高一立体几何平行垂直解答题.doc

高一立体几何平行、垂直解答题精选
2017.12.18

1．已知直三棱柱ABC-A1B1C1，点N在AC上且CN=3AN，点M，P，Q分别是AA1，A1B1，BC的中点.求证：直线PQ∥平面BMN.

2．如图，在正方形ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M分别是棱B1C1，BB1，C1D1的中点，是否存在过点E，M且与平面A1FC平行的平面？若存在，请作出并证明；若不存在，请说明理由.

3．在正方体中， ， 分别是的中点.

（1）求证： 平面；
（2）求证： .
4．如图， 为圆的直径，点在圆上，且，矩形所在的平面和圆所在的平面垂直，且.
（1）求证：平面平面；
（2）在线段上是否存在了点，使得平面？并说明理由.

5．已知：正三棱柱中， ， ， 为棱的中点．
（）求证： 平面．
（）求证：平面平面．
（）求四棱锥的体积．

6．已知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，∠ADB=60°，E、F分别是AC、AD上的动点，且
（1）求证：不论为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；
（2）当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD ?

7．如图，在菱形中， 与相交于点， 平面， .

（I）求证： 平面；
（II）当直线与平面所成的角的余弦值为时，求证： ；
（III）在（II）的条件下，求异面直线与所成的余弦值.

8．如图，四棱锥中，，，，，分别为和的中点，平面.

（1）求证：平面平面；
（2）是否存在线段上一点，使用平面，若存在，求的值；如果不存在，说明理由.

9．如图，在四棱锥中，侧面是正三角形，且与底面垂直，底面是边长为2的菱形， 是的中点，过三点的平面交于， 为的中点，求证：

（1）平面；
（2）平面；
（3）平面平面.

10．如图，四棱锥中， 平面， //

， ， ， 分别为线段， 的中点.
（Ⅰ）求证： //平面；
（Ⅱ）求证： 平面；
（Ⅲ）写出三棱锥与三棱锥的体积之比.（结论不要求证明）

11．如图，点是菱形所在平面外一点， ， 是等边三角形， ， ， 是的中点.
（Ⅰ）求证： 平面；
（Ⅱ）求证：平面平面；
（Ⅲ）求直线与平面的所成角的大小.

12．在四棱锥中，底面为菱形，侧面为等边三角形，且侧面底面， ， 分别为， 的中点.
（Ⅰ）求证： .
（Ⅱ）求证：平面平面.
（Ⅲ）侧棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

13．在四棱锥中，侧面底面，，为中点，底面是直角梯形，，，，．

（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）在线段上是否存在一点，使得二面角为？若存在,求的值；若不存在，请述明理由．

参考答案
1．见解析
【解析】试题分析：根据题目给出的P，Q分别是A1B1，BC的中点，想到取AB的中点G，连接PG，QG后分别交BM，BN于点E，F，根据题目给出的线段的长及线段之间的关系证出
==，从而得到EF∥PQ，然后利用线面平行的判定即可得证；
试题解析：如图，取AB中点G，连接PG，QG分别交BM，BN于点E，F，则E，F分别为BM，BN的中点.而GE∥AM，GE=AM，GF∥AN，GF=AN，且CN=3AN，所以=， ==，所以==，所以EF∥PQ，又EF⊂平面BMN，PQ⊄平面BMN，所以PQ∥平面BMN.

2．详见解析.
【解析】试题分析: 由正方体的特征及N为BB1的中点，可知平面A1FC与直线DD1相交，且交点为DD1的中点G.若过M，E的平面α与平面A1FCG平行，注意到EM∥B1D1∥FG，则平面α必与CC1相交于点N，结合M，E为棱C1D1，B1C1的中点，易知C1N∶C1C＝.于是平面EMN满足要求．
试题解析:
如图，设N是棱C1C上的一点，且C1N＝C1C时，平面EMN过点E，M且与平面A1FC平行．

证明如下：设H为棱C1C的中点，连接B1H，D1H.

∵C1N＝C1C，
∴C1N＝C1H.
又E为B1C1的中点，
∴EN∥B1H.
又CF∥B1H，
∴EN∥CF.
又EN⊄平面A1FC，CF⊂平面A1FC，
∴EN∥平面A1FC.
同理MN∥D1H，D1H∥A1F，
∴MN∥A1F.
又MN⊄平面A1FC，A1F⊂平面A1FC，
∴MN∥平面A1FC.
又EN∩MN＝N，
∴平面EMN∥平面A1FC.
点睛:本题考查线面平行的判定定理和面面平行的判定定理的综合应用,属于中档题.直线和平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行; 平面与平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面分别平行，则这两个平面平行．
3．（1）见解析（2）见解析
【解析】试题分析：（1）连接， ，由分别是， 的中点可证∥，即可证明∥平面；（2）由∥且可证为平行四边形，即可证∥，再根据即可证明.
试题解析：

（1）连接， ，因为分别是， 的中点，
所以∥，且平面，
所以∥平面
（2）由题意∥且，所以为平行四边形，所以∥，
由（Ⅰ）∥，且，所以
4．（1）证明见解析；（2）存在，见解析；
【解析】试题分析：（1）要证明平面平面，只需证平面，则只需证,
,再根据题目条件分别证明即可；（2）首先猜测存在 的中点满足平面，作辅助线，通过，由线面平行的判定定理，证明平面。
试题解析：
解：（1）因为平面平面，
平面平面，所以平面，
因为平面，所以,
又为圆的直径，所以,
因为，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
（2）如图，取 的中点的中点，连接，

则 ，
又，所以，
所以四边形为平行四边形，
所以，
又平面平面，
所以平面，
即存在一点为的中点，使得平面.

5．（1）见解析；（2）见解析；（3）．
【解析】试题分析：
（1）要证线面平行，就是要证线线平行，考虑过直线的平面与平面的交线（其中是与的交点），而由中位线定理易得，从而得线面平行；
（2）由于是正三角形，因此有，从而只要再证与平面内另一条直线垂直即可，这可由正棱柱的侧棱与底面垂直得到，从而得线面垂直，于是有面面垂直；
（3）要求四棱锥的体积，由正三棱柱的性质知中，边的高就是四棱锥的高，再求得四边形的面积，即可得体积．
试题解析：

（）证明：连接，交于点，连接，
∵在中，
， 分别是， 中点，
∴，
∵平面，
平面，
∴平面，
（）证明：∵在等边中，
是棱中点，
∴，
又∵在正三棱柱中，
平面，
平面，
∴，
∵点，
， 平面，
∴平面，
∵平面，
∴平面平面．

（）作于点，
∴是四棱锥高，
，
底面积，
．

【点睛】(1)证明平面和平面垂直的方法：①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理.
(2)已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.
6．（1）见解析（2）λ＝
【解析】(1)证明：∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD.
∵CD⊥BC，且AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC.
∵＝λ(0＜λ＜1)，
∴不论λ为何值，恒有EF∥CD.
∴EF⊥平面ABC，EF平面BEF.

∴不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC.
(2)解：由(1)知，BE⊥EF，∵平面BEF⊥平面ACD，∴BE⊥平面ACD.∴BE⊥AC.
∵BC＝CD＝1，∠BCD＝90°，∠ADB＝60°，
∴BD＝，AB＝tan60°＝.
∴AC＝＝.
由AB2＝AE·AC，得AE＝.∴λ＝＝.
故当λ＝时，平面BEF⊥平面ACD
7．（I）见解析；（II）见解析；（III）．
【解析】试题分析：
（I）要证与平面垂直，只要证与平面内两条相交直线垂直即可，这由已知线面垂直可得一个，又由菱形对角线垂直又得一个，由此可证；（II）由已知线面垂直得平面，从而知为直线与平面所成的角，从而可得，然后计算出三线段的长，由勾股定理逆定理可得垂直；
（III）取中点，则有，从而可得异面直线所成的角，再解相应三角形可得．
试题解析：
（I）平面 ；
（II）平面直线与平面所成的角而且中， ，过作交于点中中中；

（III）取边的中点，连接且为所求的角或其补角，而在中， 中
异面直线与所成的余弦值为.
8．（1）证明见解析；（2）.
【解析】
试题分析：（1）以为原点建立空间直角坐标系，可得，，
，又得平面，进而得结论；（2）设，可得平面的一个法向量为，再根据可解得.
试题解析：（1）如图，以为原点建立空间直角坐标系，
，，，所以中点，则，，则，
所以.
又平面，所以，由，
所以平面，
又平面，所以平面平面.

（2）法一：设，则，，则，
设平面的一个法向量为，，，
所以，则，令，
得，
设，则
，
若平面，则，解得.
法二：（略解）：连接延长与交于点，连接，若存在平面，则，
证明即可.

考点：1、利用空间向量证明线面垂直、面面垂直；2、利用空间向量研究线面平行.
9．（1）见解析（2）见解析（3）见解析

【解析】试题分析：(1)先证明四边形是平行四边形，得 平面 ，进而可得结论；(2)先由面面垂直的性质可得，再证 ，由 可得 ，可得 平面 ；（3）由（2）可得 ，由等腰三角形性质得，进而由面面垂直的判定定理得结论.
试题解析：（1） 平面
平面
平面平面平面，
又因
，
是的中点， 是的中点，底面是边长为2的菱形，
四边形是平行四边形，
平面
平面；
（2）侧面是正三角形，且与底面垂直， 为的中点，

由余弦定理可得，由正弦定理可得：
由可得

平面；
(3) 由（2）知平面， 平面

是的中点，

平面.
平面.
【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理，属于难题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.
10．（1）见解析（2）见解析（3）
【解析】试题分析：
（Ⅰ）要证线面平行，就要证线线平行，在四边形中，由已知可得与平行且相等，从而得平行四边形，因此有，因可得线面平行；
（Ⅱ）要证与平面垂直，就要证与此平面内两条相交直线垂直，而已知与平面垂直，因此与平面内所有直线垂直，现在已有，因此有，再有， 是所在线段中点，因此有，从而也可得，这样可得题设线面垂直；
（Ⅲ）都改为以为顶点，则底面积比为，高的比也是，因此体积比为．
试题解析：

（Ⅰ）证明：因为// ， ，
为线段的中点，
所以// 且，
所以四边形为平行四边形，
所以// ，
又有平面， 平面，
所以//平面．
（Ⅱ）证明：因为， 分别为线段， 中点，所以// ，
又因为平面， 平面，
所以 ， ；
所以，
又// ，所以
因为，
所以平面．
（III）结论： ．
11．（Ⅰ）见解析; （Ⅱ）见解析; （Ⅲ）.
【解析】试题分析：
（Ⅰ）要证明与平面平行，只要找到一条平行线，由于是中点， 与的交点是中点，则必有，从而有线面平行；
（Ⅱ）要证面面垂直，就要证线面垂直，从图形中知，在，计算后可得，从而于是有线面垂直，从而得面面垂直；
（Ⅲ）易证平面，从而知为在平面内的射影，因此就是直线与平面所成的角，在中求解可得．

试题解析：
（Ⅰ）证明：连接.
在菱形中， 为中点，且点为中点，
所以，
又平面， 平面.
所以平面

（Ⅱ）证明：在等边三角形中，
， 是的中点，所以.
在菱形中， ， ，
所以.
又，所以，所以.
在菱形中， .
又，所以平面.
又平面，
所以平面平面.
（Ⅲ）因为平面， 平面，所以
又因为， 为中点，所以
又，所以平面，则为直线在平面内的射影，

所以平面为直线与平面的所成角
因为，所以，
在中， ，所以
所以直线与平面的所成角为.
12．(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)侧棱上存在点，使得平面，且．
【解析】试题分析：（1）要证，只需证明平面即可；（2）连结,因为四边形为菱形，所以,因为分别为的中点，所以，且，由（1）知平面,进而证得平面，从而证的平面平面；（3）设与的交点分别为连结，因为四边形为菱形， 分别为的中点，所以，设为上靠近点三等分点，则，所以,进而得到平面．
试题解析：解：（1）因为为等边三角形, 为的中点,
所以又因为平面平面,
平面平面, 平面,所以平面,
又因为平面,所以.

（2）连结,因为四边形为菱形，所以,因为分别为的中点,

所以，由（1）知平面,平面,
平面,
又因为平面,所以平面平面.
（3）当点为上的三等分点（靠近点）时, 平面.
证明如下：设与的交点分别为连结.因为四边形为菱形,
分别为的中点,所以,设为上靠近点三等分点，
则,所以,因为平面平面
平面.由于平面平面平面,即平面, ,所以平面平面,
平面平面.可见侧棱上存在点,使得平面,
且.

考点：直线与平面垂直的判定与证明；探索性问题的求解.
13．（1）见解析；（2）见解析；（3）存在，且．
【解析】

试题分析：（1）要证线面平行，就要证线线平行，由线面平行的性质定理知，这条平行线是过直线的平面到平面的交线，由于是中点，，因此辅助线作法易知，只要取中点，就是要找的平行线；（2）要证线面垂直，就是要证线线垂直，由已知易得，因此还要证（或者），这在中由勾股定理可证；（3）求二面角问题，可通过参阅空间直角坐标系用空间向量法求解，即以为坐标轴建立坐标系，写出各点坐标，并设设，，所以，求出两平面，的法向量，由法向量的夹角与二面角相等或互补可得．
试题解析：（1）取的中点，连结，因为为中点，所以，
且，在梯形中，，，
所以，，四边形为平行四边形，
所以，
因为平面，平面，
所以平面．
（2）平面底面，，所以平面，
所以．
如图，以为原点建立空间直角坐标系．
则
，，
所以，，
又由平面，可得，
因为
所以平面．
（3）平面的法向量为，

，设，
所以，

设平面的法向量为，
，，
由，，得
，
令
所以，
所以，
注意到，得．
所以在线段上存在一点，使得二面角为，
此时
考点：线面平行的判断，线面垂直的判断，二面角．