，1849--1925）四元群。

证 显然K4 中的置换全为偶置换，而且除恒等置换外其余三个置换的阶都是2，而且
其中任二个相乘等于第三个，即K4 对置换的乘法封闭。从而K4 是A4的一个子群，且
显然是一个交换子群。 （证毕）

例三、证明：Z[ i]={a + bi|a，b∈Z } 作成一个有单位元的整环（这个环称为Gauss整环），并
且其单位群是{±1，±i } .

证 Z[ i ]作成有单位元的整环显然。又显然±1，±i均为其单位。下证：Z[ i ]没有别
的单位。
设ε=a + bi 是Z[ i]的任一单位，则有η∈ Z[ i ]使 εη=1，|ε|2|η|2 =1 .
这只有|ε|2 =a2 + b2=1，从而只有a=±1，b=0；或a=0，b=±1 .
即ε只能是±1及±i .
因此，±1和±i是环Z[ i ]的全部单位。故 U（Z[ i ]）={±1，±i } .

例四、在模8剩余类环Z8 中 ，令< 4 >={ 0 , 4 }，< 2 >={0 , 2 ,4 , 6 }，则< 4 >不是Z8的素理想
（因为2·2=4∈< 4 >，但是2∈< 4 >），也不是Z8的极大理想（因为< 4 > < 2 > Z8）.
但是，易知< 2 >既是Z8的素理想也是Z8的极大理想。

例五、设G=< a > 为6阶循环群。给出G的一切生成元和G的所有子群。

解： a，a5 ； ψ（6）=2 .

例六、试求下列各置换的阶：τ1=（1378）（24）；【4】 τ2=（1372）（234）；【6】
τ3= 1 2 3 4 5 6
6 4 1 5 2 3 ；【3】

τ4= 1 2 3 4 5 6 7
5 7 6 3 1 4 2 ；【6】

例七、设τ=（327）（26）（14），σ=（134）（57）. 则
στσ-1 = （13）（2654） ； σ-1τσ =（265）（34） .

三、判断（10’）
1、在环R中，当a不是左零因子时，则 ab =ac ，a≠0 => b=c ； （1）
当a不是右零因子时，则 ba= ca ，a≠0 => b=c . （2）
2、无零因子的交换环称为整环。
3、除环和域没有零因子。
4、Zn中非零元m如果与n互素，则为可逆元；如果不与n互素，则为零因子。
5、欧氏环 主理想整环 惟一分解整环 有单位元整环
6、一个群的两个子群的乘积一般不再是子群。
7、正规子群的正规子群不一定是原群的正规子群。
8、群G的一个正规子群与一个子群的乘积是一个子群，两个正规子群的乘积仍是一个正规子群。
9、理想的理想不一定是原环的理想，亦即理想也不具有传递性。