经济学课后计算题答案.doc

第四章
3. 已知生产函数Q＝f(L， K)＝2KL－0.5L2－0.5K2， 假定厂商目前处于短期生产，且K＝10。
(1)写出在短期生产中该厂商关于劳动的总产量TPL函数、劳动的平均产量APL函数和劳动的边际产量MPL函数。(2)分别计算当劳动的总产量TPL、劳动的平均产量APL和劳动的边际产量MPL各自达到最大值时的厂商的劳动投入量。(3)什么时候APL＝MPL？它的值又是多少？
解答：(1)由生产函数Q＝2KL－0.5L2－0.5K2，且K＝10，可得短期生产函数为
Q＝20L－0.5L2－0.5×102＝20L－0.5L2－50于是，根据总产量、平均产量和边际产量的定义，有以下函数
劳动的总产量函数：TPL＝20L－0.5L2－50
劳动的平均产量函数：APL＝TPL/L＝20－0.5L－50/L
劳动的边际产量函数：MPL＝dTPL/dL＝20－L
(2)关于总产量的最大值：令dTPL/dL＝0，即20－L＝0
解得　　L＝20且　　d2TPL/dL2＝－1＜0
所以，当劳动投入量L＝20时，劳动的总产量TPL达到极大值。
关于平均产量的最大值：
令dAPL/dL＝0，即 dAPL/dL＝－0.5＋50L－2＝0
解得　　L＝10(已舍去负值) 且d2APL/dL2＝－100L－3＜0
所以，当劳动投入量L＝10时，劳动的平均产量APL达到极大值。
关于边际产量的最大值：
由劳动的边际产量函数MPL＝20－L可知，边际产量曲线是一条斜率为负的直线。考虑到劳动投入量总是非负的，所以，当劳动投入量L＝0时，劳动的边际产量MPL达到极大值。
(3)当劳动的平均产量APL达到最大值时，一定有APL＝MPL。由(2)已知，当L＝10时，劳动的平均产量APL达到最大值，相应的最大值为APL的最大值＝20－0.5×10－50/10＝10;
将L＝10代入劳动的边际产量函数MPL＝20－L，得MPL＝20－10＝10。
很显然，当APL＝MPL＝10时，APL一定达到其自身的极大值，此时劳动投入量为L=10。
6.假设某厂商的短期生产函数为 Q＝35L＋8L2－L3。
求：(1)该企业的平均产量函数和边际产量函数。
(2)如果企业使用的生产要素的数量为L＝6，是否处理短期生产的合理区间？为什么？
解答：(1)平均产量函数：AP(L)＝Q(L)/L＝35＋8L－L2
边际产量函数：MP(L)＝dQ(L)/dL＝35＋16L－3L2
(2)首先需要确定生产要素L投入量的合理区间。
在生产要素L投入量的合理区间的左端，有AP＝MP，有35＋8L－L2＝35＋16L－3L2。解得L＝0和L＝4。L＝0不合理，舍去，故取L＝4。
在生产要素L投入量的合理区间的右端，有MP＝0，于是，有35＋16L－3L2＝0。解得L＝－5/3和L＝7。L＝－5/3不合理，舍去，故取L＝7。
由此可得，生产要素L投入量的合理区间为[4,7]。因此，企业对生产要素L的使用量为6是处于短期生产的合理区间的。
11. 已知生产函数Q＝AL1/3K2/3。判断：(1)在长期生产中，该生产函数的规模报酬属于哪一种类型？(2)在短期生产中，该生产函数是否受边际报酬递减规律的支配？
解答：(1)因为Q＝f(L，K)＝AL1/3K2/3
f(λL，λK) =A（λL）1/3（λK）2/3=λAL1/3K1/3=λf(L,K)所以，此生产函数属于规模报酬不变的生产函数。(2)假定在短期生产中，资本投入量不变，以表示；而劳动投入量可变，以L表示。对于生产函数Q=AL1/3K2/3，有：MPL=1/3AL-2/3K2/3，且d MPL/dL=-2/9 AL-5/3 K-2/3<0
这表明：在短期资本投入量不变的前提下，随着一种可变要素劳动投入量的增加，劳动的边际产量是递减的。
相类似，在短期劳动投入量不变的前提下，随着一种可变要素资本投入量的增加，资本的边际产量是递减的。以上推导过程表明该生产函数在短期生产中受边际报酬递减规律的支配。
第五章

3. 假定某企业的短期成本函数是TC(Q)＝Q3－5Q2＋15Q＋66。
(1)指出该短期成本函数中的可变成本部分和不变成本部分；(2)写出下列相应的函数：
TVC(Q)、 AC(Q)、 AVC(Q)、 AFC(Q)和MC(Q)。
解答：(1)在短期成本函数TC(Q)＝Q3－5Q2＋15Q＋66中， 可变成本部分为TVC(Q)＝Q3－5Q2＋15Q； 不变成本部分为TFC＝66。(2)根据已知条件和(1)，可以得到以下相应的各类短期成本函数TVC(Q)＝Q3－5Q2＋15Q
AC(Q)＝TC(Q)/Q＝ (Q3－5Q2＋15Q＋66)/Q＝Q2－5Q＋15＋66/Q
AVC(Q)＝TVC(Q)/Q＝ (Q3－5Q2＋15Q)/Q＝Q2－5Q＋15
AFC(Q)＝TFC/Q＝66/Q
MC(Q)＝dTC(Q)/dQ＝3Q2－10Q＋15
5. 假定某厂商的边际成本函数MC＝3Q2－30Q＋100，且生产10单位产量时的总成本为1 000。求：(1)固定成本的值。(2)总成本函数、总可变成本函数，以及平均成本函数、平均可变成本函数。
解答：(1) 根据边际成本函数和总成本函数之间的关系，由边际成本函数MC＝3Q2－30Q＋100积分可得总成本函数，即有TC＝∫(3Q2－30Q＋100)dQ＝Q3－15Q2＋100Q＋α(常数)
又因为根据题意有Q＝10时的TC＝1 000，所以有TC＝103－15×102＋100×10＋α＝1 000
解得α＝500；所以，当总成本为1 000时，生产10单位产量的总固定成本TFC＝α＝500。
(2) 由(1)可得TC(Q)＝Q3－15Q2＋100Q＋500
TVC(Q)＝Q3－15Q2＋100Q
AC(Q)＝TC(Q)/Q＝Q2－15Q＋100＋500/Q
AVC(Q)＝TVC(Q)/Q＝Q2－15Q＋100
8. 已知生产函数Q＝A1/4L1/4K1/2；各要素价格分别为PA＝1，PL＝1，PK＝2；假定厂商处于短期生产，且。推导：该厂商短期生产的总成本函数和平均成本函数；总可变成本函数和平均可变成本函数；边际成本函数。
解答：本题应先运用拉格朗日函数法，推导出总成本函数TC(Q)， 然后再推导出相应的其他各类函数。具体地看，由于是短期生产，且，PA＝1，PL＝1，PK＝2，故总成本等式C＝PA·A＋PL·L＋PK·可以写成：C＝1·A＋1·L＋32＝A＋L＋32
生产函数Q＝A1/4L1/4K1/2可以写成Q＝A1/4L1/4K1/2＝4A1/4L1/4
而且，所谓的成本函数是指相对于给定产量而言的最小成本。因此，根据以上的内容，相应的拉格朗日函数法表述如下min,(A，L)A＋L＋32
s.t.　4A1/4L1/4＝Q　(其中， Q为常数) L(A，L，λ)＝A＋L＋32＋λ(Q－4A1/4L1/4)
将以上拉格朗日函数分别对A、L、λ求偏导，得最小值的一阶条件为
∂L/∂A＝1－λA－3/4L1/4＝0 (1)
∂L/∂L＝1－λA1/4L－3/4＝0 (2)
∂L/∂λ＝Q－4 A1/4L1/4＝0 (3)由式(1)、式(2)可得：L/A＝1/1 即L＝A
将L＝A代入约束条件即式(3)，得：Q－4A1/4A1/4＝0 解得A*＝Q2/16且L*＝Q2/16
在此略去关于成本最小化问题的二阶条件的讨论。于是，有短期生产的各类成本函数如下
TC(Q)＝A＋L＋32＝Q2/16+ Q2/16＋32＝Q2/8＋32
AC(Q)＝TC(Q)/Q＝Q/8＋32/Q
TVC(Q)＝Q2/8
AVC(Q)＝TVC(Q)/Q＝Q/8
MC(Q)＝dTC(Q)/dQ＝1/4Q
9. 已知某厂商的生产函数为Q＝0.5L1/3K2/3；当资本投入量K＝50时资本的总价格为500；劳动的价格PL＝5。求：(1)劳动的投入函数L＝L(Q)。(2)总成本函数、平均成本函数和边际成本函数。(3)当产品的价格P＝100时，厂商获得最大利润的产量和利润各是多少？
解答：根据题意可知，本题是通过求解成本最小化问题的最优要素组合，最后得到相应的各类成本函数，并进一步求得相应的最大利润值。(1)因为当K＝50时的资本总价格为500，即PK·K＝PK·50＝500，所以有PK＝10。根据成本最小化的均衡条件MPL/MPK＝PL/PK，其中，MPL＝1/6L－2/3K2/3，MPK＝2/6L1/3K－1/3，PL＝5，PK＝10。于是有　整理得　K/L＝1/1即K＝L 将K＝L代入生产函数Q＝0.5 L1/3K2/3，有Q＝0.5L1/3L2/3
得劳动的投入函数L(Q)＝2Q。
此外，也可以用以下的拉格朗日函数法求解L(Q)。具体如下：

min,(L，K)　5L＋10K
s.t.　0.5L1/3K2/3＝Q(其中Q为常数)
L(L，K，λ)＝5L＋10K＋λ(Q－0.5L1/3K2/3)
一阶条件为
∂L/∂L＝5－1/6λL－2/3K2/3＝0 (1)
∂L/∂K＝10－2/6λL1/3K－1/3＝0 (2)
∂L/∂λ＝Q－0.5 L1/3K2/3＝0 (3)由式(1)、式(2)可得：K/L＝1/1 即：K＝L
将K＝L代入约束条件即式(3)，可得：Q＝0.5 L1/3K2得劳动的投入函数L(Q)＝2Q
(2)将L(Q)＝2Q代入成本等式C＝5L＋10K得TC(Q)＝5×2Q＋500＝10Q＋500
AC(Q)＝TC(Q)/Q＝10＋500/Q
MC(Q)＝dTC(Q)/dQ＝10
(3)由(1)可知，K＝L，且已知K＝50，所以，有K＝L＝50。代入生产函数，有
Q＝0.5 L1/3K2/3＝0.5×50＝25由于成本最小化的要素组合(L＝50，K＝50)已给定，相应的最优产量Q＝25也已给定，且令市场价格P＝100，所以，由利润等式计算出的就是厂商的最大利润。
厂商的利润＝总收益－总成本＝P·Q－TC＝P·Q－(PL·L＋PK·K)＝(100×25)－(5×50＋500)
＝2 500－750＝1 750。所以，本题利润最大化时的产量Q＝25，利润π＝1 750。
第六章
3.请分析在短期生产中追求利润最大化的厂商一般会面临哪几种情况？
解答：在短期生产中，厂商根据MR＝SMC这一利润最大化或亏损最小化的原则进行生产。在实现MR＝SMC原则的前提下，厂商可以获得利润即π>0，也可以收支平衡即π＝0，也可以亏损即π<0，其盈亏状况取决于厂商的生产技术、成本以及市场需求情况。当π>0和π＝0时，厂商会继续进行生产，这是毫无问题的。但是，当π<0时，则需要进一步分析厂商是否应该继续生产这一问题。
需要指出的是，认为在π<0即亏损情况下，厂商一定会停产以避免亏损，是错误的判断。其关键是，在短期生产中厂商有固定成本。因此，正确的答案是：在短期生产亏损的情况下，如果TR>TVC(即AR>AVC)，则厂商就应该继续生产。这样，总收益在弥补全部总可变成本以后，还可以弥补一部分固定成本。也就是说，生产比不生产强。如果TR＝TVC(即AR＝AVC)，则对厂商来说生产与不生产都是一样的结果，即全部固定成本得不到任何弥补。如果TR<TVC(即AR<AVC)，则厂商就应该停产。因为在TR<TVC的情况下还坚持生产，连总可变成本都得不到弥补，就更谈不上对固定成本的弥补了。
综上所述，任何追求利润最大化的厂商在短期生产中都会面临五种典型的情况，第一种情况为π>0，厂商继续生产。第二种情况为π＝0，厂商也继续生产。第三种情况为π<0，但TR>TVC，则厂商继续生产。第四种情况为π<0，但TR＝TVC，则厂商生产与不生产都一样。第五种情况为π<0，TR<TVC，则厂商停产。
7. 已知某完全竞争市场的需求函数为D＝6 300－400P，短期市场供给函数为SS＝3 000＋150P；单个企业在LAC曲线最低点的价格为6，产量为50；单个企业的成本规模不变。
(1)求市场的短期均衡价格和均衡产量；(2)判断(1)中的市场是否同时处于长期均衡，求行业内的厂商数量；(3)如果市场的需求函数变为D′＝8 000－400P，短期供给函数为SS′＝4 700＋150P，求市场的短期均衡价格和均衡产量；(4)判断(3)中的市场是否同时处于长期均衡，并求行业内的厂商数量；(5)判断该行业属于什么类型；(6)需要新加入多少企业，才能提供由(1)到(3)所增加的行业总产量？
解答：(1)根据市场短期均衡的条件D＝SS，有6 300－400P＝3 000＋150P解得　　P＝6
将P＝6代入市场需求函数，有Q＝6 300－400×6＝3 900或者，将P＝6代入市场短期供给函数，有Q＝3 000＋150×6＝3 900所以，该市场的短期均衡价格和均衡产量分别为P＝6，Q＝3 900。
(2)因为该市场短期均衡时的价格P＝6，且由题意可知，单个企业在LAC曲线最低点的价格也为6，所以，由此可以判断该市场同时又处于长期均衡。因为由(1)可知市场长期均衡时的产量是Q＝3 900，且由题意可知，在市场长期均衡时单个企业的产量为50，所以，由此可以求出市场长期均衡时行业内的厂商数量为：3 900÷50＝78(家)。
(3)根据市场短期均衡的条件D′＝SS′，有8 000－400P＝4 700＋150P解得P

＝6。将P＝6代入市场需求函数，有Q＝8 000－400×6＝5 600或者，将P＝6代入市场短期供给函数，有Q＝4 700＋150×6＝5 600所以，该市场在变化了的供求函数条件下的短期均衡价格和均衡产量分别为P＝6，Q＝5 600。
(4)与(2)中的分析相类似，在市场需求函数和短期供给函数变化之后，该市场短期均衡时的价格P＝6，且由题意可知，单个企业在LAC曲线最低点的价格也是6，所以，由此可以判断该市场的这一短期均衡同时又是长期均衡。因为由(3)可知，供求函数变化以后的市场长期均衡时的产量Q＝5 600，且由题意可知，在市场长期均衡时单个企业的产量为50，所以，由此可以求出市场长期均衡时行业内的厂商数量为：5 600÷50＝112(家)。
(5)由以上分析和计算过程可知：在该市场供求函数发生变化前后，市场长期均衡时的均衡价格是不变的，均为P＝6，而且，单个企业在LAC曲线最低点的价格也是6，于是，我们可以判断该行业属于成本不变行业。以上(1)～(5)的分析与计算结果部分内容如图所示。

(6)由(1)、(2)可知，(1)时的厂商数量为78家；由(3)、(4)可知，(3)时的厂商数量为112家。因此，由(1)到(3)所增加的厂商数量为：112－78＝34(家)。或者，也可以这样计算，由于从(1)到(3)市场长期均衡产量的增加量为ΔQ＝5 600－3 900＝1 700；且由题意可知，单个企业长期均衡时的产量为Q＝50，所以，为提供ΔQ＝1 700的新增产量，需要新加入的企业数量为：1 700÷50＝34(家)。
9. 已知完全竞争市场上单个厂商的长期成本函数为LTC＝Q3－20Q2＋200Q，市场的产品价格为P＝600。求：(1)该厂商实现利润最大化时的产量、平均成本和利润各是多少？(2)该行业是否处于长期均衡？为什么？(3)该行业处于长期均衡时每个厂商的产量、平均成本和利润各是多少？(4)判断(1)中的厂商是处于规模经济阶段，还是处于规模不经济阶段？
解答：(1)由已知条件可得LMC＝dLTC/dQ＝3Q2－40Q＋200且已知P＝600，根据完全竞争厂商利润最大化的原则LMC＝P，有3Q2－40Q＋200＝600整理得　3Q2－40Q－400＝0
解得Q＝20(已舍去负值) 由已知条件可得LAC＝LTC/Q＝Q2－20Q＋200
将Q＝20代入LAC函数，得利润最大化时的长期平均成本为LAC＝202－20×20＋200＝200此外，利润最大化时的利润值为π＝P·Q－LTC＝600×20－(203－20×202＋200×20)＝12 000－4 000＝8 000所以，该厂商实现利润最大化时的产量Q＝20，平均成本LAC＝200，利润π＝8 000。
(2)令dLAC/dQ＝0，即有dLAC/dQ＝2Q－20＝0解得　Q＝10且d2LAC/dQ2＝2＞0所以，当Q＝10时，LAC曲线达到最小值。将Q＝10代入LAC函数，可得最小的长期平均成本＝102－20×10＋200＝100 综合(1)和(2)的计算结果，我们可以判断(1)中的行业未实现长期均衡。因为由(2)可知，当该行业实现长期均衡时，市场的均衡价格应等于单个厂商的LAC曲线最低点的高度，即应该有长期均衡价格P＝100，且单个厂商的长期均衡产量应该是Q＝10，每个厂商的利润π＝0。而事实上，由(1)可知，该厂商实现利润最大化时的价格P＝600，产量Q＝20，π＝8 000。显然，该厂商实现利润最大化时的价格、产量和利润都大于行业长期均衡时对单个厂商的要求，即价格600＞100，产量20＞10，利润8 000＞0。因此，(1)中的行业未处于长期均衡状态。
(3)由(2)已知，当该行业处于长期均衡时，单个厂商的产量Q＝10，价格等于最低的长期平均成本，即P＝最小的LAC＝100，利润π＝0。
(4)由以上分析可以判断，(1)中的厂商处于规模不经济阶段。其理由在于：(1)中单个厂商的产量Q＝20，价格P＝600，它们都分别大于行业长期均衡时单个厂商在LAC曲线最低点生产的产量Q＝10和面对的价格P＝100。换言之，(1)中的单个厂商利润最大化的产量和价格组合发生在LAC曲线最低点的右边，即LAC曲线处于上升段，所以，单个厂商处于规模不经济阶段。

第八章

5.设一厂商使用的可变要素为劳动L，其生产函数为：Q＝－0.01L3＋L2＋38L
其中，Q为每日产量，L是每日投入的劳动小时数，所有市场(劳动市场及产品市场)都是完全竞争的，单位产品价格为0.10美元，小时工资为5美元，厂商要求利润最大化。问厂商每天要雇用再多少小时劳动？
解答：第一，已知工资W＝5。第二，根据生产函数及产品价格P＝0.10，可求得劳动的边际产品价值如下(其中，MPL表示劳动的边际产品)
VMPL＝P×MPL＝P×dQ/dL＝0.10×(－0.01L3＋L2＋38L)′＝0.10×(－0.03L2＋2L＋38)
第三，完全竞争厂商的利润最大化要求边际产品价值等于工资0.10×(－0.03L2＋2L＋38)＝5
或0.03L2－2L＋12＝0第四，解之得L1＝20/3，L2＝60。第五，当L1＝20/3时，利润为最小(因为dMPL/dL＝1.6>0)，故略去。第六，当L2＝60时，利润为最大(dMPL/dL＝－1.6<0)。故厂商每天要雇用60小时的劳动。
6.已知劳动是唯一的可变要素，生产函数为Q＝A＋10L－5L2，产品市场是完全竞争的，劳动价格为W，试说明：(1)厂商对劳动的需求函数。(2)厂商对劳动的需求量与工资反方向变化(3)厂商对劳动的需求量与产品价格同方向变化。
解答：(1)因产品市场是完全竞争的，故根据W＝VMPL＝P×MPPL＝P×dQ/dL
即W＝P×(10－10L)＝10P－10P·L可得厂商对劳动的需求函数为L＝1－W/(10P)
(2)因∂L/∂W＝－1/(10P)<0，故厂商对劳动的需求量与工资反方向变化。
(3)因∂L/∂P＝W/(10P2)>0，故厂商对劳动的需求量与产品价格同方向变化。

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