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《画法几何及工程制图》

讲稿与教案

数理与软件工程学院
绪论
主要内容
课程性质、主要任务、学习目的、学习方法
教学目的
了解本门课程的重要性和学习内容
学时分配
1学时
重点与难点
学习目的、学习方法
教学方式
教学手段
多媒体教学。
其它说明
1.准备两张建筑施工图、零件装配图作为展示用，加深学生对本门课程内容的了解。
2.进入学校主页，点击网络课程，登录eYouCT即可找到“工程图学”网络课程。这是学好本门课程最佳的辅助方式，是工程图学教研室自主研制的网络辅助教学课件。
3.逐一点名，相互沟通，为后续教学互动打下基础。
4.指定课代表。
5. 安排学生到二教一楼制图模型室购买《工程制图基础》教材一套，每套21元；购买绘图仪器，每套21元；领取图板、丁字尺等绘图工具。由班干部、课代表负责统一收齐费用，统一购买、统一领取。
课程名称：画法几何及工程制图。
课程性质：是工科专业的一门技术基础课。
画法几何是研究在平面上用图形表示形体和解决空间几何问题的理论和方法的学科。画法几何是机械制图的投影理论基础，它应用投影的方法研究多面正投影图、轴测图、透视图和标高投影图的绘制原理，其中多面正投影图是主要研究内容。画法几何的内容还包含投影变换、截交线、相贯线和展开图等。
1103年，在中国宋代李诫所著的《营造法式》一书中的建筑图基本上符合几何规则，但在当时尚未形成画法的理论。
1799年，法国数学家蒙日发表了《画法几何》一书，提出用多面正投影图表达空间形体。这为画法几何奠定了理论基础。以后的各国学者又在投影变换、轴测图，以及其他方面不断提出新的理论和方法，使这门学科日趋完善。
我们知道，任何建筑物及其构件的形状、大小和做法，都不是用普通语言或文字能表达清楚的。必须按照一个统一的规定画出它们的图样，作为施工、交流的依据，作为表达设计师构思的手段。因此，工程图样被喻为工程界的语言，是工程技术部门的一项重要的技术文件。
本门课程和工程测量被认为是工程技术人员的两大技能。
主要任务：
1.学习投影法的基本理论和应用；
2.培养学生空间几何问题的图解能力；
3.培养学生的空间想象能力和空间思维能力；
4.认识国标，应用国标；
5.培养学生阅读、绘制工程图样的技能；
6.培养学生的工程意识，养成认真负责的工作态度和一丝不苟的工作作风。
学习方法：
首先要多看、多想、多比划，尽快建立空间概念；
其次要知道本门课程就是从点、到线、到面、再到体，一环扣一环，逐步深入。因此，每一节课、每一章节内容都应该很好地掌握，否则后续章节就无法学习。
再者，就是要勤做练习、快做练习。课后如果不及时完成作业，将会大大降低学习效率。
另外，要用好网络课程。
需要说明的是，学好任何一门课程，都没有捷径可走，都要付出艰辛的努力。
本课程与立体几何的区别与联系：
由于该课程解决的是空间问题，因此立体几何学的好与差，对这门课程肯定有影响。但只要同学们掌握了学习方法，认真刻苦，也是完全可以掌握本学科知识的。《立体几何》是在立体上解决一些平面几何问题，而《画法几何》则是将立体进行投影，在平面上解决空间问题。
第一章 制图的基本规定
主要内容
图幅、标题栏、尺寸、字体、比例的基本规定
教学目的
掌握制图国标，规范制图行为
学时分配
2学时
重点与难点
尺寸标注、比例的概念
教学方式
教学手段
多媒体教学。
学生容易出现的问题
圆弧中半径与直径的标注
作业及思考题
P7～P9所有习题
§1.1 国家标准
为了便于指导生产和进行技术交流，必须对图样的表达方法、尺寸标准、所采用的符号等，制定出统一的规定。这个规定就是国家标准（简称国标）。
国标符号说明：
GB——强制性国家标准
GB/T——推荐性国家标准
GB/Z——指导性国家标准
GBJ——建筑国家标准
具体如：
GB/T 14689-1993——1993年制定的图纸幅面推荐性国家标准；
GB/T 14690-1993——1993年制定的比例推荐性国家标准；
GB/T 14691-1993——1993年制定的字体推荐性国家标准；
GBJ1-1986——房屋建筑制图统一标准。
§1.2 图纸幅面及图框
一、图纸幅面（简称图幅）
图幅——绘图所采用的图纸幅面，是为了合理使用图纸，便于管理，装订而规定的。我们应优先采用下表所列的尺寸（GB/T 14689-1993）。
幅面代号
A0
A1
A2
A3
A4
B*L
841×1189
594×841
420×594
297×420
210×297
e
20
10
c
10
5
a
25
表中尺寸单位为mm。 L（长边）=B（短边）。
A1号幅面为A0号幅面的对裁，A2号幅面为A1号幅面的对裁，依此类推。
图纸有模式和立式两种。A4只用立式。为了缩微复制，需画对中标志。图纸必须按图幅大小裁，且要画图框线。
若有必要，可按国标的规定加长图纸长度。
二、图框格式
图框格式分为不留装订边和留装订边两种格式，但同一套图纸只能采用一种格式。无论哪种格式都可以采用横式布置或立式布置。
不留装订边格式：

(a) 横式

(b) 立式
留装订边格式：

(a) 横式

(b) 立式
§1.3 标题栏、会签栏
图纸的标题栏简称图标，用于对工程名称、施工单位、设计单位、图名、图纸编号、比例、设计者及审核者等主要信息进行说明。
在我们学习阶段，我们建议使用“学生用标题栏”。具体格式和尺寸见教材或多媒体课件。
当设计人员较多时，需要在左侧上方图框线外画出会签栏，分栏数根据需要而定。
§1.4 图线
图形是由图线组成的，为了表示图中不同的内容，便于识图，并且能分清主次，必须使用不同的线型和不同粗细的图线。每种线条则代表不同的用途和意义。
一、图线的型式、宽度及用途
图线有：实线、虚线、点划线、折断线、波浪线等型式。
每种线型有三种不同的线宽。具体见下表：

名称
线 型
线宽
一 般 用 途
实

线
粗

b
主要可见轮廓线
中

0.5b
可见轮廓线
细

0.35b
可见轮廓线、图例线等
虚

线
粗

b
见有关专业制图标准
中

0.5b
不可见轮廓线
细

0.35b
不可见轮廓线、图例线等
点
划
线
粗

b
见有关专业制图标准
中

0.5b
见有关专业制图标准
细

0.35b
中心线、对称线等
双
点
划
线
粗

b
见有关专业制图标准
中

0.5b
见有关专业制图标准
细

0.35b
假想轮廓线、成型前原始轮廓线
折断线

0.35b
断开界线
波浪线

0.35b
断开界线

线宽b是指图线的粗度。它应从0.18、0.25、0.35、0.5、0.7、1.0、1.4、2.0(mm)线宽系列中选用。可以看出:下一级约是上一级的倍。
配套使用的线宽——为线宽组。它应根据图形的复杂程度（线条的密集程度）、绘图比例的大小，按下表所列线宽组选用。

线宽比
线 宽 组（mm）
b
2.0
1.4
1.0
0.7
0.5
0.35
0.5b
1.0
0.7
0.5
0.35
0.25
0.18
0.35b
0.7
0.5
0.35
0.25
0.18

（注：讲清楚合理选用线宽组的重要性）
图纸的图框线、图标线的要求详见P6表1-5。
二、各种线型的画法
（对以下要求举实例进行讲解）
1.b选定后，则同一张图中，同类线型宽度应保持一致。
2.虚线、点划线、双点划线的线段长度和间隔，同类线应保持一致，且起止两端应为线段，而不是点（一横）。
3.点划线、双点划线在较小图形中绘制有困难时，可用细实线代替。当点划线作为轴线或中心线时，应超出图形轮廓2～3mm。
4.虚线、点划线自身相交或与其它图线交接时，均应为线段交接。当虚线为实线的延长线时，应留有间隔。
§1.5 字体
这里的字体是指汉字、数字及符号，其高度尺寸系列为：1.8, 2.5, 3.5, 5, 7, 10, 14, 20mm，而字高即为字体的字号，汉字的最小字号是3.5号。可以看出，字高按的比率递增。
工程图样中的汉字要求使用长仿宋体，并应采用国务院正式公布推行的《汉字简化方案》中规定的简化字，其字高与字宽的比例为1﹕。
一、汉字书写
汉字应打格书写，基本笔画写法如下：

基本要领：
注意起笔运笔收笔 横笔互平竖笔挺直
注意搭配结构匀称 规定字号格内书写
选定字样书写端正 书写笔画粗细一致
单字排列整齐清洁 字组间隔字字均匀
二、数字及字母
数字及字母均可写成直体或斜体（向右倾斜75º较常用）。一般字体笔画宽度为字高的十分之一（窄体字十四分之一，不常用）。
注意：
1.工程图样上书写的汉字，不应小于3.5号，数字及字母不应小于2.5号。
2.当阿拉伯数字、字母或罗马数字同汉字并列书写时，其字高应比汉字小一号。
3.当字母单独用作代号或符号时，不使用I、Z、O三个字母，以免同阿拉伯数字1、2、0相混淆。
4.数字与字母在书写时，无需一一打格，初期绘图可用细实线打上两条字高控制导线。
§1.6 比例
比例——指图形与实物相对应的线性尺寸之比，如1：100，2：1等。1：100的含义就是图纸上1个单位代表实际的100个单位。国标对比例的规定见教材P11。
比值大于1的为放大比例，比值小于1的为缩小比例。
若整张图同一比例，可将其写在标题栏中。若一图纸上各图形比例不同，则应将所用比例注写在图形下方图名的右侧。
图纸上标注的数字均为物体的实际数字，与比例无关。

§1.7 尺寸标注
在工程图中，除了按比例画出物体的形状外，还必须标注各部分的实际尺寸，以便使用。
一个完整的尺寸由尺寸线、尺寸界线、尺寸起止符、尺寸数字等四部分组成。
一、尺寸线：
1、细实线
2、①尺寸线画在两尺寸界线之间，长度不宜超出尺寸界线（新国标）。应与被标注的长度方向平行。
②互相平行的尺寸线，应从被注图样的轮廓线由近向远整齐排列，小尺寸在里，大尺寸在外。
③距图形轮廓线最近的一排尺寸线，它们之间的距离不宜小于10mm。平行排列的尺寸线间距，宜为7—10mm。同一张图纸上，间距大小应保持一致。

图 1
3、轮廓线、轴线、中心线、尺寸界线及它们的延长线，一律不准用来作尺寸线。
二、尺寸界线：
用细实线绘制。
由图形轮廓线，轴线或中心线处引出，但引出端应留有2mm以上间隔，另一端超出尺寸线2～3mm。一般与被注长度垂直。
标准规定的几种特殊情况：
1．必要时，图样轮廓线、中心线可作尺寸界线。
2．标注直径、半径的尺寸界线，由圆弧轮廓线代替。
3．尺寸界线与被注长度不垂直时的画法。
4．标注角度的尺寸界线沿径向引出。
5．标注弧度时的尺寸界线画法。
6．标注轴测图尺寸时，尺寸界线平行于相应的轴测轴。
三、尺寸起止符号：
尺寸线与尺寸界线的相交点是尺寸的起止点。在起止点上必须画出尺寸起止符号。国标规定有三种型式：⑴45º中粗斜短线；⑵尺寸箭头；⑶小圆点。
1、在建筑图中，图样上的线性尺寸常用45º角中粗斜短线，其线型为中粗，倾斜方向与尺寸界线成顺时针45º角，长度为2-3mm，两端伸出长度各为一半。图1-19（a）。
2、在机械图中，必须用箭头表示。在土建图中，标注直径、半径、角度、弧长等，起止符用箭头表示。图1-19（b）。

图 2
3、当相邻尺寸界线间隔很小时，起止符采用小圆点。在轴测图上，规定线性尺寸起止符用小圆点表示。图1-19（c）。

图 3
四、尺寸数字：
(采用3.5号字注写。)
一般标准规定，见书P14。
注意：
1、写数字前先在尺寸线上方或左方打好字高的上下稿线，字底的下稿线距尺寸线0.5mm。
2、标注水平尺寸时，无论是在图形上方或下方，数字均应注在尺寸线上方，字头向上。
3、标注竖直尺寸时，无论是在图形右侧或左侧，数字均应注在尺寸线左侧，字头向左。
五、尺寸的排列：
见书P15。图1-23、图1-24。
六、半径、直径、球及角度、弧长、弦长的尺寸标注。

第二章 制图的基本技能
主要内容
绘图工具与仪器、几何作图、绘图方法
教学目的
培养学生基本绘图技能
学时分配
3学时（其中学生课内绘图2学时）
重点与难点
平面图形尺寸分析、绘图方法
教学方式
教学手段
普通教学。
学生容易出现的问题
定型、定位、总体尺寸的区别与联系
绘制第一张图时的布图
作业及思考题
P10～P12所有习题
绘图 T01 基本练习(A3)
其它说明
因在普通教室上课，故将此讲课与下一讲对调

§ 2.1 绘图仪器、工具及其使用方法
图板、丁字尺、三角板、图板、比例尺、擦图片、曲线板、圆规、分规、点圆规、鸭嘴笔、接长杆等绘图仪器和工具的使用。
重点关注比例尺和铅笔：

比例尺——把实际尺寸，按比例缩小或放大。
比例尺上刻有不同的比例，可直接在图纸上量取物体的实际尺寸。
常用比例尺有：
百分比例尺： 1:100、1:200、1:250、1:300、1:400、1:500。
千分比例尺：1:1000、1:1250、1:1500、1:2000、1:2500、1:5000。
比例尺上刻注数字单位为米。
应注意：比例尺只能用来量度尺寸，不能用来画线。
铅笔
B——软。 H——硬。 常用3H、2H、HB、B。
削铅笔时，保留符号。削成锥形或铲形。
铅芯露出6-8mm。其余25-30mm。
使用铅笔时，用力要均匀，长线应一边画一边旋转铅笔。

图 4
§2.2 几何作图
（作简要提示，安排自学）
一、几种基本作图
（一） 平行线。
（二） 垂直线。
（三） 平分线段。
（四） 等分线段。
（五） 分线段成定比。
（六） 线段的斜度和锥度。
二、多边形
三、圆弧连接
直线与圆弧或圆弧与圆弧的光滑连接——相切。连接点就是切点。
⒈直线与圆弧连接。
⒉直线与两圆弧连接。
⒊圆弧与两直线连接。
⒋圆弧与直线及圆弧连接。
⒌圆弧与两圆弧连接。
§2.3 平面图形的尺寸分析及图画步骤
一、尺寸分析
按作用分：定形、定位尺寸。由于各几何图形和线段间的相对位置关系，在标尺寸时，须引入尺寸基准。
（一）尺寸基准
尺寸基准是标注尺寸的出发点，常用的基准是对称图形的中心线，较大图的轴线，较长的水平或竖直线。
（二）定形尺寸
定形尺寸——确定形状和大小的尺寸。
（三）定位尺寸
定位尺寸——确定相对位置的尺寸。
二、线段分析
（一） 已知线段
定形定位尺寸已知。
（二） 中间线段
定形尺寸已知，定位尺寸只知一个方向。
（三） 连接线段
只知定形尺寸。
三、绘图步骤、方法
（简单讲解，自学）
§2.4 绘图的方法和步骤
（自学）
一、用仪器画图
1.绘图前的准备工作：
⑴、牢记国标。了解所绘图样的内容和要求。
⑵、准备好绘图所用的所有仪器、工具。
⑶、固定图纸。
2.画底稿：
⑴、用2H铅笔画底稿。先画图框、标题栏，定出比例，再根据图形及尺寸标注所需范围，自行布置，使各个图形匀称，布置在图幅内。
⑵、先画图形的对称轴线，中心线和主要图线，再画各个细部，最后画尺寸界线和尺寸线。将图中应写的字先轻轻打出格子。（底稿上的虚线、点划线段及间隔长度要合乎标准。）
⑶、底稿画完后，检查，擦去不必要的线条。
3.描深：
（图纸上垫上干净的稿纸，保持图纸干净。）
用HB或B铅笔，对细实线、点划线用H或2H。
加深次序为：先曲后直、先实后虚、先粗后细。
加深完后再写数字和文字。
二、描图和复制
描图笔、描图纸，描图顺序与铅笔描深的顺序相同。（兰图）
三、徒手作图
实际工作中，如选择或配置视图，建筑或机械上的局部修改或修理，调研中收集资料等。往往需徒手作图。（基本技能。）
徒手作图（画草图）。特点：图纸不必固定，目测实物，遵从投影关系。
效果：图纸尽量符合标准，比例恰当，完整清晰。
要画好草图：掌握技巧，勤学苦练。
技巧：P22-P23。

第三章 投影理论及点的投影
主要内容
点在二面、三面投影体系中的投影
投影变换概念及点的投影变换
教学目的
掌握投影规律
学时分配
2学时
重点与难点
重点：点在三面投影体系中的投影
难点：点在四个分角中的投影
教学方式
教学手段
多媒体教学。
学生容易出现的问题
1. 对特殊点，如：OY轴上的点、水平投影面上的点、册立投影面上的点，其侧投影应在OYH上，还是在OYW上。
2. 换面法中坐标关系。
作业及思考题
P151～P153所有习题

其它说明

§3.1 投影（projection）概念
在日常生活中，常见到投影的现象。例如，在电灯与桌面间放一块三角板，则在桌面上会出现三角板的影子。在阳光的照射下，地面上会出现人、树，以及各种建筑物的影子。这些现象就是投影的现象。
投影中心(center of projection）──点光源S。
投射线（投影线）──投下影子的光线。从投影中心发出的射线。
投影面（projection plane）──获得投影的平面。
投影（projection）──通过投射线将物体投射到投影面上所得到的图形。
投影法（projection method）──由投影中心或投射线把物体投射到投影面上，从而得出其投影的方法。
投影法有中心投影（central projection）和平行投影（paralell projection）两种。

一、中心投影法：
投影线在有限远处相交于一点（投影中心）的投影法称为中心投影法。所得投影称为中心投影。
如人的视觉、照相、放电影等，具有中心投影的性质。主要应用于绘制建筑物富有逼真感的立体图，也称透视图。

二、平行投影法
投影线在有限远处相交于一点（投影中心）的投影法称为平行投影法。所得投影称为平行投影。
正投影法──投射线⊥投影面。
平行投影法
斜投影法──投射线倾斜于投影面。

(a)斜投影法 (b)斜投影法
平行投影法

工程制图中多采用平行投影法，尤其是正投影法。
三、平行投影的基本特性
1）同素性
一般情况下点的投影仍为点，线段的投影仍为线段。
2）从属性
点在线段上，则点的投影一定在该线段的同面投影上。点M在线段AB上，那么点M的投影m也一定在线段AB的投影ɑb上。

同素性 从属性和定比关系

3）平行性
空间两直线平行，其同面投影亦平行。空间直线AB∥CD，其投影ɑb∥cd。

4）定比性
点分线段之比，投影后保持不变。即AM∶MB=ɑm∶ mb，上图所示。
空间两平行线之比，等于其投影之比。
5）积聚性
当直线或平面平行于投影方向时，则直线的投影积聚为点，平面的投影积聚为直线，称积聚性。
6）实形性（度量性或可量性）
当直线或平面平行于投影面时，则直线的投影反映实长，平面的投影反映实形。
7）类似性
平行投影的积聚性 平行投影的实形性  平行投影的类似性
直线或平面图形倾斜于投影面时，直线的投影变短了；而平面图形变成小于原图形的类似形，称类似性。
四、 工程上常用的几种投影图
1.多面正投影图：
优点：作图方便，便于度量，应用最广。
缺点：直观性不强，缺乏投影知识的人不易看懂。
2.轴测投影图：
平行投影的一种。只需一个投影面，同时反映空间形体的三维。
优点：直观性强。在一定条件下也能直接度量。
缺点：绘制较费时。表示物体形状不完全。一般作正投影图的辅助图样。

3.透视投影图：
优点：图形十分逼真。
缺点：不能度量，绘制复杂。
4.标高投影图：
正投影的一种。主要用来表示地形。
采用地面等高线的水平投影，并在上面标注出高度的图示法。

§3.2 点的二面投影（two-plane projection of point）
一、二面投影体系的建立及点的二面投影
点是形体最基本的元素。在几何学中无大小、薄厚、宽窄，只占有位置。空间点用大写字母表示，投影点用小写字母表示。

图 2
设立一个投影面P，则A1、 A2、 A3点在投影面P上的正投影是唯一的。但反过来，若知道了点的一个投影，却不能确定点的空间位置（缺少一个坐标）。因此要确定一个点的空间位置，只有一个投影是不够的。
现设立两个互相垂直的投影面正立投影面V（也称正面或V面）、水平投影面H（也称水平面或H面），从而构成二投影面体系。V面和H面的交线OX称为投影轴。
A点的在V面上的投影称为A点的正面投影或A点的正投影、A点的V投影，用a’表示。
A点的在H面上的投影称为A点的水平投影或A点的H投影，用a表示。

图 3
我们需要把这种空间关系在一种图纸上（一个平面上）表达出来。保持V面不动，H面绕OX轴向下旋转90º直至与V面重合，从而得到点的二面投影图。为简便起见，投影图中投影面的边框不必画出。
在点的二面投影体系中，X、Y、Z三个坐标均能体现，故点的二面投影就唯一确立了点在空间的相对位置（相对二面投影体系）。

图4
容易得出点在二面投影体系中的投影规律：
⒈点的两投影的连线⊥投影轴。证明。
⒉投影点到投影轴的距离，反映该空间点到另一投影面的距离。
二、点在四个象角中的投影
平面本身是可以无限延长的，因此就有上V面、下V面、前H面和后H面，它们把空间分为四个部分──四个象限或象角。分别用Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ标记。
画投影图时仍然保持V面不动，前H面向下旋转与下V重合，后H面向上旋转与上V重合，只画OX轴，不必注投影面标记，也不用画边框。

⒈在四个象角内的点。
（1） A点在Ⅰ象角内。其正面投影a’在OX轴上方，水平投影a在OX轴下方。
（2） B点在Ⅱ象角内。H面之上，V面之后。正投影b’在OX轴上方，水平投影b也在OX轴上方。
（3） C点在第Ⅲ象角内。其正投影c’在OX下方，水平投影c在OX上方。
（4） D点在Ⅳ象角内。其二投影d、d’都在OX轴上方。
⒉在投影面上、投影轴上的点。

3.综上所述，从投影图中点的投影与OX轴的相对位置，可判断空间点在投影面体系中所处位置，反之亦然。
（1） 在投影图中，点的水平投影位于OX轴下方，则该点必位于V面之前；反之则在V面之后。
（2） 点的正面投影位于OX轴上方，则该点必位于H面之上；反之则在H面之下。
（3） 若点有一个投影位于OX轴上，则该点必在投影面上。
§3.3 三投影面体系及点的三投影

由两投影面体系，能否唯一确定形体的形状和大小呢？不一定！
举例如下：如图，根据这一V-H两面投影可同时做出立方体、三棱柱和四分之一圆柱等。因此需设立三投影面体系。

一、三投影面体系：
设立一个同时垂直于H面和V面的第三投影面W面──侧立投影面（也称侧面或W面）。
H面与W面交于OY轴。V与W交于OZ投影轴。三投影轴交点为原点，以O标记。

与两投影面体系一样，在三投影面体系中，投影面展开时，保持V面不动，假想将OY轴剪开，H面绕OX轴向下旋转与V面重合，W面绕OZ轴向右旋转与V面重合。而OY轴展开后分为两条，在H面上的标为OYH，在W面上的标为OYW 。

二、点的三投影：
将A点向W面投影，其投影称为A点的侧面投影或侧投影、W投影，用a”标记。
点在三面投影体系中，投影规律不变。
(1) 点的投影连线⊥投影轴。
(2) 投影点到投影轴之距=空间点到另一个投影面之距。
注：“长对正，高平齐，宽相等。”
三、由点的两个投影作第三个投影
已知点A的两投影a、a’，作出其第三投影a”

已知点的正面投影和其侧面投影，求其水平投影
已知点的水平投影和侧面投影，求作正面投影

四、点的三面投影与直角坐标的关系
XA=aay＝a＇az＝axO＝Aa＇＇，是空间点A到W面的距离。
YA=aax＝a＇＇az＝ayO=Aa＇，是空间点A到V面的距离。
ZA=a＇ax＝a＇＇ay＝azO=Aa，是空间点A到H面的距离。

例3 已知空间点D的坐标（20，15，10）,试作其投影图。

五、特殊位置点的投影
举例一一讲解。
§3.4 两点的相对位置
一、一般情况
空间两个点具有前后、左右、上下位置关系。

二、特殊情况
重影点：当空间两点的连线⊥某个投影面时，它们在该面上的投影重合。
由于重影，有可见与不可见问题， 不可见用（）将投影括起来。

注意:重影点是相对于投影面而言的
例 1：已知点A的两投影ɑ和ɑ′，以及点B在点A的右方10mm、上方8mm、前方6mm，试确定点B的投影。

例2 ：已知A、B、C、D的投影图，判断其相对位置

§3.5 投影变换（projection transformation）概述及点的投影变换
一、概述
投影变换就是通过改变空间几何元素对投影面的相对位置，从而简化求解问题的一种方法。
1、 投影变换的方法
（1） 旋转法——投影体系不动而转动空间几何要素。
（2） 换面法——保持空间几何要素位置不动,设立新的投影面代替旧的投影面,使新投影面处于有利于解题的位置,求出新投影的方法。
本课程仅介绍换面法。
2、 建立新投影面的原则
①新设立投影面必须⊥保留投影面，以组成新的正投影面体系，利用正投影规律作图。
②新投影面对几何元素必须处于有利于图解的位置。如平行或垂直等。
3、投影面的展开

二、 点的换面
在V1/H中，A(a1＇,a)符合点的投影规律，所以将V1展开与H面共面，a1＇a⊥O1X1
且a1＇→O1X1=A→H=a＇→OX=ZA即
〈1〉 新投影和保留投影的连线垂直于新轴；
〈2〉 新投影到新轴的距离等于被代替的旧投影到旧轴的距离。
举例讲解点的一次、二次、三次换面。

第四章 直线的投影
主要内容
一般位置线、特殊位置线的投影、两直线的相对位置
直角三角形法、换面法
学时分配
4学时
重点与难点
重点：直角三角形法、换面法、
难点：垂直问题
教学方式
教学手段
多媒体教学与普通教学相结合。
学生容易出现的问题
直线对投影面的倾角的真正含义；
把长度的投影规律应用在角度的投影上
作业及思考题
P155～P158所有习题

其它说明

§4.1 直线的投影（projection of line）
直线的投影一般情况下仍为直线。

两点决定一条直线，确定了直线上两点的投影也就确定了直线的投影。即直线上两点的同面投影的连线就是直线的投影。
§4.2 一般位置线
一、 投影特性

一般位置线——与三个投影面既不垂直也不平行的直线。
不具有积聚性和度量性，而且各个投影与投影轴的夹角不能反映直线对投影面的倾角α、β、γ。
对于一般位置线，我们主要解决其实长和倾角。所采用的方法有两种：直角三角形法、换面法。
二、直角三角形法

直角三角形中四个要素：知二求二
例1 、已知ab、a＇，且α=30°,求a＇b＇。
例2、已知E(e,e＇),求作直线EF实长为30mm且F点在Z轴上
例3 、已知AB两点，在H 面上求作一点C，使得αAC=30°，αBC=45°。
§4.3 特殊位置线
一、投影面平行线（parellel line）
水平线（horizontal line）

α=0，β=实长投影与OX轴的夹角、γ=实长投影与OYH的夹角。
正平线（frontal line）

α=实长投影与OX轴的夹角，β=0、γ=实长投影与OZ的夹角。
侧平线（profile line）
α=实长投影与OYW轴的夹角，β=实长投影与OZ的夹角、γ=0。
二、投影面垂直线（perpendicular line）
正垂线（horizontal-profile line）

α=0º，β=90º，γ=0º。

铅垂线（vertical line）

α=90º，β=0º，γ=0º。
侧垂线（frontal horizontal line）
α=0º，β=0º，γ=90º。
§4.4 直线上的点
一、 直线上的点（从属性、定比性）

求做直线上的点：点在直线上 ，点的投影在直线的同名投影上。
判断：对于一般位置线，点的投影在直线的同名投影上，则点在直线上 。对于特殊位置线，视给定的投影，还需应用定比性。如：给出正面与水平投影的侧平线、给出正面、侧面投影的水平线、给出水平、侧面投影的正平线等。
定比分点：做法。

例1、 已知侧平线AB的两投影和直线上S点的正面投影s＇，求其水平投影s.

例2、 已知直线AB的水平投影ab和A点的正面投影a＇，且AB=20mm，试求直线AB的正面投影a＇b＇；在直线AB上取一点C，使AC=15mm，求C点的两投影。

§4.5 两直线的相对位置
平行（parallel）、相交（intersection）、交叉（skew）
1. 两直线平行

求做：两直线平行，其同名投影均平行
判断：对一般位置线，两直线同名投影都平行，则两直线平行。特殊位置线还需应用定比法或作第三投影。
应用：（1）过直线外一点求作直线平行于已知直线
（2）根据两直线投影判断它们在空间是否平行？
例4、给定两条侧平线的正面投影和水平投影，判断之

2. 两直线相交
两直线相交，其同名投影必相交，且投影的交点正是空间同一点的投影（即符合点的投影规律）。判断时，若其中一条线为特殊位置线，视情况还需应用定比法或作第三投影。

例5 如图，AB为一般位置直线、CD为侧平线，试判别这两条直线是否相交？

3．两直线交叉
重影点的确定与判别。
4. 相交、交叉的特殊情况——垂直

直角定理：二直线垂直相交（或交叉），其中有一条直线为投影面平行线，则二直线在所平行的投影面上的投影仍垂直。
直角定理逆定理：二直线之一为某投影面平行线，且二直线在该投影面上的投影垂直，则空间两直线垂直。

下列直线互相垂直：

下列直线互相不垂直：

例6 已知矩形ABCD的边AB为水平线，试完成图中矩形的两面投影。

例7求作交叉二直线（其中之一为垂直线）的公垂线。

例8完成等腰直角三角形ABC的两面投影（直角边BC在水平线MN上）。

§4.6 直线的换面（详细讲解直线的一次、二次、三次换面。）
1． 把一般位置直线变换为投影面的平行线
可以求出直线的实长和倾角。

求直线的实长和倾角β

求直线的实长和а角
2． 把投影面平行线变换为投影面垂直线
主要解决于直线有关的度量问题（两直线间的距离）和定位问题（求线面交点）。

图6—10 将正平线变为投影面垂直线
3．直线的二次换面
把一般位置直线变换成投影面的垂直线，只经过一次换面是不能实现的，因为垂直于一般位置直线的平面是一般位置平面，它与原来的两个投影面均不垂直，不能构成正投影体系，所以必须经过两次换面。第一次，将一般位置直线变换为新投影体系中的投影面平行线；第二次，将投影面平行线变换成另一投影体系中的投影面垂直线。

图

§4.7直线的迹点

直线与投影面的交点称为直线的迹点。
M____ 水平迹点
N—— 正面迹点
S—— 侧面迹点
特性：1，迹点是直线上的点，迹点的投影必在直线的同面投影上。
2，迹点是投影面上的点，故迹点的一个投影必在投影轴上。
因此：直线的投影和投影轴的交点就是直线相应迹点的一个投影，另一投影可根据直线上的点的投影规律作出。

第五章 平面的投影
主要内容
平面的投影、平面上的点和线
最大斜度线、平面的换面
学时分配
4学时
重点与难点
重点：最大斜度线、换面法、
难点：最大斜度线
教学方式
教学手段
多媒体教学与普通教学相结合。
学生容易出现的问题
不能正确理解最大斜度线的真正含义；

作业及思考题
P159～P162所有习题

其它说明

§5.1 平面的表示
1．用平面的几何元素的投影表示

1、 三点 A、B、C——a、b、c,　a＇、b＇、c＇,a＇＇、b＇＇、c＇＇
2、 一点一直线——AB、C
3、 相交二直线——AB、AC
4、 平行二直线——AB与CD
5、 平面图形ABC
2．用迹线（trace）来表示平面
（1）迹线的概念

空间平面与投影面的交线，称为平面的迹线。
水平迹线——PH（horizontal trace）
正面迹线——PV（frontal trace）
侧面迹线——PW（profile tr