分类加法计数原理与分步乘法计数原理知识点与习题.doc

　分类加法计数原理与分步乘法计数原理
理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理，能正确区分“类”和“步”，并能利用两个原理解决一些简单的实际问题.
　知识聚焦 不简单罗列　
1．分类加法计数原理
完成一件事有n类不同的方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有mn种不同的方法，则完成这件事情，共有N＝______________种不同的方法．
2．分步乘法计数原理
完成一件事情需要n个不同的步骤，完成第一步有m1种不同的方法，完成第二步有m2种不同的方法，……，完成第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事情共有N＝________________种不同的方法．
3．两个计数原理的区别
分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事情的不同方法的种数．它们的区别在于：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成．
　正本清源 不单纯记忆　

■ 链接教材
1．[教材改编] 现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，从中任选1人参加接待外宾的活动，有________种不同的选法．
2．[教材改编] 5位同学站成一排准备照相的时候，有2位老师碰巧路过，同学们强烈要求与老师合影留念，如果5位同学顺序一定，那么2位老师与同学们站成一排照相的站法总数为________．
3．[教材改编] 如图9­55­1所示，使电路接通，开关不同的开闭方式有________种．

图9­55­1
■ 易错问题
4．分类加法计数原理：每一种方法都能完成这件事情；类与类之间是独立的．
某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有________种．
5．分步乘法计数原理：所有步骤完成才算完成；步与步之间是相关联的．
将甲、乙、丙等6人分配到高中三个年级，每个年级2人，要求甲必须在高一年级，乙和丙均不能在高三年级，则不同的安排种数为________．
■ 通性通法
6．分类计数原理：分类时标准要明确．
如果把个位数是1，且恰有三个数字相同的四位数叫作“好数”，那么在由1，2，3，4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有________．
7．分步计数原理：步骤互相独立，互不干扰；步与步确保连续，逐步完成．
某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B，C，D中选择，其他四个号码可以从0～9这十个数字中选择(数字可以重复)，某车主第一个号码(从左到右)只想在数字3，5，6，8，9中选择，其他号码只想在1，3，6，9中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有________种．

　探究点一　分类加法计数原理

1某校开设A类选修课2门，B类选修课3门，一位同学从中选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有(　　)
A．3种 B．6种
C．9种 D．18种
(2) 现有5种不同的颜色可供使用，将一个五棱锥的各个侧面涂色，5个侧面分别编号为1，2，3，4，5，而有公共边的两个面不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法有________种．

[总结反思] 分类标准是运用分类计数原理的难点所在，重点在于抓住题目中的关键词、关键元素或关键位置．首先，根据题目特点恰当选择一个分类标准；其次，分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类．应用分类加法计数原理时，应先明确分类标准，确保计数不重复，不遗漏．

式题 (1)某班班会准备从甲、乙等7名学生中选4名学生发言，要求甲、乙2人至少有1人参加，则不同的发言顺序的种数为(　　)
A．840 B．720 C．600 D．30

(2)如图9­55­2所示为某旅游区各景点的分布图，图中一支箭头表示一段有方向的路，试计算顺着箭头方向，从A到H可走的不同的旅游路线的条数为(　　)

图9­55­2
A．15 B．16
C．17 D．18
　探究点二　分步乘法计数原理

2 (1)将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有________种．
(2)将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有________种．(用数字作答)

[总结反思] 利用分步乘法计数原理解决问题时应注意：
(1)要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，以元素(或位置)为主体的计数问题，通常先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)；
(2)对完成每一步的不同方法种数要根据条件准确确定．
式题 (1)某节目制作组选取了6户家庭到4个村庄体验农村生活，要求将6户家庭分成4组，其中2组各有2户家庭，另外2组各有1户家庭，则不同的分配方案的种数是(　　)
A．216 B．420
C．720 D．1080
(2)用5种不同的颜色为如图9­55­3所示的广告牌着色，要求在①②③④四个不同区域中相邻的区域不用同一种颜色，则不同的着色方法种数为(　　)

图9­55­3
A．320 B．240
C．180 D．135

　探究点三　两个计数原理的综合

3 (1) 设集合A＝{(x1，x2，x3，x4，x5)|xi∈{－1，0，1}，i＝1，2，3，4，5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”的元素个数为(　　)
A．60 B．90
C．120 D．130
(2)用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1，2，…，9的9个小正方形(如图9­55­4)，使得任意相邻(有公共边)的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为1，5，9的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有________种．

图9­55­4

[总结反思] (1)分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类并且只属于其中一类．
(2)分步乘法计数原理中，各个步骤相互依存，只有完成每一步，整件事才算完成．
(3)若综合利用两个计数原理，一般先分类再分步．
式题 设集合I＝{1，2，3，4，5}，选择集合I的两个非空子集A和B，若集合B中最小的元素大于集合A中最大的元素，则不同的选择方法共有(　　)
A．50种 B．49种
C．48种 D．47种
　学科能力 自主阅读型　
误区警示　　　21.分类与分步不当致误

　【典例】 若从1，2，3，…，9这9个整数中取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有(　　)
A．60种 B．63种
C．65种 D．66种
解析　D　先找出再利用分类加法计数原理求解．满足题设的取法可分为三类：一是4
个都是奇数，在奇数1，3，5，7，9中，任意取4个，有C54＝5(种)；二是2个奇数2个偶数，在5个奇数中任取2个，再在偶数2，4，6，8中任取2个，有；三是4个都是偶数，取法有1种．所以满足条件的取法共有5＋60＋1＝66(种).

①处对和为偶数的情况把握不准；②处对两个奇数和两个偶数相加和为偶数计数时，是分步还是分类区分不清，错把分步看成分类，而误用加法公式.

【跟踪练习】 (1)[2015·唐山二模] 一种团体竞技比赛的积分规则是：每队胜、平、负分别得2分、1分、0分．已知甲球队已赛4场，积4分，则在这4场比赛中，甲球队胜、平、负(包括顺序)的情况共有(　　)
A．7种 B．13种
C．18种 D．19种
(2)给一个各边不等的凸五边形的各边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻的边有相同的颜色，则不同的染色方法共有________种．