东华大学概率论与数理统计B考试大纲final(带公式).doc

概率论与数理统计B
考试大纲

答疑：1月5日下午3：00-4：30。2号学院楼543。

第2章 描述统计学
1. 样本均值、样本方差、样本标准差的计算；

2. 样本中位数、分位数；
先对数据按从小到大排序。如果np不是整数，则第[np]+1个数据是100p%分位数。如果np是一个整数，那么100p%分位数取第[np]和第[np]+1个值的平均值。特别地，中位数是50%分位数。

3. 样本相关系数。
，

重点例题：例2.3.1, 例2.3.7, 例2.3.8，例2.6.2。
重点习题：P5ex4, P29 ex6, ex12

第3章 概率论基础
1. 样本空间，事件的并、交、补，文图和德摩根律；
，

2. 概率的定义、补事件计算公式、并事件计算公式；
对于任何的互不相交事件序列，

3. 等可能概型的计算，排列和组合；

4. 条件概率、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式；
，

4. 事件独立性及其概率的计算。

重点例题：例3.5.4, 例3.5.7， 例3.7.1， 例3.7.2，例3.8.1
重点习题：P53 ex12, ex13, ex18, ex25, ex29, ex31, ex33, ex35, ex47

第4章 随机变量与数学期望
1. 随机变量的分布函数及其性质；

2. 离散型随机变量的概率质量函数及其性质，有关概率的计算；
离散型随机变量：取值集合有限或者是一个数列xi, i=1,2, …。
概率质量函数：，

3. 连续型随机变量的概率密度函数及其性质，有关概率的计算；
连续型随机变量：随机变量的可能的取值是一个区间。
概率密度函数f(x)：对任意一个实数集B有
,

,

4 二维随机变量的联合分布函数、联合质量函数、联合密度函数，有关概率的计算；

,

,
5. 随机变量的独立性，有关概率的计算；
随机变量X与Y独立: ;
分布函数
离散型
连续型

6. 怎样求连续型随机变量函数的密度函数（先求分布函数，再求导）；
Y=g(X)

7. 数学期望（离散型，连续型），函数的数学期望（离散型，连续性）；
离散型

连续型

8. 数学期望的性质

，

当X与Y独立时，E[XY]=E[X] E[Y]

9. 方差和它的性质

；
；
当X与Y独立， ，

10 协方差、相关系数，有关性质；

Corr(X,Y)=1或-1，当且仅当X和Y线性相关，即P(Y=a+bX)=1 (当b>0, 相关系数为1; 当b<0, 相关系数为-1)
当X与Y独立时，X与Y不相关，即 .

11. 矩母函数，利用矩母函数求各阶矩；

矩

矩母函数

利用矩母函数求各阶矩

12. 切比雪夫不等式，弱大数定律，概率的频率意义。
切比雪夫不等式

弱大数定律：样本均值趋向于总体均值

频率趋向于概率

重点例题：例4.2.1，例4.2.2，例4.3.1， 例4.3.3，例4.3.4，例4.4.1, 例4.5.2，例4.5.7，例4.6.1， 例4.7.1。
重点习题：P86 ex1,ex4, ex6, ex9. ex10, ex12, ex13, ex27, ex43, ex44, ex46, ex53, ex56

第五章 特殊随机变量
1 伯努利实验和伯努利分布，数学期望和方差；
伯努利(Bernoulli)试验：在一次试验中，其结果可以归为``成功‘’和``失败‘’两类。
xi
0
1
E[X]=p
Var(X)=p(1-p)
pi
1-p
p
2. 二项分布：应用背景，概率质量函数，单调性，伯努利分解，可加性，数学期望和方差；
应用背景：伯努利试验“成功”的概率每次都为p, 这样独立进行n次，那么“成功”的总次数X服从参数为(n, p)二项分布 ，记为X~B(n,p)。

单调性：P(X=i)当i<(n+1)p递增，当i>(n+1)p递减。
二项分布的伯努利分解：设X～B(n, p)，那么 , 其中Xi相互独立，且为相同的伯努利分布.
可加性: 如果X与Y独立, 且X～B(n, p)，Y～B(m,p)，那么X+Y～B(n+m, p) 。

3. 泊松分布：应用背景，概率质量函数，单调性，数学期望和方差，可加性，二项分布的泊松近似；

应用背景: 根据二项分布的泊松近似，一段时间内某种随机事件发生的次数。

单调性： i < l时递增， i > l时递减。

泊松分布的可加性: 设X1和X2为相互独立的泊松随机变量，它们的均值分别为l1和l2, 那么X1+X2为均值是l1+l2的泊松随机变量。
二项分布的泊松近似：设X~B(n, p) 。当n很大p很小时，其分布近似于参数为l =np的泊松分布

4. 均匀分布：应用背景，概率密度函数，数学期望和方差，二维均匀分布，有关概率的计算；
应用背景：随机变量X在区间[a, b]上等可能取值
概率密度函数：
，
二维均匀分布：

5. 正态分布：应用背景，概率密度函数及其对称性，数学期望和方差，标准正态分布N(0,1)，正态分布的标准化和概率计算，线性性质，独立和的性质，分位数及其对称性；
应用背景：根据中心极限定理，大量独立随机变量的和近似服从正态分布。
密度函数：X~ N(m, s2),
E[X]=m, Var(X)=s2
标准正态分布N(0,1)：

线性性质：正态随机变量的线性函数仍是正态分布。设X~ N(m, s2), 那么对任意a, b¹0, Y=a+bX~N (a+bm, b2s2).
特别地，，。

假设 相互独立，且 ，则。
标准正态分布Z的100(1- a)%(下)百分位数Za：。
对称性： z1-a= - za

6. 指数分布：应用背景，概率密度函数，数学期望和方差，无记忆性，有关概率的计算；
应用背景：如果单位时间内“事件发生”数是参数l泊松分布（称为泊松过程），那么两次“发生”之间的间隔时间长度就是参数l的指数分布。
概率密度函数：

无记忆性

7. 卡方分布：定义，可加性，分位数；
定义：若Z1, Z2, …, Zn相互独立, 且都服从N(0,1) ，则称其平方和服从自由度n的 c2（卡方）分布。
可加性：当X1和X2分别为自由度为n1 和n2的 c2随机变量且相互独立时，则X1+X2服从自由度为n1+n2的 c2分布.
100(1- a)%百分位数 c2a,n：

8. t-分布：定义，对称性，与N(0,1)的关系，分位数；
设Z～N(0,1), X～c2n ，Z和X独立，则称随机变量服从自由度n的t-分布。
当n ®¥，Tn®N(0,1)
，

9. F分布：定义，分位数, 倒数性质。
设X和Y分别服从自由度为n和m的c2分布，且相互独立，称服从自由度为n和m的F-分布。
，

重点例题：例5.1.1， 例5.2.4，例5.2.6，例5.5.2， 例5.5.4， 例5.6.1， 例5.8.4.
重点习题：ex5, ex6, ex11, ex16, ex18, ex22, ex26, ex28, ex36, ex37, ex47

第六章 统计抽样的分布
1. 总体、样本及其观测值、统计量；
样本：若X1, X2, …, Xn是独立随机变量, 且具有相同的分布F, 则称它们构成来自分布F的一个样本. n称为样本容量。样本的观测数据称为样本观测值x1, x2, …, xn。
统计量：不含未知参数的样本函数。

2. 样本均值：定义，数学期望和方差；
设总体X(不一定是正态分布), E[X]=m, Var(X)=s2。样本X1, X2, …, Xn。
样本均值 ，，

3. 中心极限定理：基本定理，二项分布的正态近似，样本均值的近似分布；
基本定理： 设X1, X2, …, Xn为独立同分布的随机变量序列, 并均具有均值m和方差s2(无论分布类型是什么), 则对充分大的n （30以上），X1+X2+ …+ Xn 近似服从正态分布N(nm,ns2)。
二项分布的正态近似：设X~B(n,p), 对充分大的n（30以上）, X近似服从正态分布N(np, np(1-p))
样本均值的近似分布: 设总体X(不一定是正态分布), E[X]=m, Var(X)=s2。样本X1, X2, …, Xn。当n充分大（30以上），近似有

4. 样本方差：定义，数学期望；
样本方差 ,
样本标准差

5. 正态总体：样本均值按N(0,1)（方差已知时）或t-分布（方差未知时），样本方差按卡方分布，样本均值与样本方差独立.

定理: 设总体X~N(m,s2)。样本X1, X2, …, Xn。则
(1) , (2) , (3)与S2独立，(4) 。

重点例题：例6.3.2, 例6.3.3, 例6.3.5, 例6.5.1。
重点习题：P148 ex6, ex14, ex18, ex19, ex30

第七章 参数估计
1. 估计量与估计值
参数估计：设总体分布为Fq，其中q为未知参数。样本X1, X2, …, Xn ，独立且与总体同分布。需要估计q。
估计量：用来估计未知参数q的统计量，记为
估计值：估计量的观察值
无偏估计量：
2. 极大似然估计：定义，似然函数，对数似然方程；
似然函数：若总体的密度函数（或质量函数)为f(x|q), 其联合概率函数(称为似然函数)

极大似然估计: 求使得
对数似然方程

3. 伯努利分布、泊松分布、正态分布的极大似然估计；
贝努里分布：p的极大似然估计是观测数中成功的比例。
泊松分布极大似然估计 。
正态分布N(m,s2)的极大似然估计：

正态分布方差s2的无偏估计

4. 置信区间的定义；
参数q的100(1-a)%置信区间满足

5. 正态总体均值的双侧置信区间（方差已知）；

6. 正态总体方差的双侧置信区间.

重点例题：例7.2.3, 例7.2.5, 例7.3.1, 例7.3.4, 例7.3.8
重点习题：P181 ex1, ex3, ex 10, ex13, ex36

第八章 假设检验
1. 假设检验的基本概念：原假设与备择假设，拒绝域构造原理，显著性水平，两类错误；
原假设H0, 备择假设H1；
显著性检验：H1是否显著，以至于可以拒绝H0；
第一类错误——拒绝了正确的假设，第二类错误——接受了错误的假设；
显著性水平a=P(样本观测值落入拒绝域|H0真)=犯第一类错误的概率。

2. 方差已知时正态总体均值的Z检验(双侧，右侧，左侧);

双侧检验(临界值法或p值法)

左侧检验(临界值法或p值法) 右侧检验(临界值法或p值法)

3. 置信区间与拒绝域的关系；
若原假设落在未知参数的100(1-a)%的置信区间内，则在显著性水平a下，接受H0 ，否则拒绝H0。

4. 方差已知时两个正态总体均值相等的Z检验(双侧);
5. 方差未知但相等时两个正态总体均值相等的t检验(双侧);

6. 成对样本均值相等的t检验(双侧)；
令Wi=Yi-Xi化为关于Wi的单样本检验: H0: m=m0, H1: m¹m0, (m0=0)

7. 两个正态总体方差相等的检验。

重点例题：例8.3.1, 例8.3.6, 例8.4.1, 例8.4.2, 例8.4.4, 例8.5.2
重点习题：P218 ex2, ex 10, ex12, ex28，ex31, ex38, ex43, ex49

（注：专业文档是经验性极强的领域，无法思考和涵盖全面，素材和资料部分来自网络，供参考。可复制、编制，期待你的好评与关注）