2023年高一万有引力知识点经典习题带答案.doc

开普勒第一定律：开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。开普勒第二定律开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的相等的面积。（近日点的速度大于远日点的速度）开普勒第三定律开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。32akT 万有引力定律万有引力定律：自然界中任何两个物体都互相吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量1m和2m的乘积成正比、与它们之间距离 r 的二次方成反比，即 122m mFGr G 是比例系数，叫引力常量，合用于任何两个物体。G=6.6710-11 Nm2/kg2（英国物理学家卡文迪许在实验室准确地测出来的）若是两个均匀的球体,r 应是两球心间距.（物体的尺寸比两物体的距离 r 小得多时，可以当作质点）万有引力定律的应用万有引力定律的应用：一 计算中心天体质量 M 万有引力=向心力 (一个天体绕另一个天体作圆周运动时)1.应用万有引力定律计算地球的质量：若不考虑地球自转的影响，地面上质量为 m 的物体所受重力 mg 等于地球对物体的引力，即 2MmmgGR（M 是地球的质量，R 是地球的半径），由此得出：2gRMG 2.应用万有引力定律还可以计算太阳的质量 行星绕太阳做匀速圆周运动的向心力是由它们之间的万有引力提供的，所以 22MmGmrr 由于行星运动的角速度不能直接测出，但可以测出它的公转周期 T。由2T 代入得 2224MmmrGrT 从中求出太阳的质量2324rMGT 同理，假如已知卫星绕行星运动的周期和卫星与行星之间的距离，也可以计算行星的质量。二 天体表面重力加速度 g 重力=万有引力 地面物体的重力加速度：g=9.8m/s2 高空物体的重力加速度：g 9.8m/s2 宇宙航行：1.第一宇宙速度第一宇宙速度-在地球表面附近(轨道半径可视为地球半径)绕地球作圆周运动的卫星的线速度,在所有圆周运动的卫星中线速度是最大的。由22mvMmGrr得到GMvr，v=7.9km/s 2.在地面附近发射飞行器，假如速度大于 7.9km/s，而小于 11.2km/s，它绕地球运动的轨迹就不是圆而是椭圆。当物体的速度等于或大于 11.2km/s 时，它就会克服地球的引力，永远离开地球。我们把 11.2km/s 叫做第二宇宙速度第二宇宙速度。3.达成第二宇宙速度的物体还受到太阳的引力。在地面附近发射一个物体，要使物体挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系外，必须使它的速度大于或等于16.7km/s，这个速度叫第三宇宙速度第三宇宙速度。高一物理第六章万有引力定律测试题 一、选择题 1下列几组数据中能算出地球质量的是（万有引力常量 G 是已知的）（）A.地球绕太阳运营的周期 T 和地球中心离太阳中心的距离 r B.月球绕地球运营的周期 T 和地球的半径 r C.月球绕地球运动的角速度和月球中心离地球中心的距离 r D.月球绕地球运动的周期 T 和轨道半径 r 2某人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，假如它的轨道半径增长到本来的 n 倍后，仍可以绕地球做匀速圆周运动，则：（）A根据vrw=，可知卫星运动的线速度将增大到本来的 n 倍。B根据2mvFr=，可知卫星受到的向心力将减小到本来的n1倍。C根据2GMmFr=，可知地球给卫星提供的向心力将减小到本来的21n倍。D根据22GMmmvrr=，可知卫星运动的线速度将减小到本来的n1倍。3关于第一宇宙速度，下列说法对的的是（）A、它是人造地球卫星绕地球飞行的最小速度 B、它是近地圆形轨道上人造地球卫星的运营速度 C、它是能使卫星进入近地圆形轨道的最小发射速度 D、它是人造地球卫星绕地球飞行的最大围绕速度 4可以发射这样的一颗人造卫星，使其圆轨道（）A.与地球表面上某一纬线（不涉及赤道）是共面同心圆。B.与地球表面上某一经线（不涉及赤道）是共面同心圆。C.与地球表面上赤道线是共面同心圆，卫星相对地面是静止的。D.与地球表面上赤道线是共面同心圆，卫星相对地面是运动的。5宇航员在月球上做自由落体实验，将某物体由距月球表面高 h 处释放，经时间 t 后落到月球表面（设月球半径为 R）.据上述信息推断，飞船在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动所必须具有的速率为（）A.tRh2 B.tRh2 C.tRh D.tRh2 6有一宇宙飞船到了某行星上(该行星没有自转运动)，以速度v接近行星表面匀速飞行，测出运动的周期为T，已知引力常量为G，则可得 ()A该行星的半径为vT2 B该行星的平均密度为3GT2 C无法测出该行星的质量 D该行星表面的重力加速度为2vT 7两颗人造卫星 A、B 绕地球做圆周运动，周期之比为 TA:TB=1:8，则轨道半径之比和运动速率之比分别为（）A.RA:RB=4:1 VA:VB=1:2 B.RA:RB=4:1 VA:VB=2:1 C.RA:RB=1:4 VA:VB=2:1 D.RA:RB=1:4 VA:VB=1:2 8据报道，我国数据中继卫星“天链一号 01 星”于 2023 年 4 月 25 日在西昌卫星发射中心发射升空，通过 4 次变轨控制后，于 5 月 1 日成功定点在东经 77赤道上空的同步轨道关于成功定点后的“天链一号 01 星”，下列说法对的的是 A运营速度大于 7.9 km/s B离地面高度一定，相对地面静止 C绕地球运营的角速度比月球绕地球运营的角速度大 D向心加速度与静止在赤道上物体的向心加速度大小相等 9.发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道 1，然后经点火，使其沿椭圆轨道 2运营，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道 3。轨道 1、2 相切于Q点。轨道 2、3 相切于P点（如图），则当卫星分别在 1，2，3，轨道上正常运营时，以下说法对的的是（）A卫星在轨道 3 上的速率大于在轨道上的速率 B卫星在轨道 3 上的角速度小于在轨道上的角速度 C卫星在轨道 1 上通过Q点时的加速度大于它在轨道 2 上经 过Q点时的加速度 D卫星在轨道 2 上通过P点时的加速度等于它在轨道 3 上通过P点时的加速度 10设同步卫星离地心的距离为r，运营速率为v1，加速度为a1；地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a2，第一宇宙速度为v2，地球的半径为R，则下列比值对的的是 （）A21vv=rR B21aa=Rr C21aa=22rR D21vv=rR 二、填空题（共 4 分,每题 8 分）11火星的质量是地球质量的110，火星半径是地球半径的12，地球的第一宇宙速度是7.9km/s，则火星的第一宇宙速度为_。12已知地球的半径为 R，自传角速度为，地球表面处的重力加速度为 g，在赤道上空一颗相对地面静止的同步卫星离开地面的高度 h=（用以上三个量表达）。三、计算题(共 35 分，解答应写出必要的文字说明、方程式和重要环节，只写出最后答案的不能得分.有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位）。13.（12 分）两个靠得很近的天体，离其它天体非常遥远，它们以其连线上某一点 O 为圆心各自做匀速圆周运动，两者的距离保持不变，科学家把这样的两个天体称为“双星”，如图 642 所示。已知双星的质量为1m和2m，它们之间的距离为L。求双星运营轨道半径1r和2r，以及运营的周期T。1m 2m o 14.（15 分）宇航员站在一星球表面上的某高处，以初速度0v沿水平方向抛出一个小球，通过时间 t，球落到星球表面，小球落地时的速度大小为v。已知该星球的半径为 R，引力常量为 G，求：（1）小球落地时竖直方向的速度yv（2）该星球的质量 M（3）若该星球有一颗卫星，贴着该星球的表面做匀速圆周运动，求该卫星的周期 T 15（15 分）如图所示，A是地球的同步卫星，另一卫星B的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度为h，已知地球半径为R，地球自转角速度为0，地球表面的重力加速度为g，O为地球中心（1）求卫星B的运营周期；（2）假如卫星B绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A、B两卫星相距最近（O、B、A在同一直线上），则至少通过多长时间，它们再一次相距最近？A B O h 高一物理万有引力定律答案 一、选择题 1.解析：已知地球绕太阳运营的周期和地球的轨道半径只能求出太阳的质量，而不能求出地球的质量，所以 A 项不对已知月球绕地球运营的周期和地球的半径，不知道月球绕地球的轨道半径，所以不能求地球的质量，所以 B 项不对已知月球绕地球运动的角速度和轨道半径，由22MmGmrrw=可以求出中心天体地球的质量，所以 C 项对的由2224MmGmrrTp=求得地球质量为2324rMGTp=，所以 D 项对的 答案：D 2CD 3.BCD 解析：第一宇宙速度是从地球表面发射人造地球卫星的最小发射速度，是人造地球卫星绕地球飞行的最大围绕速度，也是近地圆形轨道上人造地球卫星的运营速度所以BCD 对的 4.解析：卫星在圆轨道上绕地球运营时，一个最明显的特点是轨道的圆心是地心，而万有引力总是地心与卫星连线方向上的，所以卫星轨道平面必过地心。A 是错的。卫星通过南北极上空，某时刻在某一经线上，由于地球的自转下一时刻卫星将不在本来的经线上，B是错的。C、D是对的的。答案：CD 5.B 解析：物体自由落体运动，设地球表面重力加速度为 g，212hgt=,22hgt=，飞船做匀速圆周运动，则2mvmgR=，2ghvgRt=.所以 B 选项对的.6.解析：由T2Rv可得：RvT2，A 对的；由GMmR2mv2R可得：Mv3T2G，C 错误；由 M43R3 得：3GT2，B 对的；由GMmR2mg 得：g2vT，D 对的 答案：ABD 7.解析：由234rTGMp=可得卫星的运动周期与轨道半径的立方的平方根成正比，由TA:TB=1:8 可得轨道半径 RA:RB=1:4，然后再由GMvr=得线速度 VA:VB=2:1。所以对的答案为 C 项 答案：C 8.解析：由万有引力提供向心力得：GMmr2mv2r，vGMr，即线速度v随轨道半径 r的增大而减小，v7.9 km/s 为第一宇宙速度，即围绕地球表面运营的速度；因同步卫星轨道半径比地球半径大很多，因此其线速度应小于 7.9 km/s，故 A 错；因同步卫星与地球自转同步，即 T、相同，因此其相对地面静止，由公式 GMmRh2m(Rh)2得：h3GM2R，因 G、M、R 均为定值，因此h一定为定值，故 B 对；因同步卫星周期T同24 小时，月球绕地球转动周期T月27 天，即 T同T月，由公式 2T得 同月，故 C 对；同步卫星与静止在赤道上的物体具有共同的角速度，由公式 a向r2，可得：a同a物RhR，因轨道半径不同，故其向心加速度不同，D 错误 答案：BC 9.BD 10B 解析：地球同步卫星的角速度和地球赤道上的物体随地球自转的角速度相同，由2arw=,2aRw=可得，21aa=Rr，B 项对的；对于地球同步卫星和以第一宇宙速度运动的近地卫星，由万有引力提供加速度，即212vGMmmrr=，222vGMmmRR=得21vv=rR，D 项对的。二、填空题 11.3.53km/s 12.解析：设地球质量为 M，卫星的质量为 m，则有 22()()MmGmRhRhw=+在地球表面，有2GMgR=联立以上两式得232gRhRw=-答案：232gRhRw=-三、计算题 13.(16 分)2112m Lrmm=+1212m Lrmm=+,234LTGMp=解析:如图，设双星中质量为1m的天体轨道半径为1r，质量为1m的天体轨道半径为2r 据万有引力定律和牛顿第二定律，得：212112m mGmrLw=212222m mGmrLw=12rrL+=由联立解得：2112m Lrmm=+1212m Lrmm=+再由：21211224m mGmrLTp=得运营的周期234LTGMp=14.解析：（1）小球做平抛运动，则落地时水平速度为0v，则220yvvv=-（2）小球竖直方向上，yvgt=则220yvvvgtt-=星球表面有2MmGmgR=则2220RvvMGt-=（3）星体表面224mgmRTp=1m 2m o 解得2202RtTvvp=-答案：（1）220yvvv=-（2）2220RvvMGt-=（3）2202RtTvvp=-15解析：（1）设地球质量为 M，卫星质量为 m，根据万有引力和牛顿运动定律，有：2224()()BMmGmRhRhTp=+在地球表面有：2MmGmgR=联立得：32()2BRhTgRp+=（2）它们再一次相距最近时，一定是B比A多转了一圈，有：02Bttwwp-=其中2BBTpw=得：2032()tgRRhpw=-+万有引力测试题真情奉献真情奉献 一、共一、共 1010 小题；每小题小题；每小题 4 4 分，共分，共 4040 分。在每小题给出的四个选项中，有的小题只有一个分。在每小题给出的四个选项中，有的小题只有一个选项选项对的，有的小题有多个选项对的。所有选对的得对的，有的小题有多个选项对的。所有选对的得 4 4 分，选不全的得分，选不全的得 2 2 分，选错或不选分，选错或不选的得的得 0 0 分。分。1.若人造卫星绕地球做匀速圆周运动，则下列说法中对的的是 （）（A）卫星的轨道半径越大，它的运营速度越大（B）卫星的轨道半径越大，它的运营速度越小（C）卫星的质量一定期，轨道半径越大，它需要的向心力越大（D）卫星的质量一定期，轨道半径越大，它需要的向心力越小 2.可以发射这样一颗人造地球卫星，使其圆轨道 （）（A）与地球表面上某一纬度线（非赤道）是共面同心圆（B）与地球表面上某一经度线所决定的圆是共面同心圆（C）与地球表面上的赤道线是共面同心圆，且卫星相对地球表面是静止的（D）与地球表面上的赤道线是共面同心圆，但卫星相对地球表面是运动的 3.对于人造地球卫星，可以判断（）（A）根据gRv，围绕速度随 R的增大而增大（B）根据rv，当 R增大到本来的两倍时，卫星的角速度减小为本来的一半（C）根据2RGMmF，当 R增大到本来的两倍时，卫星需要的向心力减小为本来的41（D）根据RmvF2，当 R增大到本来的两倍时，卫星需要的向心力减小为本来的21 4.甲、乙两个做匀速圆周运动的卫星，角速度和线速度分别为1、2和 v1、v2，假如它们的轨道半径之比 R1:R2=1:2，则下列说法中对的的是（）（A）1:22:21（B）1:2=2:1（C）1:2:21vv （D）2:1:21vv 5.火星有两颗卫星，分别是火卫一和火卫二，他们的轨道近似为圆。已知火卫一的周期为7 小时 39 分，火卫二的周期为 30小时 18分，则两颗卫星相比 （）（A）火卫一距火星表面较近（B）火卫二的角速度较大（C）火卫一的运动速度较大（D）火卫二的加向心速度较大 6.2023年 1月国务院正式批准绕月探测工程，第一颗绕月卫星被命名为“嫦娥一号”，为月球探测后续工程积累经验。当宇宙飞船到了月球上空先以速度 v 绕月球作圆周运动，为了使飞船较安全的落在月球上的 B点，在轨道 A 点点燃火箭发动器作出短时间的发动，向外喷射高温燃气，喷气的方向为 （）（A）与 v的方向一致（B）与 v的方向相反（C）垂直 v的方向向右 V B A 飞船（D）垂直 v的方向向左 7.在圆轨道上质量为 m 的人造地球卫星，它到地面的距离等于地球半径 R，地面上的重力加速度为 g，则 （）（A）卫星运动的速度为Rg2（B）卫星运动的周期为gR24（C）卫星运动的加速度为g21（D）卫星的动能为mRg41 8.启动卫星的发动机使其速度加大，待它运动到距离地面的高度比本来大的位置，再定位使它绕地球做匀速圆周运动成为另一轨道的卫星，该卫星后一轨道与前一轨道相比（）（A）速率增大（B）周期减小（C）机械能增大（D）加速度增大 9.气象卫星是用来拍摄云层照片，观测气象资料和测量气象数据的。我国先后自行成功研制和发射了“风云一号”和“风云二号”两颗气象卫星。“风云一号”卫星轨道与赤道平面垂直，通过两极，每 12 小时巡视地球一周，称为“极地圆轨道”。“风云二号”气象卫星轨道平面在赤道平面内称为“地球同步轨道”则“风云一号”卫星比“风云二号”卫星 （）（A）发射速度小（B）线速度大（C）覆盖地面区域大（D）向心加速度小 10.2023 年，我国和欧盟合作正式启动伽利略卫星导航定位系记录划，这将结束美国全球卫星定位系统（GPS）一统天下的局面。据悉，“伽利略”卫星定位系统将由 30 颗轨道卫星组成，卫星的轨道高度为 2.4 104 km，倾角为 56，分布在 3 个轨道面上，每个轨道面部署 9 颗工作卫星和 1 颗在轨备份卫星，当某颗工作卫星出现故障时可及时顶替工作。若某颗替补卫星处在略低于工作卫星的轨道上，则这颗卫星的周期和速度与工作卫星相比较，以下说法中对的的是 （）（A）替补卫星的周期大于工作卫星的周期，速度大于工作卫星的速度（B）替补卫星的周期大于工作卫星的周期，速度小于工作卫星的速度（C）替补卫星的周期小于工作卫星的周期，速度大于工作卫星的速度（D）替补卫星的周期小于工作卫星的周期，速度小于工作卫星的速度情奉献情奉献 二、本题共二、本题共 2 2 小题，共小题，共 2020 分。把答案填在题中的横线上或按题目规定作答。分。把答案填在题中的横线上或按题目规定作答。11.有质量的物体周边存在着引力场。万有引力和库仑力有类似的规律，因此我们可以用定义静电场场强的方法来定义引力场的场强。由此可得，与质量为 M 的质点相距 r 处的引力场场强的表达式为EG=（万有引力恒量用 G 表达）12.“神舟”五号载人飞船在绕地球飞行的第 5 圈进行变轨，由本来的椭圆轨道变为距地面高度kmh342的圆形轨道。已知地球半径kmR31037.6，地面处的重力加速度2/10smg。试导出飞船在上述圆轨道上运营的周期 T 的数值，（保存两位有效数字）T=(表达式)=（数值）。三、本题共三、本题共 6 6 小题，共小题，共 9090 分。解答应写出必要的文字说明、方程式和重要演算环节。只分。解答应写出必要的文字说明、方程式和重要演算环节。只写出最后答案的不能得分。有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位。写出最后答案的不能得分。有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位。13（13 分）如图所示，在距离一质量为 M、半径为 R、密度均匀的球体 R 远处有一质量为 m 的质点。此时 M 对 m 的万有引力为 F1，当从 M 中挖去一半径为 R/2 的球体时，剩余部分对 m 的万有引力为 F2，则 F1与 F2的比值为多少？14（14 分）在天体运动中，将两颗彼此距离较近的行星称为双星，由于两星间的引力而使它们在运动中距离保持不变，已知两个行星的质量分别为 M1和 M2，相距为 L，求它们的角速度。15（14 分）某星球自转周期为T T，在它的两极处用弹簧秤称得某物重W W，在赤道上称得该物重W W，求该星球的平均密度。16（15 分）在电视直播节目里，可以发现央视现场的主持人与驻国外记者进行电话对话时，总会发现当主持人问话后，记者的反映好象有点“迟钝”，这种信号是以微波的形式通过通讯卫星（同步卫星）进行转接的。（1）试说明产生这种现象的因素；（2）试根据生活常识及括号内所给的数据估算同步卫星离地高度。（已知月地间的距离约为m8108.3，地球半径约为m6104.6）17（16 分）要使一颗人造地球通讯卫星(同步卫星)能覆盖赤道上东经 75.0到东经135.0之间的区域，则卫星应定位在哪个经度范围内的上空?地球半径06.37106m，地球表面处的重力加速度 g9.80 ms2。18（18 分）我国自行研制的“神舟五号”载人飞船载着中国第一代宇航员杨利伟，于 2023年 10 月 15日 9 时在酒泉发射场由“长征二号 F”大推力运载火箭发射升空，并按预定轨道围绕地球飞行 14 圈后，于 10 月 16 日 6 时 23 分安全返回落在内蒙古的主着陆场。(1)设“神舟五号”飞船在飞行过程中绕地球沿圆轨道运营，已知地球半径为 R，地球表面的重力加速度为 g，飞船绕地球运营的周期为 T。试计算飞船离地面的平均高度 h。(2)已知将质量为 m 的飞船在距地球中心无限远处移到距离地球中心为 r 处的过程中，R R m R R m 万有引力做功为 W=GMm/r，式中 G 为万有引力恒量，M 为地球的质量。那么将质量为 m的飞船从地面发射到距离地面高度为 h 的圆形轨道上，火箭至少要对飞船做多少功?(为简化计算，不考虑地球自转对发射的影响)答案：一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 BD CD C AC AC A BD C ABC C 二、填空题 11、2rMG 12、gRhR232，s3104.5 三、计算题 13、若质点与大球球心相距为 2R，其万有引力为 F1，则有 221412RMmGRMmGF 大球质量334RM 小球质量8348123432MRRM 小球球心与质点相距23R，小球与质点间的万有引力为2218123RMmGRmMGF 剩余部分对质点 m 的万有引力2221236718141RMmGRMmGRMmGFFF 7921FF 14、解解 如右图所示，设 Ml的轨道半径为 r1，M2的轨道半径为 r2，两个行星都绕点做匀速圆周运动的角速度为；由于两个行星之间的万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律有 211221rMLMMG 222221rMLMMG Lrr21 以 上 三 式 联 立 解 得 321)(LMMG；LMMMr2121；LMMMr2111 15、解：解：题目中弹簧秤称得物重 W 与 W，实质上是弹簧秤的读数，即弹簧的弹力，在星球的两极物体受星球的引力 F引与弹簧秤的弹力 W 的作用，因该处的物体无圆运动，处在静止状态，有 F引=W=G MmR2 （3分）（其中 M为星球质量，m为物体质量，R 为星球半径）又 M=V=43 R3，（2 分）代入式后整理得=3W4GRm （2分）在星球赤道处，物体受引力 F引与弹簧秤的弹力 W的作用，物体随星球自转做圆运动，所以 F引 W=m(2/T)2R（2分）又 F引=W 磁场改变一次方向，t 时间内粒子运动半个圆周。W-W=m(2/T)2R （2 分）mR=(W-W)T242 （2分）将式代入式，整理后得 =3WGT2(W-W)（2分）16、解：解：（1）由于电信号发射到通讯卫星再由通讯卫星转发到接受器，如此再返回来，通过的路程较大，虽然微波以光速传播，但也要一定的时间，因此看上去有点反映“迟钝”。（2）设同步卫星的离地高度为h，质量为m，周期为地球的自转周期1T，由万有引力定律和牛顿运动定律得：)()2()(212hRTmhRMmG 设月球的轨道半径为月地r，月球绕地球公转的周期为2T，由万有引力定律和牛顿运动定律得：月地月月地地（rTmrMmG21)2 、两式整理后相比得：332221)(月地rhRTT 根据生活常识知地球自转周期11T天，月球公转周期272T天，将21TT，及R、月地r 代入得mh71058.3 17、解解：如图所示，圆为地球赤道s 为卫星所在处，用 R 表达卫星运动轨道的半径。由 万 有 引 力 定 律、牛 顿 运 动 定 律 和 卫 星 周 期 亦 即 地 球 自 转 周 期)可 得22)2(TmRRMmG 式中为地球质量，为引力常量，m 为卫星质量，另有 GMgR20 由图可知 RcosR 由以上各式，可解碍 3/12024arccosgTR 取 T=23 小时 56 分 4 秒(或近似取 r 等 24 小时)代人数值。可得81.3 由此可知，卫星的定位范围在东经 135.081.353.7到 75.081.31563之间的上空 18、解：解：(1)设飞船质量为 m，地球质量为 M，由万有引力定律和牛顿第二定律有 又 GMm/R2mg 解得飞船离地面的高度 (2)若将飞船由距地球无穷远处移至距离地球表面为 h 处，引力做功为 W1GMm/(R+h)若将飞船由距地球无穷远处移至地球表面，引力做功为 W2GMmR)所以将飞船由地球表面发射到距离地面 h 高的轨道上的过程中，引力做功为 W3GMm(R+h)-GMmR-GMmh(R+h)R 设飞船在距离地面高为 h 的圆轨道上运动时的速度为 v，根据万有引力定律和牛顿第二定律有：设将飞船送入沿距地面高度为 h 的圆形轨道运动的过程中，火箭要对飞船所做的功为W，根据动能定理有 W+W3 1/2 mv2 解 得：或